1、函數的應用函數的應用第三章第三章3.2函數模型及其應用函數模型及其應用第三章第三章3.2.1幾類不同增長的函數模型幾類不同增長的函數模型優優 效效 預預 習習1對數函數ylogax，(a0，a1)當a1時，增區間為_，當0a1時減區間為_ 2 函 數 y ax( a 0 ， a 1 ) ， 當 a 1 時 增 區 間 為_ ，當0a1時減區間為_3函數ylogax與yax(a0，a1)的圖象關于_對稱4yx(R)，當0時函數在(0，)上為_函數，當0時，函數在(0，)上為_函數知識銜接知識銜接(0，) (0，) (，) (，)yx增減5.某地的水電資源豐富，并且得到了電費y(元)與用電量x(度

2、)之間的函數關系如右圖所示：則月用電量為100度時，應交電費_元601四種函數模型的性質自主預習自主預習函數性質yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)ykxb(k0)在(0，)上的增減性_函數_函數_函數_函數增長的速度 越來越_越來越_相對較快不變圖象的變化越來越陡越來越平隨n值而不同直線上升增增增增快慢2.三種增長函數模型的比較(1)指數函數和冪函數一般地，對于指數函數yax(a1)和冪函數yxn(n0)，通過探索可以發現，在區間(0，)上，無論n比a大多少，盡管在x的一定變化范圍內，ax會小于xn，但由于ax的增長_于xn的增長，因此總存在一個x0，當xx0時，就會有ax_xn

3、.快(2)對數函數和冪函數對于對數函數ylogax(a1)和冪函數yxn(n0)，在區間(0，)上，隨著x的增大，logax增長得越來越慢，圖象就像是漸漸地與x軸平行一樣，盡管在x的一定變化范圍內，logax可能會大于xn，但由于logax的增長_于xn的增長，因此總存在一個x0，當xx0時，就會有logax_xn.慢(3)指數函數、對數函數和冪函數在區間(0，)上，盡管函數yax(a1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是_函數，但它們增長的速度不同，而且不在同一個“檔次”上，隨著x的增大，yax(a1)的增長速度越來越_，會超過并遠遠大于yxn(n0)的增長速度，而ylogax(a1

4、)的增長速度則會越來越慢，因此總存在一個x0，當xx0時，就會有_xn_.增快logaxax1專家預測，在我國大西北某地區荒漠化土地面積每年平均比上年增長10.4%，經過x年可能增長到原來的y倍，則函數yf(x)的圖象大致為()答案D解析由題意可知y(110.4%)x.預習自測預習自測答案C解析(排除法)當x1時，否定B項；當x2時，否定D，當x3時，否定A項；故選C.3下列函數增長的速度最快的是()Ay3xBylog3xCyx3Dy3x答案A4當x4時，a4x，blog4x，cx4，則有()AabcBbacCcabDbca答案D高高 效效 課課 堂堂四個變量y1，y2，y3，y4隨變量x變化

5、的數據如下表：關于x呈指數函數變化的變量是_考查函數模型的增長差異考查函數模型的增長差異互動探究互動探究x151015202530y1226101226401626901y22321 02432 7681.051063.361071.07109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907探究1.從表格觀察函數值y1，y2，y3，y4的增加值，哪個變量的增加值最大，則該變量關于x呈指數函數變化解析以爆炸式增長的變量呈指數函數變化從表格中可以看出，四個變量y1，y2，y3，y4均是從2開始變化，變量y1，y2，y3，y4都是越來越大，但是增長速率

6、不同，其中變量y2的增長速度最快，畫出它們的圖象(圖略)，可知變量y2關于x呈指數函數變化答案y2規律總結解決本題的關鍵是如何確定變量間的關系是指數函數關系，不能僅僅根據自變量較大時對應的函數值，還要看函數值的變化趨勢下面是f(x)隨x的增大而得到的函數值表： x2xx22x7log2x12190244111389131.5854161615253225172.32266436192.585712849212.807825664233951281253.170101 024100273.322試問：(1)隨著x的增大，各函數的函數值有什么共同的變化趨勢？(2)各函數增長速度快慢有什么不同？解析

