1、淺談中學數學教學中學生創新思維的培養吳 菲（湖南省長沙市周南中學 中國 長沙 410081） 摘要：數學教學重要的是培養學生的思維能力，是未來的高科技信息社會中，具有開拓、創新意識的人才所必須具有的思維品質。本文就如何在數學教學中，培養學生的創新思維能力提出了一些見解。一、在數學教學中，要精心設計，創設一定的思維情境，巧設懸念，使學生對所要解決的問題產生濃厚的興趣，誘發學生的創造欲。二、要啟迪學生的直覺思維，學生大膽猜想，發現結論，培養學生的創造機智。三、通過數學教學中的一題多解、一題多變，多題歸一等訓練，培養學生的發散思維，提高學生的創造思維能力。 關鍵詞：創新思維、直覺思維、發散思維、教學

2、過程、現代教育技術、最近發展區“實施素質教育，培養學生創新能力”已成為我國教育教學改革的主旋律。創新思維的培養是高中階段落實素質教育的重要標志，又是我們在每一個教學環節中應該貫徹的指導思想。從心理學與知識論的角度來看，教學的過程非常適合素質教育的要求，它能創造出培養創新能力的條件，能擔當起培養學生創新意識，創新精神和創新能力的重任。筆者就中學數學教學中對學生創新思維的培養，談一點自己的淺見。一、設置問題情境，引發學生創新思維的意識在數學教學中，學生的創造性思維的產生和發展，動機的形成，知識的獲得，智能的提高，都離不開一定的數學情境。所以，精心設計數學情境，是培養學生創造性思維的重要途徑。通過“

3、過程”教學，學生的學習過程再也不是一個被動吸取知識、記憶、反復練習、強化儲存的過程，而是一種主動參與，調動原有知識和經驗嘗試解決問題，同化新知識，構建自己知識體系的過程。學生在獲得數學概念、定理、法則、公式、解題方法等數學知識的同時，發展了抽象概括的思維能力和歸納能力，獲得了參與創新性思考的機會，能力就在這一過程中得到了培養。 添進無理數添進正分數添進負整數、負分數如“復數”概念的教學，先回顧總結從自然數集到實數集所經歷的幾次數集的擴充歷程及規律：自然數 非負有理數 有理數 實數。這個認識過程體現了如下規律：（1）擴充數集是解決社會生產與數學問題的需要；（2）每次擴充都是增加規定了性質的新元素

4、；（3）在原數集內成立的主要規律在數集擴充后的更大范圍內繼續成立；（4）在每次擴充后的新數集里能解決原數集不能解決的問題。然后展示一個一元二次方程x2 + 4 = 3x由學生求解。學生：無解。老師：早在1484年法國學者舒開在求出x=和x=時，聲明這兩個根是不可能的，為什么？學生：沒有意義，因為負數沒有平方根。老師：看來，他和我們的看法一樣，但是意大利學者卡當在1545年解一元三次方程x3 = 15x +4時，首先他用自己得到的一元三次方程的求根公式得到x= +，然后他又用分解因式的方法找到了這個方程的三個解x1 = 4，x2= -2+ ，x3= -2- ,令人十分困惑， 使他好不容易得到的一

5、元三次方程的求根公式蒙上了一層陰影。（那么他怎么辦呢？好奇心得到激發）這一矛盾的出現迫使他進行大量的研究，最后他大膽地作出了一個猜想：一定有一種新型的數存在，也就是說在實數中添進一類型的數后，這個矛盾就可以解決了。直到二百年后，瑞士數學家歐拉首次使用i2來表示-1，使負數沒有平方根的歷史結束了。后來又通過很多數學家的努力，終于在實數集內添進了卡當所預見的新型數-虛數。我們引入新的元素i并規定：（1）它的平方等于-1，即i2=-1;（2）實數可與它們進行四則混合運算，且原有的加、乘運算仍成立。由i的性質，i可以與實數b相乘，再與實數a相加，因此可得到形如a + bi的數，這就是復數。當b=0時，

