1、學必求其心得，業必貴于專精1專題 19 把你的知識綜合起來考綱要求：1 1。了解函數單調性和導數的關系；能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區間(對多項式函數一般不超過三次)2.2. 了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數求函數的極大值、極小值(對多項式函數一般不超過三次)；會求閉區間上函數的最大值、最小值(對多項式函數一般不超過三次) )。基礎知識回顧：1 1。函數的單調性與導數的關系函數y=f(x) )在某個區間內可導，則： 若f(x) 0,0,則f( (x)在這個區間內單調遞增; ;(2) 若f(x) 000，則點a叫做函數的極小值點，f( (a) )叫做函數的極小值

2、。(2(2 )函數的極大值與極大值點若函數f( (x) )在點x=b處的函數值f( (b) )比它在點x=b附近其他點的函數值都 _,f (b)= 0,0,而且在點x=b附近 的左側f(x)0)0，右側f(x) )0 0，則點b叫做函數的極大值點，f( (b)叫做函數的極大值. .3 3。函數的最值與導數的關系(1)(1)函數f(x) )在a, ,b上有最值的條件如果在區間a，b上函數y=f( (x) )的圖象是一條連續不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值。(2)2)求y=f( (x)在a, ,b上的最大(小)值的步驟1求函數y=f( (x) )在( (a, ,b) )內的極值;2將函數y=f

3、(x) )的各極值與端點處的函數值f( (a) )，f(b)比較，其中最大的一個是最大值, ,最小的一個是最小值. . 應用舉例類型一、利用導數研究函數的單調性【例 1 1】【廣東省中山市第一中學 20182018 屆高三第一次統測】已知函數?(?= ? - 3? - 9?打2。(1)1)求函數？(？)單調區間；學必求其心得，業必貴于專精2(2) 求函數?(?在區間-2,2上的最小值；(3) 若函數？(？與直線？?= ?有三個不同交點，求？?的取值范圍. .【答案】(1(1)?(?)單調遞增區間是，(-X,-1),(3,+x)單調遞減區間是(-1,3)(2)-20.(2)-20. (3)3)-

4、25 ? 7【解析】試題分析：(1) 4數求導求出廠=D的解j可求得單調區間在。(2)由找田在2刀的單調性，可朿出最小值 (加由(1)結合嚴哲的團像，可求的貞的范圍.試題解折=(1) f(x)=3x2-ex-9 = 3(x- 3)(JC十1%當戈 一丄或所法卍)在(一-i)和(務+對單調遞増當-153時，FS 0,所以處r)在(一1單調連;咸。2)由(1) *3 fb)在一忌一1單調遞増在卜1沱里調遞獵f(2) = D,f(Z) = -20所以 心亦=-縱(3)由 知 血)在(一5-1)和C+GO單調逛增，在(-13)M調遞減，f(-l) = 7ff(3) = -25,才嚴I弗2|.畀吐二-，

5、i -【例2【山西省河津三中 20182018 屆高三一輪復習階段性測評】 已知函數f x x32mx23nx 4m2在x 1處有極值 1010。(1(1)求實數m,n的值;(2)先判斷函數f x x24x211x 16的單調性，然后根據a的取值情況分類討論判斷 函數f x在區間a, a 1上的單調性。(2(2)設a R，討論函數f x在區間a, a 1上的單調性。【答(1(1) m m2,n(2(2)答案見解析【解析】試題分析：(1 1)根據題意得到關于m的方程組f 13 4m 3n 0f 11 2m 3n 4m210解方程組求得m, n即可;3學必求其心得，業必貴于專精試題解析:/(%)罡

6、義域為蓋)=：32-4他一3科，：丁(力在兀“處有極值1Q,/(1)=0且/(1) = 03-4胸一3科=0即*!2,1-2m一3沖十=103JM= 2解得：2或117i = -l=亍當m=,H=-l時/(A) = 3J? -6X+3= (jr-l)12:0 ,當祝=2川=時，/(x)=+Sx-ll= (x-1)(3+11),在兀=1處有極值1。時，耕=一2用=(2 2 )由(1 1)可知f x X34x211x 16,2 f x 3x 8x 11 x 1 3x 11x11,T1131 11,f x+ +0 00 0+ +fx增極大減極小增吐,即a3當x變化時，f x , f x的變化情況如下

