1、中考二次函數綜合壓軸題型歸類、常考點匯總1、兩點間的距離公式：AB = JXy -y )2 + ( -x )2 2ABA BX(x +x y +y 、2、中點坐標：線段AB的中點c的坐標為：I, a2 b, a2 b直線y=kx+b（|<。0）與丫=1<乂+6 （kwO）的位置關系： 111222（1）兩直線平行今k =k且6 wb （2）兩直線相交。k wk 121212（3）兩直線重合o k = k且b =b （4）兩直線垂直o kk =-1 12121 23、一元二次方程有整數根問題，解題步驟如下：用和參數的其他要求確定參數的取值范圍； 解方程，求出方程的根；（兩種形式：分式

2、、二次根式）分析求解：若是分式，分母是分子的因數；若是二次根式，被開方式是完全平方式。例：關于的一元二次方程x22（m + 1）x+m2=0有兩個整數根，m<5且m為整數，求m的值。4、二次函數與x軸的交點為整數點問題。（方法同上）例：若拋物線丫=02 +（3巾+ 1）乂+3與x軸交于兩個不同的整數點，且m為正整數，試確定 此拋物線的解析式。5、方程總有固定根問題，可以通過解方程的方法求出該固定根。舉例如下：已知關于x的方程mx2一3（m-1）x+2m-3=0（m為實數），求證：無論m為何值，方程總 有一個固定的根。解：當m = 0時，x = 1；（m-3）2>0,殳：當mwO時，

3、A=2m , 乂1,2常、x =1；綜上所述：無論m為何值，方程總有一個固定的根是1。6、函數過固定點問題，舉例如下:已知拋物線y= x2-mx + m-2 （m是常數），求證：不論m為何值，該拋物線總經過一個固定的點，并求出固定點的坐標。解：把原解析式變形為關于m的方程y - x2 + 2 = m （ - x）；y-x2 + 2 = 0 y = -1)，解得：7；1-x = 0 x = 1.拋物線總經過一個固定的點（1, -l）o（題目要求等價于：關于m的方程y-x2 + 2=m«-x）不論m為何值，方程恒成立）/ d = 0勺、結：大于xtf'j力在ax=。另尢雙用牛=節

4、=07、路徑最值問題（待定的點所在的直線就是對稱軸）（1）如圖，直線I、I ,點A在I上，分別在I、I上確定兩點M、N ,使得AM + MN之 12212和最小。（2）如圖，直線I、I相交，兩個固定點A、B,分別在I、I上確定兩點M、N ，使得 1212BM +MN + AN之和最小。（3）如圖，A、B是直線I同旁的兩個定點，線段a,在直線I上確定兩點E、F （£在尸的 左側），使得四邊形AEFB的周長最小。8、在平面直角坐標系中求面積的方法：直接用公式、割補法三角形的面積求解常用方法：如右圖，sAP4B=1/2 - PM Ax=l/2 - AN - Ay9、函數的交點問題：二次函數

5、（y=ax2+bx+c）與一次函數（y=kx+h）（1）解方程組y=ax2+bx+c y= kx+h可求出兩個圖象交點的坐標。(2)解方程組/ y="2+bx+c,即ax2+(bk)x+ch=0, y=kx+h通過可判斷兩個圖象的交點的個數有兩個交點A>0僅有一個交點<=> A=0沒有交點=A<010、方程法（1）設：設主動點的坐標或基本線段的長度（2）表示：用含同一未知數的式子表示其他相關的數量（3）列方程或關系式11、幾何分析法特別是構造“平行四邊形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等圖形時，利用幾何分析法能給解題帶來方便。幾何要

