1、精品文檔2014 -2015學年度第二學期數(shù)學分析2A試卷學院 班級 學號（后兩位） 姓名 題號一二三四五六七八總分核分人得分.判斷題（每小題3分，共21分）（正確者后面括號內打對勾，否則打叉）1 .若f x在a,b連續(xù)，則f x在a,b上的不定積分f xdx可表為xf t dt C （）. a2 .若 f x , g x 為連續(xù)函數(shù)，則 f x g x dx f x dx g x dx （）.3 .若 f xdx絕對收斂，g x dx條件收斂，則 f x g xdx必aaa然條件收斂（）.4 .若f xdx收斂，則必有級數(shù) f n收斂（） n 15 .若fn與gn均在區(qū)間I上內閉一致收斂，則

2、fn gn也在區(qū)間I 上內閉一致收斂（）.6 .若數(shù)項級數(shù)an條件收斂，則一定可以經(jīng)過適當?shù)闹嘏攀蛊浒l(fā)散于n 1正無窮大（）.7 .任何幕級數(shù)在其收斂區(qū)間上存在任意階導數(shù)，并且逐項求導后得到 的新幕級數(shù)收斂半徑與收斂域與原幕級數(shù)相同（）.二單項選擇題（每小題3分，共15分）a1 .若f x在a,b上可積，則下限函數(shù)f xdx在a,b上（）xA.不連續(xù) B.連續(xù) C.可微D.不能確定2 .若g x在a,b上可積，而f x在a,b上僅有有限個點處與g x不相 等，則（）A. f x在a,b上一定不可積；bbB. f x在a,b上一定可積，但是f x dx g x dx ;aa、bbC. f x在a

3、,b上一定可積，并且 f x dx g x dx ; aaD. f x在a,b上的可積性不能確定.n 13 .級數(shù)12nn i nA.發(fā)散B.絕對收斂C.條件收斂D.不確定4 .設 4為任一項級數(shù)，則下列說法正確的是（A.若lim Un 0 ,則級數(shù)un 一定收斂；nB.若lim u1,則級數(shù)Un 一定收斂；n U u nC.若N,當n N時有|uX 1,則級數(shù)Un一定收斂;D.若N,當n N時有|uj 1,則級數(shù)Un一定發(fā)散;5.關于幕級數(shù)anxn的說法正確的是（）A. anxn在收斂區(qū)間上各點是絕對收斂的；B. anxn在收斂域上各點是絕對收斂的；C. anxn的和函數(shù)在收斂域上各點存在各

4、階導數(shù)；D. anxn在收斂域上是絕對并且一致收斂的；三.計算與求值（每小題5分，共10分）1 1. lim n n 1 n 2 n n2.In sinx2- dx cos x四.判斷斂散性（每小題5分，共15分）精品文檔1.03.x 1x x2dx3.2.n 11 n 2n五.判別在數(shù)集1. fn XD上的一致收斂性（每小題 5分, sinnx,n 1,2 , D , n10分）2.22,六.已知一圓柱體的的半徑為 R,經(jīng)過圓柱下底圓直徑線并保持與底圓面300角向斜上方切割，求從圓柱體上切下的這塊立體的體積。（本題滿10分）七.將一等腰三角形鐵板倒立豎直置于水中（即底邊在上），且上底邊距水表

5、 面距離為10米，已知三角形底邊長為20米，高為10米，求該三角形鐵板所受 的靜壓力。（本題滿分10分）cosnx -一在上連續(xù)，且有連續(xù)的導函數(shù).（本八.證明:題滿分9分）2014 -2015學年度第二學期數(shù)學分析2B卷？答案學院 班級 學號（后兩位） 姓名 題號一二三四五六七八總分核分人得分、判斷題（每小題3分，共21分，正確者括號內打對勾，否則打叉）1.? 2. ? 3. ? 4. ? 5. ? 6. ? 7. ?.單項選擇題（每小題3分，共15分）1. B ; 2.C ; 3.A ; 4.D; 5.B.求值與計算題（每小題5分，共10分）1. lim2x edxixni解：由于 0&#

