1、第_講 巧解余數與同余問題 第一節 余數方法和技巧：（1） 被除數=商×除數+余數。（2） 借助約數和倍數的知識。 上面兩個性質是解題的關鍵。例1：一個兩位數除310的余數是37，求這樣的兩位數。做一做1：237除以一個兩位數所得的余數是6，問：這樣的兩位數是多少？例2:一個兩位數除以一個一位數，商仍是兩位數，余數是8。那么，被除數、除數、商及余數之和是多少？做一做2：兩數相除，商是498，余數是3。那么，被除數、除數、商及余數之和最小是多少？例3:兩個數相除，商是22，余數是8，被除數、除數、商、余數之和是866。求這兩個數。做一做3：兩數相除，商4余8，被除數、除數、商、余數之和

2、等于415。問：被除數是多少？例4:伸出你的左手，從大拇指開始按右圖所示的那樣數數字：1，2,3，問：數到2003時，你數在哪個手指上？做一做4：將全體非零自然數按下列方式排列，問：數1000排在哪個字母的下面？A B C D E F G _1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 例5:把 化為循環小數，問：小數點后1999個數字是幾？這1999個數字的總和是幾？做一做5：問： 化成小數后，小數點的右邊第1991位上的數字

3、是多少？這1991個數字的和是多少？例6:某數除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么這個數的最小值能是多少？做一做6：一個自然數除以3余2，除以5余4，除以7余5。求這個自然數能取得的最小值。例7:有一個自然數,用它分別去除63,90,130都有余數,三個余數的和為25,那么這三個余數中最小的數是多少?鞏固練習：1、 填空：（1） 順次寫出除以4余2，除以5余3的三個數_。（2） 被2,3,5除都余1，且不等于1的最小整數是_。（3） 有一隊民兵在操場上列隊，只知道民兵人數在90至110之間，排成三列無余，排成五列不足2人，排成七列不足4人，則共有民兵_人。（4） 五（1）班同學上

4、體育課，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6行多5人，那么體育課的同學最少有_名。（5） 一個教練數田徑隊的學生，每4個一數，最后剩下2人；每5個一數，最后剩下1人。田徑隊女生比男生多，女生有15人，則男生有_人。（6） 某會議有代表不到200人，分住房時，每5人一間多3人；吃飯時，每9人一桌少一人；開小組會時，每7人一組多6人，那么到會的代表有_人。（7） 一個自然數除以19余9，除以23余7，那么這個自然數最小是_。（8） 被4除余1，被5除余2，被6除余3的最小自然數是_。2、1100中的哪個自然數被3和5除余1，且能被7整除？3、一個最小自然數既能被3整除又能被5整除

5、，同時它被7除的余數是4。試求這樣的自然數中的最小數。4、小剛在一次除法計算時，把被除數171錯寫成117，結果商少了3而余數相同。問：除數是多少？5、一個自然數被5,6,7除時余數都是1，且在10000以內，問：這樣的數共有多少個？6、除107后，余數為2的兩位數有哪些？7、將1234567891011121314一直寫到2005個數碼，這個2005位數除以9的余數是多少？8、有一串數字1,2,4,7,11,16,22,29，這串數的組成規律是第2個數比第1個數多1，第3個數比第2個數多2，第4個數比第3個數多3，以此類推。那么這串數左起第1992個數除以5的余數是多少？第_講 巧解余數與同

6、余問題 第二節 同余方法和技巧：性質1：如果整數a,b對于模n同余，那么它們的差（a-b）或(b-a)一定能被n整除。性質2：若ab(mod n),cd(mod n),則（a+c）(b+d)(mod n)。性質3：若ab(mod n),cd（mod n），則a×cb×d(mod n)。性質4：若ab(mod n),m為大于1的自然數，則amdm(mod n)。例1：乘積17×354×409×672除以13的余數是多少？做一做1：求723588+5770和723588×5770除以11的余數。例2:73，216,227被某個數b除的余數

7、相同，那么，108被這個數b除的余數是多少？做一做2：有一個大于1的整數，它除967,1000,2001得到相同的余數，那么這個整數是多少？例3：有一列數，第一個數是3，第二個數是10，從第三個數開始，每個數恰好是它前兩個數的和。問：這列數的第1999個數被3除所得的余數是多少？做一做3：有一串數1,1,2,3,5,8，從第三個數起，每個數都是它前兩個數的和。問：在這串數的前1999個數中，有多少個是5的倍數？例4：今天是星期二，問：再過991999天是星期幾？做一做4：今天是星期五，問：再過365364天是星期幾？例5:6張卡片分別標上1193,1258,1842,1866,1912,249

8、4六個數。甲取3張，乙取2張，丙取1張，結果發現甲手中卡片上的數之和是乙手中卡片上的數之和的2倍，問：丙手中卡片上的數是多少？做一做5:8個盒子，各盒內分別裝有9,7,24,28,30,31，33,44塊奶糖。甲先取走了一盒，其余各盒被乙、丙、丁三人取走。已知乙、丙取到的糖的塊數相同，且為丁的2倍，問：甲取走盒子中有多少塊奶糖？例6：求33335555+55553333被7除的余數。做一做6：求1999323+3231999被7除的余數。例7:12+22+32+20012+20022除以7的余數是多少？鞏固練習：1、 求乘積34×37×41×43除以13所得的余數。2、21994被7除余幾？3、今天是星期五，再過365364天是星期幾？4、求66666除以7所得的余數。5、19971994÷7的余數是多少？6、有一列數1,2,4,7,11,16,22,29，這列數的組成規律是第2個數比第一個數多1，第3個數比第2個數多2，第4個數比第3個數多3，以此類推。那么這列數左起第1999個數