6、求幾何分析涉及公式應用圖形跟平行有關的圖形平移1 / 1 o k = k、k 二 一121212X -X12平行四邊形矩形梯形跟直角有關的圖形勾股定理逆定理利用相似、全等、平行、對頂角、互余、互補等AB =9 -y > + ( -x A Y ABABX直角三角形直角梯形矩形跟線段有關的圖形利用幾何中的全等、 中垂線的性質等。AB = w - y A + ( - x )2 ABABX等腰三角形全等等腓樣形跟角有關的圖形利用相似、全等、平行、對頂角、互余、互補等【例題精講】一基礎構圖：y=x2-2X-3 （以下幾種分類的函數解析式就是這個）和最小，差最大 在對稱軸上找一點P,使得PB+PC的

7、和最小，求出P點坐標在對稱軸上找一點P,使得PB-PC的差最大，求出P點坐標求面積最大 連接AC,在第四象限找一點P,使得AACP面積最大，求出P坐標討論直角三角連接AC,在對稱軸上找一點P,使得AACP為直角三角形,求出P坐標或者在拋物線上求點使ACP是以AC為直角邊的直角三角形.討論等腰三角連接AC,在對稱軸上找一點P,使得AACP為等腰三角形,求出P坐標討論平行四邊形1、點E在拋物線的對稱軸上，點F在拋物線上,且以B, A, F, E四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求點F的坐標二綜合題型例1(中考變式)如圖，拋物線與x軸交與A(1,O),B(-3, 0)兩點，頂點為D。交Y軸于C求該拋物

8、線的解析式與4ABC的面積。在拋物線第二象限圖象上是否存在一點M,使AMBC是以NBCM為直角的直角三角形，若存在, 求出點P的坐標。若沒有，請說明理由若E為拋物線B、C兩點間圖象上的一個動點(不與A、B重合)，過E作EF與X軸垂直，交BC于F,設E點橫坐標為的長度為L,求L關于X的函數關系式？關寫出X的取值范圍？當E點運動到什么位置時，線段EF的值最大，并求此時E點的坐標？在(5)的情況下直線BC與拋物線的對稱軸交于點H。當E點運動到什么位置時，以點E、F、H、 D為頂點的四邊形為平行四邊形？在（5）的情況下點E運動到什么位置時，使三角形BCE的面積最大?例2 考點：關于面積最值如圖，在平面

9、直角坐標系中，點A、C的坐標分別為（-1, 0）、（0, -，點B在x軸上.已知某 二次函數的圖象經過A、B、C三點，且它的對稱軸為直線x=l,點P為直線BC下方的二次函數圖 象上的一個動點（點P與B、C不重合），過點P作y軸的平行線交BC于點F.（1）求該二次函數的解析式；（2）若設點P的橫坐標為m,試用含m的代數式表示線段PF的長;（3）求APBC面積的最大值，并求此時點P的坐標.例3 考點：討論等腰如圖，已知拋物線y='x?+bx + c與y軸相交于C,與x軸相交于A、B,點A的坐標為（2, 0）,2點C的坐標為（0, 1）.（1）求拋物線的解析式；（2）點E是線段AC上一動點，

10、過點E作DE，x軸于點D,連結施，當DCE的面積最大時，求點D的坐標；（3）在直線BC上是否存在一點，使ACP為等腰三角形，若存在，求點P的坐標，若不存在，說明理由.例4考點：討論亙角三角(1)如圖，已知點A ( 1, 0)和點B (1, 2),在坐標軸上確定點P，使得ABP為直角三角形，則滿足這樣條件的點P共有().(A) 2 個 (B) 4 個(C)6 個(D) 7 個11(2)已知：如圖一次函數y='x+i的圖象與x軸交于點A,與y軸交于點B；二次函數y=x2+22bx+c的圖象與一次函數y=2x + l的圖象交于B、C兩點，與x軸交于D、E兩點且D點坐標為(1, 20)(1)求

