1、玩轉(zhuǎn)壓軸題,突破140分之高三數(shù)學(xué)選填JS1U精品專題4.3立體幾何的動(dòng)態(tài)問(wèn)題一.方法綜述立體幾何的動(dòng)態(tài)問(wèn)題是高考的熱點(diǎn),問(wèn)題中的不確定性與動(dòng)感性元素往往成為學(xué)生思考與求解問(wèn)題的思維障礙,使考題的破解更具策略性、挑戰(zhàn)性與創(chuàng)新性.一般立體動(dòng)態(tài)問(wèn)題形成的原因有動(dòng)點(diǎn)變化、平面圖形的翻折、幾何體的平移和旋轉(zhuǎn)以及投影與截面問(wèn)題,由此引發(fā)的常見(jiàn)題型為動(dòng)點(diǎn)軌跡、角度與距離的計(jì)算、面積與體積的計(jì)算、探索性問(wèn)題以及有關(guān)幾何量的最值求解等.此類題的求解并沒(méi)有一定的模式與固定的套路可以沿用,很多學(xué)生一籌莫展,無(wú)法形成清楚的分析思路,導(dǎo)致該題成為學(xué)生的易失分點(diǎn).究其原因,是由于學(xué)生缺乏相關(guān)學(xué)科素養(yǎng)和解決問(wèn)題的策略造成

2、的動(dòng)態(tài)立體幾何題在變化過(guò)程中總蘊(yùn)含著某些不變的因素,因此要認(rèn)真分析其變化特點(diǎn),尋找不變的靜態(tài)因素,從靜態(tài)因素中,找到解決問(wèn)題的突破口.求解動(dòng)態(tài)范圍的選擇、填空題,有時(shí)應(yīng)把這類動(dòng)態(tài)的變化過(guò)程充分地展現(xiàn)出來(lái),通過(guò)動(dòng)態(tài)思維,觀察它的變化規(guī)律,找到兩個(gè)極端位置,即用特殊法求解范圍.對(duì)于探究存在問(wèn)題或動(dòng)態(tài)范圍最值問(wèn)題,用定性分析比擬難或繁時(shí),可以引進(jìn)參數(shù),把動(dòng)態(tài)問(wèn)題劃歸為靜態(tài)問(wèn)題.具體地,可通過(guò)構(gòu)建方程、函數(shù)或不等式等進(jìn)行定量計(jì)算,以算促證二.解題策略類型一立體幾何中動(dòng)態(tài)問(wèn)題中的角度問(wèn)題例1.【四川高考題】如圖,四邊形ABCD和ADPQ均為正方形,它們所在的平面互相垂直,動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上,E、F分別為

3、AB、BC的中點(diǎn).設(shè)異面直線EM與AF所成的角為,那么COS的最大值為.【指點(diǎn)迷津】空間的角的問(wèn)題,一種方法,代數(shù)法,只要便于建立空間直角坐標(biāo)系均可建立空間直角坐標(biāo)系,然后利用公式求解；另一種方法,幾何法,幾何問(wèn)題要結(jié)合圖形分析何時(shí)取得最大小值.當(dāng)點(diǎn)M在P處時(shí),EM與AF所成角為直角,此時(shí)余弦值為0最小,當(dāng)M點(diǎn)向左移動(dòng)時(shí),EM與AF所成角逐漸變小時(shí),點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)Q時(shí),角最小,余弦值最大.【舉一反三】1、【四川高考題】如圖,在正方體ABCDABiCiDi中,點(diǎn)O為線段BD的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)P在線段CG上,直線OP與平面ABD所成的角為,那么sin的取值范圍是A.乎,1B.26,133r62：2C.,D.

4、,13332、【廣東省東莞市2021屆高三第二次調(diào)研】在正方體ABCD-A隹1clD中,E是側(cè)面AD%內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),且比E/T平面日口乙,那么直線B遂與直線AB所成角的正弦值的最小值是3、如圖,平面D.受內(nèi)的兩點(diǎn),且da1,CB1AD3,AB6,CB6-P是平面上的一動(dòng)點(diǎn),且直線PD,PC與平面所成角相等,l,a、B是直線l上的兩點(diǎn),C、D是平面那么二面角pbcD的余弦值的最小值是類型二立體幾何中動(dòng)態(tài)問(wèn)題中的距離問(wèn)題【例2】【廣西壯族自治區(qū)柳州市2021屆高三畢業(yè)班3月模擬】如圖,在正方體一"JD中,棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)尸為線段44c上的動(dòng)點(diǎn)包含線段端點(diǎn),那么以下結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是A.當(dāng)尸時(shí),.|

5、平面8.仁B.當(dāng)F為月二£中點(diǎn)時(shí),四棱錐F-AA弭的外接球外表為:好C. AP+FD.的最小值為巡D.當(dāng)AP=f時(shí),&F一平面014P【指點(diǎn)迷津】求兩點(diǎn)間的距離或其最值.一種方法,可建立坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo),用兩點(diǎn)間距離公式寫(xiě)出距離,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題；另一種方法,幾何法,根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn),尋找那兩點(diǎn)間的距離最大小,求其值.【舉一反三】1、【河南省焦作市2021-2021學(xué)年高三三?！吭诶忾L(zhǎng)為AA1和AB上,且CiE±EF,那么|AF|的最大值為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E、F分別在棱2.如圖,正方體ABCDA1B1C1D1棱長(zhǎng)為4,點(diǎn)D. 2H