6、它為實數；當b0時，它就是我們新添加的一類數-虛數。這樣，使學生急于想了解復數到底是怎樣的一種數，使學生有了追根求源之感，求知的熱情被激發起來。又如，在講解“等比數列求和公式”時，先給學生講了一個故事：從前有一個財主，為人刻薄吝嗇，常常扣克在他家打工的人的工錢，因此，附近村民都不愿到他那里打工。有一天，這個財主家來了一位年輕人，要求打工一個月，同時講了打工的報酬是：第一天的工錢只要一分錢，第二天是二分錢，第三天是四分錢.以后每天的工錢數是前一天的2倍，直到30天期滿。這個財主聽了，心想這工錢也真便宜，就馬上與這個年輕人簽訂了合同。可是一個月后，這個財主卻破產了，因為他付不了那么多的工錢。那么這

7、工錢到底有多少呢？由于問題富有趣味性，學生們頓時活躍起來，紛紛猜測結論。這時，教師及時點題：這就是我們今天要研究的課題等比數列的求和公式。同時，告訴學生，通過等比數列求和公式可算出，這個財主應付給打工者的工錢應為分1073（萬元），學生聽到這個數學，都不約而同地“啊”了一聲，非常驚訝。這樣巧設懸念，使學生開始就對問題產生了濃厚的興趣，啟發學生積極思維。以上兩個例子說明，在課堂數學中，創設問題情境，設置懸念能充分調動學生的學習積極性，使學生迫切地想要了解所學內容，也為學生發現新問題，解決新問題創造了理想的環境。同時，讓學生從活生生的具體材料中明白：要有新的發現，首先要積極地思考問題，多角度地解決

8、問題；其次應具備豐富的知識，掌握科學的研究方法。二、培養直覺思維，發展創造性思維能力著名數學家吳文俊說：“只會推理，缺乏數學直覺是不會有創造性的。”直覺思維在創造的關鍵階段上，起著重要作用。愛因斯坦根據自己親身經歷的科學創造實際得出結論，“我相信直覺和靈感。”他一再強調，在科學創造過程中，從經驗材料到提出新思想之間，沒有“邏輯的橋梁”，必須訴諸靈感和直覺。被譽為“純粹之皇冠”的數論，實際上也是在觀察的基礎上發展起來的一門科學，因此在學生直覺思維能力的培養中，觀察能力的培養甚為重要；要使他們敢于懷疑，敢于突破，只有這樣才能在觀察中有所發現，觀察是創造的基礎，因為只有通過觀察才會出現問題，思考問題

9、。同時，對觀察到的現象進行適當分析，也容易觸發對一般結果的猜測，對深層次關系的預感，這是一種可貴的創造性素質。學生在民主、平等、和諧的學習氛圍中積極動手、動腦、動口，在活動中獲取知識，形成技能，發展能力，提高思維創新水平。比如，在立體幾何中，設計等體積的正方體、等邊圓柱體、球體哪一個表面積最小？讓學生憑直覺回答而后再證明。再比如講“等差數列”的概念時，可以讓學生填空：（1）1，4，7， ，13， ； （2）3，0，-6， ； 這樣觀察與思維有機結合，分析與猜測同步進行。另一方面，觀察也可發現錯誤，觀察錯誤又可能發現其他合理因素，并由此找到修正錯誤的方法途徑。如，對問題“方程 x2+4x+p=0

10、的兩根為、，且3，求實數P。”，一位學生是這樣板演的：3 <=>29 <=> （）2 =9 <=>（ +）24=9<=>（-4）2-4P=9<=> 。我沒有直接指出其錯誤，而是充分肯定其轉化得很巧妙，因為出現這一錯誤的人不在少數。我要求學生對這一過程重新審視一遍；特別留意X1，X2C時，其每一步推理是否正確。通過觀察分析，不少學生發現：當X1，X2C時，29與（）2=9并不等價，弄明白錯因后，并未罷手，而是要求學生繼續觀察與分析；這里是否有合理的因素，不少學生發現只要0就行了，<0另行處理；還有的學生發現 29 <=>

11、; （）2=9盡管不成立，但只要改為（）29就成立了。從而得到更一般的思路：即使PC 此法也成立。這里將29與（）2=9對照起來觀察，使學生有所發現，同時也學會了“對比觀察”這一科學的研究方法。 三、培養發散思維，促進創新思維的發展發散思維是創新思維的重要支點，是學生將來成為創造性人才的基礎。一個人的創新，無非是想到別人還未想到的可能性，或者說，就是別人思維尚未擴散到的領域，被你的思維擴散到了。比如在數學解題教學中，對同一個數學問題，有的學生可能冥思苦想，百思不得其解，什么原因？歸根到底，就是他的思維尚未擴散到能夠完成解題的思路上來。所以說，我們實施創新教育，大量培養創造型人才，就必須將發散思

