1、實用標準文案數學物理方法第一篇總結1.1 復數與復數運算（一） 復數的概念一個復數可以表示為某個實數與某個純虛數iy 的和， z=x+iy ，這是復數的代數式，x 和 y 叫做該復數的實部和虛部，并分別記做Re z 和 Im z 。如果將 x 和 y 當做平面上點的坐標， 復數 z 就跟平面上的點一一對應起來， 這個平面稱為復數平面，兩個坐標軸分別稱為實軸和虛軸。yZ ( x,y)0x復數的三角式 zcosi sin ，其中x 2y2，arctgy / x 。共軛復數的概念如果兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數。（二） 無限遠點復球面無限遠點：復平面上 為無限大的

2、點復球面：與復平面相切于坐標原點o，其上每一點都與復平面上的點構成一一對應關系的球面（三） 復數的運算已知兩個復數：z1cos 1i sin 2z2c o s2is i n 21.加減運算z1z 2(cos1cos2 )i (sin1sin2 )2.乘法運算z1 z212 (cos 1i sin1 )(cos2i sin2 )12 cos( 12 )i sin( 1 2 )3.除法運算z1r1 cos( 12 ) i sin( 12 )r1 ei ( 12 )z2r2r24.復數的乘冪 znn (cos ni sin n)精彩文檔實用標準文案5.復數的方根nzn(cosi sin )nn（四）

3、典型例題計算下列數值（其中為常數）1.coscos 2cos3cos n2.sinsin 2sin 3sin n1.2 復變函數（一）復變函數的定義對于復平面的點集E，它的每個點z 都有一個或多個點 通過確定的關系與之對應。則稱 為 z 的復變函數，記作： = f(z), z EE 叫做定義域。（二）區域的概念在解析函數論中，函數的定義域一般不是點集，而是滿足一定條件的點集，稱為區域，用B表示。鄰域：以某點z0 為圓心 ,以任意小的正實數為半徑的圓的內部，稱為z0 的鄰域。內點：若 z0 及其鄰域均屬于點集E，則稱為該點集的內點。外點：若 z0 及其鄰域均不屬于點集E，則稱為該點集的外點。邊界

4、點：若在z0 的每個鄰域內，既有屬于E 得點，也有不屬于E 的點，則稱z0 為該點集的邊界點，它既不是E 的內點，也不是E 的外點，邊界點的全體稱為邊界線。區域是指滿足下列兩個條件的點集：1. 全由內點組成；2. 具有連通性，即點集的任意兩點都可以用一條折線連起來，且折線上的點全部屬于該點集。（三）典型例題求解方程 sinz21.3導數（一）導數的概念設函數f (z) 是在區域 B 上定義的單值函數， 即對于 B 上的每一個 Z 值，有且只有一個值與之相對應。若在B 上的某點 z，極限 limlimf（ zz） f（ z）存在，并z 0zzz且與 z0 的方式無關，則稱 f(x)在 z 點可導

5、。（二）柯西黎曼方程精彩文檔實用標準文案uvxy柯西 -黎曼方程在直角坐標系下的C-R 條件，是復變函數可導的必要條件vuxyuv柯西 -黎曼方程在極坐標系下的C-R 條件，是復變函數可導的必要條件-v1u函數 f( z)可導的充分必要條件：f(z)的偏導數u , u , v , v 存在且連續， 并滿足 C-R 條件。xyxy（三）典型例題uv試從極坐標系中的柯西黎曼方程中消去 u 或者 v。-v1u（四）人物傳記1.柯西 :法國數學家，他在純數學和應用數學的功力是相當深厚的，在數學寫作上，他是被認為在數量上僅次于歐拉的人，他首創性的工作是關于單復變函數論，闡明了有關概念，并且用這種積分來研

