1、1浙教版九年級上冊二次函數知識點總結及典型例題知識點一、二次函數的概念和圖像1、二次函數的概念一般地，如果y =ax2bx c（a,b,c是常數，a = 0），特別注意 a 不為零，那么 y 叫做 x 的二次函數。2y = ax bx c（a,b,c是常數，a = 0）叫做二次函數的一般式。2、二次函數的圖像K二次函數的圖像是一條關于X = 對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。2a拋物線的主要特征：有開口方向；有對稱軸；有頂點。3、 二次函數圖像的畫法-五點作圖法：（1） 先根據函數解析式，求出頂點坐標，在平面直角坐標系中描出頂點M，并用虛線畫出對稱軸（2）求拋物線y =ax2 bx - c與坐標軸

2、的交點：當拋物線與 x 軸有兩個交點時，描出這兩個交點A,B 及拋物線與 y 軸的交點 C，再找到點 C 的對稱點 D。將這五個點按從左到右的順序連接起來，并向上或向下延伸，就得到二次函數的圖像。當拋物線與 x 軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與y 軸的交點 C 及對稱點 D。由 C、M、D 三點可粗略地畫出二次函數的草圖。如果需要畫出比較精確的圖像，可再描出一對對稱點A、B，然后順次連接五點，畫出二次函數的圖像。_ 2【例 1】、已知函數 y=x -2x-3，（1） 寫出函數圖象的頂點、圖象與坐標軸的交點，以及圖象與y 軸的交點關于圖象對稱軸的對稱點。然后畫出函數 圖象的草圖；（2）求圖

3、象與坐標軸交點構成的三角形的面積：（3） 根據第（1）題的圖象草圖，說出 x 取哪些值時，y=0 :y0知識點二、二次函數的解析式二次函數的解析式有三種形式：口訣-一般兩根三頂點（1）般一般式：y = ax2 bx c（a, b, c是常數，a = 0）（2）兩根當拋物線y二ax2 bx c與 x 軸有交點時，即對應的一元二次方程ax2bx 0有實根x2存在時，根據二次三項式的分解因式ax2bxa（x - xj（x - x2），二次函數y = ax2 bx c可轉化為兩根式y =a（x -xj（x -X2）。如果沒有交點，則不能這樣表示。2a的絕對值越大，拋物線的開口越小。（3）三頂點頂點式：

4、y =a（x -h）2 k（a,h,k是常數，a = 0）當題目中告訴我們拋物線的頂點時，我們最好設頂點式，這樣最簡潔。3【例1】、拋物線y =ax?+bx +c與 x 軸交于 A （1, 0）, B （3, 0）兩點，且過（-1,16）,求拋物線的解析式。是矩形 DEFG 上（包括邊界和內部）的一個動點，則（1） abc_ 0（或或=）（2）_a 的取值范圍是【例 3】、下列二次函數中，圖象以直線x= 2 為對稱軸，且經過點（0,1）的是（）2 2 2 2A.y= （x- 2）+ 1 B .y= （x+ 2）+ 1 C .y= （x- 2）- 3 D.y= （x+ 2）- 3知識點三、二次函

5、數的最值如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x -時，y最值二 麻一麻一13【例 2】、如圖，拋物線y = ax2bx c與 x 軸的一個交點A 在點（-2，0）和（-1，0）之間（包括這兩點），頂點 C42a4a如果自變量的取值范圍是X1乞X乞X2，那么，首先要看b2a是否在自變量取值范圍治乞X乞x2內，若在此范圍內,K則當 x= 一時,2ay最值24ac -b4aX1乞X乞X2范圍內的增減性，如果在此范圍內，y 隨 x 的增大而增大，則當2 2x =x2時，y最大=ax2bx2c，當x二x1時，y最小=ax1bx1c；如果在此范圍內，y 隨 x 的增