12、維的訓練，發散思維能力的培養放在重要地位上。發散思維的本質就是想象力的充分自由，發散思維是最為活躍的思維方式，具有很大的創造性。數學上的許多重大發明，發現都離不開數學家的發散思維。比如數學史上的三次危機哪一次不是眾多數學家想盡各種辦法，利用各種手段，通過各種渠道，采取各種方式，最后渡過危機，并使數學有大的發展？數學發展史，融會了眾多數學家通過發散思維研究和解決數學問題的光輝例證。加強對學生發散思維的培養，對造就一代開拓型人才具有十分重要的意義。在數學教學中可通過典型例題的解題教學及解題訓練，尤其是一題多解、一題多變、一題多用及多題歸一等變式訓練，達到使學生鞏固與深化所學知識，提高解題技巧及分析

13、問題、解決問題的能力，增強思維的靈活性、變通性和獨創性的目的。 一題多解，培養學生求異創新的發散思維，實現和提高思維的流暢性。通過一題多解的訓練，學生可以從多角度、多途徑尋求解決問題的方法，開拓解題思路。使不同的知識得以綜合運用，并能從多種解法的對比中優選最佳解法，總結解題規律，使分析問題、解決問題的能力提高，使思維的發散性和創造性增強。 一題多變，培養學生的轉向機智及思維的應變性，實現提高發散思維的變通性。把習題通過變換條件，變換結論，變換命題等，使之變為更有價值，有新意的新問題，從而應用更多的知識來解決問題，獲得“一題多練”、“一題多得”的效果。使學生的思維能力隨問題的不斷變換，不斷解決而

14、得到不斷提高，有效地增強思維的敏捷性和應變性，使創造性思維得到培養和發展。多題歸一，培養學生的思維收斂性。任何一個創造過程，都是發散思維和收斂思維的優秀結合。因此，收斂性思維是創造性思維的重要組成部分，加強對學生收斂性思維能力的培養是非常必要的，而多題歸一的訓練，則是培養收斂性思維的重要途徑。很多數學習題，雖然題型各異，研究對象不同，但問題的實質相同，若能對這些“型異質同”或“型近質同”的問題歸類分析，抓共同的本質特征，掌握解答此類問題的規律，就能弄通一題而旁通一批，達到舉一反三、事半功倍的教學效果，從而擺脫“題海”的束縛。如：用數學歸納法證明： 1+<2 (nN*)通過分析、綜合，問題

15、的關鍵是證明：2+<2( kN*)學生1：2-(2+)=>0老師：比較大小，運用作差比較法，思路自然。學生2：2+=<=2老師：運用基本不等式，快速、簡練。好！學生3：2+=<=2老 師：怎么想到要添加1/4呢？請說一說。學生3：我想去掉根號，加1/4后就把k2+k湊成了一個完全平方數，計算一下，恰好等于。學生4：我想用分析法做，要證：2成立, 即證： 也就是證，顯然成立。通過展示不同學生的原始思維過程，形成一題多解，可以培養學生思維的流暢性；對比學生2、學生3的思維過程，他們從同一點出發，一個用基本不等式，一個湊平方展示了思維的變通性；學生4在常規思考方式（分析法）的

16、基礎上得出令人耳目一新的放縮法，發展了思維的獨特性。從上可以看出教學過程中發散思維的三性（流暢性、變通性、獨特性）的訓練得到了徹底的落實。所以數學的創新教育不光是為了傳授現有的數學結論，更重要的是在老師的引導下，學生積極主動探索知識，形成技能和能力。要體現課堂教學中的新奇性。啟發性和趣味性，就必須改變傳統教育中只注重知識傳授的弊端，引導學生主動探索，從親歷知識的發生、發展、變化過程中發現快樂，激發興趣，啟發他們對已經解決的數學問題加以引申、變化、促進思維的發展，通過變式訓練，讓學生養成用觀察、聯想、類比的方法去解決問題的習慣，提高思維的創新能力。四、培養學生的創新思維，要求教師在教法上有創新教