7、(1)隨著x的增大，各函數的函數值都在增大(2)由圖表可以看出：各函數增長速度快慢不同，其中f(x)2x的增長速度最快，而且越來越快；其次為f(x)x2，增長的幅度也在變大；而f(x)2x7增長速度不變；增長速度最慢的是f(x)log2x，而且增長的幅度越來越小規律總結對于三種函數增長的幾點說明：(1)對于冪函數yxn，當x0，n0時，yxn才是增函數，當n越大時，增長速度越快(2)指數函數與對數函數的遞增前提是a1，又它們的圖象關于yx對稱，從而可知，當a越大，yax增長越快；當a越小，ylogax增長越快，一般來說，axlogax(x0，a1)(3)指數函數與冪函數，當x0，n0，a1時，

8、可能開始時有xnax，但因指數函數是爆炸型函數，當x大于某一個確定值x0后，就一定有axxn.函數f(x)2x和g(x)x3的圖象如下圖所示設兩函數的圖象交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(10)，1x12,9x210，x16x2.從圖象上可以看出，當x1xx2時，f(x)g(x)，f(6)x2時，f(x)g(x)，f(2 015)g(2 015)又g(2 015)g(6)，f(2 015)g(2 015)g(6)f(6)函數f(x)lgx，g(x)0.3x1的圖象如右圖所示(1)試根據函數的增長差異指出曲線C1，C2分別對應的函數；(2)比

9、較兩函數的增長差異(以兩圖象交點為分界點，對f(x)，g(x)的大小進行比較)解析(1)C1對應的函數為g(x)0.3x1，C2對應的函數為f(x)lgx.(2)當xf(x)；當x1xg(x)；當xx2時，g(x)f(x)某皮鞋廠今年1月份開始投產，并且前4個月的產量分別為1萬雙，1.2萬雙，1.3萬雙，1.37萬雙由于產品質量好、款式新穎，前幾個月的銷售情況良好為了推銷員在推銷產品時，接受訂單不至于過多或過少，需要估計以后幾個月的產量廠里分析，產量的增加是由于工人生產熟練和理順了生產流程廠里也暫時不準備增加設備和工人假如你是廠長，就月份x，產量為y給出三種函數模型：yaxb，yax2bxc，

10、yabxc，你將利用哪一種模型去估算以后幾個月的產量？函數模型的選擇函數模型的選擇探索延拓探索延拓探究1.本題是通過數據驗證，確定系數，然后分析確定函數變化情況，最終找出與實際最接近的函數模型比較上述四個模擬函數的優劣，既要考慮到誤差最小，又要考慮生產的實際，如：增產的趨勢和可能性經過篩選，以指數函數模擬為最佳，一是誤差小，二是由于廠房新建，隨著工人技術和管理效益逐漸提高，一段時間內產量會明顯上升，但經過一段時間之后，如果不更新設備，產量必然趨于穩定，而指數函數模型恰好反映了這種趨勢因此選用指數函數y0.80.5x1.4模擬比較接近客觀實際規律總結本題是對數據進行函數模擬，選擇最符合客觀實際的

11、模擬函數一般思路為：先畫出散點圖，然后作出模擬函數的圖象，選擇適當的幾種函數模型后，再加以驗證函數模型的建立是最大的難點，另外運算量較大，須借助計算器或計算機進行數據處理，函數模型的可靠性與合理性既需要數據檢驗，又必須符合實際某私立學校為了實現60萬元的生源利潤目標，準備制定一個激勵招生人員的獎勵方案：在生源利潤達到5萬元時，按生源利潤進行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨生源利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎金總數不超過3萬元，同時獎金不超過利潤的20%.現有三個獎勵模型：y0.2x，ylog5x，y1.02x，其中哪個模型符合該校的要求？規律總結不同的函數增長模型能刻畫現實世界中不同的變化規律：(1)線性函數增長模型適合于描述增長速度不變的變化規律；(2)指數函數增長模型適合于描述增長速度急劇的變化規律；(3)對數函數增長模型適合于描述增長速度平緩的變化規律；(4)冪函數增長模型適合于描述增長速度一般的變化規律因此，需抓住題中蘊含的科學的信息，恰當、準確地建立相應變化規律的函數模型來解決實際問題當當 堂堂 檢檢 測測1下列函數中，隨x的增大，增長速度最快的是()Ay2xBy1 0000 xCylog3xDyx3答案A答案D解析代入檢驗，排除A、B、C，故選D.4四個變量y1，y2，y3，y4隨變量x變化的數據如下表：關于x呈指