1、平移和幾何最值問(wèn)題7題型一：平移思路導(dǎo)航若AB CD ,并相交，平移 CD與AB共頂點(diǎn)，會(huì)出現(xiàn)平行四邊形 CDD'C'和等腰AAD B ;若AB CD ,無(wú)交點(diǎn)，平移 CD與AB共頂點(diǎn)，同樣會(huì)產(chǎn)生平行四邊形CDD'C'和等腰4ABD .BC例題精講【弓I例】如圖所示，4ABC為等邊三角形，P是4ABC內(nèi)任一點(diǎn)，PD/ AB , PE/BC, PF / AC,若 4ABC 的周長(zhǎng)為 12,貝 U PD PE PF 等 于多少？【解析】 過(guò)F作FN / PE ,過(guò)D作DM II PF. PD II AB , PE II BC , PF II AC四邊形FPEN和四邊

2、形MDPF是平行四邊形.ABC是等邊三角形 A B AFN MDB 60.AFN和AMBD是等邊三角形PF=MD=MB,PE=FN=AF,PD=FM等邊ABC周長(zhǎng)為12PF+PD + PE=BM + MF+AF=AB=4典題精練【鋪墊】 在 ABC中，AB AC ,點(diǎn)P為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作PE II AC交AB 于點(diǎn)E , PF / AB交BC于點(diǎn)D ,交AC于點(diǎn)F .如圖1,若P在BC邊上，此時(shí)PD 0 , 可得結(jié)論：PD PE PF AB當(dāng)點(diǎn)P在 ABC內(nèi)部，如圖2,上述結(jié)論是否成立？請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論并證明.3,題中的結(jié)論還成立嗎？直接寫(xiě)出你的結(jié)論，不用當(dāng)點(diǎn)P在4ABC外部，

3、如圖 證明.AAACBPF ABPD AB【解析】結(jié)論不變，仍為PD PE結(jié)論變化了，為PE PF兩問(wèn)均可過(guò)點(diǎn) D作DG II AC交AB于點(diǎn)G ,得到平行四邊形 DGAF和等腰 FDC .的正方形ABCD所在平面上移動(dòng)，始【例1】 如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形EFGH在邊長(zhǎng)為3終保持EF /AB,線(xiàn)段CF的中點(diǎn)為M, DH的中點(diǎn)為N,則線(xiàn)段MN的長(zhǎng)為（）A .B.D.亞3（2013年八中期中）【解析】如圖，B【例2】一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線(xiàn)相等，則稱(chēng)這個(gè)四邊形為等對(duì)角線(xiàn)四邊形.請(qǐng)解答下列問(wèn)題:寫(xiě)出你所學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是等對(duì)角線(xiàn)四邊形的兩種圖形的名稱(chēng)； 探究：當(dāng)?shù)葘?duì)角線(xiàn)四邊形中兩條對(duì)角線(xiàn)所夾銳角為6

4、0。時(shí)，這對(duì)60。角所對(duì)的兩邊之和與其中一條對(duì)角線(xiàn)的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.（北京中考）【解析】矩形或正方形或等腰梯形. 結(jié)論：等對(duì)角線(xiàn)四邊形中兩條對(duì)角線(xiàn)所夾銳角為60°時(shí)，這對(duì)60°角所對(duì)的兩邊之和大于或等于一條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng).已知：四邊形 ABCD中，對(duì)角線(xiàn) AC、BD交于點(diǎn)O , AC BD ,且 AOD 60 求證：BC AD > AC .證明：過(guò)點(diǎn) D作DF / AC ,在DF上截取DE ,使DE AC,連接CE、BE .故 EDO 60°,四邊形ACED是平行四邊形.所以4BDE是等邊三角形， CE AD .所以 DE BE AC .當(dāng)BC與CE不

5、在同一條直線(xiàn)上時(shí)（如圖 1）,在 4BCE 中，有 BC CE BE .所以 BC AD AC .當(dāng)BC與CE在同一條直線(xiàn)上時(shí)（如圖 2）,則 BC CE BE.因此 BC AD AC .綜合、，得 BC AD > AC .即等對(duì)角線(xiàn)四邊形中兩條對(duì)角線(xiàn)所夾銳角為60°時(shí)，這對(duì)60°角所對(duì)的兩邊之和大于或等于其中一條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng).【探究】平移的輔助線(xiàn)構(gòu)造方法【探究一】平移共端點(diǎn)1.兩線(xiàn)段相交有交點(diǎn)【變式1】如圖，AB CD 5,D 105 ,則線(xiàn)段AD的長(zhǎng)為【解析】如圖，3.2.兩線(xiàn)段相交無(wú)交點(diǎn)D 15,則線(xiàn)段AD的長(zhǎng)為【解析】如圖，246.如例1過(guò)對(duì)角線(xiàn)BC中點(diǎn)平移AB