6、39; =dxxndx03. 2 2x0x sin x e3 分而 limxndx lim； 0n 0n n 1 3n 1故由數(shù)列極限的迫斂性得：4 分limn05 分22.設 f sin xsin xx r1 xfx dx解：令x sin2t得xf x dx =1 x_sin2t_.1 sin21f sin21 d sin212分sin t tcost sin t2 sin t costdt=2 tsintdt2t cost 2sint C=2 ： 1 x arcsinx 2、.x C四.判別斂散性（每小題5分，共10分）( 1 arctan x ,1. dx0 1 x2解:lim 1 xx

7、 1 012 arctan x一1一x2arctan x lim x 10 . 1 x 4,2由柯西判別法知,瑕積分1 arctan x0 -.1 x2dx收斂解:lim ln n nln n從而當nn01ln n ln n由比較判別法1ln n2 ln n收斂五.判別在所示區(qū)間上的一致收斂性（每小題 5分，共15分）1. fn x,n 1,2D 0,解：極限函數(shù)為f xlim fn x n又fn x1/n212xnsup fn xf從而 lim sup fnn故知 該函數(shù)列在D上一致收斂.x1 ,12. 2 nsin 丁 ，D 3n解：因當x D時,Un x2nsin 二 3n而正項級數(shù)n2

8、收斂,3由優(yōu)級數(shù)判別法知,該函數(shù)列在D上一致收斂.解：易知,D級數(shù)1n的部分和序列Sn 一致有界，-2分D,VnD, Vn-是單調的，又由于 n1_所以Vn x在D上一致收斂于0,從而由狄利克雷判別法可知，該級數(shù)在D上一致收斂。六.設平面區(qū)域D是由圓x2 y2 2 ,拋物線y x2及x軸所圍第一象限部分,求由D繞y軸旋轉一周而形成的旋轉體的體積（本題滿分 10分）解：解方程組22x y2y x2得圓x22與拋物線y x2在第一象限的交點坐標為：1,1 ,3 分則所求旋轉體得體積為： i2iV 02ydy 0 ydy 7 分=-10 分67 .現(xiàn)有一直徑與高均為10米的圓柱形鐵桶（厚度忽略不計）

9、，內中盛滿水，求從中將水抽出需要做多少功？（本題滿分 10分）解：以圓柱上頂面圓圓心為原點，豎直向下方向為 x軸正向建立直角坐標系 則分析可知做功微元為：dW 52 xdx 25 xdx 5 分10故所求為： W 2150 xdx 8 分=1250=12250 （千焦）10 分8 .設un x n 1,2 是a,b上的單調函數(shù)，證明：若 un a與 un b都絕對收斂，則un x在a,b上絕對且一致收斂.（本題滿分9分）證明：un x n 1,2是a,b上的單調函數(shù)，所以有Un x un a un b 4 分又由 un a與 un b都絕對收斂，所以 un a un b 收斂，7 分由優(yōu)級數(shù)判

10、別法知：un x在a,b上絕對且一致收斂.2013 -2014學年度第二學期數(shù)學分析2A試卷學院 班級 學號（后兩位） 姓名 題號一二三四五六七總分核分人得分.判斷題（每小題2分，共16分）（正確者后面括號內打對勾，否則打叉）1 .若f（x）在a,b上可導,則f（x）在a,b上可積.（）2 .若函數(shù)f（x）在a,b上有無窮多個間斷點，則f（x）在a,b上必不可積。（）3 .若f（x）dx與g（x）dx均收斂，則 f （x） g（x）dx一定條件收aaa斂。（）4 .若fn x在區(qū)間I上內閉一致收斂，則fn x在區(qū)間I處處收斂（）a5 .若 an為正項級數(shù)（烝0）,且當n n0時有：1 ,則級數(shù)

11、 n 1anan必發(fā)散。（） n 16 . 若f x以2為周期，且在 ，上可積，則的傅里葉系數(shù)為:1 2an o f x cosnxdx （）7 .若 an s，則 an an 1 2s a1（） n 1n 18 .幕級數(shù)在其收斂區(qū)間上一定內閉一致收斂。（）二.單項選擇題（每小題3分，共18分）1 .下列廣義積分中，收斂的積分是（）A 1 1 dx0、x0 sin xdx1 1 .13 dx2級數(shù) an收斂是n 1an部分和有界的1A必要條件B充分條件C充分必要條件無關條件3.正項級數(shù)un收斂的充要條件是A. lim un 0 nB.數(shù)列un單調有界C.部分和數(shù)列Sn有上界 D. lim nn

