1、精選優質文檔-傾情為你奉上前言21世紀，數字化時代已經來臨，數學在人類社會中發揮著日益重要的作用。作為基礎教育的核心課程，數學學習與孩子的思維發展密切相關。為了激發孩子的學習興趣，培養良好學習習慣，提高孩子的邏輯思維能力和創新能力，幫助孩子考上一所名牌中學，我們特此編寫了本教材。具體來說本教材有以下幾個方面的亮點：1內容豐富：本書根據新課標對小學階段數學知識的劃分，安排了數的認識、數的運算、空間與圖形、解決問題、實戰模擬五個板塊的內容。分類系統學習，各個擊破，提高效率，針對性和指導性更強。2循序漸進：本書的例題講解由淺入深，解答過程剖析詳盡。拓展演練與例題講解的要點密切配合，引導學生拾級而上，

2、循序漸進地進行學習。3專題輔導：精心摘錄了各校試卷中相關內容的不同題型，方便教師和家長有針對性地輔導，也可使學生從題海中解脫出來，精練典型題，從而實現舉一反三的學習目的。4選題新穎：所選例題和練習題內容豐富，貼近學生的現實生活，開闊學生的數學視野，激發學生的學習興趣，培養孩子創新思維能力。今天，我們為孩子提供一套點撥方法、啟迪思維的數學學習禮物。希望通過我們的引導，讓孩子擁有學習數學的智慧和快樂，在學習中找到成功的喜悅，培養孩子的創新思維能力，幫助他們塑造一個真正富有競爭力的未來。目錄一、數的認識二、數的運算三、空間與圖形四、解決問題五、實戰模擬8專心-專注-專業第1講 數的認識一、夯實基礎1

3、數的意義（1）自然數我們在數物體的時候，用來表示物體個數的數，像1、2、3叫做自然數。（2）小數把整數“1”平均分成10份、100份、1000份這樣的一份或幾份是十分之幾、百分之幾、千分之幾可以用小數表示。（3）分數把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數叫做分數。（4）百分數表示一個數是另一個數的百分之幾的數，叫做百分數。百分數也叫百分率或百分比。百分數不能表示一個確定的數量，因此，百分數后面不帶計量單位。2數的大小比較（1）整數的大小比較比較兩個整數的大小，先看位數，位數多的數大；位數相同，從最高位看起，相同數位上的數大的那個數就大。（2）小數的大小比較比較兩個小數的大小，先看

4、整數部分，整數部分大的小數比較大；如果整數部分相同，就看十分位，十分位大的小數比較大；如果十分位相同，再看百分位，百分位大的小數比較大（3）分數的大小比較 整數部分相同的同分母分數，分子大的分數比較大。例如：，22。整數部分相同的同分子分數，分母小的分數比較大。例如：，33。分子、分母不相同的分數，一般先通分再比較，也可以把各個分數化成小數再進行比較。3小數、分數、百分數的互化（1）小數化成分數。原來是幾位小數，就在1后面寫幾個零做分母，把原來的小數去掉小數點做分子，能約分的約分。（2）分數化成小數。分母是10、100、1000的分數，可以直接去掉分母，看分母中1后面有幾個零，就在分子從最后一

5、位起向左數出幾位，點上小數點。分母是任意自然數的分數化成小數的一般方法是分母去除分子。一個最簡分數，如果分母中有除了2和5以外的質因數，這個分數就不能化成有限小數。（3）小數化成百分數。只要把小數點向右移動兩位，同時在后面添上百分號。（4）百分數化成小數。只要把百分號去掉，同時把小數點向左移動兩位。（5）分數化成百分數。通常把分數化成小數后（遇到除不盡時常要保留三位小數），再化成百分數。（6）百分數化成分數。先把百分數改成分母是100的分數，再約分成最簡分數。二、典型例題例1比較下列各組分數的大小 （1）和 （2）和分析：進行分數的大小比較時，首先要仔細觀察每組分數的特點，然后再靈活選擇比較方

6、法，比較的方法越簡單越好。（1）和這兩個分數的分母比較大，分子比較小，可變為同分子比較。 （2）和這兩個分數一個大于，一個小于，可用為標準進行比較。 解（1）：=，=， ，得出。 解（2）：，得出。例2某數增加它的20%后，再減少20%，結果比原數減少了（ ）。 A. 4%       B. 5%       C. 10%       D. 20%分析：宜用設數驗證法。可以通過設數計算來加以判斷。解：設某數為100則