7、表:14時學必求其心得，業必貴于專精4單調逵順；當口A-辛且應+1毎1,艮卩一 5 莖0時，f(x)在區間肚口 +1上單調邃減;+ 即/(M在區間碼J上的單調遞減在區間(B + 1上單調遞增當“1時f(劉在區間屯口+1上單調遞槨述: a0時，f x在區間a, a 1上單調遞減；f x在區間a,1上單調遞減,在1, a 1上單調遞增 點睛：解答本題的易錯點有兩個：(1)1)在第一問中忽視了對m,n值的檢驗，因為導函數的零點是函數極值點的必要不充分條件，這是很容易出現的錯誤。(2 2)第二問中不能熟練地通過對a進行分類討論求解；還有，即便是分類了分類的情況也不完全或分類出現重漏的情況。類型二、用導

8、數研究函數的極值(多維探究)【例 3 3】已知函數f xextx。(1(1 )求函數f x的極值點；(2(2 )若f(x) ) x2+1+1 在(0,2)0,2)上恒成立，求實數t的取值范圍 【答案】(1 1)當t A0時, ,f(x) )沒有極值點；當t00 時，f( (x)的極小值點為x= =ln( (t)，沒有極大值點. .(2 2)2 e,【解析】試題分析：(1)(1)首先對函數f x求導，考慮到導函數含有參數t，對參數t大于等于 0 0，和小于 0 0 兩種情況進行討論。匕“丄即-“丄333II吋/(刃在區間訊#)上單調遞增，在區間(衛十1上綜上所111上單調遞減;當0 a 1時,(

9、2(2)恒成立問題，首先利用參數分離,x 2.得到te x 1, ,再令g xexx21，原問題轉化為當當, ,在5從而求出參數t的范圍。學必求其心得，業必貴于專精6學必求其心得，業必貴于專精試題解析；(1)=eJ十加，二/(兀)=/十上1當吃0時，八力 aS_/6)在贏上單調遞增，所以沒有極值臥2當*0時,奄尸匕) 解得x= kp),當*(7血(-0)時,兀力單調遞氟 當 送(叫時，廣何“，兀刃單謐i聲 所以J叭$)為極小值點，沒育柢大值。在(Q2上恒成立/- 1 2tx在(032)上叵成S2等價于；t-,令g(力二-X.X冷何=匕士套士匕學丸匕吃沖令jF(x)=O?flx=l當工巴( (Q

10、1)時/(a) 0,(兀) 單調遞增，所以貞臥訊二貞1)=2_. 總 一2,_r_f工2 f所以啲取値范圉2-5+K)已知函數f x xlnx。(1(1 )求函數f x的極值點；(2 2)設函數g x f x a x 1，其中a( 1 1, 2)2)，求函數g(x) )在區間1 1 ,e上的最小值. .1【答案】(1)x是函數f x的極小值點，極大值點不存在.(2).(2)g x的最小值為g ea Ia ea 1e【解析】試題分析：對函數求導，令導數為零，求出x值, ,劃分區間，研究導數在個區間內的符號 ，得出極值點；寫出 函數gx，求導得出g x，令g x 0，得出x ea 1, ,研究g

11、x的單調性，根據a 1,2，得出x的范圍, 求出最值。試題解析：1(1 1)函數f x的定義域為(0,)，f x lnx 1，由f(x)=0)=0 得x -，eI1所以f(x) )在區間0,1上單調遞減，在丄，上單調遞增。ee【例 4 4】學必求其心得，業必貴于專精7I所以 .是函數的極小值點，極大值點不存在(2)g xxlnx a x 1，則g xInx 1 a，由g x 0，得x ea 1。所以函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增:當a(1(1，2)2)，由于x 1,e，當x ea 1時，g x取得最小值a 1a 1 a 1a 1a 1為g e elne a e 1a 1 e類型三、利用

12、導數求函數的最值討論f x的單調性;【解忻】試題分析；函數f的定義3, T, f(x)-4x即可得出由和用單調(蜘道櫛，函數先増后滿可咲求得函數的最大值/(x)a ii再求咖+心卄歸弓輕如為-個變畳求出范虱I1 (1)域為(必儀)，二一一4范二-XXm 0時，f x 0， f x在0,上單調遞增;f x在0 跡上單調遞增；在,上單調遞減；(2 2)1 1h m . h ln212m2m1min22有最大值- -In2 2，求m+ +n的最小值. .a 1ae【例 5 5】【山東省臨沂市臨沐第一中學20182018 屆高三1010 月學情調研測試】設函數x Inx 2mx2n m,n R1 心,

