1、湖南工業(yè)大學(xué)2012年“專升本”選拔考試高等數(shù)學(xué)考試大綱（滿分150分，時限120分鐘）一、函數(shù)考核知識點(diǎn)1.函數(shù)的概念：函數(shù)的定義；函數(shù)的表示法；分段函數(shù)2.函數(shù)的簡單性質(zhì)：有界性；單調(diào)性；奇偶性；周期性3.反函數(shù)：反函數(shù)的定義；反的函數(shù)的圖形4.基本初等函數(shù)及其圖形：冪函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù) 三角函數(shù) 反三角函數(shù)5.復(fù)合函數(shù)6.初等函數(shù)考核要求1.理解函數(shù)的概念(定義域、對應(yīng)規(guī)律)。理解函數(shù)記號的意義并會運(yùn)用。熟練掌握求函數(shù)的定義域、表達(dá)式及函數(shù)值。會建立簡單實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系式。2.了解函數(shù)的幾種簡單性質(zhì)，掌握函數(shù)的有界性、奇偶性的判別。3.掌握基本初等函數(shù)及其圖形的有關(guān)知識。4.理

2、解復(fù)合函數(shù)概念。掌握將一個復(fù)合函數(shù)分解為基本初等函數(shù)或簡單函數(shù)的復(fù)合方法。二、極限與連續(xù)(一)極限考核知識點(diǎn)1.數(shù)列的極限：數(shù)列極限的定義；數(shù)列極限的性質(zhì)；數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則2.函數(shù)的極限：函數(shù)極限的定義；左極限與右極限的概念；自變量趨向于有限值時函數(shù)極限存在的充分必要條件；函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則兩個重要極限3.無窮小量和無窮大量：無窮小量和無窮大量的定義；無窮小量和無窮大量的關(guān)系；無窮小量的性質(zhì)考核要求1.了解極限概念(對極限定義的“”，“”等形式的描述不作要求)，了解左極限與右極限概念，知道自變量趨向于有限值時函數(shù)極限存在的充分必要條件。2.掌握極限四則運(yùn)算法則。3.掌握用兩個重要極限

3、求極限的方法。4.了解無窮小量、無窮大量的概念。知道無窮小量的性質(zhì)，無窮小量與無窮大量的關(guān)系。(二)連續(xù)考核知識點(diǎn)1.函數(shù)連續(xù)的概念函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義 左連續(xù)與右連續(xù) 函數(shù)(含分段函數(shù))在一點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件 函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類2.連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性3.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界性定理 介值定理(包括零點(diǎn)定理) 最大值與最小值定理考核要求1.理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)與間斷的概念。掌握判斷簡單函數(shù)(含分段函數(shù))在一點(diǎn)的連續(xù)性。了解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)與在一點(diǎn)極限存在之間的關(guān)系。2.掌握求函數(shù)的間斷點(diǎn)及確定其類型。3.了解初等函數(shù)在其定義區(qū)間的連續(xù)性。了解在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，會運(yùn)用介

4、值定理推證一些簡單命題。三、一元函數(shù)微分學(xué)(一)導(dǎo)數(shù)與微分考核知識點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的定義 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系 導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 導(dǎo)數(shù)的基本公式3.求導(dǎo)方式 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法 隱函數(shù)的求導(dǎo)法 對數(shù)求導(dǎo)法 由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法4.高階導(dǎo)數(shù)的概念5.微分微分的定義 微分的幾何意義 微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 微分法則 一階微分形式不變性考核要求1.理解導(dǎo)數(shù)概念。知道導(dǎo)數(shù)的幾何意義及了解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。2.掌握求曲線上一點(diǎn)處的切線方程與法線方程。3.熟練掌握導(dǎo)數(shù)基本公式及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則。熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法。4.掌握求隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的

