1、絕密啟用前2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)本試卷共23題，共150分，共5頁。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。注意事項(xiàng)：1答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在 條形碼區(qū)域內(nèi)。2. 選擇題必須使川2B鉛筆填涂：非選釋題必須使川0. 5亳米黑色字跡的簽字 筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3. 請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題II的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書的答案無效: 在茸稿紙、試題卷上答題無效.4. 作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須川黑色字跡的簽字筆描黑。5. 保持卡面淸潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使川涂改液、修正帶、刮 紙刀。一、選擇題：本題共12小

2、題，每小題5分，共60分。在每小題給岀的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一 項(xiàng)是符合題目要求的。1. 已知集合A/ = x|-4vxv2, AT = x|x2-x-6<0,則MflN =A. x|-4<x <3)B. x -4 <x <-2Cx|-2 <x<2Dx|2vxv32. 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z i=l, z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（x, y）,則A. (x+1)2 +y2=lC. F+(y_l)2=l3. Li知 d = log0.2, d = 202, c = 0.2°3,則A a <b<cB. a <c <bB. (x-1)2 +y

3、2 = 1D. F + (y+1尸=1C. c <a <bD. b <c <a4古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的K 度z比是百二1 （百二1=0.618,稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維 2 2納斯”便是如此.此外，最羌人體的頭頂至咽喉的長度與咽腋至肚臍的長 度之比也是逅二1.若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，M腿長為105 2cm,頭頂至脖f下端的長度為26 cm,則其身高可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190 cm5.函數(shù)/(x) = S11U + 在-九兀的圖像人致為COSX +6.7.8.我國古代典籍

4、周易J|J “卦”描述萬物的變化.從下到上排列的6個(gè)爻組成.爻分為陽爻“如圖就是重卦.在所有重卦中隨機(jī)取重卦，則該重卦恰有3個(gè) 陽爻的槪率是5A.1621C.32每 “重卦”山 ”和陰爻“11B.3211D.16已知非零向量a,。満足|=2卩|,且(a-b)丄。，則a與力的夾角為 A.上6JTB.-3271C.3D.5兀如圖是求一氣一“2的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入A.B.12=2+AA 2 十C. A=1+2/D. A= 1 + 2A開始了個(gè)A.7廠Bi1-L >-7T0 Airx-IT、“0I9記q為等差數(shù)列%的前"項(xiàng)和己知$4 = 0, a5 = 5 ,則A. =2ji

5、-5B. an =3?-10nnC. Sn = 2ir -SfiD. S =rr-2jinn 2io.la知橢圓c的焦點(diǎn)為(-i,o),坊(1,0), a f2的直線與c交r j, b兩點(diǎn).若AF2=2F2Bt AB冃腫;則C的方程為43D.54-> >A. + V* =1 B. + = 1C.37J11. 關(guān)于函數(shù)/(x) = sin|x| + |sin天|自下述四個(gè)結(jié)論:f (x)是偶函數(shù)廣(x)在區(qū)間(上，兀)單調(diào)遞增2(§y(x)在-兀，刃有4個(gè)零點(diǎn)f(x)的最人值為2其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是A.B.©C.D.®12. 已知三棱錐P-ABC的四

6、個(gè)頂點(diǎn)在球0的球面上，Ri=PB=PC, A-15C是邊長為2的正 三角形，E, F分別是加的中點(diǎn)，ZC£F=90° ,則球O的體積為A. 8>/6nE. 4、用兀C. 2y6nD.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13. 曲線y = 3(.v2 + x)ex在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為14. 記S”為等比數(shù)列心的前"項(xiàng)和.若©=丄，& =心，則玉=315. 甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四場勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績，甲隊(duì)的主客場安排依次為“主主客客主客主”.設(shè)甲隊(duì)主場 取勝的概率為0

7、.6,客場取勝的概率為0.5, II.各場比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4： 1 獲勝的概率是.2 216. C知雙曲線C：亠-真=1>0>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi，F(xiàn)19過Fi的直線與Ca b的兩條漸近線分別交于)兩點(diǎn)若幣=忑，帀耳=0,則C的離心率為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫岀文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題， 每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共60分。17. (12 分)/ABC 的內(nèi)角 A.B.C 的對(duì)邊分別為 a.b,c,設(shè)(sin3-sin C)，= sin2 A-sinBsinC (1) 求/：(2

