1、專題三壓軸解做題第三關以解析幾何中與拋物線相關的綜合問題【名師綜述】縱觀近三年的高考題,解析幾何題目是每年必考題型,主要表達在解析幾何知識內的綜合及與其它知識之間的綜合,且橢圓考查的最多,其次便是拋物線,解題時需根據具體問題,靈活運用解析幾何、平面幾何、函數、不等式、三角知識,正確構造不等式,表達了解析幾何與其他數學知識的密切聯系.這表達了測試中央提出的“應更多地從知識網絡的交匯點上設計題目,從學科的整體意義、思想含義上考慮問題的思想.且同學需對拋物線的兩個根本問題弄扎實,1.拋物線的根本概念、標準方程、幾何性質：2.直線與拋物線的位置關系所引申出來的定點、定值、最值、取值范闈等問題3拋物線與

2、圓錐曲線的交匯問題類型一中點問題典例1【江西省九江市2021第一次高考模擬統一測試】拋物線.：,=2P例>0的焦點為尸,直線y=a+D與C相切于點4,AF=2I求拋物線C的方程：【設直線I交C于兩點,丁是MN的中點,假設|MN|=8,求點T到y軸距離的最小值及此時直線I的方程.【名師指點】此題考查直線和橢圓、圓的綜合運用,考查數形結合思想、轉化與化歸等思想的運用,中點問題往往的處理方法有兩種：一是點差法,設端點坐標帶入曲線方程,作差結果涉及中點坐標和直線的斜率；二是利用韋達定理,舍爾不求.【舉一反三】2021山東高考模擬理拋物線C：y=x2,直線/的斜率為2.I假設/與C相切,求直線/的

3、方程:PQII假設/與C相交于4,B,線段48的中垂線交.于月,.,求島的取值范圍.AB類型二垂直問題典例22021山東高考模擬文點尸在拋物線C：f=2pyp>0上,且點尸的橫坐標為2,以P為圓心,|PO|為半徑的圓.為原點,與拋物線.的準線交于M,N兩點,且|"N|=2.1求拋物線.的方程：2假設拋物線的準線與,軸的交點為過拋物線焦點F的直線/與拋物線.交于A,B,且A8LH8,求|A尸卜怛尸|的值.【名師指點】直線與直線的垂直關系,首先可以利用垂直關系得斜率之間的關系；其次可以利用向量數量積為0處理,再可以聯系圓中的有關知識,利用直徑所對的圓周角為直角處理.【舉一反三】【廣

4、西柳州市2021屆高三畢業班上學期摸底聯考】拋物線C的頂點在原點,焦點在X軸上,且拋物線上有一點P4,機到焦點的距離為5.1求該拋物線.的方程；2拋物線上一點Mf,4,過點作拋物線的兩條弦和A/E,且判斷直線OE是否過定點？并說明理由.類型三而積問題典例3【山東省濱州市2021屆高三期末測試】拋物線E:爐=2pyp>0上一點M的縱坐標為6,且點M到焦點F的距離為7.1求拋物線E的方程：2設?為過焦點F且互相垂直的兩條直線,直線、與拋物線E相交于4B兩點,直線心與拋物線F相交于點C,D兩點,假設直線I勺斜率為k土工0,且邑“5邑=8,試求A的值.【名師指點】對于平面圖形的面積問題,可以直接

5、表示或者可以利用割補的方法,將面積科學有效表示,其中通過設直線和曲線的交點,利用韋達定理是解決該種問題的關鍵.【舉一反三】【2021山東高考模擬】如圖,在平面直角坐標系xOy中,點"2,1在拋物線C：x2=ayh,直線/：,=履+雙匕工.與拋物線C交于4,8兩點,且直線04,.8的斜率之和為-1.1求.和上的值；2假設設直線/與軸交于.點,延長MO與拋物線C交于點N,拋物線.在點N處的切線為,記直線,/與x軸圍成的三角形面積為S,求S的最小值.類型四范圍與定值問題典例4【湖南師大附中2021屆高三上學期月測試卷】.為坐標原點,拋物線.：,2=棧>0上在第一象限內的點尸2到焦點的

6、距離為曲線.在點P處的切線交x軸于點.,直線人經過點.且垂直于4I求.點的坐標;ID設不經過點P和.的動直線,2：x=少+力交曲線.于點A和8,交4于點E,假設直線R4,PE,P8的斜率依次成等差數列,試問：是否過定點？請說明理由.【名師指點】對于定值問題,可以通過特殊位置、特殊圖形、特殊數學來尋求定值再證實,或者可以直接通過運算求解求得：而范圍問題需將所求量用變量表示,利用函數與方程思想求解.【舉一反三】2021山東高考模擬文如圖,P為拋物線=4%上在x軸下方的一點,直線P4PB,PC與拋物線在第一象限的交點從左到右依次為月,B,C,與軸的正半軸分別相交于點3聞,M且|LM|=MN=i0&l

