1、第七章第七章 靜止電荷的電場靜止電荷的電場本章教學目的及要求本章教學目的及要求1. 掌握掌握庫侖定律、電場強度庫侖定律、電場強度的概念及應用。的概念及應用。2. 掌握掌握電勢電勢的概念及應用。的概念及應用。3. 掌握掌握電場強度和電勢的關系電場強度和電勢的關系。4. 掌握掌握靜電場的靜電場的高斯定理高斯定理。5. 掌握掌握靜電場的靜電場的環路定理環路定理及應用。及應用。7-1 物質的電結構物質的電結構 庫侖定律庫侖定律一、電荷一、電荷最初對電的認識：最初對電的認識：摩擦起電和雷電摩擦起電和雷電兩種電荷：兩種電荷：正電荷和負電荷正電荷和負電荷電性力：電性力：同號相斥、異號相吸同號相斥、異號相吸電

2、荷量電荷量：物體帶電的多少。物體帶電的多少。 在一個與外界沒有電荷交換的系統內，無論進在一個與外界沒有電荷交換的系統內，無論進行怎樣的物理過程，系統內行怎樣的物理過程，系統內正、負電荷量的代數和正、負電荷量的代數和總是保持不變總是保持不變。 二、電荷守恒定律二、電荷守恒定律HeThU422349023892ee放射性衰變過程：放射性衰變過程：電子偶的產生和湮沒：電子偶的產生和湮沒：2ee（重核附近）（重核附近） 電荷是相對論不變量，即電荷是相對論不變量，即電荷量與運動無關。電荷量與運動無關。 電荷的相對論不變性電荷的相對論不變性: 三、電荷的量子化三、電荷的量子化C1053176602. 11

3、9e 電子或質子電子或質子是自然界中帶有最小電荷量的粒子，是自然界中帶有最小電荷量的粒子，任何帶電體或其他微觀粒子所帶的電荷量都是電子任何帶電體或其他微觀粒子所帶的電荷量都是電子或質子電荷量的整數倍，或質子電荷量的整數倍，即為即為元電荷元電荷e的整數倍的整數倍。 電荷量的這種只能取分立的不連續量值的性質，電荷量的這種只能取分立的不連續量值的性質，稱為稱為電荷的量子化。電荷的量子化。 夸克夸克模型引入了模型引入了分數電荷分數電荷，但不會改變電荷量，但不會改變電荷量子化的結論。子化的結論。 當物體所帶電荷量較多時，如宏觀帶電體，電當物體所帶電荷量較多時，如宏觀帶電體，電荷量可以按連續量處理。荷量可

4、以按連續量處理。四、庫侖定律四、庫侖定律. Plrlr(a) 對于有限分布帶電體，可以看作對于有限分布帶電體，可以看作無限多點電無限多點電荷的集合荷的集合。討論討論. Pr(b)lr點電荷點電荷: 當帶電體的大小和形狀與他們之間的距離相當帶電體的大小和形狀與他們之間的距離相比，可以忽略時，帶電體可以看作是點電荷。比，可以忽略時，帶電體可以看作是點電荷。123211222112rrqqkerqqkFr真空介電常量真空介電常量0 = 8.8510-12 C2 N-1m-2 庫侖定律：庫侖定律：真空中兩個靜止點電荷相互作用力（真空中兩個靜止點電荷相互作用力（靜靜電力電力）的大小與這兩個點電荷所帶）的

5、大小與這兩個點電荷所帶電荷量電荷量q1和和q2的乘的乘積成正比積成正比，與它們之間的，與它們之間的距離距離r 的平方成反比的平方成反比。作用。作用力的方向沿它們的連線方向，力的方向沿它們的連線方向，同號相斥，異號相吸同號相斥，異號相吸。q1q212F12r21F2290/CmN1099. 841k12321012221021124141rrqqerqqFFr3. 靜電力的疊加原理靜電力的疊加原理 受到其他點電荷受到其他點電荷設有設有n個點電荷組成的點電荷系，點電荷個點電荷組成的點電荷系，點電荷qiq作用的總靜電力為作用的總靜電力為 iiiiiirrqqFF3041iqqirm1010:715r

