1、彈性力學1題目請分別用極坐標系下的半逆解法和有限元方法解答圖中平面薄板在周邊剪切荷載作用下的應力集中問題；并比較應力分布及應力集中系數的解析解和數值解2彈性力學解答【解】求出兩個主應力，即口L(Jj+OvICfx-Oji,-±J(-十Tw二2V2應力分量口原來的問題變為矩形薄板在左右兩邊受均布拉力q而在上下兩邊受均布壓力q,如圖所示:=qu產-qt學=0代入坐標變換式，得到邊界上的邊界條件(t)p=-sin2(p(a)(b)（c）（d）Op為p的某一函數乘以COS即而【學為P的Op在孔邊，邊界條件是（0京一=0（0pcjp=F=0由邊界條件式（a）、（b）、（c）、（d）可見，用半逆

2、解法時，可假設另一函數乘以而=dpP那因此可假設將(e)式代入相容方程得cos巾=/(p)cos2(p(e)d4p)Jd力p)9d7(p)9d<(p)十一十dp，pdpp*dp1p1dpdp°刪去因子cos2fp以后，求解這個常微分方程，得，3D/(p)=Ap4+BpJ+C+-P，其中A,B,C,D為待定常數，代入式(e),得應力函數4aD甲-J.-'-(f)p.由應力函數得應力分量的表達式4C6D/=-cos2cp(2B+-+),p-P6D5=cos2tp(12Ap1+2B+),P32C6DTpifsm2(p(6Ap+2B)oPP將上述式代入應力邊界條件(g)(h)(

3、i)(j)42,口nn4C60由式(a)得28+1+=-q.KRa/口“2C60由式(b)付n.-.；)-及於4,口rn4c6D八.由式(c)得_j:一一一口，fr由式(d)得.，？一二B二2一”.24trrc聯立求解式(g)(j),并命*0,得R,/=0,E=-C=qr12將各式系數值代入應力分量的表達式得(22r尸0p=geos2中(1r)ip-P4r*5=-qcos2(p(l+3)，PTn?=Tw=-gsin卸。-)(1+3IPP沿著孔邊p7,環向正應力是d,=-4?cos2(po它的幾個重要數值如下表所示：表i不同角度處的應力值0。30。45。60。90。沿著y軸，（p-90，環向正應

4、力是0卬=q（1+j-P它的幾個重要數值如下表所示。表2距孔處不同距徑處的應力值Pr2r4rSr5L畋1.037L叫可以看出應力在孔邊達到均勻拉力的4倍，但隨著遠離孔邊而急劇趨近于q。3基于PDE求解結果有限元法是一種將連續體離散為有限大小單元體的集合，用以求解連續體力學問題的數值方法，有限元法具有求解精度高、通用性強等特點。3.1 數值分析模型計算模型為長寬均為2mm中間開一半徑為0.2mm的圓孔的薄板，薄板的楊氏模量為1*103Mpa,泊松比為0.3。1.建立如下的幾何模型，拉壓應力均為1。2）劃分網格q3）求解結果將理論解與數值解進行對比從上圖可以看出，雖然理論解與數值解之間存在一定的誤

5、差，主要是由于PDE建模時的諸多因素如網格密度、約束條件簡化等引起的，但總的來說沿孔邊的軸向正應力的理論解和PDE計算的數值解擬合的很3.2其它計算模型1.改變計算模型，薄板的尺寸不變，改變中心圓孔半徑，分別為0.5mm和0.7mm,材料參數不變。1）孔徑為0.5的計算模型2）孔徑為0.7的計算模型2.理論解與數值解對比X方向應力柒中屎散從上圖可以看出，在改變小孔半徑之后，理論解與數值解存在明顯差距，主要是因為孔口尺寸與薄板尺寸接近，彈性力學小孔應力計算方法已不適合該情況。同時對比pde計算結果可以發現，小孔的尺寸的大小顯著影響孔口應力集中系數，直徑越大，應力集中越明顯。4誤差分析產生誤差的原

6、因有：1. 計算原理產生的誤差有限元計算本身就是一種簡化近似計算，在計算過程中由于一些條件的簡化，以及一些假設，使得計算結果與理論值有差別。2. 模型的簡化產生的誤差本例實際是模擬一種小孔處應力集中現象，而在建模時，為了能夠清楚看到洞口邊應力應變變化，所以小孔選取較大，而整個模型本該延伸無限遠處，所以這些造成模型簡化誤差。3. 網格劃分誤差有限元軟件計算的重要步驟就是劃分網格，一般而言網格劃分越密結果精度越高，但實際中考慮到經濟問題，在一些我們不需要過多信息的地方我們選取粗網格，這也在一定程度上產生誤差。4. 結果選取誤差由于關鍵部位網格劃分較密，在選取結果時，只能選取在較近處的值，在比較積分點處的值由于網格差異積分點也會有一定的出入。6結論本次作業通過對小孔處應力集中現象的彈性力學有限元不同方法的模擬計算能得出如下結論：1 .彈性力學通過幾何方程，物理方程，力學平衡方程和邊界條件能夠很好地求解問題的理論解。2 .彈塑性力學中，將帶圓孔平板受雙向對稱拉壓力的問題，近似為平面應力問題。通過彈性力學分析得到，孔邊切向應力be在0=±90°時最大,為4q。當0=±90°時，e隨r