6、究多種多樣的問題，如實定積分的計算，級數與無窮乘積的展開，用含參變量的積分表示微分方程的解等等。他還在綜合工科學校所授分析課程及有關教材給數學界造成了極大的影響。2.黎曼：德國數學家，對數學分析和微分幾何做出了重要貢獻，其中一些為廣義相對論的發展鋪平了道路。他的名字出現在黎曼 函數，黎曼積分， 黎曼引理， 黎曼流形， 黎曼映照定理， 黎曼 -希爾伯特問題，黎曼思路回環矩陣和黎曼曲面中。 他初次登臺作了題為 “論作為幾何基礎的假設 ”的演講，開創了黎曼幾何，并為愛因斯坦的廣義相對論提供了數學基礎。1.4 解析函數（一）解析函數的定義若函數 f(z) 在 z0 點及其鄰域上處處可導， 則 f(z)

7、在 z0 點解析。 又若 f(z)在區域 B 上每點都解析，則 f(z) 是區域 B 上的解析函數。（二）解析函數的性質1.若函數 f(z)=u+iv 在區域 B 上解析，則u(x,y)= C1 ,v(x,y)= C2 ,是 B 上的兩組正交曲線組。2.若函數 f(z)=u+iv 在區域 B 上解析，則u，v 均為 B 上的調和函數。（三）典型例題精彩文檔實用標準文案已知解析函數f z 的實部 u x, y 或者虛部 v x, y ，求該解析函數。1. u ex sin y ；2. ux 2y 2xy ， f 00 ；2.1復變函數的積分（一）復變函數積分的定義設在復數平面的某分段光滑曲線l

8、上定義了連續函數f(z)，在 l 上取一系列分點z0（即起點A ）, z1, z2, , zn（即終點 B），把 l 分成 n 個小段，在每個小段zk-1,zk 上任取一點 k，作nn和得f（ k（）zk z k1）f ( k ) zkk 1k 1當 n且每小段都無限縮短時，如果這個和的極限存在，且其值與各個 k 的選取無關，則 這 個 和 為 函 數 f(z)沿 曲 線 l 從A 到B的路積分，記作f ( z) dz = u(x, y)dx v( x, y)dy i v(x, y)dx u(x, y)dylllZ n(B)Zk-1Zk（二）復變函數積分的性質k1.常數因子可以移到積分號外；l

9、2.和積分等于積分和；Z 0(A)3.反轉路徑，積分反號；4.全路徑上的積分等于各段積分之和一般來說，復變函數積分值不僅依賴于起點和終點，同時還與積分路徑有關。2.2 柯西定理（一）單連通區域的情況單通區域： 在其中做任何簡單的閉合圍線， 圍線內的點都是屬于該區域內的點。 也可以認為是一根閉合曲線圍成的區域。單連區域柯西定理：如果函數f(z) 在閉單通區域B 上解析， 則沿 B 上的任一分段光滑閉合曲線 l ，有f ( z)dz 0l證明如下f ( z)dzu(x, y)dx v( x, y)dyiv(x, y)dx u(x, y) dy ，lll由于 f( z)在 B 上解析，因而有uuvv

10、,在 B 上連續，xyxy精彩文檔實用標準文案根據格林公式Pdx QdyS( QP )dxdy 和 C-R 條件uv ， v- u 得：lxyxy xyf ( z) dz0l（二）復通區域情形為了將奇點排除在區域之外，需要做一些適當的閉合曲線把奇點分隔出去，即形成復通區域。一般來說， 在區域內， 只要有一個簡單的閉合曲線內有不屬于該區域的點， 這樣的區域便稱為復通區域。對于區域 （單或復通區域）的境界線， 通常這樣規定 （內外） 正方向， 區域在觀察者的左邊。復通區域柯西定理：n如果 f(z)是閉復通區域上的單值解析函數，則 f ( z) dzf ( z)dz 0 l 為區域外境界線，ll i

11、i1li 為內境界線，積分均沿正方向進。證明如下：l按單通區域柯西定理，0ll1BABAB其中沿同一割線兩邊緣 的積分值抵消，于是A0l 1l1ln即： f ( z)dzf (z)dzllii 1沿內外境界線逆時針方向積分相等。（三）柯西定理的總結：1.閉單通區域上的解析函數沿境界線積分為零；2.閉復通區域上的解析函數沿所有內外境界線正方向積分和為零；3.閉復通區域上的解析函數沿境界線逆時針方向積分等于沿所有內境界線逆時針積分之和。4.對于某個閉單通或閉復通于區上為解析的函數，只有起、終點固定不變，當積分路徑連續變形（不跳過 “孔 ”），路積分值不變。2.3 不定積分（一）不定積分的概念根據柯