6、大而減小，則當x =X1時，y最大二ax；bx1c，當x時，y最小二ax；【例1】、已知二次函數的圖像（ 下列說法正確的是（）A .有最小值0， 有最大值 3C.有最小值1,有最大值30 xw3）如圖所示，關于該函數在所給自變量取值范圍內B .有最小值1,有最大值 0【例2】、某賓館有 50 個房間供游客住宿，當每個房間的房價為每天180 元時，房間會全部住滿.當每個房間每天的房價每增加10 元時，就會有一個房間空閑.賓館需對游客居住的每個房間每天支出 20 元的各種費用根據規定，每個房間每天的房價不得高于340 元設每個房間的房價每天增加x 元（X 為 10的正整數倍）.（1 ）設一天訂住的

7、房間數為y,直接寫出 y 與 x 的函數關系式及自變量 x 的取值范圍；（2）設賓館一天的利潤為 w 元，求 w 與 x 的函數關系式;（3） 天訂住多少個房間時，賓館的利潤最大？最大利潤是多少元？若不在此范圍5知識點四、二次函數的性質1、二次函數的性質二次函數函數y =ax +bx+c（a,b,c是常數,a鼻0）a0a0y1111yI圖像11X0 x（1）拋物線開口向上，并向上無限延伸；（1） 拋物線開口向下, 并向下無限延伸；（2）對稱軸是 x=-，（2）對稱軸是 x=-b2a2a，頂點坐標是（b 4ac b、 -， ）；頂點坐標是（-,4ac - b2）；2a4a2a4a（3）在對稱軸的

8、左側，即當bxW - 時，y 隨 x（3） 在對稱軸的左側,即當 x時，y 隨2ab時，V 隨 x 的增大而減小，簡記左增右減：逍 x 的增大而增大，簡記左減右增；2a（4）拋物線有最低點，當bX-時，y 有最小（4） 拋物線有最高點, 當x=_u時，y 有最2a2a4ac b2大值，y最大值=4ac -b2值，y最小值-4a4a22、二次函數y =ax bx c（a,b, c是常數，a = 0）中，a、b、c的含義:a表示開口方向：ao 時，拋物線開口向上a0 時，圖像與 x 軸有兩個交點；當 =0 時，圖像與 x 軸有一個交點；6當八：0 時，圖像與 x 軸沒有交點。7【例 1】、拋物線y

9、=x2-2x-3 的頂點坐標是【例 2】、二次函數y=x2+2x_5有（）A .最大值-5B.最小值一5C.最大值一6D.最小值一6【例 3】、由二次函數 y=2（x_3）2+1，可知（）A.其圖象的開口向下B.其圖象的對稱軸為直線x = OC.其最小值為 1 D .當x：3時，y 隨 x 的增大而增大【例 4】、已知函數y =（k _3）x2+2x+1的圖象與x軸有交點，貝 Uk的取值范圍是（）A. k 0 時y值隨x值增大而減小的是（).231A.y= =xB. y=x1C.y=4xD. y =x【例6】、 若二次函數y = (xm)21.當x wl時，y隨x的增大而減小，貝U m的取值范

10、圍是（)A .m=l B.m1 C .ml D.m wl知識點五、二次函數圖象的平移1對于拋物線 y=ax2+bx+c 的平移2通常先將一般式轉化成頂點式y =a（x-h ） +k，再遵循 左加右減，上加下減的的原則化為頂點式有兩種方法：配方法，頂點坐標公式法。在用頂點坐標公式法求出頂點坐標后，在寫頂點式時，要減 去頂點的橫坐標，加上頂點的縱坐標。2y二ax2 bx沿 y 軸平移：向上（下）平移m（m 0）個單位，y二ax2bx c變成y二ax2bx c m2（或y二ax bx c - m）3當然，對于拋物線的一般式平移時，也可以不把它化為頂點式y = ax2bx c:向左（右）平移m（m0）

11、個單位，y = ax2bx c變成y = a（x m）2b（x m） c（或2y = a(x - m) b(x - m) c)2【例1】、將拋物線 y = -x 向左平移 2 個單位后，得到的拋物線的解析式是（）2 2A.y = -(x 2)B .y = _x2 22C .y = -(x - 2)D .y = -x- 2【例2】、將拋物線 y=x2 2x 向上平移3 個單位，再向右平移 4 個單位等到的拋物線是【例 3】、拋物線y =x2可以由拋物線2y = （x+2） -3平移得到，則下列平移過程正確的是（）A.先向左平移2 個單位，再向上平移3 個單位B.先向左平移2 個單位,再向下平移3

