1、學習必備歡迎下載高一數學必修5 第一章解三角形教學設計教學過程理解定理 正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即abcsin Asin Bsin C（ 1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數為同一正數，即存在正數k 使 ak sinA， bk sinB ， ck sin C ；（ 2）abcabcbacsinAsinBsin C 等價于 sin AsinB ， sinCsinB ， sinAsinC從而知正弦定理的基本作用為：已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如absinAsinB ；已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，

2、如sinAa sin B 。b一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形 。 例題分析 例題.在ABC 中 , 已知 a3 ,b2 , B=45 0. 求 A、 C和 c.解 :B450900且 ba,A有兩解 .由正弦定理 , 得 sin Aa sin B3sin 4503A600 或A1200b221)0時 ,C=1800-A-B=750,b sin C2 sin75062當 A=60csin Bsin 4502b sin C0622)當 A=1200時 ,C=1800-A-B=150c2 sin15,sin Bsin 4502練習： 1)ABC中, c6, A450

3、 , a23, 求 B、 C、 b.2)ABC中,c6, A45 0 , a2, 求 B、 C、 b.3）已知ABC中， sin A:sinB:sinC 1:2:3，求 a: b : c小結 （由學生歸納總結）（ 1）定理的表示形式：abcabckk0；sinAsinBsin CsinAsin Bsin C或 ak sin A ， bk sin B ， ck sin C( k0)（ 2）正弦定理的應用范圍：已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。學習必備歡迎下載課題 : 1.1.2余弦定理授課類型：新授課 理解定理 余弦定理 ：三角形中任何一邊的平方等于其他

4、兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即a2b2 c 2 2bc cosAb2a2 c 22ac cos Bc 2a2 b2 2abcosC思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可求出第四個量，能否由三邊求出一角？（由學生推出）從余弦定理，又可得到以下推論：cosA b2 c2 a2，cosB a2 c2 b2 ，cosCb2 a 2 c22bc2ac2ba從而知余弦定理及其推論的基本作用為：已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；已知三角形的三條邊就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊

5、平方之間的關系，如何看這兩個定理之間的關系？（由學生總結）若ABC中， C=900 ，則 cosC0 ，這時 c2a2b2由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。 例題分析 例 1在ABC中，已知 a23 ， c62 ， B600 ，求 b 及 A解： b2 a2c2 2accosB = (2 3) 2( 62) 222 3(62) cos 450=12(62)2 4 3( 3 1)=8 b 2 2.求 A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一： cosb2c2a2(22)2(62 )2(2 3)210A2bc22 2( 62)2 ,A 60.解法二： sin Aa

6、sinB23 sin45 0 ,b22又 62 2.41.43.8,2 3 2 1.83.6, a c ，即 00 A 900, A 600.評述：解法二應注意確定A 的取值范圍。練習： 在ABC中，若a2b2c2bc ，求角 A（答案： A=120 0 ）小結：（ 1）余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規律，勾股定理是余弦定理的特例；（ 2）余弦定理的應用范圍：已知三邊求三角；已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。課題 : 1 1 3 解三角形的進一步討論授課類型：新授課教學過程 探索研究 例 1 在 ABC中，已知 a,b, A，討論三角形解的情況分析：先由 sin Bbsin A 可進一步

7、求出B；則 C1800 ( A B) ，從而 ca sin CaA1當 A 為鈍角或直角時，必須ab 才能有且只有一解；否則無解。學習必備歡迎下載2當 A 為銳角時，如果 a b ，那么只有一解；如果 ab ，那么可以分下面三種情況來討論：（ 1）若a bsin Aab sin Aa bsin A，則無解。，則有兩解； （ 2）若，則只有一解； （ 3）若（以上解答過程詳見課本第9-10 頁）評述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，只有當 A 為銳角且 bsin Aa b 時，有兩解；其它情況時則只有一解或無解。練習 :（ 1）在ABC中，已知 a80 ， b 100，A450