12、西定理，若函數f(z) 在單通區域B 上解析，則沿 B 上任一路徑L 的積分 f (z)d zl的值只跟起點和終點有關，而與路徑無關。因此，當起點和終點固定時，這個不定積分就定zf ()d義了一個單值函數，記作F ( z)z0n(n為整數 ).例如 I(z ) dzl1. 若回路 L 不包圍點，則被積函數在l 所包圍的區域上是解析的，按照柯西定理，積分精彩文檔實用標準文案值為零。2.接著討論L 包圍的情形，如果n0 ，被積函數在l 所包圍的區域是解析的，積分值也為零；如果 n0 ，被積函數在l 所包圍區域有一個奇點，我們可以將L 變形一點為圓心， R 為半徑的圓周C， R 是相當任意的，在C

13、上 zReiI( z) n dzRnein d (Rei )2Rn ein Rei idlC0iR n 12dei ( n 1)0當 n-1時， IiR n 11ei( n 1)2討論： 1.0i (n1)0當時，22.ni d2 i-1I0ll2.4 柯西公式單通域柯西公式：若f(z)在閉單通區域B 上解析， L 為 B 的境界線， 為 B 內一點，則f ( )1f (z) dz 。2 il z復通域柯西公式：若f(z)在 L 上所圍區域上存在奇點，則考慮挖去奇點后的復通區域。在復通區域上 f(z)解析，則柯西公式仍成立，只要將L 理解為所有的境界線，且均取正向。柯西導數公式： 由于 z 為

14、區域內點， 積分變數在境界線上， -z 0,積分號下的導數f( )/( -z)在區域上處處可導。因此，可以在積分號下對1!f ()2 dz 反z 求導，得： f ( z)(z)2 i l復在積分號下求導，得f (n ) ( z)n!f ( )dz 。2 i l (z)n 1（三）典型例題t , xe2tx t 2n已知函數。將 x 作為參數， t 為復變數，應用柯西公式將表示成回t nt 0路積分。3.1 復數項級數（一）設有復數項的無窮級數wk w1 w2wk他的每一項都可以分為實部和k 1虛部， wk uk ivk 那么他的前n+1 項的和可以表示為：精彩文檔實用標準文案nnnnnnwku

15、kivk , limwklimuki limvkk 1k 1k 1nnnk 1k 1k 1這樣，復數項無窮級數的收斂問題就歸結為兩個實數級數的收斂問題。級數收斂的判斷依據np（二）柯西收斂判據： 對于任一給定的小正數 ，存在一個 N，使得 nN 時 |wk |，k n 1p 為任意正整數。絕對收斂：如果復數項級數各項的模（正實數）組成的級數收斂，則 wk 絕對收斂。（三）絕對收斂級數的性質絕對收斂的復數項級數必是收斂的，各項先后次序可變，其和不改變。應用柯西收斂判據，復變項級數在B（或 l）上收斂的充要條件是：在B （ 或l ） 上 各 點z ， 對 于 任 一 給 定 小 正 數 ， 存 在

16、N(z) ， 使 得nN(z) 時 ，np|wk ( z) |，p 為任意正整數。如果N 與 z 無關，則復變項級數在B （或 l ）上一致收kn 1斂。（四）典型例題3.2 冪級數（一）各項都是冪函數的復變項級數ak ( zz0 ) ka0 a1 ( z z0 ) a2 (z z0 )2其中k 1z0,a0,a1,a2, 都是復常數。這樣的級數叫做以z0 為中心的冪級數。絕對收斂：由冪級數各項模組成的正項級數|a0|+|a1|z-z0|+|a2|z-z0|2+|ak|z-z0|k+（二）正項級數的收斂性的判別：1.達朗貝爾判別法如果 lim | ak 1 | zk1lim | akz0|k1

