1、2.7 一維定態問題l在繼續闡述量子力學基本原理之前，先用在繼續闡述量子力學基本原理之前，先用 Schrodinger Schrodinger 方程來處理方程來處理一類簡單的問題一類簡單的問題一維定態問題。其好處有四：一維定態問題。其好處有四： l（1 1）有助于具體理解已學過的基本原理；）有助于具體理解已學過的基本原理； l（2 2）有助于進一步闡明其他基本原理；）有助于進一步闡明其他基本原理； l（4 4）一維問題還是處理各種復雜問題的基礎。）一維問題還是處理各種復雜問題的基礎。1 1 一維無限深勢阱一維無限深勢阱 2 2 線性諧振子線性諧振子 3 3 一維勢散射問題一維勢散射問題l（3

2、3）處理一維問題，數學簡單，從而能對結果進行細致討論，量）處理一維問題，數學簡單，從而能對結果進行細致討論，量子體系的許多特征都可以在這些一維問題中展現出來；子體系的許多特征都可以在這些一維問題中展現出來； 1 1 一維無限深勢阱一維無限深勢阱l（一）一維運動（一）一維運動 l（二）一維無限深勢阱（二）一維無限深勢阱 l（三）宇稱（三）宇稱 l（四）討論（四）討論（一）（一） 一維運動一維運動所謂一維運所謂一維運動就是指在動就是指在某一方向上某一方向上的運動。的運動。此方程是一個二階偏微分方程。若勢可寫成：此方程是一個二階偏微分方程。若勢可寫成： V(x,y,z) = VV(x,y,z) =

3、V1 1(x) + V(x) + V2 2(y) + V(y) + V3 3(z) (z) 形式，則形式，則 S-S-方程可在直角坐標系中分離變量。方程可在直角坐標系中分離變量。令令 (x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z) (x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z) E = E E = Ex x + E + Ey y + E + Ez z于是于是S-S-方程化為三個常微分方程：方程化為三個常微分方程：當粒子在勢場當粒子在勢場 V(x,y,z) 中運動時，其中運動時，其 Schrodinger 方程為：方程為：),(),(),(222zyxEzyxzyxVH )()()(2)()

4、()(2)()()(2322222221222zZEzZzVdzdyYEyYyVdydxXExXxVdxdzyx ),(),(),(222zyxEzyxzyxV),()(2)(2)(2322222221222zyxEzVZdzdXYyVYdydXZxVXdxdYZ ),(),()()()()()()(23212222222zyxEzyxzVyVxVzZyYxXdzddyddxd EzVZdzdZyVYdydYxVXdxdX )(21)(21)(21322222221222 )()()(),(321zVyVxVzyxV 設設：)()()(),zZyYxXzyx （等等式式兩兩邊邊除除以以 )()

5、()(2)()()(2)()()(2322222221222zZEzZzVdzdyYEyYyVdydxXExXxVdxdzyx 其中其中zyxEEEE )()()(),(zZyYxXzyx 令令：（二）一維無限深勢阱（二）一維無限深勢阱l求解求解 S S 方程方程 分四步：分四步： l（1 1）列出各勢域的一維）列出各勢域的一維S S方程方程 l（2 2）解方程）解方程 l（3 3）使用波函數標準條件定解）使用波函數標準條件定解 l（4 4）定歸一化系數）定歸一化系數 axaxxV|, 0)(-a 0 aV(x)IIIIII（1 1）列出各勢域的）列出各勢域的 S S 方程方程方程可方程可 簡

6、化為：簡化為： 000222222222IIIIIIIIIIIIdxddxddxd 0)()(2)()()()()(2222222 xExVxdxdxExxVxdxd -a 0 aV(x)IIIIIIaxxEVxdxdaxaxExdxdaxxEVxdxdIIIIIIIIIIII 0)()(2)(0)(2)(0)()(2)(222222222 勢勢V(x)V(x)分為三個區域，分為三個區域， 用用 I I 、II II 和和 III III 表示，表示， 其上的波函數分別為其上的波函數分別為 I I(x),(x),IIII(x) (x) 和和 IIIIII (x) (x)。則方程為：則方程為：

7、2 2 xxIIIIIxxIeBeBxAeCeC 2121)sin( 000222222222IIIIIIIIIIIIdxddxddxd （3 3）使用波函數標準條件）使用波函數標準條件xIeC 1 從物理考慮，粒子不能透過無窮高的勢壁。從物理考慮，粒子不能透過無窮高的勢壁。 根據波函數的統計解釋，要求在阱壁上和阱壁根據波函數的統計解釋，要求在阱壁上和阱壁 外波函數為零，特別是外波函數為零，特別是 (-a) = (a) = 0(-a) = (a) = 0。 .0),sin(,0IIIIIIxA 則解為：則解為：)(222EV 00lim)(1 IaIeCa 所所以以0 III 同同理理：-a

8、0 aV(x)IIIIII 1 1。單值，成立；。單值，成立； 2 2。有限：當。有限：當x x - - ， 有限條件要求有限條件要求 C C2 2=0=0。使用標準條件使用標準條件 3 3。連續：。連續： 2 2）波函數導數連續：）波函數導數連續： l在邊界在邊界 x = -ax = -a，勢有無窮跳躍，波函數微商不連續。這是，勢有無窮跳躍，波函數微商不連續。這是因為：因為： l若若I I(-a)(-a) = = IIII(-a)(-a) ， 則有，則有，0 = A cos(-a + ) 0 = A cos(-a + ) l與上面波函數連續條件導出的結果與上面波函數連續條件導出的結果 A s

