1、第四章第四章 力學的變分原理力學的變分原理1.變分法簡介變分法簡介2.哈密頓原理哈密頓原理3.力學原理力學原理 . 方程之間的聯系（了解）方程之間的聯系（了解）4.哈密頓原理應用舉例哈密頓原理應用舉例5.高斯最小拘束原理高斯最小拘束原理（了解）（了解）6.拉格朗日最小作用量原理拉格朗日最小作用量原理（了解）（了解）力學原理：力學原理： 不需經過證明，在實踐中靠歸納得出的力學的最基不需經過證明，在實踐中靠歸納得出的力學的最基本最普遍的規律。本最普遍的規律。力學原理分為兩大類：力學原理分為兩大類： 不變分原理和變分原理；不變分原理和變分原理； 每一類可分為兩種形式：微分形式、積分形式。每一類可分為

2、兩種形式：微分形式、積分形式。不變分原理：不變分原理： 反映力學系統真實運動的普遍規律反映力學系統真實運動的普遍規律，如果原理本身，如果原理本身只表明只表明某一瞬時某一瞬時狀態系統的運動規律，稱為狀態系統的運動規律，稱為微分原理微分原理，如達朗伯原理就是不變分微分原理；如果原理是說明一如達朗伯原理就是不變分微分原理；如果原理是說明一有限時間有限時間過程系統的運動規律，則稱為過程系統的運動規律，則稱為積分原理積分原理，如機，如機械能守恒原理即不變分的積分原理。械能守恒原理即不變分的積分原理。變分原理：變分原理： 提供一種準則，根據這種準則，可以把力學系統的提供一種準則，根據這種準則，可以把力學系

3、統的真實運動與相同條件下約束所允許的一切可能運動區別真實運動與相同條件下約束所允許的一切可能運動區別開來，從而確定系統的真實運動。開來，從而確定系統的真實運動。如果準則是對如果準則是對某一瞬時某一瞬時狀態狀態而言的，則該原理稱為而言的，則該原理稱為微分微分變分原理變分原理 。虛位移原理就是微分變分原理，它提供了區。虛位移原理就是微分變分原理，它提供了區別非自由質點系的真實平衡位置和約束所允許的鄰近的別非自由質點系的真實平衡位置和約束所允許的鄰近的可能平衡位置的準則，動力學普遍方程和本章的高斯最可能平衡位置的準則，動力學普遍方程和本章的高斯最小拘束原理都是微分變分原理。小拘束原理都是微分變分原理

4、。 如果準則是對一如果準則是對一有限時間有限時間過程而言的，則該原理稱為過程而言的，則該原理稱為積積分變分原理分變分原理，本章的哈密頓原理和拉格朗日最小作用量，本章的哈密頓原理和拉格朗日最小作用量原理即積分原理。原理即積分原理。力學的變分原理是變分法在力學中的應用。力學的變分原理是變分法在力學中的應用。 1. 變分法簡介變分法簡介1. 泛函的概念泛函的概念（1）函數的概念）函數的概念 設設 x 和和 y 是兩個變量，是兩個變量，D是一個給定的數集。如是一個給定的數集。如果對果對D中的每個數中的每個數 x ，變量，變量 y 按確定關系總有一個確定按確定關系總有一個確定的數值與之對應，則稱的數值與

5、之對應，則稱 y 是是 x 的函數，記作的函數，記作 y = f (x)，x 稱做自變量，稱做自變量，y 稱做因變量。稱做因變量。 對于多元函數，記做對于多元函數，記做 y =f (x1，x2，xn）（2）泛函的概念）泛函的概念 給定一個由任何對象組成的集合給定一個由任何對象組成的集合D，這里所說的任，這里所說的任何對象可以是數、數組、點、線、面，也可以是函數或何對象可以是數、數組、點、線、面，也可以是函數或某系統的狀態等。設集合某系統的狀態等。設集合D中的元素用中的元素用 x 表示，如果對表示，如果對于集合中的每一個元素于集合中的每一個元素 x 對應一個對應一個數數 y，則稱，則稱 y 是是