17、 | zz0 |1則正項級數收斂，冪級數絕對收斂。如果k| ak | zz0|kak| z z0 | R, 則 lim| ak 1 | z z0 |k 1lim| ak 1| akk| ak |R 1 也就是說， 冪級數后面的項的模越來k| z z0 |k越大，必然是發散級數。即如果|z-z0|R，則發散。那么以 z0 為圓心做一個半徑為R 的圓 CR，圓內絕對收斂，圓外發散。CR 稱為冪級數的收斂圓，半徑 R 為收斂半徑。3. 根值判別法如果 lim k| ak | zz0|k1，則正項模級數收斂，冪級數絕對收斂；k如果 lim k| ak | zz0|k1，則正項模級數發散，冪級數絕對發散

18、；k精彩文檔實用標準文案收斂半徑為 R lim1。kk | ak |冪級數在收斂圓內的性質：1和函數是解析函數；2可以逐項求導，且收斂半徑不變；3可以逐項積分，且收斂半徑不變；（三）典型例題（四）人物傳記達朗貝爾：法國著名的物理學家、數學家和天文學家，一生研究了大量課題，完成了涉及多個科學領域的論文和專著， 其中最著名的有八卷巨著 數學手冊、力學專著動力學 、23 卷的文集、百科全書的序言等等。他的很多研究成果記載于宇宙體系的幾個要點研究中。 達朗貝爾生前為人類的進步與文明做出了巨大的貢獻，也得到了許多榮譽。3.3泰勒級數展開（一） 已知，任意階導數都存在的實變函數可以展開為泰勒級數，既然解析

19、函數的任意階導數都存在，也希望能把解析函數展開為復變項的泰勒級數。定理：設 f(z)在以 z0 為圓心的圓 CR 內解析，則對圓內任意z 點， f(z)可以展開為冪級f ( z)ak ( z z0 )k 其中 ak1f ( )k 1df (k ) ( z0 ) 。 CR 為圓 CR 內包含 zk 02 i CR1 (z0 )k!1且與 CR 同心的圓。泰勒展開公式（具有唯一性）：f ( z)ak ( z z0 ) ka0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 )2k 0f (k ) ( z0 )akk!(二 )幾個典型的泰勒展開公式1.zf( k ) (z0 )(zz0 )kzk（在 z

20、00 的鄰域）ek!0 k!k0k2.sin zf ( k) ( z0 ) (zz0 )kzz3z5z7（在 z00 的鄰域）k0k!1!3!5!7!3.lnzn2 i(1)k1( z1) k1的鄰域）k 1k（在 z0精彩文檔實用標準文案4.1zm1m1m zm( m1)z2m(m 1)z3（在 z00 的鄰域）1!2!3!5.1ZZ k(z2 )k(1)k z2k （在 z00 的鄰域）1k0k 0k 0（三）典型例題（四）人物傳記泰勒： 18 世紀早期英國牛頓學派最優秀代表人物之一的英國數學家泰勒。泰勒的主要著作是 1715 年出版的正的和反的增量方法 ，書內以下列形式陳述出他已于 17

21、12 年 7 月給其老師梅欽 （信中首先提出的著名定理泰勒定理：泰勒定理開創了有限差分理論，使任何單變量函數都可展成冪級數；同時亦使泰勒成了有限差分理論的奠基者。泰勒于書中還討論了微積分對一系列物理問題之應用，其中以有關弦的橫向振動之結果尤為重要。他透過求解方程 導出了基本頻率公式，開創了研究弦振問題之先河。3.4 解析延拓3.5 洛朗級數展開(一）當所研究的區域上存在函數的奇點時，就不能將函數展為泰勒級數，而需要考慮除去奇點的環域上的展開，這就是洛朗級數展開。定理：設 f(z)在環形區域R1zz0 R2 的內部單值解析，則對環域上的任意一點， f(z)可展為冪級數 f ( z)ak ( zz