7、t;t<2,直線P8的方程為2尤一y4=0.1當t,1時,設直線P4pr的斜率分別為底,%證實：的十鹿=后區;2求沖關于£的表達式,并求出中的取值范圍.【精選名校模擬】1.2021.山東高考模擬文拋物線G:y2=2x>0與橢圓c2:三+二=1有一個相同的焦點,43過點42,0且與人,軸不垂直的直線/與拋物線q交于P,.兩點,夕關于x軸的對稱點為M.1求拋物線a的方程；2試問直線MQ是否過定點？假設是,求出該定點的坐標：假設不是,請說明理由.2 .2021山東高考模擬理拋物線V=i6x,過拋物線焦點尸的直線/分別交拋物線與圓“一42+寸=6于AC£>,8自上

8、而下順次四點.1求證：IACII8QI為定值:2求IA8lIA/n的最小值.3 .(2021.山東省桓今第二中學高三月考(理)拋物線C：V=4x,點M與拋物線.的焦點尸關于原點對稱,過點M且斜率為我的直線/與拋物線C交于不同兩點A,8,線段48的中點為P,直線尸產與拋物線.交于兩點(I)判斷是否存在實數使得四邊形A區劃為平行四邊形,假設存在,求出我的值；假設不存在,說明理由:IPFI2(ID求;的取值范圍,Ipmr4 .(2021.山東師范大學附中高考模擬(理)如圖,設橢圓4捺+?=1色>8>0),長軸的右端點與拋物線的：/=8%的焦舒重合,且橢圓G的離心率是當(I)求橢圓G的標準

9、方程：(H)過F作直線I交拋物線配于月,&兩點,過F且與直線I垂直的直線交橢圓的于另一點C,求AABC面積的最小值,以及取到最小值時直線】的方程.5 .(2021.山東棗莊八中高三月考(文)己知拋物線C；y?=2px過點4(1,1).(1)求拋物線c的方程；(2)過點P(3,l)的直線與拋物線C交于M,N兩個不同的點(均與點A不重合),設直線AM,AN的斜率分別為占,攵2,求證：勺0為定值.6 .(2021蒙陰縣實驗中學高三期末)中央在原點的橢圓G和拋物線G有相同的焦點.,°),橢圓G過求橢圓G和拋物線G的方程；(2)設點P為拋物線G準線上的任意一點,過點尸作拋物線.2的兩條

10、切線力,PB,其中A,8為切點.設直線鞏,尸8的斜率分別為公,與,求證：攵&為定值；s假設直線A3交橢圓G于C,.兩點,S,B,S/m分別是R48,PCD的而積,試問：43是否&PCD有最小值？假設有,求出最小值：假設沒有,請說明理由.7 .(2021.山東高考模擬(理)己知拋物線C：),2=2px(p>O)的焦點為F,P為拋物線上一點,O為坐標原點,OFP的外接圓與拋物線的準線相切,且外接圓的周長為3乃.求拋物線C的方程；2設直線1交C于A,B兩點,M是AB的中點,假設|力回=12,求點M到y軸的距離的最小值,并求此時1的方程.8 .【湖北省2021屆高三1月聯考測試】

11、拋物線/二2pxp>0的焦點為F,M為拋物線上一點,.為坐標原點.的外接圓N與拋物線的準線相切,外接圓N的周長為9兀1求拋物線的方程：2不與y軸垂直的動直線I與拋物線有且只有一個公共點,且分別交拋物線的準線和直線算=3于4、B兩點,試求器的值.9 .【安徽省黃山市2021屆高三第一次質量檢測】點在拋物線/=2羽九羽>0上,且M到拋物線焦點的距離為2.直線I與拋物線交于48兩點,且線段45的中點為P0,2.I求直線I的方程.II點Q是直線y=%上的動點,求誦麗的最小值.10 .【河南省局部省示范性高中2021-2021學年高三數學】拋物線C:*=2p%p>0的焦點為F,點PS,

12、4在拋物線C上,.為坐標原點,|PF|=5,且10Pl=£1求拋物線C的方程：2圓H與拋物線C順次交于4MB.N四點,4B所在的直線】過焦點F,線段MN是圓H的直徑,11MN,求直線I的方程.11 .【云南省昆明市2021屆高三1月復習診斷測試】過點EC-L0的直線【與拋物線C:產=4%交于月,8兩點,F是C的焦點,1假設線目B中點的橫坐標為3,求b4F|十山F|的值：2求HF|“BF|的取值范圍.12 .斜率為k的直線/經過點1,0與拋物線.：丁=24>0,為常數交于不同的兩點",",當k=g時,弦MN的長為4而.1求拋物線C的標準方程：2過點M的直線交拋

13、物線于另一點.,且直線經過點31,-1,判斷直線N.是否過定點？假設過定點,求出該點坐標：假設不過定點,請說明理由.13 .【湖北省荊門市龍泉中學2021年高三年級11月月考】拋物線d二Gy的焦點坐標為0,91求拋物線的標準方程.2假設過-2,4的直線!與拋物線交于4B兩點,在拋物線上是否存在定點P,使得以/1B為直徑的圓過定點P.假設存在,求出點P,假設不存在,說明理由.14 .【河北省廊坊市省級示范校高中聯合體2021屆高三上學期第三次聯考】設拋物線氏爐=2pyp>0的焦點為F,過F且傾斜角為那J直線I與拋物線E交于48兩點,|月叫二與1求拋物線E的方程：2過點乍直線幾與拋物線E相切

