1、1復變函數復變函數第第2講講23 復數的乘冪與方根3乘積與商 設有兩個復數 z1=r1(cosq1+isinq1), z2=r2(cosq2+isinq2), z1z2=r1r2(cosq1+isinq1)(cosq2+isinq2) = r1r2(cosq1cosq2-sinq1sinq2)+i(sinq1cosq2+cosq1sinq2)= r1r2cos(q1+q2)+isin(q1+q2)于是|z1z2|=|z1|z2|(1.3.1)Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2,(1.3.2)4定理1 兩個復數乘積的模等于它們的模的乘積, 兩個復數乘積的幅角等于它們幅角的和.5等式

2、Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2,(1.3.2)的意思是等式的兩邊都是無限集合, 兩邊的集合相等, 即每給定等式左邊的一個數, 就有等式右邊的一個數與之對應, 反之亦然.例如, 設z1=-1, z2=i, 則z1z2=-i, 則121 2Arg2,Arg2,2Arg22,0, 1, 2,znzmz zkn m k= -= 6z1z2相當于將z1的模擴大|z2|倍并旋轉一個角度Arg z2q2q2z2q1z1z1z21Oxy7如果用指數形式表示復數:)(212122112121ee,eqqqq=iiirrzzrzrz為則定理一可簡明地表示)4 . 3 . 1 (e)sin()cos

3、(), 2 , 1(),sin(cos)(212121212121nkinnnnnkkkikkrrrirrrzzznkirerzqqqqqqqqqqqq=則由此逐步可證, 如果8按照商的定義, 當z10時, 有12121212112211221122ArgArgArg,|ArgArgArg|,|zzzzzzzzzzzzzzzzzzzz-=于是因此定理二 兩個復數的商的模等于它們的模的商, 兩個復數的商的輻角等于被除數與除數的幅角之差.9如果用指數形式表示復數:,e,e212211qqiirzrz=)(121212eqq-=irrzz定理二可簡明地表示為10例1 已知正三角形的兩個頂點為z1=1

4、與z2=2+i, 求它的另一個頂點.解 如圖所示, 將表示z2-z1的向量繞z1旋轉/3(或-/3)就得到另一個向量, 它的終點即為所求的頂點z3(或z3).3Oxyz1=1z2=2+iz3z3311根據復數乘法, 有331213()13(1)2213132222331322izzezziiizi-=-=-=122. 冪與根 n個相同復數z的乘積稱為z的n次冪,記作zn. 個nnzzzz=為負整數時上式也成立則當如定義nzznn,1=-則根據(1.3.4), 對任意正整數n, 我們有zn=rn(cos nq+isin nq).(1.3.7)如|z|=1,則(棣莫弗(De Moivre)公式).

5、 (cos q+isin q)n = cos nq+isin nq.(1.3.8)13設z為己知, 方程wn=z的根w稱為z的n次根,為整數記作nzznn,/1=1ee1ee11e,e, 1 ,123322332332323=-iiiiii及這是因為有三個值如n為正整數, 則一個復數的n次根不止有一個, 而是有n個, 這是很麻煩的事情. 例如在幾何上, z1/n的n個值就是以原點為中心, r1/n為半徑的圓的內接正n邊形的n個頂點14在z已知時求方程wn=z的根w, 令z=r(cosq+isinq), w=r(cosj+isinj),則rn(cos nj+isin nj)=r(cosq+isi

6、nq)于是rn=r, cos nj=cosq, sin nj=sinq后兩式成立的充要條件為nj=q+2k, (k=0,1,2,).由此12,nkrnqrj=15其中, r1/n是算術根, 所以12,nkrnqrj=1/22cossinnnkkwzrinnqq=當k=0,1,2,n-1時, 得到n個相異的根,而當k以其它整數值代入時, 這些根又重復出現.16例2 求41. i12 cossin,44ii =解 因為所以44224412 cossin,44(0,1,2,3)kkiik =17即808182832 cossin,1616992 cossin,161617172 cossin,161

7、625252 cossin.1616wiwiwiwi=18四個根是內接于中心在原點半徑為21/8的圓的正方形的四個頂點.2821+iw0w1w2w3Oxy194 區域201. 區域的概念平面上以z0為中心, d(任意的正數)為半徑的圓:|z-z0|d內部的點的集合稱為z0的鄰域, 而稱由不等式0|z-z0|M的所有點的集合, 其中實數M0, 稱為無窮遠點的鄰域.即它是圓|z|=M的外部且包含無窮遠點本身. 不包括無窮遠點本身的僅滿足|z|M的所有點稱為無窮遠點的去心鄰域, 也記作M|z|M22設G為一平面點集, z0為G中任意一點. 如果存在z0的一個鄰域, 該鄰域內的所有點都屬于G, 則稱z

8、0為G的內點.如果G內的每個點都是它的內點, 則稱G為開集23平面點集D稱為一個區域, 如果它滿足下列兩個條件:1) D是一個開集;2) D是連通的, 就是說D中任何兩點都可以用完全屬于D的一條折線連接起來.區域z2z1不連通24設D為復平面內的一個區域, 如果點P不屬于D, 但在P的任意小的鄰域內總包含有D中的點, 這樣的點P稱為D的邊界點. D的所有邊界點組成D的邊界. 區域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點所組成的.C3C2zg1g2C125區域D與它的邊界一起構成閉區域或閉域, 記作D.如果一個區域可以被包含在一個以原點為中心的圓里面, 即存在正數M, 使區域D的每個點z都滿足|z|

9、M, 則稱D為有界的, 否則稱為無界的.xyDO26滿足不等式r1|z-z0|0角形域:0arg zjjab帶形域:aIm zb282. 單連通域與多連通域平面曲線 在數學上, 經常用參數方程來表示各種平面曲線. 如果x(t)和y(t)是兩個連續的實變函數, 則方程組x=x(t), y=y(t), (atb)代表一條平面曲線, 稱為連續曲線. 如果令z(t)=x(t)+iy(t)則此曲線可用一個方程z=z(t)(atb)來代表. 這就是平面曲線的復數表示式.29如果在區間atb上x (t)和y (t)都是連續的, 且對于t的每一個值, 有x (t)2+y (t)20這曲線稱為光滑的, 由幾段依

10、次相接的光滑曲線所組成的曲線, 稱為按段光滑曲線.連續不連續光滑不光滑30設C:z=z(t)(atb)為一條連續曲線, z(a)與z(b)分別為C的起點與終點. 對于滿足at1b, at2b的t1與t2, 當t1t2而有z(t1)=z(t2)時, 點z(t1)稱為曲線C的重點. 沒有重點的連續曲線C, 稱為簡單曲線或若爾當(Jardan)曲線. 如果簡單曲線C的起點與終點閉合, 即z(a)=z(b), 則曲線C稱為簡單閉曲線.z(a)=z(b)簡單,閉z(a)z(b)簡單,不閉z(a)=z(b)不簡單,閉不簡單,不閉z(a)z(b)31任意一條簡單閉曲線C把整個復平面唯一地分成三個互不相交的點集, 其中除去C外, 一個是有界區域, 稱為C的內部, 另一個是無界區域, 稱