7、100×（1+20%）=120， 120×（120%）=96，（10096）÷100=4%。故應選A。數的認識課堂過關卷一、細心填空1用3個0和3個6組成一個六位數，只讀一個零的最大六位數是（ ）；讀兩個零的六位數是（ ）；一個零也不讀的最小六位數是（ ）。2一個三位小數，四舍五入后得4.80，這個三位小數最大是（ ），最小是（ ）。3若被減數、減數與差這三個數的和為36，那么被減數為（ ）。4把0.35，34%，從大到小排序（ ）。5某班男生人數是女生的，女生人數占全班人數的（ ）6甲數比乙數多25%，則乙數比甲數少（ ）%。7一個分數的分子比分母少20，約分后

8、是，這個分數是（ ）。8寫出三個比小，而比大的最簡分數是（ ）、（ ）、（ ）。9中有（ ）個。10有一個最簡真分數，分子和分母的積是36，這個分數最大是（ ）。11A+B=60，A÷B=，A=（ ），B=（ ）。12( )( )=(填兩個分母小于12的分數) = (填兩個不同的整數)。13一個最簡分數，若分子加上1，可以約簡為，若分子減去一，可化簡成，這個分數是（ ）。14修一段600米長的路，甲隊單獨修8天完成，乙隊單獨修10天完成。兩隊合修（ ）天完成它的。15一種商品，先提價20%，又降價20%后售價為96元，原價為（ ）元。16甲、乙兩個數的差是35.4，甲、乙兩個數的比是

9、5：2，這兩個數的和是（ ）。17有甲、乙、丙三種，甲種鹽水含鹽量為4%，乙種鹽水含鹽量為5%，丙種鹽水含鹽量為6%。現在要用這三種鹽水中的一種來加水稀釋，得到含鹽量為2%的鹽水60千克。如果這項工作由你來做，你打算用（ ）種鹽水，取（ ）千克，加水（ ）千克。18x表示取數x的整數部分，比如13.58=13。若x=8.34，則x2x3x=（ ）。二、選擇1 最大的小數單位與最小的質數相差（    ）。 A 1.1       B 1.9     

10、0; C 0.9       D 0.123.999保留兩位小數是（    ）。 A 3.99      B 4.0       C4.00      D3.903下列四個數中，最大的是（ ）。A101% B0. CD1 4.平均每小時有36至45人乘坐游覽車，那么3小時中有 人乘坐游覽車。 A少于100 B100與150之間 C150與200之間

11、 D200與250之間5.小明所在班級的數學平均成績是98分，小強所在班級的數學平均成績是96分，小明考試得分比小強的得分（ ）。 A高 B低 C一樣高 D無法確定6一次數學考試，5名同學的分數從小到大排列是74分、82分、a分、88分、92分，他們的平均分可能是（ ）。A75 B84 C86 D93 7的分子加上6，如果要使這個分數的大小不變，分母應該（）A加上20 B加上6 C擴大2倍 D增加3倍 8書店以50元賣出兩套不同的書，一套賺10%，一套虧本10%，書店是( ) A虧本 B賺錢 C不虧也不賺9把1克鹽放入100克水中，鹽與鹽水的比是（ ）。 A1：99 B1：100 C1：101

12、 D100：10110甲、乙兩個倉庫所存煤的數量相同，如果把甲倉煤的調入乙倉，這時甲倉中的煤的數量比乙倉少（ ）。 A.50% B.40% C.25%三、星級挑戰1財會室會計結賬時，發現財面多出32.13元錢，后來發現是把一筆錢的小數點點錯了一位，原來這筆錢是多少元？ 2暑假期間，明明和亮亮去敬老院照顧老人。7月13日他們都去了敬老院，并約好明明每兩天去一次，亮亮每3天去一次。（1）7月份，他們最后一次同去敬老院的日子是（ ）。（2）從7月13日到8月31日，他們一起去敬老院的情況有（ ）次。第2講 數的整除一、夯實基礎整數a除以整數b（b0），除得的商正好是整數而沒有余數，我們就說a能被b整

13、除，也可以說b能整除a。如果數a能被數b整除，那么a就叫做b的倍數，b就叫做a的因數。能被2整除的數叫偶數。也就是個位上是0、2、4、6、8的數是偶數。不能被2整除的數叫奇數。也就是個位上是1，3，5，7，9的數是奇數。一個數如果只有1和它本身兩個因數，這個數叫做質數。一個數除了1和它本身，還有別的因數，這個數叫做合數。每個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式，這幾個質數都叫做這個合數的質因數。把一個合數用質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。公因數只有1的兩個數或幾個數，叫做互質數。幾個數公有的因數，叫做這幾個數的公因數，其中最大的一個，叫做最大公因數。幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數