14、于點N,證實：FM1FM15 .【五省優創名校2021屆高三聯考】在直角坐標系xOy中,動圓P與圓Q：x-2?+y2=i外切,且圓P與直線x=-1相切,記動圓圓心P的軌跡為曲線C.1求曲線C的軌跡方程：2設過定點S2,0的動直線1與曲線C交于A,B兩點,試問：在曲線C上是否存在點M與A,B兩點相異,當直線MA,MB的斜率存在時,直線MA,MB的斜率之和為定值？假設存在,求出點M的坐標：假設不存在,請說明理由.專題三壓軸解做題第三關以解析幾何中與拋物線相關的綜合問題【名師綜述】縱觀近三年的高考題,解析幾何題目是每年必考題型,主要表達在解析幾何知識內的綜合及與其它知識之間的綜合,且橢圓考查的最多,

15、其次便是拋物線,解題時需根據具體問題,靈活運用解析幾何、平而幾何、函數、不等式、三角知識,正確構造不等式,表達了解析幾何與其他數學知識的密切聯系.這表達了測試中央提出的“應更多地從知識網絡的交匯點上設計題目,從學科的整體意義、思想含義上考慮問題的思想.且同學需對拋物線的兩個根本問題弄扎實,1.拋物線的根本概念、標準方程、幾何性質：2.直線與拋物線的位置關系所引申出來的定點、定值、最值、取值范闈等問題.3.拋物線與圓錐曲線的交匯問題類型一中點問題典例1【江西省九江市2021第一次高考模擬統一測試】拋物線.：,=2P例>0的焦點為尸,直線y=#+1與C相切于點A,AF=2I求拋物線C的方程；

16、II設直線I交C于兩點,丁是MN的中點,假設|跖VI=&求點T到y軸距離的最小值及此時直線I的方程.【解析】I設4第“聯立方程1得k3+2A2-心:十M二0由1二4妙一羽>一4A4=0,得=l/.AF=x0+?=1+5=2,解得p=2、flirt故拋物線C的方程為產=4比II由題意可得直線/的斜率不為0,設/：x=my+nfMxi,yi,N小心,聯立拋物線方程可得r-4V-4/1=0,=16戶+16>0,yi+y2=4i,>13?=-4,1481=、口+m：、/.67*+161=8,可得=能-他中二2,2=弛也3=2/+=-+/2*21+M2=小心一心十加就一1=3,

17、當且僅當卷=加+1,即日=1,即小=±1,r到,軸的距離的最小值為3,此時刀=1,直線的方程為x±y-1=0.【名師指點】此題考查直線和橢圓、圓的綜合運用,考查數形結合思想、轉化與化歸等思想的運用,中點問題往往的處理方法有兩種：一是點差法,設端點坐標帶入曲線方程,作差結果涉及中點坐標和直線的斜率：二是利用韋達定理,舍爾不求.【舉一反三】2021.山東高考模擬理拋物線C：,二/,直線/的斜率為2.I假設/與C相切,求直線/的方程;的取值范圍.H假設/與C相交于A,B,線段AB的中垂線交.于P,Q,求【答案】Iy=2xl；II1,+s12V=2x+b【解析】1注門相/的l為y=

18、2x+b,聯立FiM/M物效C的方程,得一2A=y=廠A=4+4=0,所以,=一1,因此,直線/的方程為y=2x7：2設直線/的方程為y=2x+/九設點4%,、B4,y2,尸叼為、.中乂,y=2x+h聯立直線/與拋物線C的方程,得丁一2八一=0,=4+砧>0,所以,b>-.由韋達定理得X+W=2.zw=-b.所以,AB=75|a-x2|=2+1>由于線段A3的中點為1,2+.,所以,直線P.的方程為,=-,+|+人1 5;y=-x+-+b152 2,得2/+%-5-力=0,由韋達定理得&+%=-5,&/=一5一.,22)'=所以,|尸.|=力=手141

19、+16,所以,四的取值范惘是5,+sAB2類型二垂直問題典例22021山東高考模擬文點P在拋物線GV=2p,p>0上,且點尸的橫坐標為2,以P為圓心,|PO|為半徑的圓.為原點,與拋物線.的準線交于M,N兩點,且|MV|=2.1求拋物線.的方程：2假設拋物線的準線與,軸的交點為H.過拋物線焦點F的直線,與拋物線C交于4B,且求|A尸卜怛目的值.【答案】1x2=4y24,2【解析】將點尸橫坐標與=2代入W=2py中,求得力=丁2,4J2,二,|OP=r+4,P2點p到準線的距離為"=二+4,P2解得2=4,=2,.拋物線.的方程為：精=4拋物線/=4y的焦點為F0,1,玳線方程為

