1、精選優質文檔-傾情為你奉上五簡答題（每題4分）1、設是一個拓撲空間，是的子集，且.試說明.答案：對于任意,設是的任何一個鄰域，則有,由于，從而，因此，故.2、設都是拓撲空間., 都是連續映射，試說明也是連續映射.答案：設是的任意一個開集，由于是一個連續映射，從而是的一個開集，由是連續映射，故是的一開集，因此 是的開集，所以是連續映射.3、設是一個拓撲空間，.試說明：若是一個閉集，則的補集是一個開集.答案：對于,則，由于是一個閉集，從而有一個鄰域使得,因此，即,所以對任何,是的一個鄰域，這說明是一個開集.4、設是一個拓撲空間，.試說明：若的補集是一個開集，則是一個閉集.答案：設,則,由于是一個開

2、集，所以是的一個鄰域，且滿足,因此,從而,即有，這說明是一個閉集.5、在實數空間R中給定如下等價關系：或者或者設在這個等價關系下得到的商集,試寫出的商拓撲T.答案：6、在實數空間R中給定如下等價關系:或者或者設在這個等價關系下得到的商集,試寫出的商拓撲T .答案：7、在實數空間R中給定如下等價關系：或者或者設在這個等價關系下得到的商集,試寫出的商拓撲T.答案：8、在實數空間R中給定如下等價關系：或者或者設在這個等價關系下得到的商集,試寫出的商拓撲T.答案：9、在實數空間R中給定如下等價關系:或者或者設在這個等價關系下得到的商集,試寫出的商拓撲T .答案：10、在實數空間R中給定如下等價關系:或

3、者或者設在這個等價關系下得到的商集,試寫出的商拓撲T .答案：11、在實數空間R中給定如下等價關系:或者或者設在這個等價關系下得到的商集,試寫出的商拓撲T .答案：12、離散空間是否為空間?說出你的理由.答案：因為離散空間的每一個基必定包含著單點集，所以包含著不可數多個點的離散空間不是空間.至多含有可數多個點的離散空間是空間.13、試說明實數空間是可分空間.答案: 因為是可數集，且的任何一個非空的開集至少包含一個球形鄰域,從而與Q都有非空的交，因此，故實數空間是可分空間.14、試說明每一個度量空間都滿足第一可數性公理.答案: 設是一個度量空間, 對，則所有的以為中心，以正有理數為半徑的球形鄰域

4、構成處的一個可數鄰域基，從而滿足第一可數性公理.15、設是一個空間，試說明的每一個單點集是閉集.答案：對，由于是空間，從而對每一個，點有一個鄰域使得，即，故，因此,這說明單點集是一個閉集.16、設是一個拓撲空間，若的每一個單點集都是閉集，試說明是一個空間.答案：對于任意，都是閉集，從而和分別是和的開鄰域，并且有,.從而是一個空間.17、設是一個空間，是任何一個不屬于的元素.令和，試說明拓撲空間是一個空間. 答案：對任意,若,都不是，則.由于 是一個空間，從而各有一個開鄰域,使得;若,中有一個是，不妨設,則有開鄰域不包含.由以上的討論知，對中任意兩個不同點必有一個點有一個開鄰域不包含另一點，從而

5、是空間.18、若是一個正則空間，試說明：對及的每一個開鄰域，都存在的一個開鄰域,使得.答案: 對,設是的任何一個開鄰域，則的補集是一個不包含點的一個閉集.由于是一個正則空間，于是和分別有開鄰域和,使得，因此，所以.19、若是一個正規空間，試說明：對的任何一個閉集及的每一個開鄰域，都存在的一個開鄰域,使得.答案：設是的任何一個閉集，若是空集，則結論顯然成立.下設不是空集，則對的任何一個開鄰域，則的補集是一個不包含點的一個閉集. 由于是一個正規空間，于是和分別有開鄰域和,使得，因此，所以.20、試說明空間的任何一個子集的導集都是閉集.答案：設是的任何一個子集，若是空集，則，從而的導集是閉集.下設不