14、。其中最小的一個叫做這個數的最小公倍數。二、典型例題例1從0、7、5、3四個數字中選三個數字組成一個三位數，使組成的數能同時被2、3和5整除這樣的三位數有幾個？ 分析：根據能被2、3、5整除的數的特征，確定出所組成的三位數要能同時被2、3、5整除，這個三位數的個位數字必須是0。現在一共有四個數字，這個三位數的十位和百位上的數字只能從7、5、3三個數字中選取，且每位上數字的和要能被3整除。解：一共有兩個：570或750。例2有四個小朋友，他們的年齡剛好一個比一個大1歲，又知它們年齡的乘積是360。問：其中年齡最大的小朋友是多少歲？分析：360是年齡的乘積，故可將360分解質因數，再將這些質因數依

15、據題意，組合成4個連續自然數的乘積。再經過比較、分析，便可找到年齡最大的小朋友的年齡數。解：360=2×2×2×3×3×5=3×（2×2）×5×（2×3）=3×4×5×6 答：年齡最大的小朋友是6歲。例3同學們在操場上列隊做體操，要求每行站的人數相等，當他們站成10行、15行、18行、24行時，都能剛好站成一個長方形隊伍，操場上同學最少是多少人？ 分析：題目要求的是“最少”為多少人，可知操場上的同學數量正好是10、15、18、和24的最小公倍數。解：10、15、18

16、和24的最小公倍數是:2×3×5×1×1×3×4=360答：操場上的同學最少是360人。數的整除課堂過關卷一、填空1在l至20的自然數中，（ ）既是偶數又是質數；（ ）既是奇數又是合數。2一個數，如果用2、3、5去除，正好都能整除，這個數最小是（ ），用一個數去除30、40、60正好都能整除，這個數最大是（ ）。38（ ）5（ ）同時是2， 3 ，5的倍數，則這個四位數為（ ）。4一個五位數735，如果這個數能同時被2、3、5整除，那么代表的數字是（ ），代表的數字是( )。5從0、5、8、7中選擇三個數字組成一個同時能被2、3、5整

17、除的最大三位數，這個三位數是（ ），把它分解質因數是：（ ）。6把84分解質因數：84=（ ）。72和54的最大公約數是（ ）。712的約數有（ ），從中選出4個數組成一個比例是（ ）。8公因數只有（ ）的兩個數，叫做互質數，自然數a和（ ）一定是互質數。9a、b都是非零自然數，且a÷b=c，c是自然數，（ ）是（ ）的因數，a、b的最大公因數是（ ），最小公倍數是（ ）。10A、B分解質因數后分別是：A=2×3×7，B=2×5×7。A、B最大公因數是（ ），最小公倍數是（ ）。 11A=2×2×3，B=2×C&#

18、215;5， 已知A、B兩數的最大公約數是6，那么C是（ ），A、B的最小公倍數是（ ）。12在括號里填上合適的質數：（ ）（ ）=21=（ ）×（ ）。13兩個質數的和是2001，這兩個質數和積是（ ）。1445與某數的最大公因數是15，最小公倍數是180，某數是（ ）。15已知兩個互質數的最小公倍數是153，這兩個互質數是（ ）和（）。二、解決問題1有兩根繩子，第一根長18米，第二根長24米，要把它們剪成同樣長短的跳繩，而且不能有剩余，每根跳繩最長多少米？一共可剪成幾根跳繩？2一塊長方形木板長20分米，寬16分米。要鋸成相同的正方形木板，要求正方形木板的面積盡量大，而且原來木板沒

19、有剩余，可以鋸成多少塊？每塊正方形木板的面積是多少平方分米？3汽車站有開住甲、乙、丙三地的汽車，到甲地的汽車每隔15分鐘開出一輛；到乙地的汽車每隔27分鐘開出一輛；到丙地的汽車每隔36分鐘開出一輛。三路汽車在同一時刻發車以后，至少需要經過多少時間，才能又在同一時刻發車？三、星級挑戰1有一行數：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，從第三個數開始，每個數都是前兩個數的和，在前100個數中，偶數有多少個？ 2有一堆蘋果，如果3個3個的數，最后余2個，如果5個5個的數，最后余4個，如果7個7個的數，最后余6個，這堆蘋果最少有多少個？ 第3講 簡便運算（1）一、夯實基礎所謂簡算，就是利用我們