20、y=T,H0,-l：設Ax,39,/,直線AB的方程為y=履+1,代入拋物線方程可得/一4H4=0,/.x+x2=4k9xAx2=-4,.由ABLHB,可得k、B,k/出=-1,.；.yx-1.力+1V2乂L=k.=,Z8=.()-1)(%+1)+中2=°,即一I14+1+X%2=0,xx；+；(%；-x-+xlx2=0,把代入得,X；-x；=16,那么IA尸I-IBF1=y+1-e-1=；-x；=x16=4.【名師指點】直線與直線的垂直關系,首先可以利用垂直關系得斜率之間的關系；其次可以利用向量數量積為0處理,再可以聯系圓中的有關知識,利用直徑所對的圓周角為直角處理.【舉一反三】【

21、廣西柳州市2021屆高三畢業班上學期摸底聯考】拋物線.的頂點在原點,焦點在工釉上,且拋物線上有一點.4,加到焦點的距離為5.1求該拋物線.的方程;2拋物線上一點4,過點作拋物線的兩條弦和A/E,且判斷直線.E是否過定點？并說明理札【解析】1由題意設拋物線方程為V2=2Px,其準魴程為A-f,尸4到焦點的距離等于月到箕準線的距離,14+§=5>.戶=2.二拋物線C的方程為1=4工2由1可得點M4,4,可得直線£>E的斜率不為0,設直線DE的方程為：x=W,x=my+1聯立i那么:/+八.設.不,1,七,力那么X+'2=4w,y,y2=-4r.,:MD-ME

22、=%-4,4-x2-4,y2-4=-4+x2+16+>>2-4y,+y2+16=+-_4付+叼+16+心4%+力+16=空一X+必r+3'當一4y+刈+32=t216/12/+3216/»=0:一12,+32=16/+16？,得：r-6=42/?+1,'./一6=±22?+1,即/=4?+8或/=-4/+4,代人式檢驗均滿足AA.,直線OE的方程為：x=+4?+8=my+4+8或x=?>,-4+4.直線過定點8,T定點4,4不滿足題意,故舍去.類型三面積問題典例3【山東省濱州市2021屆高三期末測試】拋物線E:/=2pyp>0上一點M

23、的縱坐標為6,且點M到焦點F的距離為7.1求拋物線E的方程：2設為過焦點F且互相垂直的兩條直線,直線11與拋物線E相交于AB兩點,直線心與拋物線E相交于點CD兩點,假設直線的斜率為k土羊0,且必試求R的值.【解析】1由拋物線的定義知,.點:M到拋物線的準線E的距離為7,又拋物線E的準線方程為y=-?.所以6+與二7,解得p=2.故擾E/=4y.2由題意可知L的方程為y=kx+lkh0,設必,Bx±y.,由二公：1消去整理得力?一4丘一4二0,x-=4y那么/+4？=4k,x2x2=-4,A=16",+1>0,AB=VTTF一；t=vTTF=>/T7FJ16H十1

24、=4七+I.又點0到直線45的距離d=鼻,VrL十*X那么J.=73引d=x4爐+1x高=2vTT.因沏21%同理可得5gL2卜.+1=等,I5ds=8,j2yk2+1X-'；J,=8,解得k?=:L即k=-1或k=L【名師指點】對于平面圖形的面積問題,可以直接表示或者可以利用割補的方法,將面枳科學有效表示,其中通過設直線和曲線的交點,利用韋達定理是解決該種問題的關鍵.【舉一反三】【2021山東高考模擬】如圖,在平面直角坐標系宜為中,點"2,1在拋物線C：i=的,上,直線/：¥=丘+伏匕工0與拋物線C交于4,B兩點,且直線.4,08的斜率之和為-1.2假設>1

25、,設直線/與3'軸交于.點,延長".與拋物線C交于點N,拋物線.在點N處的切線為,記直線,/與入軸圍成的三角形而積為S,求S的最小值.27【答案】1a=4,k=-,2一.2【解析】1將點M2,l代入拋物線C：x2=6/y,得.=4,X2=4v,.<,二,得尸一46一4=0,y=lex+h設4玉,8毛,必,那么M+勺=4"xxx2=-4Z?,1212解法一：=-+-4A)4,X：=-(1+x2)>XX24人1A2i4k由ii：'1(X+w)=1,所以=1,k=l.ffkx】+bkx)+bb(xx+x)4kb解法二：k0A+*+=2%+-J=2k+W

26、=k,xx2X2-4Z?由得攵=一1.(2)在直線/的方程y=-x+中,令x=0得.(0/),kDM有線.M的方程為：yl=L=(x2),即22(-b)xiiHy=廠,得/_2(1_匕)/_劭=0,2Ax=4v一解得：x=2,或X=一2/7,所以N(2"),由Y=4y,得),=Ld,y'=-x,切線的斜率=,(-2)=一,22切線的方程為：y=_近+2/»,即y=/.ilKy=-bx-b2y=-x+b得直線/、交點.,縱坐標為=告在直線y=-x+,),=一法一從中分別令),=o,得到與x軸的交點儀40),七(一40),112b2以32b(2b3)所以S=#即,.=；

