1、課題高中自主學習和優生培課題高中自主學習和優生培養養的研究的研究與與實驗成果之實驗成果之阮阮 飛飛安徽省太和中學安徽省太和中學教導處教導處 新課標全國卷新課標全國卷“不等式選講不等式選講”試題分析及教學建議試題分析及教學建議阜陽市高考數學改革暨選修模塊開設研討會阜陽市高考數學改革暨選修模塊開設研討會高考是一場博弈高考是一場博弈考生命題人高考試題高考試題閱卷人教師家長學校領導阮飛教學資料小強小強小明小明我們數學科備考的一個做法我們數學科備考的一個做法學會分別站在學會分別站在命題人、命題人、考生、閱卷人、教師的角度研究高考試題和考試考生、閱卷人、教師的角度研究高考試題和考試領悟考試，學習大綱，研究

2、真題，明確方向領悟考試，學習大綱，研究真題，明確方向 考試大綱考試大綱對高考知識、能力要求有詳細界定；對考試范圍、試卷結對高考知識、能力要求有詳細界定；對考試范圍、試卷結構、答案要求都有具體規定。教師要認真研究構、答案要求都有具體規定。教師要認真研究大綱大綱，明確較之往年增，明確較之往年增加、刪減的知識點，提法變化的考點，試卷形式，題型及分值的變化等。加、刪減的知識點，提法變化的考點，試卷形式，題型及分值的變化等。 研究高考真題是把握高考方向最直接、最可靠的途徑。要對其命題意研究高考真題是把握高考方向最直接、最可靠的途徑。要對其命題意圖、思路、教材中的原型、變式等作深度剖析，規范解答方法，說明

3、評分圖、思路、教材中的原型、變式等作深度剖析，規范解答方法，說明評分標準等。標準等。 歷年試題整體研究歷年試題整體研究 找共性；找共性； 近年試題重點研究近年試題重點研究 找趨勢；找趨勢； 相同試題對比研究相同試題對比研究 找變化；找變化； 不同試題分類研究不同試題分類研究 找差別；找差別； 課標試題集中研究課標試題集中研究 找新意、找動態找新意、找動態。 通過學習研究，每位教師應該做到胸中有大綱，腦中有教法，腹中有通過學習研究，每位教師應該做到胸中有大綱，腦中有教法，腹中有教材，目中有考生，手中有考題教材，目中有考生，手中有考題。阮飛教學資料阮飛教學資料不等式不等式 在客觀世界中，不等式具有

4、普遍性、絕對性，是在客觀世界中，不等式具有普遍性、絕對性，是表述和研究數量取值范圍的重要工具在中學數學，表述和研究數量取值范圍的重要工具在中學數學，不等式是非常重要的內容，它們在數學研究和數學應不等式是非常重要的內容，它們在數學研究和數學應用中起著重要的作用，在生產實踐和相關的學科中應用中起著重要的作用，在生產實踐和相關的學科中應用非常廣泛，又是學習高等數學的基礎和工具對于用非常廣泛，又是學習高等數學的基礎和工具對于這部分內容，在近年安徽高考的函數與導數和數列題這部分內容，在近年安徽高考的函數與導數和數列題中已經大量涉及并被廣大教師所熟悉中已經大量涉及并被廣大教師所熟悉 本題滿分本題滿分121

5、2分，均分分，均分1.931.93分，難度分，難度0.1610.161，是整，是整張試卷中最難的一題張試卷中最難的一題.“.“就學生答卷情況看，考生對就學生答卷情況看，考生對該題（該題（）的解答錯誤主要有三種：一是對式子作等）的解答錯誤主要有三種：一是對式子作等價變形時，不能合理地分類合并和提取公因式，未能價變形時，不能合理地分類合并和提取公因式，未能達到正確的因式分解結果；二是生硬地套用均值不等達到正確的因式分解結果；二是生硬地套用均值不等式，無功而返；三是構造的函數不適當，導致無法利式，無功而返；三是構造的函數不適當，導致無法利用單調性來正確解答對（用單調性來正確解答對（）的證明考生更難看