11、二次函數的解析式；(2)求四邊形BDEC的面積S；(3)在x軸上是否存在點庭，使得PBC是以P為直角頂點的直角三角形？若存在，求出所有的點P,若不存在，請說明理由.例5考點：討論四邊形已知：如圖所示，關于x的拋物線丫=&乂2+乂+。(aWO)與x軸交于點A(-2, 0),點B (6, 0),與y軸交于點C.(1)求出此拋物線的解析式，并寫出頂點坐標；(2)在拋物線上有一點D,使四邊形ABDC為等腰梯形，寫出點D的坐標，并求出直線AD的解析式；(3)在(2)中的直線AD交拋物線的對稱軸于點M,拋物線上有一動點P, x軸上有一動點Q.是 否存在以A、M、P、Q為頂點的平行四邊形？如果存在，

12、請直接寫出點Q的坐標；如果不 存在，請說明理由.綜合練習：©平面直角坐標系xOy中，拋物線y = ax2-4ax+4a + c與x軸交于點A、點B,與y軸的正半軸交于點C,點A的坐標為(1, 0), OB=OC,拋物線的頂點為D。(1)求此拋物線的解析式；(2)若此拋物線的對稱軸上的點P滿足NAPB = NACB,求點P的坐標；(3) Q為線段BD上一點，點A關于NAQB的平分線的對稱點為A,若QA-QB=點 求點Q的 坐標和此時QAA，的面積。區在平面直角坐標系xOy中，已知二次函數y=ax2+2ax + c的圖像與y軸交于點C(0, 3,與x 軸交于A、B兩點，點B的坐標為(3,

13、0)。(1)求二次函數的解析式及頂點D的坐標；(2)點M是第二象限內拋物線上的一動點，若直線0M把四邊形ACDB分成面積為1 ： 2的兩部分，求出此時點M的坐標;(3)點P是第二象限內拋物線上的一動點，問：點P在何處時4CPB的面積最大？最大面積是多少？并求出此時點P的坐標。口圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y 二頂點為B ，2x2-2x與x軸負半軸交于點A,m且對稱軸與x軸交于點c。(1)求點B的坐標(用含m的代數式表示);(2) D為OB中點，直線AD交y軸于E,若E (0, 2),求拋物線的解析式；(3)在(2)的條件下，點M在直線OB上，且使得AAMC的周長最小，P在拋物線上，Q在

14、直線BC上，若以A、M、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標。已知關于x的方程(1-m)x2 + (4-m)x+3 = 0o(1)若方程有兩個不相等的實數根，求m的取值范圍；(2)若正整數m滿足82m>2,設二次函數y=(1 m)x2 + (4 m)x+3的圖象與x軸交于A、B兩點，將此圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象；請你結合這個新的圖象回答：當直線y=kx+3與此圖象恰好有三個公共點時， 求出k的值(只需要求出兩個滿足題意的k值即可)。 5如圖，拋物線y=ax?+2ax+c (aWO)與y軸交于點C (0, 4),與x軸交于點A (

15、- 4, 0)和B.(1)求該拋物線的解析式；(2)點Q是線段AB上的動點，過點Q作QEAC,交BC于點E,連接CQ.當4CEQ的面積最大時, 求點Q的坐標；(3)平行于x軸的動直線1與該拋物線交于點P,與直線AC交于點F,點D白姓標為(-2, 0).問 是否有直線1,使AODF是等腰三角形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由.三、中考二次函數代數型綜合題題型一、拋物線與x軸的兩個交點分別位于某定點的兩側例1.已知二次函數y=x?+(ml)x+m2的圖象與x軸相交于A (x , 0), B (xo, 0)兩點，且 X4x】Vx展(1)若且m為正整數，求該二次函數的表達式；(2)若x

16、】Vl, x2>l,求m的取值范圍；(3)是否存在實數m,使得過A、B兩點的圓與y軸相切于點C (0, 2),若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由；(4)若過點D (0, V)的直線與(1)中的二次函數圖象相交于M、N兩點，且黑 =g,求該直 2Din 3線的表達式.題型二、拋物線與X軸兩交點之間的距離問題 例2已知二次函數y=x2+mx+m-5,(1)求證：不論m取何值時，拋物線總與x軸有兩個交點；(2)求當m取何值時，拋物線與x軸兩交點之間的距離最短.題型三、拋物線方程的整數解問題例1.已知拋物線y=x2-2(m + 1)x+m2 = 0與X軸的兩個交點的橫坐標均為整數，且mV5