27、(")Z=K,S'葭,此(1,司,時,函數單調出或：ie(|,+8)時,函數單調遞增:327=一時,S最小值為一.類型四范圍與定值問題典例4【湖南師大附中2021屆高三上學期月測試卷】.為坐標原點,拋物線C:y2=x>0上在第一象限內的點P2j到焦點的距離為方,曲線C在點尸處的切線交x軸于點.,直線4經過點.且垂直于X軸.I求.點的坐標：H設不經過點尸和.的動直線/2：工=少+/,交曲線.于點4和8,交L于點、E,假設直線R4,PE,所的斜率依次成等差數列,試問：是否過定點？請說明理由.【解析】【由拋物線上的點尸2/到焦點的距離為得2+2=2,所以=2,那么拋物線方程為

28、y2=2x,故曲線C在點尸處的切線斜率攵=g,切線方程為,-2二gx2,令y=0得x=2,所以點.一2,0.II由題意知4"=一2,由于4與4相交,所以加工0.設,2：x=,y+人,令x=-2,得y=一便二m設AmM,8的必,x=/nv+b.由,消去工得產一2加,-2=0,那么,+必=2加,V刈=一2,直線P4的斜率為y=2x'1_2_y_2_22»b+2內一2y：.x+2,同理直線P8的斜率為一,直線小的斜率為加.由于直線24,2%+z;2.4PE.PB的斜率依次成等基數列,所以岸八+上神=2攵依,即；+下不1十N2十/22?+2+/?2m,.2m+42m+2+b

29、tl'l-=2m+2-h2m整理得:整=4,由于"不經過點.,所以工一2,所以匕=2,故/2：x=1y+2,即a恒過定點2,0.【名師指點】對于定值問題,可以通過特殊位置、特殊圖形、特殊數學來尋求定值再證實,或者可以直接通過運算求解求得：而范闈問題需將所求量用變量表示,利用函數與方程.思想求解.【舉一反三】2021山東高考模擬文如圖,P為拋物線第=4%上在軸下方的一點,直線P4PB,PC與拋物線在第一象限的交點從左到右依次為月,B,C,與X軸的正半軸分別相交于點3M,N,且|LM|=MN=t0<t<2,直線P8的方程為拉y4=0.1當t工1時,設直線B4,PC的斜

30、率分別為七,k二,證實:鹿十底二腹履;2求沖關于珀勺表達式,并求出沖的取值范圍.【答案】見解析.0,1.【解析】1由2Kf；,=：V=0解得k=i或r=4,那么Pa,2.易知由題意可得L2-t,0,N2+t,0>0<t<2,且t工1,所以h=三,K=三,1I“i+t所以k,+A-=I-=,>%1k=x=r.Z,1-ITi-t21ai-t1+ti-M所以七+k2=fcifc2-2由1得,當tHl時,直線P的方程為2*+t-ly+2t-4=0,當t=l時,直線P的方程為*=1,適合上式,所以直線P4的方程為2尤+t-ly+2t-4=0.由L+；：4=0消去'得小一2

31、“十4"8二仇所以一2十%=2-2卜解得以二4-2匕所以點月的坐標為2-£+4-26由1得,直線PC7的方程為2萬一«+ly-2c-4=o.ll,L-t+ly-2t-4=0消去"V一十2b-4t-8=0,所以一2+%=2+譏,解得%=4+23所以點C的坐標為2+£>,4+2辦那么點片到直線P5的距離為乙=4%-汨山=號/,點C到直線P5的距離為九=歸1"-I=巨*,-V5V5所以=10<t<2d?l+2l*+t由于0?t<2,所以3<3+t<5,所以;<宗=/一1<1,所以沖的取值范圍是

32、31.>APBC5/【精選名校模擬】1.2021山東高考模擬文拋物線6：、2=2.«>0與橢圓.2：?+3_=1有一個相同的焦點,過點42,0且與大軸不垂直的直線/與拋物線q交于夕,.兩點,戶關于x軸的對稱點為M.1求拋物線G的方程：2試問直線M.是否過定點？假設是,求出該定點的坐標：假設不是,請說明理由.【答案】/=4x：2-2,0【解析】1由題意可知拋物線的焦點為橢圓的右焦點,坐標為1,0,所以=2,所以拋物線的方程為3=4x：2【解法一】由于點P與點M關于無軸對稱所以設px,y,.王,>2,Mx,-yJ,設直線PQ的方程為y=kx-2,代入3=4x得：k2x2

33、-4k2+x+4k2=0,所以玉=4,設直線"Q的方程為=.'+,2代入y2=4x得：m2x2+2mn-4x+n2=0>所以=二=4,nr由于網>0,X,>0,所以一=2,即=2m,m所以直線MQ的方程為,=團x+2,必過定點2,0.【解法二】設PN,yJ,.優,%,加不,必,由于點PJ點M關于x軸對稱,所以為=-'1,設直線P.的方程為x=+2,代入得：/-4/>>-8=0,所以1為=-8.設直線MQ的方程為R=m>'+,代入y2=4x得：y2一4=0,所以y2y3=n,由于>3=y,所以2=8,即=2,所以直線MQ