20、學過的運算法則和運算性質以及運算技巧，來解決一些用常規方法在短時間內無法實現的運算問題。簡便運算中常用的技巧有“拆”與“湊”，拆是指把一個數拆成的兩部分中含有一個整十、整百、整千或者有利于簡算的數，湊是指把幾個數湊成整十、整百、整千的數，或者把題目中的數進行適當的變化，運用運算定律或性質再進行簡算。讓我們先回憶一下基本的運算法則和性質：乘法結合律：a×b×c=a×（b×c）=（a×c）×b乘法分配律：a×（bc）=a×ba×c a×（bc）=a×ba×c二、典型例題例1. （

21、1）9999×77783333×6666 （2）765×64×0.5×2.5×0.125分析（一）：通過觀察發現這道題中9999是3333的3倍，因此我們可以把3333和6666分解后重組，即3333×3×2222=9999×2222 這樣再利用乘法分配律進行簡算。 解（一）: 原式=9999×77783333×3×2222 =9999×77789999×2222 =（77782222）×9999 = 分析（二）：我們知道0.5×2，2

22、.5×4，0.125×8均可得到整數或整十數，從而使問題得以簡化，故可將64分解成2×4×8，再運用乘法交換律、結合律等進行計算。 解（二）： 原式=765×（2×4×8）×0.5×2.5×0.125 =765×（2×0.5）×（4×2.5）×（8×0.125） =765×1×10×1 =7650例2399.6×91998×0.8 分析：這道題我們仔細觀察兩個積的因數之間的關系，可以發現

23、減數的因數1998是被減數因數399.6的5倍，因此我們根據積不變的規律將399.6×9改寫成（399.6×5）×（9÷5），即1998×1.8，這樣再根據乘法分配律進行簡算。 解: 原式=（399.6×5）×（9÷5）1998×0.8 =1998×1.81998×0.8 =1998×（1.80.8） =1998×1=1998例3×× 分析：這道題通過觀察題中數的特點，可以看出被減數中的兩個因數分別比減數中的兩個因數少1和多1，即比少1，比多1，

24、我們可以將被減數改寫成（）×（1），把減數改寫成（1）×，再利用乘法分配律進行簡算。 解： 原式=×（1）（1）× =×× = =三、熟能生巧1（1） 888×667444×666 （2）9999×12223333×6662（1） 400.6×72003×0.4 （2）239×7.2956×8.2 3（1） 1989×19991988×2000 （2）8642×24688644×2466四、拓展演練11234

25、5;43262468×2837 2 275×121650×233300×7.53 ×× 五、星級挑戰131÷532÷533÷534÷5 23333×45555×57777×7 39999×9999×99×994. 48.67×673.2×486.7973.4×0.05第4講 簡便運算（2）一、夯實基礎在進行分數的運算時，可以利用約分法將分數形式中分子與分母同時擴大或縮小若干倍，從而簡化計算過程；還可以運用分

26、數拆分的方法使一些復雜的分數數列計算簡便。同學們在進行分數簡便運算式，要靈活、巧妙的運用簡算方法。讓我們先回憶一下基本的運算法則和性質：乘法結合律：a×b×c=a×（b×c）=（a×c）×b乘法分配律：a×（bc）=a×ba×c a×（bc）=a×ba×c拆分：= =（）二、典型例題例1（1）2006÷2006 （2）9.1×4.8×4÷1.6÷÷1.3分析（一）：把2006化為假分數時，把分子用兩個數相乘的形式表示

27、，則便于約分和計算。解（一）: 原式=2006÷ =2006÷ =2006×=分析（二）：根據除法的性質可知9.1×4.8×4÷1.6÷÷1.3可以寫成9.1×4.8×4÷（1.6××1.3），又根據分數與除法的關系，可以將其寫成分數形式，其中9.1與1.3，4.8與1.6，4與存在倍數關系，可以進行約分后再計算。解（二）： 原式= =7×3×30 =630例2（1） （2）（97）÷（）分析（一）：仔細觀察分子、分母中各數的特點，就會

28、發現分子中2005×2006可變形為（20041）×2006=2004×200620061，同時發現20061=2005，這樣就可以把原式轉化成分子與分母相同，從而簡化運算。解（一）： 原式= =1 分析（二）：在本題中，被除數提取公因數65，除數提取公因數5，再把和的和作為一個數來參與運算，會使計算簡便很多。解（二）： 原式=（）÷（） =65×（）÷5×（） =65÷5=13例3 分析：因為這個算式中的每個加數都可以分裂成兩個數的差，如=1，=，=其余的部分分數可以互相抵消，這樣計算就簡便許多。 解: 原式=（