6、是空集，則對,則有開鄰域,使得，由于是空間，從而是開集，故 ,于是,所以是它每一點的鄰域，故是開集，因此是閉集.21、試說明緊致空間的無窮子集必有凝聚點.答案：如果的無窮子集的沒有凝聚點，則對于任意，有開鄰域，使得，于是的開覆蓋沒有有限子覆蓋，從而不是緊致空間，矛盾.故緊致空間的無窮子集必有凝聚點.22、如果是緊致空間，則是緊致空間.答案：考慮投射，由于是一個連續的滿射，從而由緊致知是一個緊致空間.23、如果是緊致空間，則是緊致空間.答案：考慮投射，由于是一個連續的滿射，從而由緊致知是一個緊致空間.24、試說明緊致空間的每一個閉子集都是緊致子集.答案：如果A 是的任意一個由中的開集構成的覆蓋，

7、則是的一個開覆蓋.設是的一個有限子族并且覆蓋.則便是A 的一個有限子族并且覆蓋，從而是緊致子集.六、證明題（每題8分）1、設是從連通空間到拓撲空間的一個連續映射.則是的一個連通子集.證明：如果是的一個不連通子集，則存在的非空隔離子集使得 3分于是是的非空子集，并且：所以是的非空隔離子集 此外，這說明不連通，矛盾.從而是的一個連通子集. 8分2、設是拓撲空間的一個連通子集, 證明: 如果和是的兩個無交的開集使得,則或者,或者. 證明：因為是的開集，從而是子空間的開集.又因中，故 4分由于是的連通子集,則中必有一個是空集. 若,則;若,則 8分3、設是拓撲空間的一個連通子集, 證明: 如果和是的兩

8、個無交的閉集使得,則或者,或者. 證明：因為是的閉集，從而是子空間的閉集.又因中，故 4分由于是的連通子集,則中必有一個是空集. 若,則;若,則 8分4、設是拓撲空間的一個連通子集，滿足，則也是的一個連通子集.證明：若是的一個不連通子集，則在中有非空的隔離子集 使得.因此 3分由于是連通的，所以或者,如果，由于，所以，因此 ,同理可證如果，則,均與假設矛盾.故也 是的一個連通子集. 8分5、設是拓撲空間的連通子集構成的一個子集族.如果,則是的一個連通子集.證明：若是的一個不連通子集.則有非空的隔離子集使得 4分任意選取,不失一般性，設,對于每一個，由于連通，從而及,矛盾，所以是連通的. 8分6

9、、設是拓撲空間的一個連通子集，是的一個既開又閉的集合.證明：如果,則.證明：若,則結論顯然成立.下設,由于是的一個既開又閉的集合,從而是的子空間的一個既開又閉的子集 4分由于及連通，所以，故. 8分7、設A是連通空間X的非空真子集. 證明:A的邊界.證明：若,由于,從而,故是的隔離子集 4分因為A是X的非空真子集,所以A和均非空,于是X不連通,與題設矛盾.所以. 8分8、設X是一個含有不可數多個點的可數補空間.證明X不滿足第一可數性公理. 證明：若滿足第一可數公理，則在處,有一個可數的鄰域基，設為V x ,因為X是可數補空間，因此對,是的一個開鄰域，從而 ,使得. 于是, 4分由上面的討論我們

10、知道： 因為是一個不可數集，而是一個可數集，矛盾.從而X不滿足第一可數性公理. 8分9、設X是一個含有不可數多個點的有限補空間.證明:X不滿足第一可數性公理. 證明：若滿足第一可數公理，則在處,有一個可數的鄰域基，設為V x ,因為X是有限補空間，因此對,是的一個開鄰域，從而 ,使得.于是, 4分由上面的討論我們知道： 因為是一個不可數集，而是一個可數集，矛盾.從而X不滿足第一可數性公理. 8分10、設是兩個拓撲空間，是一個滿的連續開映射.滿足第二可數性公理，證明：也滿足第二可數性公理.證明：設滿足第二可數性公理，是它的一個可數基.由于是一個開映射，是由中開集構成的一個可數族. 3分下面證明是