6、出）的證明考生更難看出兩個問題之間的聯系，而是獨立去解答，重復了（兩個問題之間的聯系，而是獨立去解答，重復了（）的步驟，浪費了時間從考生解答這道高考試題出現的步驟，浪費了時間從考生解答這道高考試題出現的各種問題來看，高中階段學生的代數式變形、推理的各種問題來看，高中階段學生的代數式變形、推理論證及知識的遷移能力都比較薄弱，解題思路套路化，論證及知識的遷移能力都比較薄弱，解題思路套路化，模式化的現象也比較嚴重模式化的現象也比較嚴重阮飛教學資料 由此可以窺斑見豹，促使我們對現行中學數學及由此可以窺斑見豹，促使我們對現行中學數學及大學數學教育進行深層次思考此題說明了不等式在大學數學教育進行深層次思考

7、此題說明了不等式在中學階段已經有所忽視，而實際到了大學數學階段，中學階段已經有所忽視，而實際到了大學數學階段，首先接觸的便是極限，極限概念的基本定義需要大量首先接觸的便是極限，極限概念的基本定義需要大量靠不等式放縮來說明，因此這就造成了大一新生在開靠不等式放縮來說明，因此這就造成了大一新生在開始入門就感覺相當困難始入門就感覺相當困難”（摘自：鄭婷婷（摘自：鄭婷婷. .由一道高考數學題來看中學數學與大由一道高考數學題來看中學數學與大學數學銜接問題學數學銜接問題J.J.大學數學大學數學.2012.2012（6 6）：）：139-141.139-141.安徽高考命題專家蘇化明教授安徽高考命題專家蘇化

8、明教授20122012年任該雜志主編）年任該雜志主編） 阮飛教學資料 不等式選講是不等式模塊的重要組成部分，不等式選講是不等式模塊的重要組成部分，本專題將介紹一些重要的不等式和它們的證明、本專題將介紹一些重要的不等式和它們的證明、數學歸納法和它的簡單應用。本專題特別強調不數學歸納法和它的簡單應用。本專題特別強調不等式及其證明的幾何意義與背景，以加深學生對等式及其證明的幾何意義與背景，以加深學生對這些不等式的數學本質的理解，提高學生的邏輯這些不等式的數學本質的理解，提高學生的邏輯思維能力和分析解決問題的能力。思維能力和分析解決問題的能力。 本文通過對近五年新課標全國卷不等式選講本文通過對近五年新

9、課標全國卷不等式選講試題的分析，給出選修試題的分析，給出選修4-54-5的教學建議，不足之的教學建議，不足之處，懇請批評指正處，懇請批評指正. .阮飛教學資料阮飛教學資料阮飛教學資料阮飛教學資料阮飛教學資料阮飛教學資料阮飛教學資料阮飛教學資料四、四、2011201520112015年新課標全國卷不等式選講試題分析年新課標全國卷不等式選講試題分析 五年來，新課標全國卷對不等式選講內容的考查五年來，新課標全國卷對不等式選講內容的考查分為兩個階段：分為兩個階段：第一階段（第一階段（20112011年，年，20122012年），這兩年的考查方式靈年），這兩年的考查方式靈活，緊扣不等式的基本形式，與函數

10、結合，考查不等活，緊扣不等式的基本形式，與函數結合，考查不等式的求解方法，對去絕對值的方法、數形結合思想的式的求解方法，對去絕對值的方法、數形結合思想的應用要求較高；應用要求較高；第二階段（第二階段（20132013年，年，20142014年，年，20152015年），這三年新課年），這三年新課標全國卷分標全國卷分、卷，在第一階段的基礎上增加了不卷，在第一階段的基礎上增加了不等式的證明，考查了絕對值三角不等式及不等式的證等式的證明，考查了絕對值三角不等式及不等式的證明方法明方法. .具體分析如下具體分析如下. .( (見印刷資料見印刷資料) ) 絕對值三角不等式絕對值三角不等式 (1)定理定理