29、1）（）（）（） =1 =1=三、熟能生巧1 （1）238÷238 （2）3.41×9.9×0.38÷0.19÷3÷1.12（1） （2）（1）÷（）3 四、拓展演練1（1）123÷41 （2）×2.84÷3÷（1×1.42）×12 （1） （2）（96）÷（32）3 五、星級挑戰1 2. 3 4 1第5講 簡便運算（3）一、 夯實基礎所謂簡算，就是利用我們學過的運算法則和運算性質以及運算技巧，來解決一些用常規方法在短時間內無法實現的運算問題。簡便運算中常

30、用的技巧有“拆”與“湊”，拆是指把一個數拆成的兩部分中含有一個整十、整百、整千或者有利于簡算的數，湊是指把幾個數湊成整十、整百、整千的數，或者把題目中的數進行適當的變化，運用運算定律或性質再進行簡算。讓我們先回憶一下基本的運算法則和性質：等差數列的一些公式：項數=（末項首項）÷公差1某項=首項公差×（項數1）等差數列的求和公式：（首項末項）×項數÷2二、典型例題例1 2468198200 分析：這是一個公差為2的等差數列，數列的首項是2，末項是200。這個數列的項數=（末項首項）÷公差1=（2002）÷21=100項，如何求和呢？我們

31、先用求平均數的方法：首、末兩項的平均數=（2200）÷2=101；第二項和倒數第二項的平均數也是（498）÷2=101依次求平均數，共算了100次，把這100個平均數加起來就是數列的和。即和=（首項末項）÷2×項數。 解: 原式=（2200）÷2×100=10100例2 0.99.999.9999.99999.999999.9分析：通過觀察我們可以發現題目中的6個加數都分別接近1、10、100、1000、10000、這6個整數，都分別少0.1，因此我們可以把這6個加數分別看成1、10、100、1000、10000、的整數，再從總和中減

32、去6個0.1，使計算簡便。解: 原式=1101001000100000.1×6 =0.6=.4例32008×2009×分析：這道題數值較大，計算起來比較繁瑣，但觀察這些數，可以發現具有規律性，即被減數和減數中因數具有相同的排列規律，因此我們可以把寫成2009×10001，把寫成2008×10001，這樣題目中被減數和減數的因數就完全相同，我們也就可以直接算出結果為0。解: 原式=2008×2009×100012009×2008×10001=0三、熟能生巧1 13576567 2 9999999999999

33、9931120×11221×0四、拓展演練1（1）0.110.130.150.970.99（2）8.9×0.28.8×0.28.7×0.28.1×0.22（1）98998999899998 （2）3.90.390.0390.00390.000393（1）1234×14321×4 （2）2002×3003×五、星級挑戰1 （1）438.9×5 （2）47.26÷5 （3）574.62×25 （4）14.758÷0.25 2. （44332443.32）

34、47;（88664886.64） 3 1.82.83.850.84 20021999199619931990198716131074第6講 簡易方程一、夯實基礎 含有未知數的等式叫做方程，求方程的解的過程叫做解方程。解方程是列方程解應用題的基礎，解方程通常采用以下策略：對方程進行觀察，能夠先計算的部分先進行計算或合并，使其化簡。把含有未知數的式子看做一個數，根據加、減、乘、除各部分的關系進行化簡，轉化成熟悉的方程。再求方程的解。將方程的兩邊同時加上（或減去）一個適當的數，同時乘上（或除以）一個適當的數，使方程簡化，從而求方程的解。重視檢驗，確保所求的未知數的值是方程的解。二、典型例題例1解方程

35、4（x2）15=7x20分析：先運用乘法分配律將其展開，再運用等式的基本性質合并求解。 4（x2）15=7x20解： 4x815=7x20 3x=27 x=9 經檢驗x=9是原方程的解。例2解方程x÷2=（3x10）÷5 分析：根據等式的基本性質，將方程兩邊同乘2和5的最小公倍數，使方程轉化為x×5=（3x10）×2再求解。 x÷2=（3x10）÷5解： x÷2×10=（3x10）÷5×10 x×5=（3x10）×2 5x=6x20 x20=0 x=20 經檢驗x=20是原方