11、的一個基.設是的任意開集，則是中的一個開集.因此存在,使得.由于是一個滿射，所以有,從而是中某些元素的并，故是的一個基.這說明也滿足第二可數性公理. 8分11、設是兩個拓撲空間，是一個滿的連續開映射.滿足第一可數性公理，證明：也滿足第一可數性公理.證明：對,由于是一個滿射，所以存在,使得,由于滿足第一可數性公理，故在點處存在一個可數鄰域基，設為,又由于是一個開映射，則是中點的一個可數鄰域族. 3分下面證明是中點的一個鄰域基.設是中點的任意鄰域，則是中點的一個鄰域.因此存在,使得.因此,從而是中點的一個鄰域基.這說明也滿足第一可數性公理. 8分12、是滿足第二可數性公理空間X的一個不可數集。求證

12、：A至少有一個凝聚點.證明：若沒有凝聚點，則對任,一定存在的一個鄰域，使得：,由于滿足第二可數性公理，設是它的可數基，故一定存在一個,使得：, 更有A=x, 4分若令C= xA, B, ,則有C B ，從而C必可數.于是 A =.這樣A就是可數集，這與題設A為不可數集相矛盾，故A至少有一個凝聚點. 8分13、證明滿足第二可數性公理的空間中每一個由兩兩無交的開集構成的集族都是可數族.證明：設是滿足第二可數性公理的空間X中由兩兩無交的開集構成的集族, 由于滿足第二可數性公理，設是X的可數基 3分對的每一個元素A ,因為是的基,存在使得.因為中的元素兩兩無交,從而中不同元素包含中的元素也不相同.因為

13、可數, 故是可數族. 8分14、設是一個空間,證明：的每一個鄰域中都含有中的無限多個點.證明：設，若有一個開鄰域含有中的有限多個點，設,則是一個有限集，從而是一個閉集，故是一個開集且是的一個開鄰域. 4分又易知,從而，矛盾.故含有中的無限多個點. 8分15、設是一個空間,證明：對的每一個鄰域有是無限集.證明：設，若有一個開鄰域含有中的有限多個點，設,則是一個有限集，從而是一個閉集，故是一個開集且是的一個開鄰域. 4分又易知,從而，矛盾.故是無限集. 8分16、設是空間的一個收斂序列,證明：的極限點唯一.證明：若極限點不唯一，不妨設,其中，由于是空間，故和各自的開鄰域，使得.因，故存在，使得當時

14、，；同理存在，使得當時，.4分令,則當時，從而,矛盾，故的極限點唯一. 8分17、設是一個拓撲空間，證明是hausdorff空間當且僅當積空間的對角線是一個閉集.證明：充分性：對任意，于是,由于是閉集，所以是開集，從而有的開鄰域使得，于是分別是的開鄰域,且，從而是Hausdorff空間. 4分必要性：若是hausdorff空間，對，則和分別有開鄰域，使得，從而，由于是中的開集，所以是其每一點的鄰域，故是開集，從而是閉集. 8分18、設是Hausdorff空間，是連續映射.證明是的閉子集.證明：對于，則，從而有互不相交的開鄰域和，設，4分則是的開鄰域，并且,故是開集，從而是閉集. 8分19、設X

15、是一個正則空間，A是的閉子集,，證明：和分別有開鄰域和使得.證明：由于X是一個正則空間，從而x和A分別有開鄰域W和V使得，故，因此. 4分又由正則空間的性質知：存在x的開鄰域U使得,從而. 8分20、設X是一個正規空間，A ，B是X的兩個無交的閉子集.證明：和B分別有開鄰域和使得.證明：由于X是一個正規空間，從而A和B分別有開鄰域W和V使得，故，因此.4分由正規空間的性質知：存在A的開鄰域U使得,從而. 8分21、設X是一個拓撲空間，是閉區間，若對的任何兩個無交的閉集都存在一個連續映射,使得當時，,當時，.證明：X是一個正規空間.證明：設是的任意兩個無交的閉集，由題意知存在一個連續映射,使得當