34、的方程為x=my-2,必過定點2,0.2. 2021.山東高考模擬理拋物線f=16x,過拋物線焦點廠的直線/分別交拋物線與圓.4尸+,2=16于ACD3自上而下順次四點.1求證：IACTI5DI為定值;2求lABIJAbl的最小值.【答案】1見證實：2108【解析】1有題意可知,戶4,0可設直線I的方程為x=my+4,y,Bx2,y2fy2=16x,聯立直線和拋物線方程?,消可得V-16my64=0,x=my+4所以'1+%=16？,yy2=-64,由拋物線的定義可知,IAE1=玉+§=玉+4,13/1=超+4,又IACHAEI-4J301=18FIT,22/12所以14cl

35、18.1=IAFI-418EI-4=*x=3»上"=r=16,161616"所以14clIB£M為定值16.(2)由(1)可知,IABI=IA/I+IB/Lxi+Xz+S,14/1=3+4,L4BIIAF1=(Xj+x2+8)(&+4)=x；+x1x2+2x+4x2+32,16由玉=16,可得Z=一,x,64所以L481IAF1=x1+12為+48(其中x>0),/4,/、2ic64AO,642(x2)(x+4廠:j(x)=x+12xhf489于(x)=2x+12=-；,x廠廠當工£0,2時,/'xv0.函數單調遞減,當x

36、e2,+s時,fx>0,函數單調遞增,所以/X“2=108.所以L45IIA尸I的最小值為108.3. 2021山東省桓臺第二中學高三月考理拋物線C：V=4x,點M與拋物線C的焦點/關于原點對稱,過點M且斜率為k的直線/與拋物線C交于不同兩點A,8,線段A8的中點為P,直線尸E與拋物線.交于兩點£,.,I判斷是否存在實數使得四邊形AEBQ為平行四邊形,假設存在,求出的值：假設不存在,說明理由;PFI2ID求的取值范圍【答案】I答案見解析：112的一3,1.【解析】I設直線/的方程為,=%K+1,設4再,8肛月,七小,%,.、4,、4.聯立方程組?得入2+(2公一物+攵2=o.y

37、=k(x+1)v2=4x,顯然工0,且>(),即(2公一4尸一444>0,得閃<1且AhO.4-2A:2得玉+=丁_$+x)_2_/r22xp=一=記-1,)7=粗記-1)+1=廠直線尸產的方程為：y=1-K'k聯立方程組<'得y2=4xk2,/2k?八k2八r-7x+(+4)xH=0,(I*)?(I*)?(1-Jt2)2有4(12)2C得X3+X4=;F2X3X411kr假設四邊形AEBD為平行四邊形,當且僅當內+/=±"=4""匚+2=)+匕,即公(公1)=0,kk得A=O,±1,與網<1且女工

38、0矛盾.故不存在實數女使得四邊形AE8D為平行四邊形(II)PM,付2公+1公+1由網<1且kwO,得1</+1<2；當好+1=6,取得最小值2途一3：當公+1=1時,PFPFi：7T取1；與+1=2時,p取：PMPM2PF廣所以一e2V3-3J)PM4. (2021.山東師范大學附中高考模擬(理)如圖,設橢圓如：|+=i(a>>0),長軸的右端點與拋物線C/=8%的焦點F重合,且橢圓的的離心率是字.(I)求橢圓G的標準方程：(II)過F作直線】交拋物線G于4B兩點,過F且與直線】垂直的直線交橢圓C于另一點C,求ZL4BC面積的最小值,以及取到最小值時直線I的方程

39、.【答案】()=+尸=1;(IDdBBC面積的最小值為9,*=±與,+2.【解析】(I)橢圓J+g=l(fl>b>0),長軸的右端點與拋物線的：產=8%的焦點F重合,/.a=2>又；橢圓心的離心率是¥,c=b,.橢圓g的標準方程為F+y=i-(II)過點F(2Q)的直線的方程設為“工啊+Z,設4(%卻%),S(x2,y2),聯立廣),JI：之得y?一8nly-16=0,%+y：=8ni»yxy2=T6,AAS=,1+m二J.+y?/一4yly二=8(1+?n-).過F且與直線!垂直的直線設為y=-m(x-2),聯立y=-m(x-2),得(1+4?