22、0 ) k，其中 ak1f ()d ，積分路徑 C 位于環域內按逆k2 i c (z0 )k 1時針方向繞內圓一周的任意閉合曲線。(二 )幾個典型的洛朗展開公式101 zk1. e z(0 | z |)k ( k )!2.11 11( 1)kz 1k1 1k1( z 1)k（ 1 z2()( 1)2k 2）z1 2 z 1 4 k 022 z 1 k 0sin zz2z4z6(0| z |)3.z13!5!7!（三）洛朗展開和泰勒展開的區別與聯系聯系：都是單值解析函數；展開形式均以z0 為展開中心。精彩文檔實用標準文案區別： 1. z0 是泰勒函數f(z)的奇點，洛朗展開中的z 0 不一定是

23、f(z)的奇點；2. 泰 勒 展 開 的 區 域 是 z - z 0R ， 是 絕 對 且 一 致 收 斂 的 函 數 。 洛 朗 展 開 的 區 域 是R1zz0R2 ，也是絕對且一致收斂的函數；3.泰勒展開無負冪次項，洛朗展開可以有負冪次項，也可以沒有負冪次項。（三）典型例題在挖去奇點 z0 的環域上或指定的環域上將下列函數展為洛朗級數（五）人物傳記洛朗：法國數學家提出洛朗級數，復變函數 f(z)的洛朗級數，是冪級數的一種，它不僅包含了正數次數的項， 也包含了負數次數的項。 有時無法把函數表示為泰勒級數，但可以表示為洛朗級數。3.6 孤立奇點的分類孤立奇點：若函數f(z)在某點 z0 不可

24、導，而在z0 的任意小鄰域內除z0 之外處處可導，則z0 為 f(z) 的孤立奇點。若在 z0 無論多么小的鄰域內總可以找到除z0 外的不可導點， z0 為 f(z)的非孤立奇點。在挖去孤立奇點z0 而形成的環域上的解析函數f(z)的洛朗級數分三種：（1）無負冪項，z0 為 f(z)的可去奇點；（2）有有限個負冪項，z0為 f(z)的極點；（3）有無限個負冪項，z0為 f(z)的本性奇點。典型例題設函數 f z 和 g z 分別以點 z0 為 m 階和 n 階極點，問對下列函數而言，z0 是何種性質的點：（1） fz；（ 2） fz g z ；（3） f zg zg z4.1 留數定理(一 )

25、留數的定義：單值函數f(z) 在孤立奇點 z0 鄰域內的洛朗展開 f ( z)al( k) (z z0 ) kl其中的 (zz 0 )1 項的系數稱為f (z) 在 z0 處的留數，記作 resf (z 0 ) 。這樣 f z0d z2 i Resfz0l精彩文檔實用標準文案(二 )留數定理：函數f( z)在回路 l 所圍區域B 是除有限個孤立奇點 b1 , b2 , bn 外解析，在n閉區域上除點 b1 , b2 ,bn 外連續，則 f ( z)dz 2 iResf (b j )lj1（三）留數的計算1.單極點的情況：Resf z0lim (z b) f (z)lim ( zP( z)( z

26、 b)P(b)b)P(b) limQ (b)z bz bQ( z)z b Q(z)2. m 階極點的情況：Resf z0(m1limd m 1( z z0 ) m f (z)1)! zz0dzm 1（四）典型例題1.計算下列函數的奇點，求出函數在各奇點的留數（1）z z 1 z 2 2 ；（ 2） 1 z3z5 。2.計算函數的回路積分d z1 2 (l 的方程是 x2y22x 2y 0)l z21 z應用留數定理計算回路積分1fzd z，函數fz在 L 所包圍的區域上是解析的，3.2 il z是這區域的一個內點。4.2 留數定理是復變函數的定理若要在實變函數定積分中應用， 必須將實變函數變為

27、復變函數。 這就要利用解析延拓的概念。留數定理又是應用到回路積分的， 要應用到定積分， 就必須將定積分變為回路積分中的一部分。2類型一：IR(sin , cos )d被積函數是三角函數的有理式，積分區間是0,2 ,做變0換 z ei，于是原積分化為 IRz21, z21 dzz 12iz2ziz類型二：f ( x)dx 積分區間-，；復變函數f(z)在實軸上沒有奇點，在上半平面除有限個奇點是解析的；當z 在上半平面及實軸上時， zf(z) 一致的 0.精彩文檔實用標準文案R2這個積分通常看作為極限Ilimf (x)dxR1R1R2Rf ( x)dx2 i Resf ( z j ), z j上半