6、在AA上,且HA1,在側(cè)面BCGB內(nèi)作邊長(zhǎng)為1的正方形EFGC1,P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)P到平面CDD1C1距離等于線段PF的長(zhǎng),那么當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),|HP|2的最小值是A.21B.22C.23D.253、如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-AiBiCiDi中,E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在線段DiE上,點(diǎn)P到直線CCi的距離的最小值為.類型三立體幾何中動(dòng)態(tài)問(wèn)題中的面積、體積問(wèn)題【例3】在棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD-AF1cl口工中,M是BC中點(diǎn),點(diǎn)P是面DCQdJ所在的平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),且滿足£APD=工MPC,那么三棱錐P-BCD的體積最大值是A.36B.%5C.24D.1與月【指點(diǎn)迷

7、津】求幾何體體積的最值,先觀察幾何圖形三棱錐P-BCO,其底面的面積為不變的幾何量,求點(diǎn)P到平面BCD的距離的最大值,選擇公式,可求最值【舉一反三】i、?九章算術(shù)?是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著,它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年.例如塹堵指底面為直角三角形,且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱；陽(yáng)馬指底面為矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.如圖,在塹堵ABCAiBiCi中,ACBC,假設(shè)AiAAB2,當(dāng)陽(yáng)馬BAiACCi體積最大時(shí),那么塹堵ABCABQi的體積為B.2C.2D.222、【黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)2021屆高三下學(xué)期第一次模擬】矩形ABCD中,AB6,BC4,E,F分別是AB,CD上兩動(dòng)點(diǎn),且AEDF,

8、把四邊形BCFE沿EF折起,使平面BCFE平面ABCD,假設(shè)折得的幾何體的體積最大,那么該幾何體外接球的體積為A.2828.7B.3C.3264.5D.33、【湖南省衡陽(yáng)市2021屆高三二模】如圖,直角三角形白瓦,A4BC=-,AC+因=2,將21ABe繞窗邊那么四面體C-ABC的外接球的外表積的最小值為D.珈類型四立體幾何中動(dòng)態(tài)問(wèn)題中的軌跡問(wèn)題【例4】如圖直三棱柱ABC-ABC中,AABC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,AA*=4,點(diǎn)E、F、G、H、M分別是邊AA'、,8、BB'卜AE、BC的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在四邊形EFGH內(nèi)部運(yùn)動(dòng),并且始終有平面ACUA',那么動(dòng)點(diǎn)網(wǎng)的軌跡長(zhǎng)度

9、為A.HB.|.jC.D.：【指點(diǎn)迷津】由可知平面HFW川平面MCA,要始終有MP平面ACCW,點(diǎn)m為定點(diǎn),所以點(diǎn)P的軌跡為線段HF,求其長(zhǎng)度即可.【舉一反三】1、【安徽省安慶市2021屆高三二?！咳鐖D,正三棱柱一冒比G的側(cè)棱長(zhǎng)為區(qū),底面邊長(zhǎng)為B,一只螞蟻從點(diǎn)4出發(fā)沿每個(gè)側(cè)面爬到路線為AtMtUL,那么螞蟻爬行的最短路程是D.C.-2、在正方體ABCDABCiDi中,點(diǎn)P為平面AAiDiD中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)P滿足：直線PCi與平面AAiDiD所成的角的大小等于平面PBC與平面AAiDiD所成銳二面角的大小,那么點(diǎn)P的軌跡為A.直線B.橢圓C.圓D.拋物線3、平面|ABCD1平面ADEF,AB1

10、ADXD1AD,且AB=LAD=CD=2|a口EF是正方形,在正方形ADEF內(nèi)部有一點(diǎn)M,滿足MBrMC與平面AOEF所成的角相等,那么點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為類型五立體幾何中動(dòng)態(tài)問(wèn)題中的翻折、旋轉(zhuǎn)問(wèn)題【例5】如圖,ABC,D是AB的中點(diǎn),沿直線CD將ACD折成ACD,所成二面角ACDB的平面角為,那么A.ADBB.ADBC.ACBD.ACB【舉一反三】1、【四川省宜賓市2021屆高三二診】棱長(zhǎng)都為2的正三棱柱ABC-A工31c士的直觀圖如圖,假設(shè)正三棱柱ABC-黑日匚繞著它的一條側(cè)棱所在直線旋轉(zhuǎn),那么它的側(cè)視圖可以為2.【重慶市南開(kāi)中學(xué)2021屆高三三月測(cè)試】如圖,在正方形勢(shì)BCD中,氏分別為線段4

11、D,白.上的點(diǎn),aCDF=30c,將143萬(wàn)繞直線值瓦也E產(chǎn)繞直線各自獨(dú)立旋轉(zhuǎn)一周,那么在所有旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,直線小舊片直線0F所成角的最大值為.3.12021課標(biāo)1,理16如圖,圓形紙片的圓心為O,半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中央為O.D、E、F為圓O上的點(diǎn),DBC,AECA,FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開(kāi)后,分別以BC,CA,AB為折痕折起DBC,ECA,FAB,使得D、E、F重合,得到三棱錐.當(dāng)4ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí),所得三棱錐體積單位：cm3的最大值為.2、某圓柱的高為1,底面周長(zhǎng)為8,其三視圖如下圖I圓柱外表上的點(diǎn)x的函數(shù)y=fx的圖象大致是三.