6、x的泛的泛函，記為函，記為 y=F (x).有時泛函可以看做是函數，函數也可看做是泛數。有時泛函可以看做是函數，函數也可看做是泛數。 譬如，如果集合譬如，如果集合D中的元素是數中的元素是數 x ，則泛函，則泛函y=F (x)可可視為函數視為函數 y=f (x) ； 如果集合如果集合D中的元素是數組（中的元素是數組（x1, x2, xn），則泛函），則泛函y=F (x) 可視為函數可視為函數 y=f (x1, x2xn)。函數和泛函畢竟是兩個不同的概念：函數和泛函畢竟是兩個不同的概念： 函數表示的是數與數的一一對應關系，而泛函表示函數表示的是數與數的一一對應關系，而泛函表示的是函數與數一一對應的

7、關系，函數概念可作為泛函概的是函數與數一一對應的關系，函數概念可作為泛函概念的特殊情況。念的特殊情況。2. 變分法簡介變分法簡介（1）變分法的研究對象）變分法的研究對象 一個可微函數一個可微函數 y= f(x) 在某點在某點 x 具有極值的條件是它具有極值的條件是它的導數等于零，即的導數等于零，即 或說函數的微分等于或說函數的微分等于零，零， 。0)( xfy0)( dxxfdy 實踐中還常常遇到需要求出泛函的極大值和極小值實踐中還常常遇到需要求出泛函的極大值和極小值的問題，變分法就是研究求泛函的極值的方法。的問題，變分法就是研究求泛函的極值的方法。凡有關求凡有關求泛函的極值問題都稱做變分問題

8、。泛函的極值問題都稱做變分問題。例如：著名的例如：著名的最速降線問題最速降線問題就是一個變分問題。在圖所就是一個變分問題。在圖所示的鉛垂平面內，質點示的鉛垂平面內，質點M在重力作用下，不計摩擦，無在重力作用下，不計摩擦，無初速地自點初速地自點A降落到點降落到點B，所沿曲線可有無數條，顯然，所沿曲線可有無數條，顯然A，B兩點的直線距離最短，但所用時間并不是最少的，那么，兩點的直線距離最短，但所用時間并不是最少的，那么，沿哪條曲線所用時間最少呢？沿哪條曲線所用時間最少呢？ 由圖知，點由圖知，點A，B的坐標分別為（的坐標分別為（0，0），（），（ ），過），過A，B兩點的曲線可用兩點的曲線可用函數表

9、示為函數表示為 BByx ,)(xfy （0 xxb） 由機械能守恒定律，質點由機械能守恒定律，質點M的速度為的速度為gy2 在在dt 時間間隔內，質點時間間隔內，質點M走過的弧長為走過的弧長為dxydydxds2221)()( 則質點則質點M 從點從點A降落到點降落到點B所用時間為所用時間為BBxsdxgyydst02021 上式時間上式時間t是用定積分（函數的集合）來表示的，這是用定積分（函數的集合）來表示的，這種關系即泛函，其數值取決于式中未知函數種關系即泛函，其數值取決于式中未知函數 y= f(x)和和 。)( xfy 另外：在某一曲面上指定的兩點之間，求出長度最短曲另外：在某一曲面上

10、指定的兩點之間，求出長度最短曲線問題（短程線問題）；求長度一定的封閉線所圍面積線問題（短程線問題）；求長度一定的封閉線所圍面積為最大的問題（等周問題）等，都是變分問題。為最大的問題（等周問題）等，都是變分問題。顯然顯然求此泛函的極小值就是求所用的最小時間求此泛函的極小值就是求所用的最小時間 t,，也就是，也就是求出函數中的哪一個函數表示的曲線是最速降線。求出函數中的哪一個函數表示的曲線是最速降線。（2）變分的概念）變分的概念)(tqq 變分分等時變分和全變分兩種，全變分又稱非等時變分。變分分等時變分和全變分兩種，全變分又稱非等時變分。我們只研究等時變分。我們只研究等時變分。 設集合設集合D中的