8、) 若yfla + b = 2c t 求 sinC.18. (12 分)如圖，直四棱柱肋3的底面是菱形4尸4,肋=2,ZBAD=6L , E, M. N 分別是 BB. AD 的中點(diǎn).(1) 證明：平面CiDE；(2) 求二面角A-NLh-N的正弦值.19. （12 分）已知拋物線a的焦點(diǎn)為F,斜率為斗的直線/與C的交點(diǎn)為dB,與x軸的交點(diǎn)為P（1）若HF1+QF1=4,求/的方程：（2）若 AP = 3PB 求H3|.20. （12 分）已知函數(shù)/（x） = sinx-ln（l + x）, /'（x）為/的導(dǎo)數(shù).證明:（1）廣（x）在區(qū)間（-1上）存在唯一極人值點(diǎn)；2（2）/有且僅有

9、2個(gè)零點(diǎn).21. （12 分）為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希瑕知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物 試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn).對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一 只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥 治愈的門鼠比另一種藥治愈的門鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效為 了方便描述問題.約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則 甲藥得1分，乙藥得-1分：若施以乙藥的白鼠治愈14施以甲藥的白鬣未治愈則乙藥得1分, 甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為

10、a 和0，輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.（1）求X的分布列；（2）若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分,“（2 0,1,8）農(nóng)示“屮藥的累計(jì)得分為 f時(shí),最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率,則Po=O, Ps = l，Pt=apz+bpj+cp沁0 = 12,7),其中 a=P(X =l), b = P(X = Q), c = P(X = l).假設(shè) a = 0.5, 0 = 0.8.(i)證明：3®-p(2 0,l,2,7)為等比數(shù)列；di）求卩，并根據(jù)刃的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第 一題計(jì)分。22. 選

11、修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10分）曲線C的參數(shù)方程為y=i-ri+r4/1+?a為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.直線/的極坐標(biāo)方程為2Qcos& + JJpsin& + ll = 0.（1）求C和/的直角坐標(biāo)方程：（2）求C上的點(diǎn)到/距離的最小值.23. 選修4-5：不等式選講(10分)己知a, b, c為正數(shù)，H.滿足abc=.證明: 111 / J J.(1) + + 5曠+Zr+C；a b c(2) (a + » + (b + c)' + (c + a)»242019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)參考答案

12、一、選擇題1. C 2. C 3. B 4. B 5. D 6. A 7. B & A 9. A 10. B 11. C 12. D二、填空題12113. y=3xl4.15. 0.1816 2三、解答題17解：（1）由已知得sin2 B + sin2 C - sin2 A = sinB sin C ,故由正弦定理得b1 +c2 -«2 =bc .> 2 2 2 1it余弦定理得cos A =二 = 2bc 2因?yàn)?° <-4<180°,所以A = 60（2）山（1）知二120°-C,山題設(shè)及正弦定理得 >/2 sinJ

13、+ sin （120° - C） = 2 sin C ,即+ cos C +sinC =由T0e<C<120°,所以sinATsin C = sin （C + 60° - 60 J=sin（C +60）cos60° - cos（C +60°）sin60°a/6 + 72418. 解：(1)連結(jié)ME.因?yàn)镸, E分別為方場，方2的中點(diǎn)，所以IEBG J11NfEBC.2又因?yàn)镹為旳D的中點(diǎn)，所以NZX丄由題設(shè)知22BDC,可得EC/dQ.樹ME出ND,因此四邊形ACVDE為平行四邊形，NIN/ED.又MVU平面QCi， 所以

14、MV 平面CxDE.(2)山已知可得DE丄ZU.以Z為坐標(biāo)原點(diǎn)，萬7的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.則加(2,0,0) ,Ji(2A4), J/(tV3,2) , N(l,0.2),不=(0,0.-4) , Al = (一1、7-2) 麗=(-1,0,-2), 而=(0,-巧,0)f/w-OZ = 0 設(shè)m = (x,y,z)為平面血僞的法向量，則< 一加4/ = 0.(-x + >/3v-2z = 0,l所以可取 m=(>/3,1,0).-Az = 0.n A£V = 0, 設(shè) =(h qi)為平面的法向量則 一n 4N = 0.所以 J

