1、哈爾濱中考數學一一圓的綜合的綜合壓軸題專題復習一、圓的綜合1 .如圖，點P在。的直徑AB的延長線上，PC為。的切線，點C為切點，連接 AC, 過點A作PC的垂線，點D為垂足，AD交。于點E.(1)如圖 1 ,求證：/ DAC=Z PAC(2)如圖2,點F (與點C位于直徑AB兩側)在。O上，BF ?A，連接EF,過點F作AD 的平行線交 PC于點G,求證：FG=DE+DG在(2)的條件下，如圖 3,若AE=2dG, PO=5,求EF的長.3【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3) EF=3j2.【解析】【分析】(1)連接OC,求出OC/ AD,求出OC, PC,根據切線的判定推出即可

2、；(2)連接BE交GF于H,連接OH,求出四邊形 HGDE是矩形，求出 DE=HG FH=EH即 可得出答案；(3)設OC交HE于M ,連接OE、OF,求出/ FHO=/ EHO=45 ,根據矩形的性質得出EH/ DG,求出 OM=1AE,設 OM=a,則 HM=a, AE=2a, AE=- DG, DG=3a, 23MO1CO 1求出 ME=CD=2a, BM=2a,解直角二角形得出 tan/MBO=tanP= 設BM 2PO 2OC=k,則PC=2k,根據OP=J5 k=5求出k=J5,根據勾股定理求出 a,即可求出答案.【詳解】(1)證明：連接OC,.PC為。的切線, OCX PC, .

3、ADXPC, .OC/ AD,Z OCA=Z DAC, .OC=OA,Z PAC4 OCA,Z DAC=Z PAC(2)證明：連接 BE交GF于H,連接OH,的1. FG/ AD, / FGD+/D=180 ；d D D=90 ；/ FGD=90 ；.AB為。的直徑，/ BEA=90 ,/ BED=90 ,/ D=/HGD=/BED=90 ,四邊形HGDE是矩形，DE=GH, DG=HE, Z GHE=90 ,Bf Af ,/ HEF=Z FEA=1 / BEA=- 90 =45 , 22/ HFE=90 - / HEF=45 , / HEF=Z HFE, .FH=EH,.FG=FH+GH=D

4、E+DG(3)解：設OC交HE于M,連接OE、OF1 . EH=HF, OE=OF HO=HO,2 .FHOAEHO,/ FHO=Z EHO=45 ；四邊形GHED是矩形，.EH/ DG,/ OMH=/OCP=90 ；/ HOM=90 - / OHM=90 - 45 =45 ；/ HOM=/OHM, .HM=MO , .OMXBE, .BM=ME, .OM= 1 AE, 2設 OM=a,則 HM=a, AE=2a, AE=2DG DG=3a3 / HGC=Z GCM=Z GHE=90 ；四邊形GHMC是矩形，GC=HM=a, DC=DG- GC=2a, DG=HE, GC=HM,ME=CD=2

5、a, BM=2a,在 RtBOM 中，tanZ MBO=M0- - 1 BM 2a 2 EH/ DP, / P=/ MBO,CO 1tanP=-,PO 2設 OC=k,則 PC=2k,在 RtPOC 中，OP=*k=5,解得：k=5 , OE=OC= 5 ,在 RtOME 中，OM2+ME2=OE2, 5a2=5, a=1,HE=3a=3,在 RtHFE 中，/HEF=45, 1-EF=72 HE=372 -【點睛】考查了切線的性質，矩形的性質和判定，解直角三角形，勾股定理等知識點，能綜合運用 性質進行推理是解此題的關鍵.2.在平面直角坐標中，邊長為 2的正方形OABC的兩頂點 A、C分別在y