12、強(qiáng)化練習(xí)、選擇題1.正方體ABCDAiBiCiDi的棱長(zhǎng)為1,E,F分別是邊AAi,CCi上的中點(diǎn),點(diǎn)M是BBi上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E,M,F的平面與棱DDi交于點(diǎn)N,設(shè)BM=x,平行四邊形EMFN的面積為S,設(shè)y=S2,那么y關(guān)于M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A,圓柱外表上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B,那么在此圓柱側(cè)面上,從M到N的路徑中,最短路徑的長(zhǎng)度為1A.BB.2吞C.而D.收3、如圖,等邊三角形ABC的中線AF與中位線DE相交于G,AED是ADE繞DE旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的一個(gè)圖形,以下命題中,錯(cuò)誤的選項(xiàng)是CA.動(dòng)點(diǎn)A在平面ABC上的射影在線段AF上B.恒有平面AGF,平面BCDEC.三棱錐AEFD的體積有

13、最大值D.異面直線AE與BD不可能垂直4 .【河南省鄭州市第一中學(xué)2021屆高三上期中】在三棱錐PAET中,丹4_平面A&C#££A-120AP-M是線段EC上一動(dòng)點(diǎn),線段PM.長(zhǎng)度最小值為在,那么三棱錐FJ1E匚的外接球的外表積是A.B:九71C.-3一D.；：一5 .【河南省鄭州市2021年高三第二次質(zhì)量檢測(cè)】在長(zhǎng)方體ABCD-A津工G網(wǎng)中,AD=DD*二1,二%后,1分別是棱月BMCjCG的中點(diǎn),F是底面力修內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),假設(shè)直線%P與平面沒(méi)有公共點(diǎn),那么三角形PB用面積的最小值為6 .【上海交通大學(xué)附屬中學(xué)2021屆高三3月月考】如圖,三棱錐平面川北,口是棱&q

14、uot;.上的動(dòng)點(diǎn),記PD與平面依依：所成的角為巴與直線版:所成的角為那么口與廣的大小關(guān)系為B.D.不能確定7 .如圖,在等腰中,A'B=BC=2,M為'匚的中點(diǎn),沿BM把它折成二面角,折后A與C的距離為冊(cè),那么二面角的大小為A.30°B,60°C.90°D.120、填空題A8B月為乙.士的棱長(zhǎng)為2,E,F為AAj,8 .【安徽省蚌埠市2021屆高三第一次檢查】如下圖,正方體AB的中點(diǎn),M點(diǎn)是正方形ABE&內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),假設(shè)的席/平面匚2£,那么M點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為9 .正方體乙及心尻-4月的棱長(zhǎng)為明點(diǎn)F為線段EJ上一點(diǎn),Q是平面小U6上

15、一點(diǎn),貝通1PI+PQ的最小值是;10、【2021課標(biāo)3,理161a,b為空間中兩條互相垂直的直線,等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a,b都垂直,斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),有以下結(jié)論：當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí),AB與b成30°角；當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí),AB與b成60°角；直線AB與a所成角的最小值為45°直線AB與a所成角的最小值為60°.其中正確的選項(xiàng)是.填寫(xiě)所有正確結(jié)論的編號(hào)10 .12021屆湘贛十四校高三聯(lián)考第二次測(cè)試】如圖,正三棱錐P-ARP0=8,底面邊長(zhǎng)為4,M,陽(yáng)分別在Ht'和上,且PN=當(dāng)三棱錐體積最大時(shí),三棱錐的內(nèi)切球的半徑為12 .【河南省六市2021屆高三第一次聯(lián)考】如圖,I山火是等腰直角三角形,斜邊AB=2,D為直角邊BC上一點(diǎn)不含端點(diǎn)I),將以江刀沿直線AD折疊至&八%.的位置,使得力在平面ABD#,假設(shè)g在平面ABD上的13 .【陜西省榆林市2021屆高考模擬第三次測(cè)試】如圖,是邊長(zhǎng)為2的正方形,其對(duì)角線小.目日.交于jLA"OC=點(diǎn)0,將正方形HBCD沿對(duì)角線折疊,使點(diǎn)八所對(duì)應(yīng)點(diǎn)為4,'乙設(shè)三棱錐川-HCD的外接球的體積為三棱錐川-0；的體積為片,那么口.14 .【河南省洛陽(yáng)市2021-2021學(xué)年高中三第二次