6、討論討論1. 適用于點電荷，適用于點電荷，2. 距離平方反比關系，冪距離平方反比關系，冪2的誤差的誤差l303044ypyqlEB304ypEB中垂線上任一點中垂線上任一點:3. 電荷連續分布帶電體的電場強度電荷連續分布帶電體的電場強度rerqE204dd電荷元電荷元dq在在P點的電場強度：點的電場強度：帶電體在帶電體在P點的電場強度：點的電場強度：rerqEE204dd線電荷：線電荷：dq =dl ：電荷線密度：電荷線密度面電荷：面電荷：dq =dS : 電荷面密度電荷面密度體電荷：體電荷：dq =dV ：電荷體密度電荷體密度PrEd例題例題7-5 真空中有均勻帶電直線，長為真空中有均勻帶電

7、直線，長為L，總電荷為，總電荷為q。線外有一點線外有一點P，離開直線的垂直距離為，離開直線的垂直距離為a，P點和直線兩點和直線兩端連線的夾角分別為端連線的夾角分別為 1和和 2 ，求，求P點的電場強度。點的電場強度。 建立直角坐標系建立直角坐標系 取長度取長度 的電荷元的電荷元 d xxqdd201dd4xErcosd41d20rxExsind41d20rxEy解：解：LqxrExdcos4120 xrEydsin4120統一變量：統一變量： (r, x, ) cscsin/aartan()cot2xaa dcscd2ax dcsccsccos4222021aaEx)sin(sin4120aE

8、x 同理同理)cos(cos4210aEy1. 無限長帶電直線：無限長帶電直線： 1 = 0 ，2 = 0 xEaEEy022. 當當 a0 時時, 若若P點在直線上點在直線上: 1 = 0，2 = 則則 E, 無意義；無意義；221202 2cos()4xyEEEaP半無限長帶電直線：半無限長帶電直線： 1 = 0 ，2 = /2P04xyEEa討論討論)sin(sin4120aEx)cos(cos4210aEy若若P點在直線延長線上點在直線延長線上:1 = 2 = 0, 則按具體情況計算。則按具體情況計算。PxxR例題例題7-6 電荷電荷q 均勻地分布在一半徑為均勻地分布在一半徑為R 的圓

9、環上，的圓環上，計算在圓環的軸線上任一給定點計算在圓環的軸線上任一給定點P 的電場強度。的電場強度。lRqqd2d 解：解：202208d4ddrRlqrqEr /dd cosxxLLEEEE2/32204RxqxdERRrlqxE203028dd0 xxEE根據圓環的對稱性根據圓環的對稱性, 方向方向: q為正電荷，沿為正電荷，沿Ox正向；負電荷，沿正向；負電荷，沿Ox負向。負向。l ddLxErdxE/dxE1. 若若 x=0，則，則2. 若若xR, 則有則有 204xqE遠離圓環處的場強近似等于點電荷的電場強度。遠離圓環處的場強近似等于點電荷的電場強度。討論討論2/32204RxqxE3

10、. 若若 ，x E=0，環心處的電場強度為零。，環心處的電場強度為零。則則 E=0。例題例題7-7 求均勻帶電圓盤軸線上任一點的電場。設求均勻帶電圓盤軸線上任一點的電場。設盤半徑為盤半徑為R，電荷面密度為，電荷面密度為 。均勻帶電薄圓盤可看成由許多均勻帶電薄圓盤可看成由許多帶電細圓環帶電細圓環組成。組成。dd2 dqSr rOxrdrPaxEd22 3/20dd4()x qExr22 3/200dd2()Rxr rEExr)1 (2220Rxx解：解：方向方向：與圓盤垂直，指向視帶電體的正負而定。與圓盤垂直，指向視帶電體的正負而定。2. 當當2/122)1 (xR四、電場線四、電場線 電場強度

11、通量電場強度通量電場線：電場線： 描述電場分布的一系列有向曲線。描述電場分布的一系列有向曲線。SNEddE1. 曲線上每一點的曲線上每一點的切線方向切線方向表示該點電場強度表示該點電場強度 的的方向。方向。E2. 曲線的曲線的疏密疏密表示該點處場強表示該點處場強 的的大小大小。ESd即：通過垂直單位面積的電場線條數，在數值上就即：通過垂直單位面積的電場線條數，在數值上就等于該點處電場強度的大小。等于該點處電場強度的大小。幾種常見的電場線：幾種常見的電場線：靜電場中電場線的特點：靜電場中電場線的特點：3. 電場線密集處電場強，電場線稀疏處電場弱。電場線密集處電場強，電場線稀疏處電場弱。1. 電場