17、,則整數ID的值為例2.已知二次函數y=x?2mx+4m8.(1)當x<2時，函數值y隨x的增大而減小，求口的取值范圍；(2)以拋物線y=x22mx+4ni8的頂點A為一個頂點作該拋物線的內接正AAMN (M, N兩點在拋物線上)，請問：AAMN的面積是與m無關的定值嗎？若是，請求出這個定值;理由;(3)若拋物線y=x2 2mx+4in8與x軸交點的橫坐標均為整數,求整數口的值.題型四、拋物線與對稱，包括：點與點關于原點對稱、拋物線的對稱性、數形結合例1.已知拋物線y=x2+bx+C (其中b>o, CWO)與y軸的交點為A,點A關于拋物線對稱軸的對稱點為B(m,n),且AB=2.

18、(1)求m, b的值如果拋物線的頂點位于X軸的下方，且B0二回。求拋物線所對應的函數關系式（友情提醒:請畫圖思考）題型五、拋物線中韋達定理的廣泛應用（線段長、定點兩側、點點關于原點對稱、等等）例1.已知：二次函數y=x2 4x+m的圖象與x軸交于不同的兩點A （x , 0）、B （x , 0） （x 121<x ）,其頂點是點C,對稱軸與x軸的交于點D. 2（1）求實數m的取值范圍；（2）如果（X +1） （ X +1） =8,求二次函數的解析式； 12（3）把（2）中所得的二次函數的圖象沿y軸上下平移，如果平移后的函數圖象與x軸交于點A、 1B,頂點為點Cl,且 ABC是等邊三角形，求

19、平移后所得圖象的函數解析式. 11 1 1綜合提升1 .已知二次函數的圖象與X軸交于A, B兩點，與y軸交于點C （0, 4）,且|AB =2 圖象的 對稱軸為x = l.（1）求二次函數的表達式；（2）若二次函數的圖象都在直線y=x+m的下方，求口的取值范圍.2 .已知二次函數y=x2+mxm+2.（1）若該二次函數圖象與x軸的兩個交點A、B分別在原點的兩側，并且AB= 而 求口的值；（2）設該二次函數圖象與y軸的交點為C,二次函數圖象上存在關于原點對稱的兩點M、，迎內=27,求m的值.3 .已知關于x的一元二次方程x22(k+l)x+k2=0有兩個整數根，kV5且k為整數.(1)求k的值；

20、(2)當此方程有兩個非零的整數根時，將關于x的二次函數y=x22(k+l)x+k2的圖象沿x軸向左平移4個單位，求平移后的二次函數圖象的解析式；(3)根據直線丫=乂+13與(2)中的兩個函數圖象交點的總個數，求b的取值范圍.4 .已知二次函數的圖象經過點A (1, 0)和點B (2, 1),且與y軸交點的縱坐標為m.(1)若m為定值，求此二次函數的解析式；(2)若二次函數的圖象與x軸還有異于點A的另一個交點，求m的取值范圍；(3)若二次函數的圖象截直線y=x+l所得線段的長為2譚，求m的值.四、中考二次函數定值問題1.如圖，已知二次函數L： y=x2-4x+3與x軸交于A. B兩點(點A在點B左邊)，與y軸交于點C.(1)寫出二次函數L：的開口方向、對稱軸和頂點坐標；(2)研究二次函數L.： y=kx2-4kx+3k (kW0).寫出二次函數L.與二次函數L有關圖象的兩條相同的性質；4A若直線廠8k與拋物線L.交于E、F兩點，問線段EF的長度是否發生變化？如果不會，請求出EF 乙的長度；如果會，請說明理由.2 .如圖，已知拋物線與坐標軸分別交于A(2, 0)、B(2