1、24.1.2 24.1.2 垂直于弦的直徑垂直于弦的直徑 問題問題 ：你知道趙州橋嗎：你知道趙州橋嗎? ?它是它是13001300多年前我國隋代多年前我國隋代建造的石拱橋建造的石拱橋, , 是我國古代人民勤勞與智慧的結是我國古代人民勤勞與智慧的結晶它的主橋是圓弧形晶它的主橋是圓弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所對的弦的長弧所對的弦的長) )為為37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中點到弦的距離弧的中點到弦的距離) )為為7.2m.7.2m.問題情境問題情境你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，

2、重復幾次，你發現了什么？由此你能得到重復幾次，你發現了什么？由此你能得到什么結論？什么結論？可以發現：可以發現：圓是軸對稱圖形，任何一條圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線直徑所在直線都是都是它的對稱軸它的對稱軸 一、一、 實踐探究實踐探究如圖，如圖，AB是是 O的一條弦，作直徑的一條弦，作直徑CD，使，使CDAB于于E點點（1）這個圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？）這個圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？OABCDE二、二、（2 2）你能發現圖中有那些相等的線段和弧？為什么？）你能發現圖中有那些相等的線段和弧？為什么？把圓沿著直徑把圓沿著直徑CD折疊時，折疊時，CD兩

3、側的兩個半圓重兩側的兩個半圓重合，點合，點A與點與點B重合，重合，AE與與BE重合，重合，AC與與BC重重合，合，AD與與BD重合重合因此因此 AE=BEAE=BE即即 直徑直徑CD平分弦，并且平分平分弦，并且平分AB及及ACBAC=BCAC=BCAD=BDAD=BDOBCDAEOABCDE垂徑定理：垂徑定理：垂直于弦的直徑，垂直于弦的直徑，平分弦且平分弦所對的兩條平分弦且平分弦所對的兩條弧弧歸納條件條件結論結論換言之：垂徑定理：換言之：垂徑定理：若一條若一條直線滿足：條件（直線滿足：條件（1）過圓心）過圓心（2）垂直于弦，）垂直于弦，則它（則它（3）平分弦（）平分弦（4）平分弦所對的優）平分

4、弦所對的優弧，（弧，（5）平分弦所對的劣弧）平分弦所對的劣弧也可以說：直徑垂直于弦也可以說：直徑垂直于弦垂徑定理三種語言 1.定理定理 垂直于弦的直徑，平分弦且平分弦所的兩條弧垂直于弦的直徑，平分弦且平分弦所的兩條弧OABCDMCDAB,如圖如圖 CD是直徑是直徑,AM=BM, AC =BC, AD=BD.如圖，如圖，AB是是 O的一條弦，作直徑的一條弦，作直徑CD，使，使AE=BE（1）CDABAB嗎嗎？為什么？為什么？（2）OABCDEAC與BC相等嗎？ AD與BD相等嗎？為什么？三、AM=BM,n由由 CD是直徑是直徑 CDAB可推得可推得AD=BD. AC=BC,CDAB,n由由 CD

5、是直徑是直徑 AM=BM AC=BC,AD=BD.可推得可推得推論：推論：OABCDE若直徑平分弦（若直徑平分弦（弦弦不是直不是直徑徑），則這條直徑垂直于弦，），則這條直徑垂直于弦，且平分弦所對的兩條弧且平分弦所對的兩條弧.歸納：或者說：若直徑平分或者說：若直徑平分一條不是直一條不是直徑徑的弦，則這條直徑垂直于弦，的弦，則這條直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧并且平分弦所對的兩條弧.幾何語言表述：幾何語言表述：AC=BCAC=BCCDAB,n由由 CD是直徑是直徑AE=BE可推得可推得AD=BDAD=BD定理及推論，總結：定理及推論，總結：一條一條直線只需滿足：條件（直線只需滿足：條件（1）