16、時，,當時，.設,4分易知分別是和的開鄰域且.從而X是一個正規空間. 8分22、證明空間中任何一個連通子集如果包含著多于一個點，則它一定是一個不可數集.證明：設是空間中的一個連通子集，如果不只包含一個點，任意選取.對于空間中的兩個無交的閉集，應用Urysohn引理可見，存在一個連續映射，使得和.4分由于是的一個連通子集，從而連通，由于，所以，由于是一個不可數集，所以也是一個不可數集. 8分23、X是空間，B為X的一個拓撲基，則對于每一個BB及xB,都有一個B使得xB.證明：X是空間，必為的正規空間，對任意xX,x為閉集.對于BB且xB,B就是x的一個開鄰域.由于X為正規空間，必存在x的一個開鄰

17、域U,使得.4分U也是x的開鄰域，一定存在一個B ，使得 xU,且有，當然就有x.8分24、設為Hausdorff空間 ,是一個連續映射, 且證明:是的閉集證明：對，則，由于是Hausdorff空間，存在和的鄰域，使得.又因為連續,故存在的鄰域,使得,令,則是的鄰域,且.4分事實上,若存在使得,即使得.于是,而,這樣,矛盾.所以,即 是閉集. 8分25、設X是空間，A是X的至少含有兩點的連通子集，則A一定是無 限集證明：若A為有限集，設a,bA且ab,由于X為空間，于是a與A-a就是X的閉集.且a（A-a）=及A-a,4分從而，A=a(A-a) ,故A不是X的連通子集.這與題設相矛盾，所以A必

18、為無限集. 8分26、如果拓撲空間的每一個緊致子集都是閉集，則的每個收斂序列 的極限點唯一.證明：因為單點集總是緊致子集，從而拓撲空間的每一個單點集是閉集，故是空間，若的極限點不唯一，不妨設收斂到.易知是包含的開鄰域,因此它包含序列的幾乎所有項，也就是說只有有限項為 4分設,則是緊致子集，從而是閉集.故是的一個開鄰域，它最多只能含的有限多項，從而不是的極限點，矛盾.從而的每個收斂序列的極限點唯一. 8分27、設是兩個拓撲空間，是一個連續映射.如果是的一個緊致子集，證明是的一個緊致子集.證明：設C是的一個由中的開集構成的覆蓋.對于任意，是中的一個開集，由于,從而有：所以是一個由中的開集構成的的覆

19、蓋.由于是的一個緊致子集，所以A 有一個有限子族，設為覆蓋. 4分因為，從而，即是C 的一個子族并且覆蓋，因此是的一個緊致子集. 8分28、設是一個正則空間，是的一個緊致子集，.證明：如果,則也是的一個緊致子集.證明：設A是任意一個由X中的開集構成的Y的覆蓋，因此A也是A的一個覆蓋，由于A是X的緊致子集，從而A有有限個成員使得. 4分由于A是正則空間的緊致子集，從而A有一個開鄰域，使得,從而有,從而A有有限子覆蓋，因此Y是X的一個緊致子集. 8分29、設是一個正則空間，是的一個緊致子集.證明：也是的一個緊致子集.證明：設A是任意一個由X中的開集構成的的覆蓋，因此A也是A的一個覆蓋，由于A是X的

20、緊致子集，從而A有有限個成員使得. 4分由于A是正則空間的緊致子集，從而A有一個開鄰域，使得,從而有,從而A有有限子覆蓋，因此是X的一個緊致子集. 8分30、設是一個Hausdorff空間，A 是它的一個非空集族，由的緊致子集構成，證明：是的一個緊致子集.證明：對于任意，易知是一個閉集，從而是的一個閉集. 4分取，則有，由于是緊致的，從而是的一個緊致子集，易知也是的一個緊致子集. 8分31、設是連續的一一對應，其中是緊致空間，是一個Hausdorff空間，證明是一個同胚映射.證明：要證明是一個同胚映射， 只需證明連續，進而只需證明是閉映射.設是的閉集，由是緊致空間，從而是的一個緊致子集，故是的一個緊致子集，4分由于是一個Hausdorff空間，因此是的一個閉集，從而是閉映射. 8分32、是拓撲空間的子空間，是的緊致子集，證明是的緊致子集.證明：對于的由的開集構成的任一開覆蓋A ，即A,這樣，就有A =AY ,若令 , 就是由的開集構成的A的一個開覆蓋，3分由于A是的緊致子集，必有有限的子覆蓋,即 A=,從而A,于是就是A的由X的開集構成的開覆蓋，且是A的一個子覆