13、對血分類討論【答案】(1)(1)若學必求其心得，業必貴于專精80時, ,f xf x在0,上單調遞增；在- mJ上單調遞減。2m2m學必求其心得，業必貴于專精9由知，當加AO時，f(勸在b李12m臨cl ,n1 .1. _-2m-一評二 一口2一一1口朋H= -1IJ22m4m22.H = Lnwi m= wjlam 2 2今A(wa)-朧一In朋一丄則血(酬)三22m ImAA()在仏爭上單調遞減在二他)上單調遞増, 氣2丿J點睛：討論函數的單調性即討論導函數的正負，導函數中有參數數最值可以求得兩個變量的關系(1(1 )當a 1時，求函數g gx的單調增區間；(2)(2)求函數g x在區間1

14、,e上的最小值.(3(3)在的條件下，設 = =+_._.山.二/-= Ah2 -轉化成一個變量的表達式,m Inm12根據m的范圍來求出函數式子的范圍即可。【例6 6】已知函數2g x x 2a 1 x alnx2m-1rim,需要對m進行討論，來判斷正負；第二問已知函學必求其心得，業必貴于專精102a, a 122g xming e e 2a 1 e ag x a a alna,1 a e2r,e2a 1 e a, a e(3)令爪力上扣他)八八,h(2) = ln2-ex 1,e , g x 0,g x單處*ML co2x。函數f x的單調增區間為(2)學必求其心得，業必貴于專精11f

15、1丄丄+丄匕k-畑=經1旅=1血2 In3/ 20-r12學必求其心得，業必貴于專精方法、規律歸納：導數是研究函數的單調性、極值（最值）最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數的應用的考查都非常突出，本專題在高考中的命題方向及命題角度從高考來看，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行：（1 1 ）考查導數的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯系.（2 2）利用導數求函數的單調區間，判斷單調性；已知單調性，求參數.（3 3）禾 U U 用導數求函數的最值（極值），解決生活中的優化問題.（4 4 ）考查數形結 合思想的應用.實戰演練:20182018 屆高三上學期第

16、一次月考】已知函數f x丄x22x 3lnx2【解析】試題分析：（1 1 ）x 0，f x m恒成立，即求f xminm在0,上恒成立（2 2）函數F x f x 2g x在1,5上有零點，等價于方程f x 2g x 0在1,5上有解. .1212化簡，得-x 4x 3lnx a。設h x - x 4x 3lnx，研究單調性，畫出圖像即得解 2 2試題解析：（1 1）由題意，得f x的定義域為0, ,3x22x 3 x 1 x 3f x x 2- -xxxx0,333,f x0 0f x單調遞減極小值單調遞增3所以f Xminf 3一3ln3。丁f x m在0,上恒成立,21 1 .【甘肅省天

17、水市第一中學121g xx3x - a22(a R).).（1 1 ）若x 0, ,f xm恒成立，求實數 m m 的取值范圍（2 2）設函數Fx f x 2g x，若Fx在1,5上有零點，求實數a的取值范圍。【答31515m-3ln3(2 2)3ln 3 ,3l n5222f x隨x的變化情況如下表m 3ln3. .2(1)13學必求其心得，業必貴于專精(2) 111數鞏劉=/力一2成刃在L勻上育靄鼠 等價于方程/(a)-2(x) = 0在L5上有解.化簡得丄*一4無十弓111兀=4設矗(丸)=丄*1一4筑十引11%貝寸閃(無)=藥一4+丄=X兀、|22xx34h 5 h 13ln5 4 l

18、n5 Ine 0點睛：函數有零點的問題可以轉化為方程有交點的問題，進而可以把方程進行變量分離，研究新函數的圖像即得解。2 2 設函數f x x2mlnx,g x x2x a. .(1)(1)當a 0時，f x g x在1,上恒成立，求實數m的取值范圍；(2 2)當m 2時, ,若函數h xf xg x在1,3上恰有兩個不同的零點，求實數a的取值范圍。【答案】(1)1)m e; (2)2) (2 2ln 2,3 2ln 3r c 15153l n3 a 3l n5 224x 3lnx a在1,5上有解. .15153ln 3 ,3l n522/x 0, ,h x、h x隨x的變化情況如下表作出h