11、1：如果：如果a，b是實數，則是實數，則|ab|a|b|， 當且僅當當且僅當 時，等號成立時，等號成立 定理定理1的推廣：如果的推廣：如果a，b是實數，是實數， 則則|a|b|ab|a|b|.ab0 (2)定理定理2：如果：如果a，b，c是實數，是實數， 那么那么|ac|ab|bc|. 當且僅當當且僅當 時，等號成立時，等號成立(ab)(bc)0 通過以上分析，近五年新課標全國卷不等式選講試通過以上分析，近五年新課標全國卷不等式選講試題有以下命題特點：題有以下命題特點：1.1.以考查絕對值不等式的解法為主，近三年開始考查不以考查絕對值不等式的解法為主，近三年開始考查不等式證明的方法；等式證明的

12、方法；2.2.與函數結合，考查數形結合和轉化與化歸思想是主要與函數結合，考查數形結合和轉化與化歸思想是主要特點；特點；3.3.考查去絕對值的方法是試題變化中不變的規律；考查去絕對值的方法是試題變化中不變的規律；4.4.基本不等式是考查不等式證明方法的主要依據；基本不等式是考查不等式證明方法的主要依據；5.5.在求解過程中考查絕對值三角不等式的靈活應用能力在求解過程中考查絕對值三角不等式的靈活應用能力. .命題人是如何設置題目的？命題人是如何設置題目的？考生又該如何解題？考生又該如何解題？命題人一般從以下下五個方面設置題目：命題人一般從以下下五個方面設置題目：1.表達表達（已知、未知的符號、文字

13、、圖形表達）（已知、未知的符號、文字、圖形表達）2.起點起點（解題的出發點或者說是突破口）（解題的出發點或者說是突破口）3.式子變形式子變形（式子變形的原則、方法）（式子變形的原則、方法）4.流程流程（差異分析（差異分析、共性分析即求同求異共性分析即求同求異，歸一）歸一）5.討論討論（有無特殊情況，完善解題過程）（有無特殊情況，完善解題過程）阮飛教學資料從從學生學生到考生的轉變到考生的轉變1 1、從不會到會從不會到會 2 2、從會到做對從會到做對 3 3、從做對到快速做對從做對到快速做對 4 4、從無高考壓力下會到有高考壓力下會從無高考壓力下會到有高考壓力下會 5 5、不會也能得分？！不會也能

14、得分？！阮飛教學資料數學是一種科學的語言，要發聲學習；數學是一種科學的語言，要發聲學習；數學是一種思維方法，要學會思考；數學是一種思維方法，要學會思考；數學是一種操作活動，要熟練技能；數學是一種操作活動，要熟練技能；數學是一種問題解決的方法，要學會解題。數學是一種問題解決的方法，要學會解題。阮飛教學資料五、教學建議五、教學建議1.1.加強數學知識整合呼應，提高專題教學價值加強數學知識整合呼應，提高專題教學價值 首先要注意本專題和先學內容的整合呼應本專首先要注意本專題和先學內容的整合呼應本專題的內容很多都可以看做是先前學習內容的深化或者題的內容很多都可以看做是先前學習內容的深化或者拓展例如，在必

15、修拓展例如，在必修5 5中對一元二次不等式和中對一元二次不等式和2 2元均值元均值不等式及其應用已經有所接觸，此處只要推廣到不等式及其應用已經有所接觸，此處只要推廣到3 3元元均值不等式情況；比較法、綜合法、分析法、反證法均值不等式情況；比較法、綜合法、分析法、反證法、數學歸納法在選修、數學歸納法在選修2-22-2的的“推理與證明推理與證明”中已經學中已經學習，貝努利不等式可以看做數學歸納法的一個應用；習，貝努利不等式可以看做數學歸納法的一個應用；絕對值不等式可以看做是對絕對值意義及其應用的一絕對值不等式可以看做是對絕對值意義及其應用的一點拓展；點拓展；柯西不等式的幾何意義也可以從向量的角度來