5、一階導(dǎo)數(shù)的方法。會使用對數(shù)求導(dǎo)法。5.了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，掌握初等函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)求法。6.理解函數(shù)的微分概念及微分的幾何意義。掌握微分運(yùn)算法則。會求函數(shù)(含隱函數(shù))的微分。(二)中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用考核知識點(diǎn)1.中值定理：羅爾(Rolle)定理；拉格朗日(Lagrange)中值定理2.洛必達(dá)法則3.函數(shù)單調(diào)性的判定4.函數(shù)極值與極值點(diǎn)的概念及其求法5.曲線的凹凸性、拐點(diǎn)及其求法6.曲線的水平漸近線與垂直漸近線及其求法考核要求1.理解羅爾定理、拉格朗日中值定理及它們的幾何意義。會用羅爾定理證明方程根的存在性。會用拉格朗日中值定理證明簡單的不等式。2.掌握用洛必達(dá)法則求型未定式的極限。3.掌握利用

6、導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。會利用函數(shù)的增減性證明簡單的不等式。4.理解函數(shù)極限的概念。掌握求函數(shù)的極值的方法。掌握簡單的最大(小)值的應(yīng)用問題的求解。5.會判定曲線的凹凸性、會求曲線的拐點(diǎn)。6.會求曲線的水平漸近線與垂直漸近線。7.會作出簡單函數(shù)的圖形。四、一元函數(shù)積分學(xué)(一)不定積分考核知識點(diǎn)1.不定積分的概念：原函數(shù)與不定積分的定義；原函數(shù)存在的定理；不定積分的性質(zhì)2.不定積分法：基本積分公式；第一換元法(即湊微分法)；第二換元法分部積分法；簡單有理函數(shù)的不定積分法考核要求1.理解原函數(shù)與不定積分的概念。2.了解不定積分的性質(zhì)。3.熟練掌握不定積分的基本積分公式。4.掌握不定

7、積分第一換元法、第二換元法(限于三角代換與簡單的根式代換)及分部積分法。5.會求簡單有理函數(shù)的不定積分(分解定理不作要求)。(二)定積分考核知識點(diǎn)1.定積分的概念：定積分的概念及其幾何意義；定積分的性質(zhì)2.變上限的積分及其求導(dǎo)定理；牛頓萊布尼茨公式3.定積分的應(yīng)用：平面圖形的面積；旋轉(zhuǎn)體體積；物體沿直線運(yùn)動時變力所做的功4.無窮區(qū)間的廣義積分：收斂；發(fā)散；計(jì)算方法考核要求1.理解定積分的概念與幾何意義。2.理解定積分的性質(zhì)。3.理解變上限積分為其上限的函數(shù)及其求導(dǎo)定理。掌握對上限函數(shù)進(jìn)行分析運(yùn)算。4.熟練掌握牛頓·萊布尼茨公式。5.掌握用定積分的換元法和分部積分計(jì)算定積分。6.掌握用

8、定積分求平面圖形的面積和簡單的封閉平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體體積。會用定積分求沿直線運(yùn)動時變力所做的功。7.了解廣義積分收斂與發(fā)散的概念。會求上述廣義積分。五、向量代數(shù)與空間解析幾何(一)向量代數(shù)考核知識點(diǎn)1.向量的概念：向量的定義；向量的模；單位向量；向量在坐標(biāo)軸上的投影向量的坐標(biāo)表示；向量的方向余弦2.向量的線性運(yùn)算：向量的加法；向量的減法；向量的數(shù)乘運(yùn)算3.向量的數(shù)量積：二向量的夾角；二向量垂直的充分必要條件4.二向量的向量積：二向量平行的充分必要條件考核要求1.理解向量的概念。掌握向量的坐標(biāo)表示法，了解單位向量，方向余弦、向量在坐標(biāo)軸上的投影。2.掌握向量的線性運(yùn)算、向量的數(shù)量積、