6、軸、x軸的正 半軸上，點O在原點.現將正方形OABC繞O點順時針旋轉，當 A點一次落在直線 y x上 時停止旋轉，旋轉過程中，AB邊交直線y x于點M , BC邊交X軸于點N （如圖）.c(1)求邊OA在旋轉過程中所掃過的面積；(2)旋轉過程中，當 MN和AC平行時，求正方形 OABC旋轉的度數；(3)設 MBN的周長為p ,在旋轉正方形 OABC的過程中，p值是否有變化？請證明 你的結論.【答案】(1)兀2 (2) 22.5。(3)周長不會變化，證明見解析【解析】試題分析：(1)根據扇形的面積公式來求得邊OA在旋轉過程中所掃過的面積；(2)解決本題需利用全等，根據正方形一個內角的度數求出/A

7、OM的度數；(3)利用全等把MBN的各邊整理到成與正方形的邊長有關的式子.試題解析：(1) ; A點第一次落在直線 y=x上時停止旋轉，直線 y=x與y軸的夾角是 45,4522 _3602，OA 旋轉了 45： ，OA在旋轉過程中所掃過的面積為(2) MN /AC,/ BMN=Z BAC=45 , / BNM=Z BCA=45 :Z BMN=Z BNM,，BM=BN.X / BA=BC, .1. AM=CN.又. OA=OC, /OAM=/OCN, . OAM OCN.Z AOM=Z CON=1 (/AOC-/ MON) =- (90 -45 ) =22.5 . 22，旋轉過程中，當 MN和

8、AC平行時，正方形 OABC旋轉的度數為45 -22.5 =22.5 . (3)在旋轉正方形 OABC的過程中，p值無變化.證明：延長BA交y軸于E點，貝U / AOE=45 -/ AOM , / CON=90 -45 -Z AOM=45 -/ AOM ,/ AOE=Z CON.又 OA=OC, / OAE=180 -90 =90 = / OCN.OAEAOCN.OE=ON, AE=CN又 / MOE=Z MON=45 , OM=OM , .OMEAOMN. . MN=ME=AM+AE.MN=AM+CN ,.尸MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4.，在旋轉正方形 OABC的

9、過程中，p值無變化. 考點：旋轉的性質.3.如圖1,已知扇形MON的半徑為五 , /MON=90，點B在弧MN上移動，聯結BM , 作OD，BM,垂足為點 D, C為線段OD上一點，且 OC=BM,聯結BC并延長交半徑 OM于 點A,設OA=x, /COM的正切值為 y.(1)如圖2,當ABOM時，求證：AM=AC；(2)求y關于x的函數關系式，并寫出定義域；(3)當4OAC為等腰三角形時，求 x的值.【解析】分析：(1)先判斷出/ABM=/DOM,進而判斷出 OAXBAM,即可得出結論;(2)OA OE (3)先判斷出BD=DM,進而得出-DM ME,進而得出AE-1(J2 x),再判斷出

10、BD AE2OC 2DM -，即可得出結論；OD OD分三種情況利用勾股定理或判斷出不存在，即可得出結論.詳解：(1) OD) BM, AB OM,/ ODM=/BAM=90. / ABM+Z M=Z DOM+Z M,/ ABM=Z DOM .Z OAC=Z BAM, OC=BM, OAC BAM,.AC=AM .(2)如圖2,過點D作DE/AB,交OM于點E. OB-OM, ODXBM, .BD-DM. DM ME1- x1.DE/AB, ,AE-EM, OM-Jz， AE- -( V2 x).BD AE2OA OC 2DM1. DE/AB, 一 OE OD ODDM OAx_oD 2OE,

11、 y T/2 (0/ AOC,，此種情況不存在.(iii)當 CO=CA 時，貝U ZCOA=ZCAO=a, / CAO / M , Z M=90 - a, . . a 90 a, a45 :/ BOA=2 A 90 : : / BOAW 90 ，此種情況不存在.即：當4OAC為等腰三角形時，x的值為屈 衣.2點睛：本題是圓的綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質，圓的有關性質，勾股定 理，等腰三角形的性質，建立 y關于x的函數關系式是解答本題的關鍵.4.在。中，點C是AB上的一個動點(不與點A，B重合)，/ACB=120,點I是/ABC的 內心，CI的延長線交。于點D,連結AD,BD.D(