12、線起始于正電荷，終止于負電荷。電場線起始于正電荷，終止于負電荷。2. 電場線不閉合，電場線不閉合，不相交不相交。電場線并不是實際存在的電場線并不是實際存在的, 只是形象描述電場的幾何方法。只是形象描述電場的幾何方法。說明說明電場強度通量電場強度通量 E ： 通過電場中任一曲面的電場線條數。通過電場中任一曲面的電場線條數。1. 均勻電場中通過平面均勻電場中通過平面S的電場強度通量的電場強度通量ESESEESEcos2. 非均勻電場的電場強度通量非均勻電場的電場強度通量SESEEddcosddE 的正、負取決于面元的法線方的正、負取決于面元的法線方向與電場強度方向的關系。向與電場強度方向的關系。S

13、dE 若場強方向與面元法線方向成銳角，則若場強方向與面元法線方向成銳角，則0d SE0dSEdScosddESSESES 若場強方向與面元法線方向成鈍角，則若場強方向與面元法線方向成鈍角，則對閉合曲面的電通量：對閉合曲面的電通量：規定閉合曲面向外法線方向為正。規定閉合曲面向外法線方向為正。（1）當）當 90時：時： 電場線穿入閉合曲面，電場線穿入閉合曲面，對電場強度對電場強度通量的貢獻通量的貢獻為負；為負；（3）當）當 = 90時：時： 電場線與曲面相切，電場線與曲面相切，對電場強度對電場強度通量的貢獻通量的貢獻為零。為零。SneSSESESEdcosd7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理

14、一、靜電場的高斯定理一、靜電場的高斯定理以點電荷為中心的閉合球面的電場強度通量以點電荷為中心的閉合球面的電場強度通量 E 204rqEer球面場強：球面場強：20ddcos0 d4EqSESr0q即：通過閉合球面的即：通過閉合球面的E通量通量和球面包圍的電荷量成和球面包圍的電荷量成正比，與所取球面的半徑無關。正比，與所取球面的半徑無關。 SSEdSRqRSq202044dS 點電荷（系）在任意形狀閉合曲面內電場強度通量點電荷（系）在任意形狀閉合曲面內電場強度通量 E 通過球面通過球面S 的電場線也必通的電場線也必通過任意閉合曲面過任意閉合曲面 S ，即它們的，即它們的電場強度通量相等，為電場強

15、度通量相等，為 q / 0。+ +S10niiq0dqSESE 1ddSniiSESESE 沒有包圍電荷的閉合曲面的電場強度通量沒有包圍電荷的閉合曲面的電場強度通量 E 穿進曲面的電場線條數等穿進曲面的電場線條數等于穿出曲面的電場線條數。于穿出曲面的電場線條數。高斯定理：高斯定理： 靜電場中，通過任一閉合曲面的電場強度通靜電場中，通過任一閉合曲面的電場強度通量等于該曲面所包圍的所有電荷量的代數和的量等于該曲面所包圍的所有電荷量的代數和的1/ 0倍。倍。niiSEqSE101d內0dSESE2. 閉合曲面內、外電荷對電場強度都有貢獻，但閉合曲面內、外電荷對電場強度都有貢獻，但只只有閉合面內的電荷

16、對電場強度通量有貢獻。有閉合面內的電荷對電場強度通量有貢獻。+2q+q+q+2q-2q1. 物理意義：物理意義： 靜電場是有源場，電場線發起于正靜電場是有源場，電場線發起于正 電荷、終止于負電荷。電荷、終止于負電荷。討論討論3. 庫侖定律只適用于靜電場，高斯定理庫侖定律只適用于靜電場，高斯定理不僅適用于不僅適用于靜電場靜電場，也適用于運動電荷和變化的電場。，也適用于運動電荷和變化的電場。niiSEqSE101d內二、高斯定理的應用二、高斯定理的應用 常見的高對稱電荷分布：常見的高對稱電荷分布： （1）球對稱性：球對稱性：均勻帶電的球體、球面和點電荷。均勻帶電的球體、球面和點電荷。（2）柱對稱性