9、二向量的向量積的運(yùn)算方法。3.會判定二向量的平行與垂直。(二)平面與直線考核知識點(diǎn)1.常見的平面方程：點(diǎn)法式方程；一般式方程2.兩平面的關(guān)系 3.空間直線方程：標(biāo)準(zhǔn)式方程(又稱對稱式方程或點(diǎn)向式方程)；一般式方程；參數(shù)式方程4.兩直線的關(guān)系；直線與平面的關(guān)系考核要求1.掌握平面的點(diǎn)法式方程、一般式方程。會判定兩平面的垂直、平行。2.掌握直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程、參數(shù)式方程、一般式方程。會判定兩直線平行、垂直。3.會判定直線與平面間的關(guān)系(垂直、平行、直線在平面上)。(三)簡單的二次曲面考核知識點(diǎn)球面；母線平等于坐標(biāo)軸的柱面；旋轉(zhuǎn)拋物面；圓錐面；橢球面考核要求了解球面；母線平等于坐標(biāo)軸的柱面；旋轉(zhuǎn)拋物面

10、；圓柱面和橢球面的方程及其圖形。六、多元函數(shù)微積分學(xué)(一)多元函數(shù)微分學(xué)考核知識點(diǎn)1.二元函數(shù)：多元函數(shù)的定義；二元函數(shù)的幾何意義；二元函數(shù)的定義域2.二元函數(shù)的極限與連續(xù)：二元函數(shù)極限的概念；二元函數(shù)的連續(xù)的概念3.偏導(dǎo)數(shù)與全微分：偏導(dǎo)數(shù)；全微分；二階偏導(dǎo)數(shù)4.復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)5.陷函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)考核要求1.了解多元函數(shù)的概念，二元函數(shù)的幾何意義和定義域。了解二元函數(shù)極限與連續(xù)概念(對計(jì)算不作要求)。2.理解偏導(dǎo)數(shù)概念，了解全微分概念，知道全微分存在的必要條件和充分條件。3.掌握二元初等函數(shù)的一、二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法。4.掌握復(fù)合函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)求法(含抽象函數(shù))。5.會求二元函數(shù)的全微分(含抽

11、象函數(shù))。6.掌握由方程所確定的隱函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法。(二)二重積分考核知識點(diǎn)1.二重積分的概念2.二重積分的性質(zhì)3.二重積分的計(jì)算 4.二重積分的應(yīng)用考核要求1.了解二重積分的概念及其性質(zhì)。2.掌握選擇積分次序與交換積分次序的方法。3.掌握二重積分的計(jì)算方法(直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系)。4.會用二重積分解決簡單的應(yīng)用問題(限于空間曲面所圍成的體積、平面薄板質(zhì)量)。七、無窮級數(shù)(一)數(shù)項(xiàng)級數(shù)考核知識點(diǎn)1.數(shù)項(xiàng)級數(shù)：數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念；級數(shù)的收斂與發(fā)散；級數(shù)的基本性質(zhì)；級數(shù)收斂的必要條件2.正項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別法：比較判別法；比值判別法3.任意項(xiàng)級數(shù)：絕對收斂；條件收斂；交錯級數(shù)；萊布尼茨判別法

12、考核要求1.理解級數(shù)收斂、發(fā)散的概念。知道級數(shù)收斂的必要條件，了解級數(shù)的基本性質(zhì)。2.掌握幾何級數(shù)的斂散性。3.掌握正項(xiàng)級數(shù)的比值判別法。會用正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法。4.掌握調(diào)和級數(shù)與級數(shù)的斂散性。5.知道級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念。會使用萊布尼茨判別法。(二)冪級數(shù)考核知識點(diǎn)1.冪級數(shù)的概念：收斂半徑；收斂區(qū)間；收斂域2.冪級數(shù)的基本性質(zhì)3.將初等函數(shù)展開為冪級數(shù)考核要求1.了解冪級數(shù)的概念2.知道冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)(和、差、逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)積分)。3.掌握求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂域的方法(包括端點(diǎn)處的收斂性)。4.會運(yùn)用的馬克勞林展開式，將一些簡單的初等函數(shù)展開為x或的冪函數(shù)。八、常微分方程(一)一階微分方程考核知識點(diǎn)1.微分方程的概念：微分方程的定義；階解；通解；初始條件；特解2.可分離變量的方程3.一階線性方程考核要求1.了解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解等概念。2.熟練掌握可分離變量方程及齊次方程的解法。3.熟練掌握一階線性方程的解法。(二)可降階方程考核知識點(diǎn)1.