12、n 1un4設 limnan 1ana則幕級數(shù)bnanx1的收斂半徑R二(A. a1B. ab11bD.- a5.下列命題正確的是(an (x)在a,b絕對收斂必一致收斂 n 1an (x)在a,b 一致收斂必絕對收斂 n 1若lim|an(x)| 0,則an(x)在a,b必絕對收斂D an (x)在a,b條件收斂必收斂 n 16.若幕級數(shù)anxn的收斂域為 1,1，則幕級數(shù) anxn在1,1上D.可導A. 一致收斂B.絕對收斂C.連續(xù)三.求值或計算（每題4分，共16分）1. xx 1 ln x dx ；2. -1dx sin xcosx|xx e 1 dx .4.設f x在0,1上連續(xù)，求“

13、m 丁 n x dx四.（16分）判別下列反常積分和級數(shù)的斂散性1. dX 一1 3 2x4 3x232. -dx 1 x ln(1 x)4._n 一e n!五、判別函數(shù)序列或函數(shù)項級數(shù)在所給范圍上的一致收斂性（每題5分,共10分）1. fn(x) x2 n 4 , n 1,2, ;x (,)22 ( 1)n 1.onnn 13 X;x D , 0.50.5,六.應用題型（14分）1. 一容器的內表面為由x2繞y軸旋轉而形成的旋轉拋物面，其內現(xiàn)有水 （m3）,若再加水7（m3）,問水位升高了多少米?2.把由y e x, x軸，y軸和直線x0所圍平面圖形繞x軸旋轉得1一一旋轉體，求此旋轉體的體積

14、V ,并求酒足條件V a - lim V 的a. 2七.證明題型 (10分)已知f x與g x均在a,b上連續(xù)，且在a,b上恒有fx gx,但fx不恒等于g x ,證明：bbf(x)dx g(x)dx aa2013 -2014學年度第二學期數(shù)學分析2» B試卷學院 班級 學號（后兩位） 姓名 1.對任何可導函數(shù)f x而言，f xdxf x C成立。（2.若函數(shù)f x在a, b上連續(xù)，則F x 原函數(shù)。（）ft dt必為f x在a,b上的3 .若級數(shù) an 1n收斂，必有l(wèi)im nan 0。x4 .若 lim n/|ann ,1 ,則級數(shù) an發(fā)散.n 1題號一二三四五六七總分核分人得

15、分、判斷題（每小題2分，共18分，正確者括號內打對勾，否則打叉）5 .若幕級數(shù)anxn在x 2處收斂，則其在-2,2上一致收斂.（）n 16 .如果f x在以a,b為端點的閉區(qū)間上可積，則必有bbf x dx f x dx .aa7 .設f x在1,上有定義，則1 f xdx與級數(shù) f n同斂散.（）n 18 .設f x在a,b任子區(qū)間可積，b為f x的暇點，則b f x dx與 a1 1一 -dt同斂散.t t29.設 fna,x0x0,b 上一致收斂，且 lim fn xan n Nx x0存在，則lim nlim fn xx x0.單項選擇題(每小題lim lim fn x .x xo

16、n3分，共15分)1.函數(shù)f(x)在a,b上可積的必要條件是(A連續(xù)B有界C無間斷點D有原函數(shù)2.卜列說法正確的是(A.an和1nbn收斂,1an bn也收斂3.B.C.an和n 1n 1bn發(fā)散,an收斂和1nD. an收斂和n 1(an bn)發(fā)散n 1bn發(fā)散,1bn發(fā)散, n 1an(x)在a,b收斂于 a(x), n 1A. an (x) an 1(an bn)發(fā)散n 1anbn發(fā)散 n 1且an(x)可導，則(B. a(x)可導C.n 1ban(x)dx abaa(x)dxD. an(x)一致收斂，則a(x)必連續(xù) n 14.級數(shù)n 1A.發(fā)散n 111 n2nB.絕對收斂C.條件

17、收斂D.不確定5.幕級數(shù)n2n n ,0r7xn的收斂域為:A. (-0.5Q.5 ) B.-0.5,0.5 C.0.5,0.5 D.0.5,0.5三.求值與計算題（每小題4分，共16分）1.sin xcosx2 sin2 xdx2. x dxx< x2 11 3. lim n n n 1 n n 1 n nb4. 2x a bdxa四.判別斂散性（每小題4分，共16分）1.1xarctanx ,FTdx；3.n 14. n 1n 11 cos-n五.判別在所示區(qū)間上的一致收斂性（每小題5分，共10分）1. fn1 (n 1)x00 x 1/(n1/(n1) x1)n 1,2,. x 0