6、過圓）過圓心（心（2）垂直于弦，）垂直于弦，（3）平分弦（）平分弦（4）平分弦所對的優弧，）平分弦所對的優弧，（5）平分弦所對的劣弧）平分弦所對的劣弧中的任意兩個條件，就能推出中的任意兩個條件，就能推出其它三個其它三個.簡稱簡稱“知二推三知二推三”.駛向勝利的彼岸挑戰自我挑戰自我填一填填一填 1、判斷：、判斷： 垂直于弦的直線平分這條弦垂直于弦的直線平分這條弦,并且平分弦所對的兩并且平分弦所對的兩條弧條弧. （ ） (2)平分弦的直徑一定垂直于弦平分弦的直徑一定垂直于弦.（ ） . (3)弦的垂直平分線一定平分這條弦所對的弧弦的垂直平分線一定平分這條弦所對的弧. （ ）小試牛刀小試牛刀：如圖，

7、已知在：如圖，已知在 O中，弦中，弦AB的長為的長為8厘米，厘米，圓心圓心O到到AB的距離為的距離為3厘米，厘米，求求 O的半徑。的半徑。解：連結解：連結OA，作，作OEAB于于點點E，則，則OE3厘米，厘米，AEBE.AB8厘米厘米 AE4厘米厘米 在在RtAOE中，據勾股定理有中，據勾股定理有OA5厘米厘米 O的半徑為的半徑為5厘米。厘米。注意：圓心到弦的距離叫弦心距注意：圓心到弦的距離叫弦心距.AEBOO O中最長的弦是中最長的弦是多少呢？多少呢？解決求趙州橋拱半徑的問題解決求趙州橋拱半徑的問題如圖，用如圖，用AB表示主橋拱，設表示主橋拱，設AB所在圓的圓心所在圓的圓心為為O，半徑為，半

8、徑為R過圓心過圓心O 作弦作弦AB 的垂線的垂線OC，垂足為垂足為D，OC與與AB 相交于點相交于點D，根據前面的結，根據前面的結論，論，D 是是AB 的中點，的中點，C是是AB的中點，的中點，CD 就是就是拱高拱高AB=48米，米，CD=16米米BODACR實踐應用：實踐應用：O半徑為半徑為10，弦，弦AB=12，CD=16，且且ABCD.求求AB與與CD之間的距離之間的距離. 拓廣探索拓廣探索 二二.DBAC.DBAC如圖，如圖，AB是是 O的一條弦，的一條弦， CDCD是是直徑，且直徑，且AE=BEOE=5，AB=24，求求O O的半徑的半徑OABCDE練一練：駛向勝利的彼岸挑戰自我挑戰

9、自我畫一畫畫一畫 2.已知：如圖已知：如圖, O 中中,弦弦ABCD,ABCD,直徑直徑MNAB,垂足為垂足為E,交弦交弦CD于點于點F.圖中相等的線段有圖中相等的線段有 : .圖中相等的劣弧有圖中相等的劣弧有: .FEOMNABCD及時反饋 已知：如圖，直徑已知：如圖，直徑ABCDABCD，垂足為，垂足為P P。 若半徑若半徑R=5R=5，CD=8CD=8，求，求OPOP、BPBP的長。的長。 若半徑若半徑R=2R=2，OP=1OP=1，求，求CDCD、BPBP的長。的長。POCDBA1.如圖，在如圖，在 O中，中，AB、AC為互相垂直且相等的兩為互相垂直且相等的兩條弦，條弦，ODAB于于D

10、，OEAC于于E，求證四邊形，求證四邊形ADOE是正方形是正方形DOABCE證明：證明： OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四邊形四邊形ADOE為矩形，為矩形，又又AC=AB11 22AEACADAB， AE=AD 四邊形四邊形ADOE為正方形為正方形.提高練習提高練習 2.已知：如圖，在以已知：如圖，在以O為圓心的兩為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于交小圓于C，D兩點。你認為兩點。你認為AC和和BD有什么有什么關系？為什么？關系？為什么？證明：過證明：過O作作OEAB，垂足為，垂足為E， 則則AEBE，CEDE。 AECEBEDE 即即