36、程的解。例3解方程360÷x360÷1.5x=6 分析：根據等式性質，將方程左右兩邊同乘3x使方程轉化后再求解。 360÷x360÷1.5x=6解： 1080720=18x 18x=360 x=20 經檢驗x=20是原方程的解。三、熟能生巧1122（x1）=4 5x19=3（x4）15 2（2x4）÷18=28 （5.3x5）÷7=x8 37（x3）=3（x5）4 xx÷32x30=180四、拓展演練1（x+10）6 84.5x32xx x7.4=x9.23 ：18% 五、星級挑戰1解方程： 13x4（2x5）=17（x2）

37、4（2x1）2解方程： 17（23x）5（12x）=8（17x）3解方程：=2 4. 解方程：（x5）=3（x5）第7講 定義新運算一、夯實基礎同學們，我們都知道四則運算包括加、減、乘、除，我們接觸到的運算符號也無外乎“”、“”、“×”、“÷”。而在升學考試中，經常會出現一些嶄新的題目，這種題目中又出現了新的運算符號，如：、并賦予它們一種新的運算方法。這種運算符號本身并不重要，重要的是在題目中，各種運算符號規定了某種運算以及運算順序。這種運算非常有趣，同學們，你們想了解嗎？這一節我們就來學習定義新運算。二、典型例題例1 （1）ab=ab，求95的值。（2）定義新運算“ ”，

38、mn=m÷n×2.5。求： 60.40.4的值是多少？ 3510.3的值是多少？分析（1）：本題中的新運算符號“”表示的是求“”前后兩個數的和，也就是求9與5的和是多少。解（1） ： 95=95=14分析（2）：本題中新運算“”的含義是求“”前后兩個數的商的2.5倍是多少。解（2）： 60.40.4=60.4÷0.4×2.5=151×2.5=377.5 3510.3=351÷0.3×2.5=1170×2.5=2925例2 對于任意兩個自然數，定義一種新運算“*”，a*b=（ab）÷2，求34*（52*48

39、）值。分析：新運算“*”的含義表示：求“*”前后兩數差的一半。本題在計算時，要注意運算順序，先計算括號內的“52*48”，再用34與“52*48”的結果在進行一次這樣的運算。 解：52*48=（5248）÷2=4÷2=2 因此34*（52*48）=34*2=（342）÷2=32÷2=16。例3定義兩種新運算“”和“*”，對于任意兩個 數x、y，規定xy=x5y，x*y=（xy）×2 ，求563.5*2.5的值。 分析：本題包含兩種新運算，第一種新運算“”表示求“”前面的數與后面數的5倍的和是多少；第二種運算“*”表示“*”前面的數減去“*”后面

40、數的差的2倍是多少。所以可以根據他們各自的含義分別求值再作和。 解：56=55×6=35 3.5*2.5=（3.52.5）×2=2 563.5*2.5=352=37三、熟能生巧1（1） ab=ab，求45.238.9的值。（2）x、y是兩個自然數，規定xy=（x+y）×10，求38的值。2定義一種新運算“”，規定AB=2×（AB），求0.6（5.45）的值。3定義兩種新運算“”和 “”，已知ab=a÷24.1×b，ab=83（ab），求6142的值。四、拓展演練1 （1）定義一種新運算“”，規定AB=4A3B5，求（1）69 （2）9

41、6。（2）定義一種新運算“”，規定ab=（3xy）2x，求：1015 15102（1）定義新運算“”，規定mn=（mn）÷2，那么8 （122）與12（82）是否相等？如果不相等，哪個大？（2）定義一種新運算“”，已知ab=5a10b，求3758的值。3定義兩種運算“”和“”，對于任意兩個整數a，b，ab=ab1，ab=a×b1。計算4（68）（35）。五、星級挑戰1定義新運算“”，若23=234，54=5678。求2（32）的值。2. 設a、b表示兩個數如果ab，規定：ab=3×a2×b；如果ab，規定：ab=（ab）×3。求： 96 88

42、273設a、b表示兩個數，ab=a×ba+b，已知a7=37，求a的值。 4設a、b表示兩個整數，規定：a b=a（a1）（a2）（a3）（ab1），求1100的值。第8講 巧求面積（1）一、夯實基礎小學數學教材中學習了長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓等基本圖形面積的計算方法。常用的面積公式如下：正方形邊長×邊長S=a2長方形長×寬S=ab平行四邊形底×高S=ah三角形底×高÷2S=ah÷2梯形（上底+下底）×高÷2S=(a+b)h÷2在實際應用過程中，我們除了掌握切分、割補、做差等