40、nz)x:-16?n:x+167rl二一4=0,.16m-X+2=7c14-4m2A|Cf|=V1+?n-|xc-.也+*而和!S=力叫CF=:-Vl+rn-.211114m2fl令=t,那么s=fm=怒,rw=令(=0,那么了=%即1+/=對,ZWBC面積最小,即當m=d/BC而積的最小值為9,r此時直線!的方程為工=土"y+2.一5. (2021.山東棗莊八中高三月考(文)拋物線C：y2=2px過點A(l/).(1)求拋物線C的方程:(2)過點P(3,l)的直線與拋物線C交于M,N兩個不同的點(均與點A不重合),設直線AM,AN的斜率分別為公,Q求證：4益2為定值.【答案】(1)

41、/=x.(2)見解析.【解析】(1)由題意得2P=1,所以拋物線方程為y2=x.設M(%,y),N(x2,y2),直線MN的方程為x=f(y+l)+3,代入拋物線方程得y2-ty-t-3=O.所以=(f+2)2+8>0,»+%=/,M=一,一3.所“"N-1x2-yf-1彳-1M+l,2+la'1%+M+2+1T-3+f+l2所以占,川是定值,6. 2021蒙陰縣實驗中學高三期末中央在原點的橢圓a和拋物線G有相同的焦點.,0,橢圓G過3、點G1,3,拋物線02的頂點為原點.1求橢圓G和拋物線G的方程；2設點尸為拋物線a準線上的任意一點,過點P作拋物線.2的兩條

42、切線a,P8,其中A,B為切點.設直線用,P8的斜率分別為占,k2,求證：K刈為定值：s假設直線A8交橢圓G于C,.兩點,Sj、B,S,pg分別是R4B,PCD的而積,試問：寸明是否&PCD有最小值？假設有,求出最小值：假設沒有,請說明理由.丫224【答案】G為上+L=1,G為y2=4x.2證實見解析：有最小值,最小值彳.43322【解析】1,設橢MG和拋物淺a的方程分別為+;=1>b>0和y2=2px.p>0.crr中央在原點的橢圓G和拋物線.2有相同的焦點.,0,橢圓G過點,拋物線a的頂點為原點.c=19±+1=1,<c廠b9解%.=2,b=>

43、;/3=2,a1=b2+£=i227,橢圓G的方程為二十二=1,拋物線C的方程為,2=4x.43證實：設尸1",過點尸.拋物線V=4x相切的直線方程為>=&1+1,>»"44t丁=4x,消去x得廠_y+丁+4=0,yk由="¥,尸一:一1=.,卬攵.+旅一1=0,Kk二"2=7設4不X"孫必,/221由得X=1,力=丁,那么玉=尸直線ba的方程為y-y=三上X-再,即y=一£一、一D,直線A3過定點1,0.2以a為切點的切線方程為y-y,=x-x,即x,=2x+xJ,同理以8為切點的切

44、線方程為y2y=21+,.兩條切線均過點P11,叫=2-1+內佻=2-1+/那么切點弦AB的方程為.,=2x-l,即直線AB過定點1,0ABCDS：小1八8|葭.到力我AB的i甘幽=羊"pcdlf/.|CD|i當直線43的斜率存在時,設直線A8的方程為、=攵工一1,i2A892,.西,3,.八4,4,rlH尸NI'得人2-區+4卜+父=.恒成立.|4回=1+6_內2=16+16公41+2,2 +匯=1ilH4,3,得3+4女2工28攵2工+4攵2-12=0,>恒成立.,=攵1卬=4+二七-獷=/+吸置等=要",41+2QS/CDk?_3+止_144121+公與

45、記-一尸+丁鼠3 +4公,、ir淺A8的斜率不存在時,直線A8的打k為火=1,此時,|AB|=4,|.|=3,SgB=3S&pcd3綜上,沁有最小值：.&PCD37.2021山東高考模擬理拋物線C：/=2px>0的焦點為F,P為拋物線上一點,O為坐標原點,4OFP的外接圓與拋物線的準線相切,且外接圓的周長為37r.I求拋物線C的方程：2設直線1交C于A,B兩點,M是AB的中點,假設|AB|=12,求點M到y軸的距離的最小值,并求此時1的方程.【答案】(1),2=4x：(2)最小值為5,直線方程為x±JJy-l=O【解析】(1)由于OFP的外接圓與拋物線C的準線相

46、切所以OFP的外接圓圓心到準線的距離等于圓的半徑圓周長為3h所以,圓的半徑為,=工2又由于同心在OF的垂直平分線上|OF|=:所以卜解得=2所以拋物線方程為*=4x(2)當1的斜率不存在時由于IABX12,所以4x=62,得x=9,所以點M到y軸的距離為9,此時,直線1的方程為x=9當1的斜率存在且后0時,設1的方程為y=kx+b,設A(xuyi)xB(X2,yz),M(xo,yo)»fv2=4v由?,化簡得攵2/+2(必一2)x+=0所以=-16k/?+16>0由韋達定理可得%+占=4,不占=-Kk-M以|A81=yl+k2(a-1+x2)2-4x,x2h7T4>/l_

47、kb=*+匕x=12k1即1一心1+公又由于二號=手19k2F+T+PF+1>2>/9-1=5當且僅當1+A.等號,此時解得k=±走2代入妨=1中,2所以直線1的方程為,=4X一羋或,=一坐X+當即直線方程為X±Jly-1=022228.【湖北省2021屆高三1月聯考測試】拋物線/=2PMp0的焦點為F,M為拋物線上一點,.為坐標原點/OMF的外接圓N與拋物線的準線相切,外接圓N的周長為9町1求拋物線的方程；2不與y軸垂直的動直線I與拋物線有且只有一個公共點,且分別交拋物線的準線和直線4=3于月、B兩點,試求器的值.【解析】1,NOMF的外接【員因的圓心N必在線