16、理柯西不等式的幾何意義也可以從向量的角度來理解，證明還用到判別式方法解，證明還用到判別式方法由此可見，柯西由此可見，柯西不等式尤其是二元柯西不等式是重中之重不等式尤其是二元柯西不等式是重中之重. .正因正因如此，本專題的教學時應該充分體現螺旋上升的如此，本專題的教學時應該充分體現螺旋上升的課程設置理念，借助不等式的視角加深對以往所課程設置理念，借助不等式的視角加深對以往所學知識的理解和認識，注重數學課程的前后呼應學知識的理解和認識，注重數學課程的前后呼應和聯系整合，加深對數學內容的關系性理解，從和聯系整合，加深對數學內容的關系性理解，從而切實提高教學效益而切實提高教學效益 其次要注意凸現本專題

17、的教學價值本專題其次要注意凸現本專題的教學價值本專題的學習可以部分改善當前學生演繹推理能力薄弱的學習可以部分改善當前學生演繹推理能力薄弱局面課改反饋表明，目前學生的演繹推理能力局面課改反饋表明，目前學生的演繹推理能力有所下降因此可以利用該專題的教學對學生在有所下降因此可以利用該專題的教學對學生在演繹證明方面進行一些補償，尤其是側重數學證演繹證明方面進行一些補償，尤其是側重數學證明的觀察發現、歸納類比、合情猜想、符號表示明的觀察發現、歸納類比、合情猜想、符號表示、規范表述等方面、規范表述等方面2.2.注意滲透數學思想方法，充分揭示數學本質注意滲透數學思想方法，充分揭示數學本質 本專題能夠充分體現

18、數學的兩個側面本專題能夠充分體現數學的兩個側面-不等量關不等量關系的規律發現中蘊含著豐富的直覺歸納，不等式問題系的規律發現中蘊含著豐富的直覺歸納，不等式問題的證明求解中充盈著邏輯演繹仔細研讀本專題可以的證明求解中充盈著邏輯演繹仔細研讀本專題可以發現，它具有豐富的數學思想方法內涵因此，在實發現，它具有豐富的數學思想方法內涵因此，在實際教學過程中，應該因勢利導，注意滲透公理化際教學過程中，應該因勢利導，注意滲透公理化思想：通過實數大小關系的基本事實和相關關系作為思想：通過實數大小關系的基本事實和相關關系作為邏輯前提演繹出不等式的基本性質，從而展開專題的邏輯前提演繹出不等式的基本性質，從而展開專題的

19、一系列內容數形結合思想：這一點在教材中都有一系列內容數形結合思想：這一點在教材中都有詳細體現，不再贅述數學建模和模型思想：從小詳細體現，不再贅述數學建模和模型思想：從小的方面來說，把一些實際問題以數學模型轉化為不等的方面來說，把一些實際問題以數學模型轉化為不等式的極值、優化方面問題進行求解就是體現了數學建式的極值、優化方面問題進行求解就是體現了數學建模和模型思想；從大的方面來說，經典不等式、不等模和模型思想；從大的方面來說，經典不等式、不等式的知識乃至數學本身都是一種模型式的知識乃至數學本身都是一種模型數學美學思想：這一點常被人們忽略，其實許多數學美學思想：這一點常被人們忽略，其實許多常用經典

20、不等式如柯西不等式、平均不等式、排序常用經典不等式如柯西不等式、平均不等式、排序不等式等不僅富有簡潔、優美、對稱的特點，而且不等式等不僅富有簡潔、優美、對稱的特點，而且功能強大，體現了數學的高度抽象和應用廣泛的美功能強大，體現了數學的高度抽象和應用廣泛的美學思想函數方程的思想：把函數、方程和不等學思想函數方程的思想：把函數、方程和不等式的相關知識綜合起來，通過函數、方程的觀點來式的相關知識綜合起來，通過函數、方程的觀點來處理不等式問題分類討論的思想：這一點在絕處理不等式問題分類討論的思想：這一點在絕對值不等式的求解方面尤為突出滲透不等式的對值不等式的求解方面尤為突出滲透不等式的德育價值不等式中