12、1)求證：AD=BD.(2)猜想線段AB與DI的數量關系，并說明理由.(3)若。的半徑為2,點E, F是AB的三等分點，當點 C從點E運動到點F時，求點I 隨之運動形成的路徑長.【答案】（1）證明見解析；（2） AB=DI,理由見解析（3） 還9【解析】分析：（1）根據內心的定義可得 CI平分/ACB,可得出角相等，再根據圓周角定理，可證 得結論；（2）根據/ACB=120, /ACD=/ BCD,可求出/ BAD的度數，再根據 AD=BD,可證得 ABD是等邊三角形，再根據內心的定義及三角形的外角性質，證明/BID=/IBD,得出ID=BD,再本艮據AB=BD,即可證得結論；（3）連接DO,

13、延長DO根據題意可知點I隨之運動形成的圖形式以D為圓心，DIi為半徑的弧，根據已知及圓周角定理、解直角三角形，可求出 AD的長，再根據點 E, F是弧AB ? 的三等分點，4ABD是等邊三角形，可證得 /DAIi = /AIiD,然后利用弧長的公式可求出點I隨之運動形成的路徑長.詳解：（1）證明：二.點I是/ABC的內心.CI 平分 / ACB/ ACD=Z BCD弧 AD=M BD.AD=BD（2） AB=DI理由：. /ACB=120, /ACD=/ BCD / BCDX 120=60 弧 BD=M BD/ DAB=Z BCD=60 ,.AD=BD .ABD是等邊三角形，.AB=BD, /

14、ABD=/ C.I是4ABC的內心BI 平分 / ABC/ CBI=Z ABI Z BID=Z C+Z CBI, / IBD=/ABI+/ABD/ BID=Z IBD .ID=BD.AB=BD.AB=DI(3)解：如圖，連接 DO,延長DO根據題意可知點I隨之運動形成的圖形式以D為圓心，DIi為半徑的弧 / ACB=120，弧 AD=M BD / AED/ ACBX 120=60:圓的半徑為2, DE是直徑 .DE=4, / EAD=90，AD=sin/AEDX點E, F是弧AB ?的三等分點, ABD是等邊三角形,/ ADB=60弧AB的度數為120； 弧AM、弧BF的度數都為為40/ AD

15、M=20 =/ FAB / DAIi=Z FAB+Z DAB=80 / AIiD=180 -Z ADM- / DAIi=180 -20 -80 =80 / DAIi=Z AIiD .AD=IiD=2nr i i m上班20Tpe2打弧I1I2的長為： ?一L80 一 9點睛：此題是一道圓的綜合題，有一定的難度，熟記圓的相關性質與定理，并對圓中的 弦、弧、圓心角、圓周角等進行靈活轉化是解題關鍵，注意數形結合思想的滲透5.如圖，已知 AB是OO的直徑，點C, D在OO上，BC=6cm,AC=8cm,/BAD=45。.點E在OO外，做直線AE,且/ EAC=Z D.(1)求證：直線AE是。的切線.(

16、2)求圖中陰影部分的面積.B【答案】 見解析；(2).4【解析】分析：(1)根據圓周角定理及推論證得Z BAE=90 ,即可得到AE是。的切線;(2)連接0D,用扇形ODA的面積減去AAOD的面積即可.詳解：證明：(1) ;AB是的直徑，Z ACB=90 ,即 Z BAC+Z ABC=90 , Z EAC土 ADC, Z ADC=Z ABC,Z EAC之 ABCZ BAC+Z EAC =90, 即 Z BAE= 90直線AE是。O的切線；(2)連接ODBC=6 AC=8AB Ve2 82 10. OA = 5又 ; OD = OAZ ADO =Z BAD = 45Z AOD = 90 與影=S