18、,112.1 n 11 (x2，n)n六.應用題型（16分）1.試求由曲線y x2及曲線x2所平面圖形的面積.2.將1二Osxdx表達為級數(shù)形式，并確定前多少項的和作為其近似，可 0 x使之誤差不超過十萬分之一.七.(9分)證明：若函數(shù)項級數(shù)un x滿足：(i) x D, un(x) an n 1,2; (ii)an 收斂.則函數(shù)項級數(shù)un x在D上一致收斂.014 -2015學年度第二學期數(shù)學分析2» A卷？答案判斷題（每小題1. ? 2. ? 3. ?3分，共21分）4.? 5. ? 6.7.單項選擇題（每小題3分，共15分）B, C, C, D, A.計算與求值（每小題5分，共

19、10分）1.解：原式=lim n n .n=lim exp lnnk 1n= exp lim lnnk 12= exp ln xdx=4e 12.原式= ln sin x d tanx=ln sinx tanx tanx cotxdx 4 分=ln sin x tan x x C 5 分四.判斷斂散性（每小題5分，共15分）323 x 1門八1. lim x f=r 3 2 分x 1 % x x2一 3.且 p 1 3 分23 x 1 一一八由柯西判別法知，3 l 12dx收斂。5分0 1 x x22.由比式判別法an 1 lim n anlimnlim 二n 1 1/ n1 -4 分故該級數(shù)

20、收斂.3. 解：由萊布尼茲判別法知,交錯級數(shù)1n”, 收斂n 1 n2n知其單調且有界,故由阿貝爾判別法知,五.1.解：極限函數(shù)為f x級數(shù)收斂lim fn xnfn xsin nxlim sup fn n2.解：因當0 故知x D時,該函數(shù)列在致收斂.2 nn x2 n2n2而正項級數(shù)二收斂,2n由優(yōu)級數(shù)判別法知，該函數(shù)列在 D上一致收斂.300角向斜上方切割，求所切下這塊立體的體積。（本題滿分10分）六.已知一圓柱體的的半徑為 R,由圓柱下底圓直徑線并保持與底圓面過x處用垂直x軸的平面取截該立體，所得直角三角形的面積為:S x 1、R* 22J3tan300R2 x2R2x26故所求立體的

21、體積為:dx10分R 32V R3nR 6則第一象限等腰邊的方程為10壓力微元為:dF 2 10 x10_2dx 2 100 x dx故所求為1021000dx1333.3313066.67 千牛10分八.證明:Uncosnx xn1,2每一項在上一致收斂,cosnx +所以一廠在n故由定理結論知f x再者Un X器竺在，上連續(xù)， n挈X而口收斂 n nn5 分所以 un x在上一致收斂，結合unx在 ，上的連續(xù)性可知f xcosnx上有連續(xù)的導函數(shù).9分2014 -2015學年度第二學期數(shù)學分析2» B試卷學院 班級 學號(后兩位) 姓名 題號一二三四五六七八總分核分人得分二、判斷

22、題(每小題3分，共21分，正確者括號內打對勾，否則打叉)1 .若f x為偶函數(shù)，則 f xdx必為奇函數(shù)().x2 . y sgn x為符號函數(shù)，則上限函數(shù)y= sgn t dt在 ， 上連續(xù)a().3 .若f xdx收斂，必有 lim f x 0().ax4 .若fn在區(qū)間I上內閉一致收斂，則 fn在區(qū)間I上處處收斂().5 .若 Un(x)在a,b上內閉一致收斂，則 Un(x)在a,b上一致收斂()n 1n 16 .若數(shù)項級數(shù)an絕對收斂，則經(jīng)過任意重拍后得到的新級數(shù)仍然絕對n 1收斂，并且其和不變().7 .若函數(shù)項級數(shù)un(x)在a,b上的某點收斂，且 un(x)在a,b上一致收斂，則un(x)也在a,b上一致收斂().二.單項選擇題(每小題3分，共15分)1 .函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在a,a上可積，則()aaaA a f (x)dx 2 0f (x)dx B a f (x)dx 0aaaC a f (x)dx 2 0f(x)dx