43、一些基本的幾何解題思想外，還要掌握等量代換、妙用同底等一些有難度的解題方法。二、典型例題例1兩個相同的直角三角形如圖所示（單位：厘米）重疊在一起，求陰影部分的面積。分析：陰影部分是一個高為3厘米的直角梯形，然而它的上底與下底都不知道，因而不能直接求出它的面積。因為三角形ABC與三角形DEF完全相同，都減去三角形DOC后，根據差不變性質，差應相等，即陰影部分與直角梯形OEFC面積相等，所以求陰影部分的面積就轉化為求直角梯形OEFC的面積。解：直角梯形OEFC的上底為：103=7（厘米），直角梯形OEFC的面積為（7+10）×2÷2=17（平方厘米）。答：陰影部分的面積是17平

44、方厘米。例2如圖，平行四邊形ABCD的邊BC長10厘米，直角三角形ECB的直角邊EC長8厘米。已知陰影部分的總面積比三角形EFG的面積大10平方厘米，求平行四邊形ABCD的面積。分析：因為陰影部分比三角形EFG的面積大10平方厘米，都加上梯形FGCB后，根據差不變性質，所得的兩個新圖形的面積差不變，即平行四邊行ABCD比直角三角形ECB的面積大10平方厘米。解：三角形EFG的面積為：10×8÷2=40（平方厘米）。平行四邊形ABCD的面積為：40+10=50（平方厘米）。答：平行四邊形的面積為50平方厘米。例3如圖,在三角形ABC中， BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分別

45、為AB和AC的中點.那么三角形EBF的面積是多少平方厘米？分析:由“ E、F分別為AB和AC的中點”可知，AF=CF，AE=BE，所以三角形ABF和三角形CBF是同底等高的三角形，面積相等；三角形AEF和三角形BEF面積也相等，故有S三角形EBF=S三角形ABF ，S三角形ABF=S三角形ABC 解：S三角形ABC=8×6÷2=24（平方厘米）S三角形ABF=S三角形ABC=×24=12（平方厘米） S三角形EBF=S三角形ABF=×12=6（平方厘米） 答：三角形EBF的面積是6平方厘米。 三、熟能生巧1如圖，兩個相同的直角梯形重疊在一起，求陰影部分的

46、面積。（單位：厘米）2如圖，正方形邊長是10厘米，長方形的長為8厘米，寬為5厘米。陰影部分甲與陰影部分乙的面積差是多少平方厘米？ 3如圖，在三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，陰影部分的面積是20平方厘米，求三角形ABC的面積。四、拓展演練1如圖，在長方形內畫了一些直線，已知邊上有三塊面積分別是13，35，49，那么圖中陰影部分的面積是多少？（單位：平方厘米）2 如圖，梯形的下底為8厘米，高為4厘米。陰影部分的面積是多少平方厘米？             &

47、#160;     3如圖，長方形ABCD中， AB=24cm，BC=26cm，E是BC的中點，F、G分別是AB、CD的四等分點，H為AD上任意一點，求陰影部分面積。 五、星級挑戰1如圖，梯形ABCD中，AD=7厘米，BC=12厘米，梯形高8厘米，求三角形BOC的面積比三角形AOD的面積大多少平方厘米？2有兩種自然的放法將正方形內接于等腰直角三角形。已知等腰直角三角形的面積是36平方厘米，兩個正方形的面積分別是多少？ 第9講 組合圖形面積（2）一、夯實基礎不規則圖形常由圓、扇形、弓形與三角形、正方形、長方形等規則圖形組合而成的，計算時常常要變動圖形的位置

48、或對圖形進行適當的分割、拼補、旋轉，使之轉化為規則圖形的和、差關系，有時要和“容斥原理”合并使用才能解決。計算圓的周長與面積的主要公式有：（1）圓的周長=×直徑=2×半徑，即：C=d=2r(2)中心角為n°的弧的長度=n××(半徑)÷180，即：l=（3）圓的面積=×(半徑) 2，即：S=r2(4)中心角為n°的扇形的面積=n××(半徑) 2÷360，即：S= l=lr二、典型例題例1如下圖（1），在一個邊長為4cm的正方形內，以正方形的三條邊為直徑向內作三個半圓，求陰影部分的面積。

49、分析（一）：把上圖靠下邊的半圓換成（面積與它相等）右邊的半圓，得到圖（2）。這時，右圖中陰影部分與不含陰影部分的大小形狀完全一樣，因此它們的面積相等。所以上圖中陰影部分的面積等于正方形面積的一半。分析（二）：將上半個“弧邊三角形”從中間切開，分別補貼在下半圓的上側邊上，如圖（3）所示。陰影部分的面積是正方形面積的一半。分析（三）：將下面的半圓從中間切開，分別貼補在上面弧邊三角形的兩側，如圖（4）所示。陰影部分的面積是正方形的一半。 解：4×4÷2=16（平方厘米）例2如下圖，正方形ABCD的邊長為4厘米，分別以B、D為圓心以4厘米為半徑在正方形內畫圓，求陰影部分面積。分析：