15、"? = Q，可取 =(2,0, -1).-p- 21 = 0.2x55所以二面角A-AL4.-N的正弦值為亟.5319. 解：設(shè)直線l:y = -x+t,A(xl,yl),B(x29y2).(1)山題設(shè)得尸,故|"| + |肋>兀+勺+斗，由題設(shè)可得Xi+Xj.hy=2X + t，可得 9x2 + 12(/-1)x + 4/2=0,則西+吃=_12«_1).y2 = 3x92837所以/的方程為y = -x一一.2 8(2) ihAP = 3PB 可得yx = -3y2.3.叫丿 2,可得y-2y + 2t = 0.y2 = 3x所以71+丿2=2 .從而

16、一3必+必=2,故必=一1,比=3代入C的方程得兀=3,曲=丄.320. 解：(1)設(shè)g(x) = /，(x),則g(x) = cosx ，gV) = -sinx + - .1 + x(1 + x)-當(dāng)仁(一1冷)時(shí)，g，(x)單調(diào)遞減，而g'(o)>og(£)vo,可得g©)在(一1，另有唯一零點(diǎn)，設(shè)為"時(shí)，g'(x)v0.則當(dāng)XW (-1。)時(shí).gf(x) > 0:當(dāng) XW所以g(x)在(-2)單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減，故g(X)在-1,蘭存在唯極大值點(diǎn),即/©)在存在唯極大值點(diǎn)(2) /(x)的定義域?yàn)?-1,乜).(i)當(dāng)

17、xe(-l,O時(shí)，由(1)知,廠(町在(-1,0)單調(diào)遞增,而廣(0) = 0,所以當(dāng)xg(-1,0)時(shí)，廣(x)v0,故/(x)在(-1,0)單調(diào)遞減，又/(0)=0 ,從而x二0是/(.V)在(-1,0的唯一零點(diǎn).單調(diào)遞(ii)當(dāng)*彳0,號(hào)時(shí)，由(1)知，廠(x)在(0,q)單調(diào)遞增，在”，號(hào)減，而廣(0)=0, ff(712<0,所以存在弓j，使得廠(“) = 0,且當(dāng)xw(O,0)時(shí)，廣(x)>0：當(dāng)* 0匸時(shí)，/Xx)<0.故/(x)在(0,0)單調(diào)遞< 2)增，在0冷單調(diào)遞減.又 /(0)=0=1 一ln(l +號(hào))>0 ,所以當(dāng)XG時(shí),/(x)>

18、;0 從而,沒有零點(diǎn).(iii)當(dāng)兀wg,兀時(shí)，/Xx)<0,所以/在-9n單調(diào)遞減.而/-I 2 丿I 2丿>0,/(K)< 0 ,所以/在7C有唯一零點(diǎn).(iv)當(dāng)xg(k,+oo)時(shí),ln(x + l)>l,所以 f(X)<0,從而/(x)在(n,+oo)沒有零點(diǎn).綜上，/("有且僅有2個(gè)零點(diǎn).21. 解：X的所有可能取值為一1,0,1P(U) = (l-a)0,PX = 0)=妙 + (1 - a)(l - 0),P(X = 1) = "(1_“)所以X的分布列為(I-a)p a4(l 一a)(l -0) a(l -尸)(2) (i)山(1)得a = 04, Z? = 0.5, c = Ol.因此戸=0切,1+05戸+0.1戸+1，故 0.1(p+i-pJ = 0.4(pp.J,即陽-卩=4(卩-耳1)又因?yàn)镻_ Po =,所以p,+1 - p, (z = 0,1,2,- - -,7)為公比為4首項(xiàng)為Pi的等比數(shù)列.(ii)山(i)可得4s -1Ps = Pg_ P7+ P? _ P6+ P_ Po + Po =(仏一卩7)+ (卩7-仇)+(P】Po) = Pl3由于A=l故卩1=了二7，所以