8、 ，試判斷此三角形的解的情況。（ 2）在ABC中，若 a1， c1 ，C400 ，則符合題意的b 的值有 _ 個。2450 ，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求（ 3）在ABC中， axcm ， b2cm，Bx 的取值范圍。（答案：（ 1）有兩解；（ 2） 0；（ 3）2x22）利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形狀例 2 根據所給條件 , 判斷ABC 的形狀 .abc1）在ABC中，已知 a7 ， b 5 ， c3 。 2） a cos A b cos B;3 ）cos A cos BcosCa2b2c2A是直角ABC是直角三角形分析：由余弦定理可知a2b2c2A是鈍角ABC是鈍角三角形a2

9、b2c2A是銳角ABC是銳角三角形（注意：是銳角ABC是銳角三角形 ）A1）解：725232 ，即 a2b2 c 2 ，ABC是鈍角三角形 。2）解 :解法一 (化邊 )由余弦定理得 a cos Ab cos Ba( b2c 2a2)b ( a 2c 2b2)2bc2aca 2 c2a4b2c 2b40 ,(a2b 2 ) (c 2a2b2 ) 0a 2b 20或 c 2a 2b20 a2b2c2或 a b故ABC 是直角三角形或等腰三角形解法二 ( 化角 ) 由 a cos Ab cosB; 可得2R sin A cos A 2Rsin B cosB即 sin 2 A sin 2B2 A2B

10、 或2 A2B1800,即 A0B 或 A+B=90故 ABC 是直角三角形或等腰三角形csin Ac sin B3）解： ( 化角 ) 解法一 :由正弦定理得a,bsin Csin Ccsin Ac sin Bcsin Bsin C代入已知等式得,sin Acos A sin Ccos Bsin CcosCcos Acos BcosC即 tan Atan BtanCA,B,C(0,)ABC故ABC 是等邊三角形學習必備歡迎下載( 化邊 ) 解法二 : 由已知等式得2Rsin A2R sin B2Rsin Ccos AcosBcosC即 tan Atan BtanCA,B,C(0, )ABC故

11、 ABC 是等邊三角形練習：1）在ABC中，已知 sin A:sinB:sin C1:2:3 ，判斷ABC的類型。2）在ABC中， A 600 ， a1， bc2，判斷ABC的形狀。3）判斷滿足下列條件的三角形形狀，sinC =sin Asin Bcos Acos B提示：利用正弦定理或余弦定理，“化邊為角”或“化角為邊”三角形面積公式，S= 1 absinC ， S= 1 bcsinA, S=1 acsinB222例 3、在ABC中，求證：（1） a 2b 2sin 2Asin2B ;c2sin 2 C（ 2） a 2 + b2 + c 2 =2（ bccosA+cacosB+abcosC

12、）分析：這是一道關于三角形邊角關系恒等式的證明問題，觀察式子左右兩邊的特點，聯想到用正弦定理來證明證明：（ 1）根據正弦定理，可設a=b=c= k顯然 k0，所以sin Asin Bsin Ck 2 sin 2sin 2sin 2 Ba 2b2k 2 sin 2ABA左邊 =c 2k 2 sin 2 C=sin 2C=右邊（ 2）根據余弦定理的推論，右邊 =2(bcb 2c2a 2+ca c2a 2b2+ab a 2b2c 2)2bc2ca2ab=(b2 +c 2 - a2 )+(c2 +a 2 -b 2 )+(a 2 +b 2 -c2 )=a 2 +b 2 +c 2 =左邊變式練習1：已知在

13、ABC中，B=30,b=6,c=63, 求 a 及ABC的面積例 4在ABC中， A600 ， b1，面積為3，求sinabc的值2A sin B sin CS111分析：可利用三角形面積定理2 absin C2 acsin B2 bc sin A以及正弦定理abcabcsin AsinBsinCsin A sin Bsin C解：由 S1 bc sin A3 得 c2 ，則 a2b2c 22bc cos A=3，即 a3 ，從而2a bc 2a2sin AsinBsinCsinA練習：（ 1）在ABC中，若 a55， b16，且此三角形的面積S2203，求角 C（ 2）在ABC中，其三邊分別為a、 b、 c，且三角形的面積Sa2b2c2，求角 C