11、元素是表示某一力學系統運動的函數中的元素是表示某一力學系統運動的函數 ，其中，其中 t 為自變量，為自變量，q 為力學系統的廣義坐標，此函數見下圖。為力學系統的廣義坐標，此函數見下圖。 當自變量當自變量 t 有微小增量有微小增量 dt時，時，對應的函數對應的函數 q 的微小增量的線性的微小增量的線性主部主部 dq 稱為函數的微分，記為稱為函數的微分，記為dttqdq)( 由于是在瞬時由于是在瞬時 t ，不考慮時間，不考慮時間 t 的變化，這種變分稱為等時變分。的變化，這種變分稱為等時變分。圖給出了函數的變分與微分的區別。圖給出了函數的變分與微分的區別。 如果自變量如果自變量 t 保持不變，而函

12、數本身形式發生微小變化，則得保持不變，而函數本身形式發生微小變化，則得另一條曲線另一條曲線 ，如圖中虛線所示，顯然這種曲線有無數條，令，如圖中虛線所示，顯然這種曲線有無數條，令 式中式中 為一參數，為無窮小量。為一參數，為無窮小量。 )(tq)()(),()(ttqtqtq)(t )(tqqqq上上式表示的是一族依賴于參數式表示的是一族依賴于參數 的函數，相應的是一族非常接近的函數，相應的是一族非常接近的曲線。式中的曲線。式中 是可微的時間函數。是可微的時間函數。 在瞬時，由函數本身形式的微小變化而得的微小增量的主部在瞬時，由函數本身形式的微小變化而得的微小增量的主部 稱為函數的變分稱為函數的

13、變分，記為，記為 等時變分的兩個運算規則等時變分的兩個運算規則 變分與對時間求導數的運算次序可以相互交換，即變分與對時間求導數的運算次序可以相互交換，即1a)-(4 )()()()()(tqtqtqtqdtdqdtdqdtdq變分與對時間的積分的運算次序也可以相互交換變分與對時間的積分的運算次序也可以相互交換 ：dttqdttqdttqtqdttqtttttttt)()()()()(212121211b)-(4 )(21dttqtt變分的導數等于導數的變分；變分的積分等于積分變分的導數等于導數的變分；變分的積分等于積分的變分的變分. （3）變分法）變分法 設泛函設泛函J 為定積分為定積分 ),

14、(21dttqqFJtt ),(11qtA),(22qtB)(tqq 現欲求通過兩固定點現欲求通過兩固定點 和和 的一條曲線的一條曲線 ， 如圖如圖實線所示，這條曲線使泛函實線所示，這條曲線使泛函 J 具有極具有極值。值。)(tq0)(),(tqtq)(tqq )()(),(ttqtq為表示通過為表示通過A，B兩固定點的與兩固定點的與非常接近的一族函數，我們將這族非常接近的一族函數，我們將這族函數表示為依賴于參數函數表示為依賴于參數 的函數的函數 ；當當 時，時， ，就是欲求的函數，就是欲求的函數 。 因因 可為不同的值，因此泛函可為不同的值，因此泛函 J 也是也是 的函數，即的函數，即 dt

15、ttqtqFJtt),(),()(21泛函的極值問題就轉變為函數的極值問題。泛函的極值問題就轉變為函數的極值問題。由函數的極值條件由函數的極值條件00J00J得得0J按運算規則。有按運算規則。有 0),(),(21dtttqtqFJttqqFqqFF0)(21ttdtqqFqqFJ =()FF dFqdtqdtdqqq dtq用分部積分用分部積分公式，第二項的時間積分為公式，第二項的時間積分為222111()ttttttFFdFqdtqqdtqqdtq積分號中第二項積分號中第二項因兩端點因兩端點A，B是固定的，所以是固定的，所以021ttqq因此上式右邊因此上式右邊第一項第一項等于零，得等于零

16、，得0)(21qdtqFdtdqFJtt由于由于 是任意的，因此上式成立的條件是是任意的，因此上式成立的條件是q0qFdtdqF 上式就是使泛函上式就是使泛函 J 取極值時函數取極值時函數 應滿足的條應滿足的條件，它是關于函數件，它是關于函數 的二階微分方程，稱為的二階微分方程，稱為歐拉歐拉微分方程微分方程，解之便得欲求，解之便得欲求的函數的函數 。)(tq)(tqq )(tq下面我們來求解質點的最速降線。改變泛函的形式，即下面我們來求解質點的最速降線。改變泛函的形式，即dxyygdxgyytBBxx202012121dxyygBx212021)1 (21dxxyyFgBx), ,(210對比