17、師應改變講清楚、講透徹的傳統教學觀念。上課時，應在教學重點、難點、學生疑點處提出富有啟發性的問題，引導學生積極地、主動地思考，要讓學生感受、理解知識產生和發展的過程。舊知識是獲取新知識的基礎，新知識是舊知識符合邏輯的發展。在現有的知識基礎上，讓學生通過聯想、類比，得到新的知識，是通過引導、啟發，而不是直接“傳授”，更不是“灌輸”；是“授之以漁”，而不是“授之以魚”，我們所進行的高中數學“由教到導”課堂教學實踐，就是通過對教法的創新來培養學生的創新思維能力的。首先，在學習基礎知識時，采用提綱閱讀法，即教師先擬出閱讀提綱或思考題，稱之為導；學生根據提綱或思考題邊閱讀邊思考，還允許學生討論，教師巡回

18、指導并答疑，重點輔導學習困難的學生，最后師生一起小結。即按“引導一閱讀一思考一討論一小結”等步驟讓學生完成基礎知識的學習。其次，上習題課時，大致按“審題一試作一評講一演變一提煉”等程序進行。再次，上復習課時，按“回顧一提煉一典型例題分析一精選習題訓練一變式訓練”等環節進行。總之，無論是新課、習題深還是復習課，始終堅持以學生活動為主，教師只起指導學法，解答疑難的引導作用。學生學得生動活潑，積極主動，鍛煉了思維品質，提高了心理素質，促進了創新能力的培養。比如學習三角函數的圖象變換：ysin（x）的圖象是由 ysinx的圖象平移而得到的。我們啟發學生聯想到y=lg（xa）的圖象是由y=lgx的圖象平

19、移而得，進而抽象出y=f(xa)的圖象是由y=f(x)的圖象平移而得到的。這樣，就做到了觸類旁通，并由特殊現象抽象出了一般規律，并可以用這一般規律去處理各種特殊情況。這樣，學生就達到了創造性理解的程度，自然提高了創新思維的能力。五、培養學生的創新思維，應善于應用現代教育技術改變一支粉筆，一塊黑板的現狀，實現教育手段的現代化，是教育發展的必然趨勢。充分運用現代教育技術，不僅能增大課堂教學容量，優化教學結構，實現資源共享，還能增強學生興趣，激發探索精神。比如在學習函數、立體幾何、解析幾何等內容時，能做到靜動結合，給學生以實感、美感。如在學習立體幾何中的旋轉體時，利用現代教育技術演示旋轉體的形成過程

20、，這樣，就將抽象概念轉化了形象直觀的三維動畫。學生易于接受，印象深，效果好。如果能根據課程內容，通過讓學生自己設計制作課件等，不僅能提高實踐能力，而且有利于創新精神的培養。 六、培養學生的創新思維，要將學生由接受型發展為自學型數學是一門非常嚴謹的學科。對中學生來說，只要獲得了自己頭腦中沒有的知識，就可算創新。如從未知到已知，從舊知到新知；或新的見解的產生，新的結論的得到，新的問題的提出，新的解法的發現等，對學生來說都是很有意義的。因此，在數學教學中，培養創新思維能力，只要立足對學生來說是“新”就行了。不過，這個“新”的得到，不應是由老師“傳授”的，而應該是由學生自己實踐探索得到的。比如學習平面

21、解析幾何“曲線的交點”這節內容，完全可以由學生自學。因為所講的內容學生很容易看懂，兩個例題也容易解答（例1是求直線被拋物線截得的線段長，例2是討論直線和圓的位置關系）。通過自學，學生培養了自學能力，而且獲得了新知。對他們而言，應該算是一種創新。然而，問題有待于深化。如何讓學生自己從例1中抽象出不解方程組求直線被二次曲線截得的線段長的規律，從例2中探索出用直線和圓的位置關系的幾何性質來解此題的方法，那就是另一層次的創新。對老師來說，這無疑一點不新；而對學生來說，顯然是“新的”。這“新”的規律、“新”的方法，學生靠在教師的引導下，自己探索得到，這就是“創新”。然后，將此二例的方法遷移到一般二次曲線，對學生來說也是一種創新。七、培養學生創新思維，教學應建立在“最近發展區”水平上維果茨基指出：“只有走在發展前面的教學才是好的教學”。贊科夫認為，教學要不斷創造“最近發展區”，然后把它轉化為“現有發展水平”之中。只有建立在“最近發展區”之上的學生心理過程，才是積極有效的過程。因此，培養創新思維能力，應將教學建