28、平面 Rj類型三：Fx) cosmxdxG x) sinmxdx和奇函數 G(z) 在實軸上無奇點，(,(. 偶函數 F(z)00在上半平面除有限個奇點外是解析的；當z 在實軸和上半平面趨于無窮大，F(z) 和 G(z)一致地趨于零。做變換得F ( x) cosmxdx1imzdzimz j, zj上半平面。F ( z)ei ResF (z j )e02 ljG( x) sin mxdx1imzdzimz j, zj上半平面。2iG( z)eResG( z j )e0lj典型例題計算下列實變函數的定積分1.x21；x412d x2., 01 ；1cos x203.cosmx4 d x , m0

29、。01x5.1傅里葉級數（一）周期函數的傅里葉展開若函數f(x) 以 2l 為周期，即fx)=f(x+2l ) ，則可取三角函數族，將f(x) 展開為級數f ( x)a0(an cosnbn sinn2 n 1xx)ll1其中 anlllf ( x) cos nxdx ， bn1llllf ( x) sin nxdxl注意：對于非周期函數,如果函數f(x) 只在區間 , 上有定義 , 并且滿足收斂定理條件,也可展開成傅立葉級數.（二）傅里葉級數收斂的定理狄里希利定理：若函數f(z) 滿足條件(1) 處處連續，或在每個周期內只有有限個第一類間精彩文檔實用標準文案斷點； (2) 在每個周期內只有有

30、限個極值點，則三角級數收斂，f (x),(在連續點 x)且 級數和1 f ( x 0) f ( x 0).(在間斷點 x)2（三）奇函數和偶函數的傅里葉展開1. 奇函數的傅里葉展開： f ( x)bn sin n x ，其中 bn2n 1lll0n xf ( x) sindx 。2. 偶函數的傅里葉展開： f (x)a0an cos n x 其中 an22 n 1lll0f ( x) cos n xdx 。 l(四 )定義在有限區間上的函數傅里葉展開對于只在有限區間，可以采取延拓的方法，使其成為某種周期函數g x ，而在0，l 上g x f x , 然后在對 g x 作傅里葉展開，其級數區間在

31、0， l上代表 f(x) 。兩種特殊的展開： 1. 如果 f0fl0 ，這時應延拓成奇的周期函數；2. 如果 f0fl0 ，這時應延拓成偶的周期函數；（五）復數形式的傅里葉級數k xi周 期 函 數 f(x) 展 開 為 復 數 形 式 的 傅 里 葉 級 數 為 ： fxck e l， 其 中k*ck1iklld .fe2ll（六）典型例題1.交流電壓 E0sin t 經過全波整流，成為 E tE0 sint 。將它展為傅里葉級數；2.將鋸齒波展為傅里葉級數。在0, T 周期上，該鋸齒波可以表示為fxx。33.在區間 0,l定義了函數 f xx ，試根據條件f 00, f l0，將 fx展為

32、傅里葉級數；4.將函數f xcos3 x 展為傅里葉級數。(七 )人物傳記傅里葉： 法國數學家及物理學家，主要貢獻是在研究熱的傳播時創立了一精彩文檔實用標準文案套數學理論。 1807 年向巴黎科學院呈交熱的傳播論文，推導出著名的熱傳導方程，并在求解該方程時發現解函數可以由三角函數構成的級數形式表示，從而提出任一函數都可以展成三角函數的無窮級數，傅里葉級數（即三角級數）、傅里葉分析等理論均由此創始。5.2 傅里葉積分與傅里葉變換（一）實數形式的傅里葉變換周期函數變為傅里葉級數，被看作周期函數從時域到頻域的變換。不過， 由于時域的函數具有周期性， 頻域的函數是離散的級數。有限區間的函數可以延拓為周期函數。因此，失去周期性的時域中的函數的定義域當為x。從方便于研究而言，它又可以看作為周期趨于無窮