17、歐拉微分方程，更換變量，成為對比歐拉微分方程，更換變量，成為0yFdxdyF式中式中232212212122122322121223212)1 (21 )1 ( )1 ()()1 ()1 (21yyyyyyyyyyyFdxdyyyyFyyyF經整理后得經整理后得yyy11 22 y兩邊同乘以兩邊同乘以 后積分，得后積分，得)(a lnln)1ln(2為積分常數ayy即即12yay亦即亦即dxdyyay令令)cos1(2ay則則dadysin2代入上式并化簡得代入上式并化簡得dxda)cos1 (2積分后得積分后得Cax)sin(2由由 得得 。0, 0AAyx0C于是最后得于是最后得 )cos

18、(2)sin(2ayax這是以這是以 為參數的旋輪線的曲線方程。其中為參數的旋輪線的曲線方程。其中 可由可由 值來確定，由圖可見值來確定，由圖可見 是旋輪的直經，是旋輪的直經， 是旋是旋輪輪的轉角。的轉角。aBByx,a總之，最速降線為一旋輪線總之，最速降線為一旋輪線 。2.哈密頓原理哈密頓原理應用變分法來研究哈密頓原理應用變分法來研究哈密頓原理 L為拉格朗日函數，使泛函為拉格朗日函數，使泛函21),(ttdttqqLJ及泛函的極值條件及泛函的極值條件0),(21ttdttqqLJ進而得使泛函取極值時的函數進而得使泛函取極值時的函數 q(t) 應滿足的條件應滿足的條件0qLqLdtd這恰是這恰

19、是一個自由度一個自由度的保守系統的保守系統的拉格朗日方程。的拉格朗日方程。 對于對于多自由度多自由度的保守系統，其拉格朗日函數為的保守系統，其拉格朗日函數為L，仿，仿照對一個自由度系統的分析，便得使泛函取極值時的函數照對一個自由度系統的分析，便得使泛函取極值時的函數qk(t)應滿足的條件為拉格朗日方程組應滿足的條件為拉格朗日方程組0kkqLqLdtd這個結論推導這個結論推導如下：如下： 由由N個廣義坐標構成的空間為個廣義坐標構成的空間為N維位形空間維位形空間 為了形象簡潔的表示系統的運動，由為了形象簡潔的表示系統的運動，由N個廣義坐標和個廣義坐標和時間時間t組成的組成的N+1維空間，這樣，維空

20、間，這樣，增廣位形空間增廣位形空間的一個點的一個點就表示了系統在任一瞬時的位置。就表示了系統在任一瞬時的位置。先介紹增廣位形空間的概念：先介紹增廣位形空間的概念： 設系統在起始和終止的時間和位置分別用設系統在起始和終止的時間和位置分別用A和和B兩個兩個點表示，系統的真實運動用上圖中的實線點表示，系統的真實運動用上圖中的實線AMB表示，此表示，此曲線稱為系統的曲線稱為系統的真實路徑真實路徑。在相同的始末條件下，系統。在相同的始末條件下，系統為約束所允許的與真實運動非常鄰近的任一可能運動用為約束所允許的與真實運動非常鄰近的任一可能運動用圖中虛線圖中虛線AMB表示，此曲線稱為系統的表示，此曲線稱為系統的可能路徑可能路徑。 在任一瞬時在任一瞬時t，可能路徑對真實路徑的偏離用等時變，可能路徑對真實路徑的偏離用等時變分分 表示，真實路徑的表示，真實路徑的M點坐標為點坐標為 ，而可能路徑，而可能路徑對應的對應的 點的坐標為點的坐標為 ，則，則kq),(tqkM),(tqqkk函數函數L的的等時變分等時變分則為則為)(1kkkkNkqqLqqLLLL),(tqqqqL