48、段.F的中垂線上且外接圓17與準線相切,外接圓N的周長為9盯外接圓的半徑二:p=:即p=6拋物線的方程為y,=12%2解法一：由題知直線的斜率存在且不為0可設:y=kxb由.:消去算"iky?-12y十12b=0直線I與拋物線只有一個公共點,k去.：.A=一12下一曲x12b=.即口=3.直線1：丫二4式十勺準線二-3交于/1,.4-3,-3k+b即做一3,3女+?同理網3,3+6.|A尸I-3-8產+-3總*-02、|36+94一工8后lSFlJRT產生*隹_0?口唱9.【安徽省黃山市2021屆高三第一次質量檢測】點MLnt在拋物線y2=20M羽0上,且M到拋物線焦點的距離為2.直

49、線I與拋物線交于4B兩點,且線段4B的中點為P(3,2)(I)求直線I的方程.(II)點Q是直線y=犬上的動點,求5.麗的最小值.【解析】(I)拋物線的.=-?/.1+?=2=>p=2,拋物線方程為峰=板flBtf設4(%電),5(如,%I:nyj=4a孫)=等二高二全二1直線I的方程為y-2=%-3即算-y-l=OH48都在直線I匕那么4犬1M-1,8犬一1,設QO,77tQA-Q3=小一nt,%0714-1的一】,我一血+1=A二一流+如一沿+1J的一1+1=x1x2-mx1r2+?n2+孫?-m+l%a+%2+?n+1:=2的處一2m+1黑工+x2+mr+m+1:8分,yyj-.n

50、爐6算+1=0n尤1+戈c=6,"i=131T.y-=4x11JQA-QB=22m+1x6+nr4-m2+2/n-r-l=2?n2lOrn-3=2771-、加=g時,QA.而的最小值為一y10.【河南省局部省示范性高中2021.2021學年高三數學】拋物線C：y?=2卬(尸>0)的焦點為F,點P(a,4)在拋物線.上,0為坐標原點,|PF|=5,且|0P|=5.(1)求拋物線C的方程：(2)圓從與拋物線C順次交于AM,8N四點,48所在的直線I過焦點F,線段MN是圓H的直徑,I«LMW,求直線】的方程.【解析】將P(a,4)代入拋物線y?=2p%的方程,得比二%所以P

51、8,4),由于|PF|=5.所以：+；=5,整理得p2-10p+16=0,解得p=2或p=8.當尸=2時,P(4,4),滿足|0P|>5：當p=8時,P(L4),|0P|<5,所以拋物線.的方程為尸=4%.(2)由題設知I.坐標軸不垂；直,可設I：%=my+l(?i工0),代入C:y'=4%,得y二一4r/iy-4=0.設4ati,%),8(小,月),那么%+%=為,月先=一4,故A8的中點為DM十1,2171).AB=dm?十1|兒-y2=4(加+1).又由于1_LMN,所以MN的斜率為一m,MH過力3的中點.(2m2十L2m),所以MN的方程為y-2m=-mx-2,洽一

52、I,即%-+2m,+3.將上式代入C：y,=4%,并整理得/+-42m=+3=0.設Mx3,y3,Nx第yj,那么y?+%=-*y3y4-一42m'+3,故MN的中點為H親+3,-?|MM|二三7|%_%|=竺藝手三由于MN是直徑,所以MN歪直平分力B,所以從M,B,N四點在同一個圓上等價于1月小二|BH|=?MM.所以:|月8|?=|DH|二44即4布+1/+2.+p+弓+2=*：*,化簡得m?-1=0,解得m=1或加=-1,所以l:4-y1=Oukx+y-1=0.11.【云南省昆明市2021屆高三1月復習診斷測試】過點EC-LO的直線/與拋物線C:產=4%交于月,B兩點,F是C的焦

53、點,1假設線段AB中點的橫坐標為3,求1F|十|BF|的值;2求的尸|出產|的取值范圍.【解析】1設M4%,BxJ那么X+X2=6,由拋物線的定義知|AF|+|BF|=x°+X2+2=8.2設AOq,%,Bx：Jy:,直線1的方程為x=my-L由"J得丫.一4my十4=0二%+%=4m,y1y?=4.由A=16m=-16>0,得>1-由拋物線的定義知|AF|=x2+l.|BF|=x2+1.那么|AF|BF|=X+lx24-1=m2y1y2=4m2.由于在>1,所以|AF|BF|>4.故|AF|“BF|的取值范惘是4,+s.12.斜率為我的直線/經過點1,0與拋物線.：,2=2/*>0,為常數交于不同的兩點M,",當時,弦MN的長為46.1求拋物線.的標準方程：2過點M的直線交拋物線于另一點Q,且