17、：柱對稱性：均勻帶電的無限長的柱體、柱面均勻帶電的無限長的柱體、柱面和帶電直線。和帶電直線。（3）平面對稱性：平面對稱性：均勻帶電的無限大平板和平面。均勻帶電的無限大平板和平面。當帶電體的電荷當帶電體的電荷(場強場強)分布具有分布具有高度的對稱性高度的對稱性時，時，就可能用高斯定理計算電場強度。就可能用高斯定理計算電場強度。niiSEqSE101d內 解題要點：解題要點：找到合適的閉合曲面（高斯面）。找到合適的閉合曲面（高斯面）。電場強度垂直于閉合面，且大小處處相等；電場強度垂直于閉合面，且大小處處相等；閉合面上一部分區域電場強度處處相等且與該面閉合面上一部分區域電場強度處處相等且與該面 垂直

18、，另一部分區域電場強度平行（垂直，另一部分區域電場強度平行（E E通量通量=0=0）；）；l優點優點：可以避免復雜積分，只要計算高斯面的總：可以避免復雜積分，只要計算高斯面的總電荷量就可以了。電荷量就可以了。例題例題7-8 求均勻帶電球體的場強分布。（已知球體求均勻帶電球體的場強分布。（已知球體半徑為半徑為R，電荷量為，電荷量為q） R解：解：rP對稱性分析：對稱性分析：電荷球對稱分布電荷球對稱分布電場分布也電場分布也具有球對稱性具有球對稱性常量)(rE當當 r=常量常量 時，時， rerEE)(可以選擇可以選擇以球心為中心的球面以球心為中心的球面為為高斯面高斯面。（1）求球體外某點的場強（）

19、求球體外某點的場強（r R ）204qEr思考題：思考題：P RrrerqE2040dqSESSSSrEEd)(Sd024)(d)(qrrESrES？閉合面閉合面立方體立方體SEd（2）求球體內一點的場強（）求球體內一點的場強（r l，2200cos2cos41cos2cos241lrqllrqlrqVP解法一：解法一：223 2014()qxExR22 3 20dd4()Pxxqx xVElxR2204qxRPxxRr例題例題7-13 均勻帶電圓環，電荷量為均勻帶電圓環，電荷量為q，半徑為，半徑為R，求軸線上任意一點的求軸線上任意一點的P電勢。電勢。解：解：電場強度，利用電勢的定義求解。電場

20、強度，利用電勢的定義求解。rqV04ddPxxRrrqrqVVLP0044dd2204qxR解法二：解法二： 連續分布電荷的電勢，積分。連續分布電荷的電勢，積分。例題例題7-14 半徑為半徑為R的均勻帶電球面，電荷量為的均勻帶電球面，電荷量為q。求電。求電勢分布。勢分布。qRr解：解：電場強度，利用電勢的定電場強度，利用電勢的定義求解。義求解。)(0)(420RrRrerqEr12ddRPrRVE rEr04qR r R時：時：2200dd44PrrqVErrrqr rR時：時：rVORddPrrVErE r解法一：解法一：解法二：解法二： 連續分布電荷的電勢，積分！連續分布電荷的電勢，積分！

21、P276例題例題7-15 求無限長均勻帶電直線外任一點求無限長均勻帶電直線外任一點P 的電勢。的電勢。(已知電荷線密度已知電荷線密度 )解：解：1110dd2rrPPrrVVElrrrE021100lnln22rrrrr如果勢能零點在如果勢能零點在 r1=1m，則，則rVPln20 對無限分布帶電體，只能選有限遠點為電勢零點。對無限分布帶電體，只能選有限遠點為電勢零點。r1PP1r五、等勢面五、等勢面1V2V3V2312VV, ,V x y z 常數約定：約定：相鄰等勢面的電勢差為常相鄰等勢面的電勢差為常量，可以得到一系列的等勢面。量，可以得到一系列的等勢面。將電勢相等的場點連成連續的曲面，將電勢相等的場點連成連續的曲面，稱為稱為等勢面。等勢面。滿足方程：滿足方程： 等勢面的性質等勢面的性質1. 電荷沿等勢面移動，電場力不做功。電荷沿等勢面移動，電場力不做功。0VqA2. 電場強度與等勢面正交；電場線由電場強度與等勢面正交；電場線由電勢高的地方指向電勢低的地方。電勢高的地方指向電勢低的地方。lEqAdd0d0El3. 等勢面密集處場強量值大，稀疏處場強量值小。等勢面密集處場強量值大，稀疏處場強量值小。常量lEVlE1dEl7-5 電場強度與電勢梯度的關系電場強度與電勢梯度