6、、CD【探究二】平移使重合1.平行CE ,求證:【變式3】已知平行四邊形 ABCD對(duì)角線(xiàn)上有點(diǎn)E ,連接AE、CE ,且AE平行四邊形ABCD是菱形.【解析】如圖，四邊形 CEDF為等腰梯形，對(duì)角線(xiàn)相等可得.2.共線(xiàn)【變式4】在凸四邊形 ABCD中,/ BAD + ZCBA & 180；點(diǎn)E、F為邊CD上的兩點(diǎn),且 DE = FC,求證：AD + BC <AE + BF .利用平移，如圖（1）,將4ADE沿著DC的方向平M）使得 DE和FC重合得到AGFC,故 AD + BC = GF + BC, AE + BF = GC + BF ,可證 AD + BC <AE + BF

7、 .題型二：面積思路導(dǎo)航S4； 5 s3s2 s4；上圖中的面積關(guān)系依次是：GS3S2s4； SiS3S2S4；SiS2S3SIS3S2s4 ； SA ABCSA DBC典題精練【例3】 如圖，A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)，分別以AB、BC為邊向直線(xiàn) AB 同側(cè)作正方形 ABDE和BCFG,若AB=a, BC=b,則 ADF的 面積 .（十一學(xué)校期中）如圖，在矩形 ABCD中，過(guò)BD上一點(diǎn)K分別作矩形兩邊的平行線(xiàn)MN和PQ ,那么圖中矩形 AMKP的面積S1 5 ,矩形QCNK的面積S2 .【解析】連接BF ,可知AD II BF ,Saafd Saabd - a22, SABDSa BCD， SA B

8、MKSa bqk , SadpkSadnk ,【例4】SAMKPSA ABD SA BMKSADPKSA BCDSA BQKSADNK如圖，矩形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P .求證：e e e e -Sa padSa pbcSa pabSwpcdSg形 abcd，2 PA2 PC2 PB2 PD2.29【解析】如圖1,過(guò)點(diǎn)P作EFAB,分別交AB、CD于點(diǎn)E、F .1Sa pabSa pcdAB2同理可證SA padSa pbc1 cPE CD PF21 _-S巨形ABCD ,11-AB EF S巨形abcd，22 方法一：如圖 1,在 RtAEP、RtBPE、RtCPF、RtFPD 中_2_ 2222

9、222222AP AE EP , BP EP BE , CP CF PF , DP FP DF2222 AE DF，BE CF， AP CP BP DP .方法二：如圖 2,過(guò)點(diǎn)P作PD II AD且PD AD,連接DD、CD .可知四邊形APDD、BPDC是平行四邊形DD AP, CD BP, CD PD，利用任意對(duì)角線(xiàn)垂直的四邊形的對(duì)邊平方和相等的結(jié)論可得 22222222PC DD PD CD ,即 AP CP BP DP .2_222PC AP PD PBSix BPC、Six FAD、Sa FAB、Sa PCD 有什么關(guān)系？AP2、CP2、BP2、【備選】如圖，當(dāng)點(diǎn)P在矩形外時(shí), D

10、P2又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？Sa bpcSa padSa pabSapcdPB2PC22&巨形 ABCD , PA2PD2【例5】Sa bpcSa padSa pabPC2PB2PD2證明方法同例題正方形ABCD邊長(zhǎng)為2,若P為BC邊上任意一動(dòng)點(diǎn)（可與 合），分別過(guò)B、C、D作射線(xiàn)AP的垂線(xiàn)，垂足分別為 F、 求出DE + CG+BF的最值，并說(shuō)明理由.DE AP CG AP BF AP22S ADP S ACPS ABPS ADCS ACPS ABP2SABCD4，DE CG BF , AP2 AP 2短, 272 DE CG BF 4.題型三：最值問(wèn)題思路導(dǎo)航最值問(wèn)題主要是利用三大變換

11、實(shí)現(xiàn)線(xiàn)段的集散，解題核心思想：兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短；點(diǎn)到直線(xiàn)之間垂線(xiàn)段最短；三角形兩邊之和大于第三邊.典題精練【例6】 如圖1所示，正方形ABCD的面積為12,4ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD 內(nèi)，在對(duì)角線(xiàn) AC上有一點(diǎn)P ,使PD PE的和最小，則這個(gè)最小值為（）A. 2氧B. 2娓C. 3D. V6如圖2,邊長(zhǎng)為6的菱形ABCD中， ABC 60°, E、F分別為BD、BC邊上的 動(dòng)點(diǎn)，則CE EF的最小值為 .（人大附期中） 如圖3,長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15,寬為10,高為20,點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5, 一只螞蟻如 果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)C,需要爬行的最短距離是（）A.