19、 x在1,5上的大致圖象(如圖所示)所以，當O時,故實數a的取值范圍是14學必求其心得，業必貴于專精【解析】試題分析由=0,由/（沁曲在（人十號）上恒咸么得到-泡心一廠即耕竺在ZMX 燭）上恒成立，構造函數肚兀）=f ,求出國數的最小值，即可得到實數酬的取值范圍；Im（刃當朋二2時易得國數區二乳一賈的解析式，由方程時艮與對應圈匏雰點的關系，易轉化為兀-加=鼻在昨上恰有兩個相異實根刊用導數分析函數的單調性，然后根據零點存在定理構造關于口的不等式組、解不等式組即可得到答案析：(1)1)當a 0時，由f x g x0得mlnx xx x 1 , Inx 0,有m一 在1,上恒成立，Inx人,x ,I

20、nx 1,小/口令h x ,h x2,由h x 0得x e，InxIn x當x e, h x0,0 x e, h 00，h x在0,e上為減函數，在e,上為增函數h xminh e e，實數m的取值范圍為m e(2)當m 2時,函數h x f x g x x 2Inx a【點睛】 本題以函數為載體，考查的知識點是利用導數研究函數的極值，函數的零點，具有一定的難度，解題時要注意挖掘題設中的隱含條件其中（1 1）的關鍵是構造函數，將問題轉化為函數恒成立問題，（2 2）的關鍵是利用導數 分析函數的單調性后，進而構造關于a的不等式組.3 3.設函數f x aInx b x 1 x 0,ab 0（1 1

21、 ）討論函數f x的單調性; ;學必求其心得，業必貴于專精(2 2)若b 2a, ,求函數f x的最值【答案】 (1(1 )詳見解析 ; ; (2 2)詳見解析。試題解h x在1,3上恰有兩個不同的零點，即x 2Inx a在1,3上恰有兩個不同的零點( (2 2In2,3 2In3 154設函數y f x的定義域為D，若對任意x1，x2D, , 都有f x1f x21，則稱函數y f x為“storm”函數已知函數f xx3bx2ex 1的圖象為曲線C, ,直線y kx 1與曲線C相切于1, 10.(1(1 )求f x的解析式，并求f x的減區間；fx設0 m 2，若對任意x m 2，m,函數

22、gx16m為“StOrm 函數，求實數m的最小值.16學必求其心得，業必貴于專精【答案】(1 1)f x在2,2上遞減(2(2)mmin4出b,c，得出函數的解析式，利用導數解f xxm 2，m，函數gX研為“storm”函數，等價于在, ,根據函數f x的在m 2,m上的單調性，求出f X的最值，根據條x2|2,22,22,f xu00fx/極大值s極小值2所以f x在2,2上遞減.已知條件等枷于在子(或31-/力.扭蘭16叫Tf(刃在一2詞上加關數，且火也蘭2.曲Z州u2.2,二/(刃在刖-2屈上対減廚數、=/-2) )= (-2/-12( (-2+1, /()Dk= /() = JJ-L

23、2m+1,Jgg-yah=-6/+12購+16蘭IS叫 得4又Ov朋瑩2_,詭=-5 5.【黑龍江省牡丹江市第一高級中學20182018 屆高三 1010 月月考】【解析】試題分析：根據導數的幾何意義，借助切點和斜率列方程求試題解析:17學必求其心得，業必貴于專精已知函數f x 4x x4,x R（2 2）設曲線y f x與 x x 軸正半軸的交點為P, ,曲線在點P處的切線方程為求證：對于任意的正實數x，都有f X g x【答案】（1 1 ）單調遞增區間是，1，單調遞減區間是1,；（ 2 2）證明見解析；（3 3）證明見解析。【解析】試題分析：（1 1）求出原函數的導函數，得到導函數的零點，

24、由零點對定義域分段，根據導函數在各區間段內的符號得到原函數的單調性；（2 2）設出點p的坐標，利用導數求出切線方程g x f xox xo，構造輔助函，利用導數得到對于任意實數X，有Fx F x00，即對任意實數x，都有1單調遞減，得到x2x2，同理得到x-ix,，根據不等式性質則可證得x2x,x2x-i43試題解析：由/（二4無-可得f（力二4一4込當八力0,即時，國數_/（力單調遞増,當/P（x） 0時嚴才在+8)上單調遞;亂臺Y0時，F 0, Mr)在(一 8,上單調遑增.故fG0在JT=0處取得最大值(2)當x i *時，JT(a ”)1即日efz+1藝$X+e m(X)= Lr/0|