21、的許多問題具有相當的難度，德育價值不等式中的許多問題具有相當的難度，思維上的挑戰很大，對于培養學生堅韌、理性的數思維上的挑戰很大，對于培養學生堅韌、理性的數學精神和形成批判性的思維習慣不無裨益學精神和形成批判性的思維習慣不無裨益3.3.不等式選講專題的解題教學不等式選講專題的解題教學 3.1 3.1掌握去絕對值的方法，并靈活應用是根本掌握去絕對值的方法，并靈活應用是根本 解決含絕對值問題的基本思想就是利用絕對值解決含絕對值問題的基本思想就是利用絕對值的幾何意義去絕對值，將之轉化為不含絕對值的問的幾何意義去絕對值，將之轉化為不含絕對值的問題題. .根據上述對命題特點的分析，可以看出解決含絕根據上

22、述對命題特點的分析，可以看出解決含絕對值不等式的問題，不論具體求解過程怎樣變換，對值不等式的問題，不論具體求解過程怎樣變換，一個不變的規律就是依據絕對值的幾何意義進行化一個不變的規律就是依據絕對值的幾何意義進行化簡簡. .不等式中含有的絕對值至多有不等式中含有的絕對值至多有 3 3 個，但是通過個，但是通過化簡都能轉化為一般不等式（組）化簡都能轉化為一般不等式（組）. . 在教學過程中不能只停留在就題論題的水平，在教學過程中不能只停留在就題論題的水平，不僅要知道答案是什么，而且要學會分析為什么這不僅要知道答案是什么，而且要學會分析為什么這么做，怎樣想到的，以逐步培養學生的分析能力，么做，怎樣想

23、到的，以逐步培養學生的分析能力，提高其概括能力提高其概括能力. . 3.2 3.2用函數的觀點認識不等式問題，數形結合求用函數的觀點認識不等式問題，數形結合求解是突破口解是突破口 求函數在某一范圍內取值時，就轉化為不等式，求函數在某一范圍內取值時，就轉化為不等式，因此在函數的觀點下認識不等式，借助函數圖像，數因此在函數的觀點下認識不等式，借助函數圖像，數形結合地求解不等式問題是解決這類問題的突破口形結合地求解不等式問題是解決這類問題的突破口. . 3.3 3.3分析問題的方法是不等式證明的關鍵分析問題的方法是不等式證明的關鍵關于不等式證明的方法，沒有具體的知識點，只有方關于不等式證明的方法，沒

24、有具體的知識點，只有方法要求，因此它的載體豐富多彩法要求，因此它的載體豐富多彩. .如如20132013年新課標全國年新課標全國卷卷、20142014年新課標全國卷年新課標全國卷和和 20152015年新課標全國卷年新課標全國卷，雖然都是依托基本不等式或絕對值三角不等式進，雖然都是依托基本不等式或絕對值三角不等式進行考查的，但是拓展考查的范圍是符合考綱要求的行考查的，但是拓展考查的范圍是符合考綱要求的. . 因此，在這一部分，關鍵是要掌握分析問題的方法因此，在這一部分，關鍵是要掌握分析問題的方法. . 通過分析思路，再用綜合法書寫過程通過分析思路，再用綜合法書寫過程. .在證明問題的過在證明問

25、題的過程中，教師要注重對學生的這種分析能力的培養程中，教師要注重對學生的這種分析能力的培養. . 抓住本質，才能化無限為有限，才能多題歸一；抓住本質，才能化無限為有限，才能多題歸一；抓住基礎，抓住數學的核心，進而才能提高學生分析抓住基礎，抓住數學的核心，進而才能提高學生分析問題及解決問題的能力，提高學生的轉化能力問題及解決問題的能力，提高學生的轉化能力. .教學教學要基于具體的題目，揭示一般的方法，抽象一般規律要基于具體的題目，揭示一般的方法，抽象一般規律，這就是數學教學的核心，即概括，這就是數學教學的核心，即概括. .基于概括，學生基于概括，學生的思維才會具有靈活性和敏捷性的思維才會具有靈活