17、扇形ODA S AOD90- 1 = 5 5-55360225502（ cm ）4B點睛：此題主要考查了圓周角定理和圓的切線的判定與性質，關鍵是利用圓周角定理和切 線的判定與性質，結合勾股定理的和弓形的面積的求法求解，注意數形結合思想的應用6.如圖，已知AB是。O的直徑，點C為圓上一點，點 D在OC的延長線上，連接 DA, 交BC的延長線于點 E,使得/ DAC=Z B.(1)求證：DA是。O切線；(2)求證：ACEDAACD;(3)若 OA=1, sinD=l ,求 AE的長.3D【答案】(1)證明見解析；(2) J2【解析】分析：(1)由圓周角定理和已知條件求出AD AB即可證明DA是。O

18、切線;(2)由/DAG/DCE / D=/D 可知DECDCA；(3)由題意可知 AO=1, OD=3, DC=2,由勾股定理可知 AD=2,故此可得到DC2=DE?AD,故此可求得 DE的長，于是可求得 AE的長.詳解：(1) .AB 為。的直徑，./ACB=90,ZCABZ B=90. ZDAC=ZB,Z CABZ DAC=90 ,ADXAB. OA是。O半徑，DA為。的切線;(2) OB=OC, ，/OCB=/B. ./DCE=/OCR ，/DCE=/B. ZDAC=ZB, . . / DAC=/DCE ./D=/D,ACEDIA ACD;.一，一 _ 1(3)在 RtAOD 中，OA=

19、1, sinD=一,3 ad=Jod2 oa2=2 技AD CD又CEDkACD,CD DEAE=AD - DE=2亞-72 =72-OD=-OA-=3, .CD=OD-OC=2. sinDCD2DE=/5 -2-5-x) .PD/ BE,PDPF2-x5xVX28x80 y ,整理得:y=5x x2 8x 800 x 10 ；(3)以.二3x 20EP為直徑作圓Q如下圖所示,D, GD為相交兩個圓交于點G,則PG=PQ即兩個圓的半徑相等，則兩圓另外一個交點為 所得的公共弦， 點Q時弧GD的中點， DGXEP,.AG是圓P的直徑，/ GDA=90 ； .EP/ BD,由（2）知，PD/ BC,

20、二.四邊形PDBE為平行四邊形， ，AG=EP=BD.AB=DB+AD=AG+AD=4、,5 ,設圓的半徑為r,在ADG中,AD=2rcos 3, DG=-y= , AG=2r,2r 2075 +2r=4 V5 ,解得：2r=正,則：DG=-=10-2 75 ,相交所得的公共弦的長為10-2 75.【點睛】本題考查的是圓知識的綜合運用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知識，其中( 關鍵是根據題意正確畫圖，此題用大量的解直角三角形的內容，綜合難度很大.15.如圖所示，ABC內接于圓O, CD AB于D；(1)如圖1,當AB為直徑，求證： OBC ACD;(2)如圖2,當AB為非直徑的弦，連接 OB

21、,則(1)的結論是否成立？若成立請證明, 不成立說明由；(3)如圖3,在(2)的條件下，作 AEBC于E,交CD于點F,連接ED,且AD BD 2ED ,若 DE 3, OB 5,求 CF的長度.141)見解析；(2)成立；(3)5(1)根據圓周角定理求出 /ACB=90,求出/ADC=90,再根據三角形內角和定理求出即 可；(2)根據圓周角定理求出 /BOC=2Z A,求出Z OBC=9 0-/A和/ ACD=90-/ A即可；(3)分別延長 AE、CD交。于H、K,連接HK、CH、AK,在AD上取DG=BD,延長CG 交AK于M,延長KO交。O于N,連接CN、AN,求出關于a的方程，再求出 a即可.【詳解】(1)證明：:AB為直徑，ACB 90 , CD AB 于 D,ADC 90 ,OBCA 90 , A ACD 90 ,OBCACD ;(2)成立，證明：連接OC,由圓周角定理得：BOC 2 A ,OC OB ,_ _ 1_1OBC 180 BOC 180 2