25、則直 3)在一 8,0上是増函數gCr)苕(0) = 1al.f 3北+1孑一尹當囂(0+8)時x 11 ; 3jr+ e J由鈿才(說=$ 所以x lnx 1 mx lnx 1在1, k上恒成立,所以h xmaXh 12故2 m k In k 1, ,若實數m存在, ,必有k Ink 3，又k 1， 所以k 2滿足要求，故所求的最小正整數k為 2 2.7.7.【黑龍江省大慶實驗中學 20182018 屆高三上學期第一次月考】設函數?= (?- ?- 1(?為自然對數的底數) ).(1 1 )當？?= 1時，求？?的最大值；(2(2 )當？(-x,o)U(0,)時，竽 1恒成立，證明：？= 1

26、.【解析】試題分析：(1 1)求出當？?= 1時，函數？(?的導數，求得增區間和減區間，即可得到極大值，即為最大值?(0)；(2(2 )當?0)時，右? 1即？ ?+詩，當？(0，X)時，？?？1 ?(? ? ?0,則h( (x) h(o)(o)= 1 1,g(x) 0 0,g( (x)g(0)(0) = 1 1,aw1.1.故a= 1 1.【點睛】本題考查導數的運用，求單調區間和極值、最值，主要考查函數的單調性的運用，解題時要注意不等式恒 成立思想的運用.a x 1&已知函數f x lnx - ,x Rx 1(1(1 )若x=2=2 是函數f(x)的極值點，求曲線y= =f( (x)

27、在點(1 1,f(1 1)處的切線方程；【答案】(1)(1)X 8y 10(2(2)a 2【解析】試題分析： 導跚為尸(刃=奩叫2加卩+1 ,由八習=6解得并檢驗學再求得“4f；切點為仏小由點斜式可求得切線方程。由題青可八刃=宀亠嚴1“在8” x(x+l(aw)上恒成立，所以/十(2-3)耳十1X0在仙)上恒成立,分離參數得22十丄，所趴x,龍丘皿卜3)由于是多個變崑 所以利用變形換元變成一個變量，變形為2( (T .求導可證力3沁試題解2x22 2a x 19f x2，由題意知f 20, ,代入得a9x x 14析：(1 1), ,經檢驗，符合題意.從而切線斜率11一，切點為(1 1, 0

28、0),所以切線方程為x 8y 1 0 8(2)(2)若函數f(x) )在0,上為單調增函數，求a的取值范圍;(3)設m n為正實數，且mn,求證:mnm nlnmInn2(2a2)1.所以彳彳卜域l)=(b東省中山市第一中學 20182018 屆高三第一次統測】已知函數f xX33x29x 2【解析】試題分析：(1)1)對函數求導，求出f x 0的解，可求得單調區間在。(2 2)由f( (x)在2,2的單調性，可求出最小值 (3 3)由(1 1)結合y= =f( (x) )的圖像，可求的m的范圍。試題解析：(1 1)f x3x26x 9 3 x 3 x 1，當x 1或x33 時，f x 0,所

29、以f(x) )在，1和3,單調遞增當-1-1x33 時，f x 0，所以f( (x)在1,3單調遞減。(3(3)由(1 1 )知f( (x) )在，1和3,單調遞增，在1,3單調遞減，f 17, f 325, ,由圖像可知(3 )婪證m fiLnjwInrarft竺一1竺十1才巴J只需證目一 U-,只需證k-,設1上2丙色+1nn= lnxx + 1mKInm-lnw9 9 【廣(1)求函數f x的單調區間(2)(3)求函數若函數f x與直線2,2上的最小值;y m有三個不同交點m的取值范圍。【答案】(1)1)f x的單調遞增區間是3,單調遞減區間是1,3(2)-20-20(3)(3)25 m 7(2(2 )由(1 1)知f(x) )在2, 1單調遞增，在f 20, f 220所以fxmin24學必求其心得，業必貴于專精（2）根據口的取值的不同情況分類討論址理，最后得&的范13是-丄；見薛析。試題解析:（1）因為fg二仏十匕所以/（刃在點（伏/何）赴的堆戔的斜率為加十 X所W/（x）在點（伏/（司）外的切線方程為y25 m7時，函數f x與直線y m有三個不同交點。(1(1 )求證:f xaxlnx，f1f x在點e, fe?lnx，f2X 1x2- 22ax,a R(2)