12、 個單位C.先向右平移2 個單位,再向下平移3 個單位D.先向右平移2 個單位,再向上平移3 個單位2【補】拋物線 y=2x -3x-7在 x 軸上截得的線段的長度為8【公式】拋物線 y=ax2+bx+c 在 x 軸上截得的線段的長度為9知識點六、拋物線y = ax2 bx c中，a、b、c 的作用（1）a決定開口方向及開口大小，這與y=ax2中的a完全一樣.2b（2）b和a共同決定拋物線對稱軸的位置 .由于拋物線y =ax2 bx c的對稱軸是直線x，故b =0時,2a對稱軸為y軸；- 0（即a、b同號）時，對稱軸在y軸左側；-：0（即a、b異號）時，對稱軸在y軸右a a側.口訣-左同，右異

13、 （a、b同號，對稱軸在y軸左側）（3）c的大小決定拋物線y二ax2 bx c與y軸交點的位置.當x=0時，y二c，二拋物線y二ax2 bx c與y軸有且只有一個交點（0，c）:c = 0，拋物線經過原點；c 0,與y軸交于正半軸；c：0,與y軸交于負半軸.以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在y軸右側，則 -:0.a【例 1】、如圖為拋物線y=ax2+bx+c的圖像，A、B、C為拋物線與坐標軸的交點，且OA=O（=1,則下列關系中正確的是（）A. a + b= 1B. a b= 1 C . b2a D. ac0 B.bv0 C.cv0 D.a+b+c022【例 3】、如圖

14、所示的二次函數y=ax +bx+c的圖象中，劉星同學觀察得出了下面四條信息：（1）b 4ac0； （2）c1; （3） 2ab0； （4）a+b+c2a；ax +bx+c=0的兩根分別為-3 和 1;a-2b+c 0 .其中正確的命題是 _.（只要求填寫正確命題的序號）【例 6】、如圖，平面直角坐標系中，兩條拋物線有相同的對稱軸，則下列關系正確的是（）10A. m=n，khB. m=n，kvhC. mn，k=hmvn，k=h11知識點七、中考二次函數壓軸題中常用到的公式(浙教版教材上沒講過，但是非常有用，一定要理解性地記憶)A 坐標為(xi， yj，點 B 坐標為(x2， y2)，貝 V AB

15、 間的距離，即線段 AB 的長度為.X, -X22y1-y22(這實際上是根據 勾股定理 得出來的)2、中點坐標公式：如圖，在平面直角坐標系中，A、B兩點的坐標分別為 A(Xi, yi),Bg,y2), AB 中點 P的坐標為(Xp,yp)由 Xp-Xi=X2-Xp，得 Xp二仝X2,2同理 yp二上 上，所以AB的中點坐標為(仝y2) 2 2 23、兩平行直線的解析式分別為：y=kix+bi, y=k2X+b2，那么 ki=k2，也就是說當我們知道一條直線的k 值，就一定能知道與它平行的另一條直線的 k 值。4、兩垂直直線的解析式分別為：y=kiX+bi, y=k2X+b2，那么 kiXk2

16、=-1，也就是說當我們知道一條直線的k 值，就一定能知道與它垂直的另一條直線的k 值。(對于這一條，只要能靈活運用就行，不需要理解)以上四條，我稱它們為坐標系中的“四大金剛”一2【例 1】、如圖，在平面直角坐標系中，拋物線 y= -X+2X+3與 X 軸交于 A B 兩點，與 y 軸交于點 C,點 D 是該拋物 線的頂點.(1)求直線 AC 的解析式及 B D 兩點的坐標；(2)點 P 是 x 軸上一個動點，過 P 作直線 I / AC 交拋物線于點 Q,試探究：隨著 P 點的運動，在拋物線上是否存在點 Q,使以點 A P、Q、C 為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合條件的點Q