50、陰影部分的面積等于兩個扇形的面積之和減去正方形的面積。解：S陰影=S扇形ACBS扇形ACDS正方形ABCDABDC =×AB2×2AB2 =×42×24216×=9.12（平方厘米）。例3如下圖，兩個正方形邊長分別是10厘米和6厘米，求陰影部分的面積。分析： 陰影部分的面積，等于底為16、高為6的直角三角形面積與圖中（）的面積之差。而圖中（）的面積等于邊長為6的正方形面積減去的以6為半徑的圓的面積。解：S陰影=S三角形ACD（S正方形BCDES扇形EBD）= =40.26（平方厘米）。三、熟能生巧1如下圖，圓的直徑為8cm，求陰影部分的面積。2

51、如圖，三角形ABC是等腰直角三角形，AC=BC=10cm，分別以A、B為圓心，以AC、BC為半徑在三角形ABC內畫弧，求陰影部分的面積。3如下圖，直角三角形ABC中，AB是圓的直徑，且AB=20厘米，如果陰影（1）的面積比陰影（2）的面積大7平方厘米，求BC長。 四、拓展演練1如下圖，三個同心圓的半徑分別是2、6、10，求圖中陰影部分面積占大圓面積的百分之幾？2如下圖，大正方形的邊長為6厘米，小正方形的邊長為4厘米。求陰影部分的面積。             

52、60;                 3如圖，已知直角梯形的上底、下底與高之比是1：2：1，和為24厘米。圖中陰影甲的面積比陰影乙的面積少多少？五、星級挑戰1如下圖，將直徑AB為3厘米的半圓繞A逆時針旋轉60°，此時AB到達AC的位置，求陰影部分的面積（取=3.14）。2求圖中的陰影部分的面積。（單位：厘米）第10講 長方體的表面積和體積一、夯實基礎長方體和正方體六個面的總面積，叫做它們的表面積。長方體的六個面分為上下、左右、前后三組

53、，每組對面的大小、形狀完全相同；正方體的六個面是大小相等的六個正方形。長方體的表面積=（長×寬+寬×高+長×高）×2正方體的表面積=棱長×棱長×6物體占空間的大小，叫做物體的體積。容積是指所能容納物體的體積。一個物體的容積計算方法與體積計算方法相同，不過體積是從物體外面測量出長度再進行計算，容積是從物體內部測量出長度再進行計算。通常物體的體積要大于容積，當厚度忽略不計時，容積就等于體積。長方體體積=長×寬×高正方體體積=棱長×棱長×棱長二、典型例題例1一塊長方形鐵皮長24厘米，四角剪去邊長3厘米

54、的正方形后，然后通過折疊、焊接，做成一個無蓋的長方體鐵盒，鐵盒的容積是486立方厘米。求原來長方形鐵皮的面積。                      分析：要求原來長方形鐵皮的面積，關鍵要能求出原長方形鐵皮的寬。根據題意，畫出示意圖，結合空間相像，可知做成的長方體鐵盒的長是243×2=18（厘米），高就是剪下的小正方形的邊長，也就是3厘米。又知鐵盒的容積是486厘米，這樣就可以算出鐵

55、盒的寬。鐵盒寬并不是原來長方形鐵皮的寬，再加上3×2=6（厘米）才是原鐵皮的寬。解：長方體鐵盒的長：243×2=18（厘米） 長方體鐵盒的寬：486÷3÷18=9（厘米） 長方形鐵皮的寬：93×2=15（厘米） 長方形鐵皮的面積：24×15=360（平方厘米）答：原長方形鐵皮的面積是360平方厘米。例2如右圖，用3條絲帶捆扎一個禮盒，第一條絲帶長235cm，第二條絲帶長445cm，第三條絲帶長515cm，每條絲帶的接頭處的長度均為5cm，求禮盒的體積。 分析：從圖中可以看出，在捆扎禮盒的絲帶中最長的一根去掉接頭的5cm，剩余部分的長度等于長方體長與寬和的2倍。    解：長寬（5155）÷2255（cm） 長高（4455）÷2220（cm）    寬高（2355）÷2115（cm）    長寬高（255220115）÷2295（cm）    長：