1、雨中行走淋雨量問題摘要：在給定的降雨條件下，計算被雨水所淋濕的程度，可以用其間被淋在身上的雨水量的大小來刻劃，而與此有關的主要因素有：降雨的大小、風（降雨）的方向、路程的遠近和行走的速度。關鍵詞：淋雨量 跑步速度 雨向 降雨量問題重述：工作下班時你發現外面下雨了，隨身沒有雨具附近也沒有。現在需要考慮的是如何使自己所受的雨量最小，快跑是否合理呢？現在我們建立數學模型來討論這個問題。問題分析在不同條件下設計一個在雨中行走的策略（調整行走速度），使得你被雨水淋濕的程度最低。所謂被雨水淋濕的程度，可以用其間被淋在身上的雨水量的大小來刻劃，而與此有關的主要因素有：降雨的大小、風（降雨）的方向、路程的遠近

2、和行走的速度等。模型假設1風速及風向始終保持不變； 2行走速度恒定； 3降雨的速度和降雨強度保持不變； 4把人的身體看成是一個呈長方體形狀的物體（理想化）。 5淋在身上的雨水被完全吸收（極端化）。 6不考慮降雨的角度的影響，也就是說在行走的過程中身體的上方及前后左右都將淋到雨水。 7設定變量和參數  雨中行走的距離（單位：米）：D； 雨中行走的速度（單位：米/秒）：v； 人體的高度、寬度、厚度（單位：米）：h，w, d 被淋雨水總量（單位：升）：C； 降雨強度（單位：厘米/小時）：I； 身體被雨淋的面積（單位：米2）：S； 雨中行走時間（單位：秒）：t=D/v. 其中，降雨

3、強度是單位時間內平面上降雨的厚度，用以刻劃降雨的大小。 在本問題中，D，d,w,h從而S是問題的參數；v,t,I是問題中的變量。C是因變量，而v是決策變量。模型中的參數可以通過觀測和日常的調查資料得到。模型的建立與求解  按上面的分析與假設，容易知道：在雨中行走時被淋雨水總量等于被雨淋時間、被雨淋面積和降雨強度三者的乘積。考慮到量綱一致性，并注意到I、v、D為常數，我們有   C（v）=t S（米 ） = （米 ） = 模型表明，被淋在身上的雨水總量與在雨中行走的速度成反比，因此在雨中最優行走策略是盡可能的快跑。模型檢驗  假設：D=

4、1000米，h=1.5米，w=0.50米，d=0.20米，I=2厘米/小時，最大行走速度為v=6米/秒，由此可得，你身上被淋的雨水的總量為C=2.041（升）（一立方米=1000升）。仔細分析，這是一個荒謬的結果。在2厘米/小時強度的降雨中只跑了167秒，身上卻被淋了2升的雨水，這是不可思議的。因此，用上述模型描述雨中行走的人被雨水淋濕的狀況是不符合實際情況的。按照建模的程序，我們需回到對問題所作的假設，進一步考察這些假設的合理性。不難發現“不考慮降雨的角度的影響”的假設6把問題過于簡單化了。為此，我們來考慮降雨角度的影響（即取消假設6）。模型修改 假設雨滴下落的反方向與你前進的方向之間的夾角

5、為。這時僅僅用降雨強度已經不能確切地描述降雨的情況了。降雨強度受降雨速度的影響，但并不完全決定于降雨的速度，還決定于雨滴下落的密度，顯然降雨速度越大、降雨密度越大，降雨強度也越大。降雨速度設為r（米/秒），降雨密度用降雨強度系數（在一定時刻，在單位空間內由雨滴所占據的空間的比例數）來表示，記為p。于是我們有I=pr，顯然應有p1，當p=1時意味著傾盆大雨。 情形1   ：即迎著降雨方向行走，由經驗可以知道，這時被淋濕的部分僅僅是人的頂部和前方。淋在身上的雨水將由這兩部分組成。模型的建立與求解 首先考慮頂部被淋的雨水。頂部的面積是wd，雨滴下落速度的垂直分量為 。不難得到，在

6、時間 內頂部被淋的雨水總量是： 再考慮前面被淋的雨水。前方被淋的面積是wh，雨滴下落速度的水平分量（相對于你而言）為 。因此，前方被淋的雨水的總量為： 。 由上述分析，被淋的雨水總量為 顯然，在降雨方向給定情況下，此時的最優行走策略是在雨中盡可能的快跑。模型檢驗 仍使用模型I中所使用的參數值，并假設降雨速度為r=4米/秒，容易計算得降雨強度系數為p=1.39×10-6。因此， 。 顯然有 情形2   ：在這種情形下，雨滴將從后面向你身上落下。令 ，則 。 首先考慮 的情形，即行走的速度慢于雨滴下落的水平速度，此時雨將淋在你的背上。與情形I類似可以得到身體頂部被淋的

7、雨水總量為 ， 淋在背上的雨水總量為 于是，淋在全身的雨水的總量為 顯然，被淋雨水總量仍是速度v的單調減少函數，而此時 ，故當 時，被淋雨水總量最少，即 。這意味著你剛好跟著雨滴向前走，所以只有身體頂部淋到雨；如果行走速度小于 ，則雨水將落在背上，從而使被淋的雨水總量增加。被淋雨總量決定于降雨的密度、身體的寬度和厚度及降雨角度。如果雨以 的角度落下，你應該以 的速度在雨中行走，被淋的雨水總量為C=0.24升。當 時，在雨中的行走速度快于雨滴下落的水平速度，這時你將不斷地追趕雨滴，雨水將淋濕你的前胸。此時，全身被淋的雨水總量為 。綜合上面的分析，得到的結論是： 1如果雨是迎著你前進的方向落下，這時的最優行走策略是以盡可能大的速度向前跑。 2如果雨是從你的背后落下，這時你應該控制在雨中行的。走的速度，使得它恰好等于雨滴下落速度的水平分量。模型的評價：優點：1、在正確、清楚地分析了題意地基礎上，建立了合理、科學的淋雨量計算型，2、建立的規劃模型能與實際緊密聯系，結合實際情況對問題進行求解，使得模型具有很好的通用性和推廣性；3、對模型中涉及到的眾多影響因素進行了量化分析，使得論文有說服力缺點：1、規劃模型的約束條件有點簡單；2、沒有考慮3、沒有很好地把握論文的重心，讓人感覺論文有點散