12、5屈B. 25 C. 1075 5D. 35【解析】 A.分析：PD PE PB PE > BE AB 辰 2班.3召，如圖，將點(diǎn)C對(duì)稱(chēng)到點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A作BC垂線(xiàn)，垂足即為F , 交BD于點(diǎn)E . CE EF AF 3褥. 先把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面上兩點(diǎn)間線(xiàn)段最短問(wèn)題.故需要把長(zhǎng)方體的 表面展開(kāi)，有三種可能：按右上展開(kāi)AC 口252 102725 5,29按右前展開(kāi)AC202 152625 25按后上展開(kāi)AC V302 52V925 5737 .19綜上，選B.真題賞析【例7】 如圖，四邊形 ABCD是正方形，4ABE是等邊三角形， M為對(duì)角線(xiàn)BD （不含B點(diǎn)） 上任意一點(diǎn)，將 BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針

13、旋轉(zhuǎn)60°得到BN ,連接EN、AM、CM .證明： AABMAEBN當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM BM CM的值最小，并說(shuō)明理由;當(dāng)AM BM CM的最小值為 33 1時(shí)，則正方形的邊長(zhǎng)為.【解析】 : AABE是等邊三角形，BA= BE, ABE= 60 .MBN=60 ,MBN ABN= ABE ABN ,即 BMA= NBE .又MBmNB, AAMBAENB (SAS)BM CM的值最小.如圖，連接 CE ,當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)， AM理由如下：連接MN ,由知，AMBAENB, z. AM = EN . MBN=60 , MB= NB, ABMN是等邊三角形，BM =

14、MN . AM BM CM = EN MN CM根據(jù) 兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”，得EN MN CM = EC最短當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)， AM BM CM的值最小，即等于 EC的長(zhǎng)正方形的邊長(zhǎng)為 2過(guò)E點(diǎn)作EF BC交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于 F,， EBF= 90°-60° = 30°.設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x,則BF=*3x, EF=-.222 廠(chǎng)22在 RtEFC 中，. EF2 FC= EC2,-x x73 1?22解得，x=72 （舍去負(fù)值）.，正方形的邊長(zhǎng)為近【分析】本題實(shí)質(zhì)為尋找三角形的費(fèi)馬點(diǎn)，而找費(fèi)馬點(diǎn)的過(guò)程即為旋轉(zhuǎn)的過(guò)程，其旋轉(zhuǎn)角為60。，而60。旋轉(zhuǎn)不論是在

15、三角形還是四邊形中都為常考內(nèi)容，需要同學(xué)們熟練掌握.此題在 題干部分已提示作法，并通過(guò)兩問(wèn)進(jìn)行了逐步引導(dǎo)，具有很強(qiáng)的可操作性和訓(xùn)練價(jià)值， 程度好的班級(jí)可適當(dāng)拓展費(fèi)馬點(diǎn)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn).AMBD、等腰直角三角形DBN .從而可證BPM 45 .方法三四：如圖3, 4,分別過(guò)M、ANC BN點(diǎn)作平行線(xiàn).從而可證BPM 45 .A思維拓展訓(xùn)練（選講）訓(xùn)練1.如圖，在4ABC中， C 90,點(diǎn)M在BC上，且BM AC, N在AC 上，且 AN MC , AM與BN相交于P .求證： BPM 45 .【分析】由45。角想到等腰直角三角形，所以平移BN使其過(guò)點(diǎn)A或點(diǎn)M ,或者平移AM使其過(guò)點(diǎn)B或點(diǎn)N ,將離散

16、的線(xiàn)段集中在特殊三角形中，就能解決問(wèn)題.【解析】方法一：如圖1,分別過(guò)A、B作BN、AC的平行線(xiàn)相交于點(diǎn) D,連接DM ,可得到弦圖模型的全等 4ACM WMBD、平行四邊形 ADBN以及等腰直角三角形 AMD ,從而可證 BPM 45方法二：如圖 2,分別過(guò)點(diǎn)B、點(diǎn)A作平行線(xiàn)，可得 ADNCAM、平行四邊形訓(xùn)練2.已知：如圖1, 4ABC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D、E、F分別為AB、AC、BC中 點(diǎn)，連接 DE、DF、EF .將 ABDF向右平移，使點(diǎn) B與點(diǎn)C重合；將 AADE向下平 移，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，如圖2.設(shè) AADE、BDF、4EFC的面積分別為 6、S2、S3,則G &