26、性和敏捷性. .不論考查方向如何不論考查方向如何變化，學生有了這樣的能力，就能從容應對變化，學生有了這樣的能力，就能從容應對. .高考備考高考備考: :抓嚴、抓細、抓實抓嚴、抓細、抓實萬分努力，一分領先萬分努力，一分領先 過程關乎結果，細節決定成敗。過程關乎結果，細節決定成敗。復習備考的每項工作都要做到把虛事向實復習備考的每項工作都要做到把虛事向實里做，把實事向細里做，把細事向勤里做，里做，把實事向細里做，把細事向勤里做，事事嚴要求。從小處抓落實，把細節做精事事嚴要求。從小處抓落實，把細節做精彩。我們要睿智、務實，我們要勤勉、大彩。我們要睿智、務實，我們要勤勉、大氣。讓每位老師都能在緊張、高效

27、、有序、氣。讓每位老師都能在緊張、高效、有序、和諧的狀態下，研究高考、備戰高考！讓和諧的狀態下，研究高考、備戰高考！讓每位學生都充滿自信、挑戰自我、高效復每位學生都充滿自信、挑戰自我、高效復習、迎接高考、戰勝高考！習、迎接高考、戰勝高考！阮飛教學資料水平有限，請各位批評指正！水平有限，請各位批評指正！真誠的祝愿各位身體健康！工作愉快！真誠的祝愿各位身體健康！工作愉快！謝謝各位！謝謝各位！阮飛教學資料阮飛教學資料 蘇淳教授蘇淳教授:2006:2006年至年至20112011年連續擔任安徽省高考年連續擔任安徽省高考數學命題組組長，在數學命題組組長，在IMOIMO教教練工作中作出突出貢獻練工作中作出

28、突出貢獻( (團團體總分第一體總分第一,6,6名隊員全獲金名隊員全獲金牌牌, ,創創IMOIMO競賽史之記錄競賽史之記錄).). 蘇蘇化明化明教授教授: :研究方向研究方向距離幾何與數值分析，距離幾何與數值分析，安徽安徽省高考數學命題省高考數學命題、全國數學、全國數學建模競賽、考研輔導專家，建模競賽、考研輔導專家，曾任曾任大學數學大學數學主編主編. . 宋光天教授：宋光天教授：擔任本科生和研究擔任本科生和研究生代數基礎課教學生代數基礎課教學；從事代數；從事代數K K理理論和半群代數理論論和半群代數理論研究研究. .安徽省高考安徽省高考數學命題數學命題專家專家. .安徽教育招生考試院趙發忠老師安

29、徽教育招生考試院趙發忠老師: :發表文章發表文章淺談中學數學教學中人文精神淺談中學數學教學中人文精神的滲透的滲透、20062006年高考安徽卷第年高考安徽卷第2222題分析與思考題分析與思考、20012001年高考數學理年高考數學理(20)(20)題解法題解法聯想聯想、初中生解題常見錯誤分類例舉初中生解題常見錯誤分類例舉.2004.2004年給學生的備考建議：一要精讀教材年給學生的備考建議：一要精讀教材（含引言和小結、研究性課題和閱讀材料）；二要加強小題的訓練，注意運算的速度、（含引言和小結、研究性課題和閱讀材料）；二要加強小題的訓練，注意運算的速度、準確率、方法技巧，所謂準確率、方法技巧，所謂“小題難題必有技巧小題難題必有技巧”；三對曾經做過的試卷，不能一味的背；三對曾經做過的試卷，不能一味的背題型、解題方法，淡化有固定解題模式的題目；四要狠抓中檔及中檔以下的題目，不要題型、解題方法，淡化有固定解題模式的題目；四要狠抓中檔及中檔以下的題目，不要抓難題。在高考考試中，難點是比較分散的，要有碰到難題的心理準備，數學考試很關抓難題。在高考考試中，難點是比較分散的，要有碰到難題的心理準備，數學考試很關鍵是要對自己有信心，可以先避開難題，繼續往下做鍵是要對自己有信心，可以先避開難題，繼續往下做. .教育部考試中心教育部考試中心任子朝任子朝先