9、in(-a + )= 0 A sin(-a + )= 0 矛盾，二者不能同時成立。所以波函數導數在有無窮跳躍處不連矛盾，二者不能同時成立。所以波函數導數在有無窮跳躍處不連續。續。, 0)sin()()( aAaaIII1 1）波函數連續：）波函數連續：.0),sin(,0IIIIIIxA. 0)sin()()( aAaaIIIII-a 0 aV(x)IIIIII0)sin(0)sin(aAaA )2(0sin)cos(cos)sin()1(0sin)cos(cos)sin( aAaAaAaA(1)+(2)3(0sin)cos( a)4(0cos)sin( a(2)-(1) 0cos0sina

10、0sin0cosa 兩種情況：兩種情況：1cos00sin. 則則I由（由（4 4）式）式0sin a ),2,1,0( nanna E222 因因nEananE 22222222222 所以所以xanAxAIIn sinsin 22222 anEn xanAIIn sin ),2,1,0( n討論討論 00sin00000 xAEnII ，時：時：當當xakAxakAknIIk sinsin 時：時：當當狀態不存在狀態不存在描寫同一狀態描寫同一狀態所以所以 n n 只取正整數，即只取正整數，即),2,1( n于是：于是： ,2,1sin0nxanAIInIIIIn xanA22sin 或或2

11、2228)2(anEn 于是波于是波函數：函數： xanAxanAxAxAIInIIIIn 212coscoscos)2sin(0211sin20cos. 則則II由（由（3 3）式）式0cos a ),2,1,0()21()21( nanna 222222228)12()21(22ananEn 所以所以類似類似 I I 中關于中關于 n = n = m m 的討論可知：的討論可知：),2,1 ,0( n 0sin0cosa )3(0sin)cos( a 奇奇數數。的的偶偶數數mxamAmxamAamEIIIIIIIIIIIImm2cos002sin082222 綜合綜合 I I 、II II

12、 結果，最后得：結果，最后得：對應對應 m = 2 nm = 2 n對應對應 m = 2n+1m = 2n+1能量最低的態稱為基態，其上為第一激發態、第二激發態依次類推。能量最低的態稱為基態，其上為第一激發態、第二激發態依次類推。由此可見，對于一維無限深方勢阱，粒子束縛于有限空間范由此可見，對于一維無限深方勢阱，粒子束縛于有限空間范圍，在無限遠處，圍，在無限遠處， = 0 = 0 。這樣的狀態，稱為束縛態。一維有限運。這樣的狀態，稱為束縛態。一維有限運動能量本征值是分立能級，組成分立譜。動能量本征值是分立能級，組成分立譜。（4 4）由歸一化條件定系數）由歸一化條件定系數 A Adxdxdxdx

13、IIIaIImaaIam2222| dxIImaa2| oddmxdxamAevenmxdxamAaaaa12cos|12sin|2222 （取取實實數數）得得：aAaA11|2 小結小結 由無窮深方勢阱問題的求解可以看由無窮深方勢阱問題的求解可以看 出，解出，解S S方程的一般步驟如下：方程的一般步驟如下：l一、列出各勢域上的一、列出各勢域上的S S方程；方程； l二、求解二、求解S S方程；方程； l三、利用波函數的標準條件（單值、有限、連續）定未知數和三、利用波函數的標準條件（單值、有限、連續）定未知數和能量本征值；能量本征值； l四、由歸一化條件定出最后一個待定系數（歸一化系數）。四、

14、由歸一化條件定出最后一個待定系數（歸一化系數）。（三）宇稱（三）宇稱),(),(trtrrr （1 1）空間反射：空間矢量反向的操作。）空間反射：空間矢量反向的操作。（2 2）此時如果有：）此時如果有： ),(),(trtr 稱波函數具有正宇稱稱波函數具有正宇稱（或偶宇稱或偶宇稱）；),(),(trtr 稱波函數具有負宇稱稱波函數具有負宇稱（或奇宇稱或奇宇稱）；),(),(trtr （3 3）如果在空間反射下，）如果在空間反射下，),(),(trtr 則波函數沒有確定的宇稱。則波函數沒有確定的宇稱。（四）討論（四）討論一維無限深一維無限深 勢阱中粒子勢阱中粒子 的狀態的狀態,3,2,18.|,

15、2cos1;|,2sin1;|0222 nanEaxoddnxanaaxevennxanaaxnn 其其能能量量本本征征值值為為：（2）n = 0 , E = 0, = 0，態不存在，無意義。，態不存在，無意義。 而而n = k, k=1,2,. xakAxakAxakAxakAknkn2cos2cos2sin2sin 可見，可見，n n取負整數與正整數描寫同一狀態。取負整數與正整數描寫同一狀態。（1 1）n = 1, n = 1, 基態，基態， 與經典最低能量為零不同，與經典最低能量為零不同， 這是微觀粒子波動性的表這是微觀粒子波動性的表 現，因為現，因為“靜止的波靜止的波”是沒是沒 有意義的。有意義的。aEn 822 （4 4）n n* *(x) = (x) = n n(x) (x) 即波函數是實函數。即波函數是實函數。 .|,2cos1;|,2sin1;|0)