17、 S3 J3 （用“、”填空）已知：如圖 3, AOB COD EOF 60°, AD CF BE 2 ,設(shè) ABO、CDO、 EFO的面積分別為 &、S2、S3；問(wèn)：上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若 不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】S1 S2 S3而. 結(jié)論成立.證明：如圖，延長(zhǎng) OB到H使BH OE, 延長(zhǎng)OA到G使AG OD ,連接HG . OA AG OA DO AD 2 ,OB BH OB OE BE 2, AOB 60° , AGHO是等邊三角形. OG OH HG 2 , SAgho 事.在HG上取點(diǎn)M ,使MG OC . , HM MG HG 2

18、,OC OF CF 2, HM OF .MG CO ,在 AMGA和 ACOD 中，G COD 60 ,GA OD ,- S2SAMHB， S3SAMGA由圖形可知:SA ABOSAMHBSA MGASA GHO，訓(xùn)練3. SiS2S3SA GHOV3 ,即 §S2 S3 J3 .如圖，ABC 中，AB AC , D、E是AB、AC上的點(diǎn)且 AD CE .求證：2DE > BC .【分析】【解析】方法一：通過(guò)構(gòu)造平行四邊形把DE和-BC平移成共頂點(diǎn)的線(xiàn)段（如上圖，作中位線(xiàn),2利用斜邊大于直角邊）.方法二：通過(guò)構(gòu)造平行四邊形平移DE,使得DE和BC共頂點(diǎn).下面寫(xiě)出方法二的解析：（

19、如下圖2）過(guò)點(diǎn) B 作 BF / DE ,且 BF DE ,連接 EF、FC . / DAE / CEF , AE BD EF又 AD EC ADE ECFDE CF BF CF > BC即2DE > BC ,當(dāng)且僅當(dāng) DE為 ABC的中位線(xiàn)時(shí)，取到等訓(xùn)練4.圖4圖3圖2另外，此題還可以如圖 1, 3, 4那樣平移，每次均產(chǎn)生一個(gè)平行四邊形、一對(duì)全等三角 形，和一個(gè)新的等腰三角形.A如圖，四邊形 EFGH中，若12,則 3必然等于4 .請(qǐng)運(yùn)用結(jié)論證明下述問(wèn)題：如圖，在平行四邊形ABCD中取一點(diǎn)P,使得 5 6,圖1 AMGAACOD .同理可證： MHBWFOE求證： 78.【分析

20、】此題為信息題，難點(diǎn)在于如何理解已知條件,經(jīng)觀察我們發(fā)現(xiàn)，若1和2,位置為時(shí)可得出3和4相等（本質(zhì)為四點(diǎn)共圓）.圖中,5與6關(guān)系并不像條件所示，因此，需要改變角位置，而這點(diǎn)可以通過(guò)構(gòu)造平行四邊形來(lái)解決.而構(gòu)造平【解析】行四邊形，恰可以達(dá)到改變角位置作用, 種方法.為使 5與6成形，我們可有如下四分別過(guò)點(diǎn)B、P作BK / AP,PK II AB ,交于點(diǎn)K ,連接CK .BK II AP, PK II ABBK AP, PK AB,5. AB CD , AB II CD PK II CD , PK CD，四邊形PKCD為平行四邊形 PD CKAD BC AADP ABCK8 BCK在四邊形BKC

21、P中， BKPBKP ，7 BPK（6不動(dòng)移5）BPK BCK78K 丁 "- ,%K（5, 6不動(dòng)移）復(fù)習(xí)鞏固題型一 平移鞏固練習(xí)【練習(xí)1】 如圖，將一塊斜邊長(zhǎng)為 12cm, B 60的直角三角板 ABC, 繞點(diǎn)C沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 90°到A'B'C'的位置，再沿CB 向右平移，使點(diǎn) B'剛好落在斜邊 AB上，那么此三角板向右 平移的距離為.【解析】6 2 73-題型二 面積鞏固練習(xí)【練習(xí)2】 如圖，DABCD中，AC、BD交于點(diǎn)01，作口 BCDQi ,連結(jié) BDi交AC于點(diǎn)O2 ,作口 BCD2O2 ,連結(jié)BD2交AC于點(diǎn) 。3,以此類(lèi)推.若 AC AD, AD 1, ADC 60 , 則口 BCDnOn的面積是.（2013人大附期中）【解析】42【練習(xí)3】 如圖1,已知矩形 ABCD中，點(diǎn)E是BC上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) E作EFLBD于點(diǎn)F, EGLAC 于點(diǎn) G, CHLBD 于