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1、第四節可降階的高階微分方程) 1 ( )()(xfyn一、y(n)=f(x)型的微分方程，兩端積分一次，即得1)1(d)( Cxxfyn可改寫為，或xxfyxfyxnnd)( )(d )()(dd)1()1(再積分一次，得，21)2(d)(CCxxfyn 依次積分n次，得方程(1)的含有n個任意常數的通解.sin2的通解求微分方程xxy21(cos)dyxxCx3123421231sind31 cos122yxxC xCxCCxxxC xC，3121sin3xxC xC，例121(2sin )dcosyxxxxxC，解對所給方程依次積分三次,得記 即得421231cos12yxxC xC xC

2、，11,2CC其中C1, C2, C3為任意常數. ),(型的微分方程二、yxfy (2) ),( yxfy 這是關于變量x和p的一階微分方程，若能求出其通解，設為 ，即有),(1Cxp，或xCxyCxxyd),(d ),(dd 11.dd , pxpypy則通過變量代換微分方程，),(ddpxfxp代入方程(2)，得.d),( 21CxCxy兩端積分，得方程(2)的通解其中C1, C2為任意常數.e1的通解求微分方程xxyxy11dd1eeedxxxxxpxxC這是一階線性非齊次方程，利用通解公式，可得lnln1eeedxxxxxC11e d( e)xxxxCxC，例2，代入原方程，得，則設

3、xxpxxpxpypye1dd dd解1d ( e)dxyxCx，11( e)d (e)dxxyxCxxC xx于是有再積分一次，得原方程的通解為212(1)e2xCxxC21121(1)e ().2xCxC xCC.3 , 1:12002的特解滿足初值條件求微分方程xxyyyxxy，兩端積分得12ln)1ln(ln Cxp這是可分離變量的一階微分方程，分離變量得，xxxppd12d2例3.12dd dd2pxxxpxpypy，代入原方程得，則設解，代入上式，得以3 3100Cpyxx. 1 120Cyx代入，得再以. )1 ( )1 ( 2121xCyxCp即，化簡得. )1 (3 2xy,

4、3 d)1 (3232Cxxxxy這是一階微分方程，積分一次，得. 133xxy所求特解為例4 設火車以30m/s(相當于108km/h)的速度在平直的軌道上行駛(假設不計空氣阻力和摩擦力).當火車制動(剎車)時獲得加速度2.6m/s2,問開始制動經多長時間才能停住?在這段時間內火車行駛了多少路程?解 設火車開始制動時t=0,經t s行駛了s m,其運動方程22d0.6 (3)dst 初始條件00|0, |30. (4)ttsv對方程(3)兩邊積分一次,得1d0.6 (5)dsvtCt 再積分一次,得方程(3)的通解為2120.3+ (6)stCt C 將初值條件(4),得C1=30, C2=0于是2=0.630 (7)0.330 (8)vtst

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