17、的坐標；若不存在,請說明理由.(3) 請在直線 AC 上找一點 M，使 BDM 的周長最小，求出 M 點的坐標.【例 2】、如圖，已知拋物線 y= - x2+bx+c 與一直線相交于 A(- 1,0), C( 2, 3)兩點，與 y 軸交于點 N.其頂點為 D.( 1) 求拋物線及直線 AC 的函數關系式；(2) 設點 M( 3, m),求使 MN+M 啲值最小時 m 的值；(3)若拋物線的對稱軸與直線 AC 相交于點 B, E 為直線 AC 上的任意一點，過點 E 作 EF/ BD 交拋物線于點 F,以 B, D, E, F 為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點 E 的坐標；若不能，請

18、說明理由；1、兩點間距離公式：如圖：點1213【例 3】、如圖，拋物線y=X?x-4與 x 軸交于 A, B 兩點（點 B 在點 A 的右邊），與 y 軸交于 C,連接 BC,以42BC 為一邊，點 0 為對稱中心作菱形 BDEC 點 P 是 x 軸上的一個動點，設點 P 的坐標為（m 0）,過 P 作 x 軸的垂線 I 交拋物線于點Q（1）求點 A、B C 的坐標；）當點 P 在線段 OB 上運動時，直線 I 分別交 BD BC 于點 M N。試探究 m 為何值時，四邊形 CQM 是平行四邊形， 此時，請判斷四邊形 CQBM 勺形狀，并說明理由。（3）當點 P 在線段 EB 上運動時，是否存

19、在點 Q 使BDQ 為直角三角形，若存在，請直接寫出Q 點坐標；若不存在，請說明理由。【練習】1、平時我們在跳大繩時，繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線如圖所示，正在甩繩的甲、乙兩名學生拿繩的手間距為 4m，距地面均為 1m 學生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1m 2.A. 0 B. 1C. 2D. 3135m 處繩子在甩到最高處時剛好通過他們的頭頂已知學生丙的身高是1 . 5 m，則學生丁的身高為（建立的平面直角坐標系如右圖所示）（）A. 1. 5 m B . 1. 625 m C. 1. 66 m D . 1. 67 m匚2x_11 xW3 i2、已知函數科刁”， 則使 y=k 成立

20、的 x 值恰好有三個，則 k 的值為（）2l（x5） 1（x3）144.如圖，已知二次函數 y=x?+bx+c 的圖象經過點（一 1 , 0）,（ 1, 2）,當y隨x的增大而增大時，x的取值6.已知二次函數y =ax2 bx c的圖像如圖，其對稱軸x = -1b2. 4acabc - 02a - b=0a b c - 0a - b c：0，則正確的結論是（）27.拋物線y二ax bx c上部分點的橫坐標x，縱坐標y的對應值如上表：從上表可知，下列說法中正確的是_ .（填寫序號）拋物線與x軸的一個交點為（3,0）;函數y = ax2+bx + c的最大值為 6；1拋物線的對稱軸是x = ;28

21、.如圖，在平面直角坐標系中，O 是坐標原點，點A 的坐標是（一 2, 4）,2（1）求厶 OAB 的面積；（2）若拋物線y=-x -2x c經過點 A.求 c 的值；將拋物線向下平移 m 個單位，使平移后得到的拋物線頂點落在的內部（不包括 OAB 的邊界），求 m 的取值范圍（直接寫出答案即可）.y 軸的交點旋轉 180 所得拋物線的解析式是（).C.y - -(x -1)222D.y - -(x 1)4給出下列結果x21012y04664C D在對稱軸左側，y隨x增大而增大.范圍是_ .5.在平面直角坐標系中，將拋物線2A.y - -（x 1）2OA.1512-9、“已知函數y=x2+bx+c的圖象經過點 A （ c, 2）,，這個二次函數圖象的對稱軸是x=3。”題2 -目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無法辨認的文字。（1）根據已知和結論中現有的信息，你能否求出題中的二次函數解析式？若能，請寫出求解過程，并畫出二次函 數圖象；若不能，請說