11、 ACBD.ACDBOE注意：解決有關弦的問題，常過圓心注意：解決有關弦的問題，常過圓心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直徑，作弦的弦心距，或作垂直于弦的直徑，它是一種常用輔助線的添法它是一種常用輔助線的添法判斷下列說法的正誤判斷下列說法的正誤 平分弧的直徑必平分弧所對的弦平分弧的直徑必平分弧所對的弦 平分弦的直線必垂直弦平分弦的直線必垂直弦 垂直于弦的直徑平分這條弦垂直于弦的直徑平分這條弦 平分弦的直徑垂直于這條弦平分弦的直徑垂直于這條弦 平分弦所對的一條弧的直徑必垂直這條弦平分弦所對的一條弧的直徑必垂直這條弦 在圓中，如果一條直線經過圓心且平分弦，在圓中，如果一條直線經過圓心且平分弦，必平分此

12、弦所對的弧必平分此弦所對的弧 4:在圓在圓O中，直徑中，直徑CEAB于于 D，OD=4 ，弦，弦AC= ， 求圓求圓O的半徑。的半徑。10DCEOAB反思：反思：在在 O中，若中，若 O的半徑的半徑r、 圓心到弦的距離圓心到弦的距離d、弦長、弦長a中，中， 任意知道兩個量，可根據任意知道兩個量，可根據定理求出第三個量：定理求出第三個量：CDBAO3：如圖，圓：如圖，圓O的弦的弦AB8 ， DC2，直徑，直徑CEAB于于D， 求半徑求半徑OC的長。的長。DCEOAB垂徑垂徑直徑直徑MNAB,垂足為垂足為E,交弦交弦CD于點于點F.練習練習5:如圖，如圖，CD為圓為圓O的直徑，弦的直徑，弦AB交交

13、CD于于E， CEB=30，DE=9，CE=3，求弦，求弦AB的長。的長。EDOCAB6 已知：已知： O中弦中弦ABCD。求證：求證：ACBD.MCDABON證明：作直徑證明：作直徑MNAB。ABCD，MNCD。則則AMBM，CMDM（垂直平分弦的直徑平分弦所對的弧）（垂直平分弦的直徑平分弦所對的弧） AMCMBMDM ACBD總結總結: 解決有關弦的問題，經常是解決有關弦的問題，經常是過圓心作弦的弦心距過圓心作弦的弦心距，或，或作垂直于弦的作垂直于弦的直徑，連結半徑直徑，連結半徑等輔助線，為應用等輔助線，為應用垂徑垂徑定理定理創造條件。創造條件。船能過拱橋嗎船能過拱橋嗎 2 . 如圖如圖,

14、某地有一圓弧形拱橋某地有一圓弧形拱橋,橋下水面寬為橋下水面寬為7.2米米,拱頂拱頂高出水面高出水面2.4米米.現有一艘寬現有一艘寬3米、船艙頂部為長方形并米、船艙頂部為長方形并高出水面高出水面2米的貨船要經過這里米的貨船要經過這里,此貨船能順利通過這此貨船能順利通過這座拱橋嗎？座拱橋嗎？ 相信自己能獨相信自己能獨立完成解答立完成解答.船能過拱橋嗎船能過拱橋嗎解解: :如圖如圖, ,用用 表示橋拱表示橋拱, , 所在圓的圓心為所在圓的圓心為O,O,半徑為半徑為Rm,Rm,經過圓心經過圓心O O作弦作弦ABAB的垂線的垂線OD,DOD,D為垂足為垂足, ,與與 相交相交于點于點C.C.根根據垂徑定

15、理據垂徑定理,D,D是是ABAB的中點的中點,C,C是是 的中點的中點,CD,CD就是就是拱高拱高. .由題設得由題設得ABABABAB. 5 . 121, 4 . 2, 2 . 7MNHNCDABABAD21, 6 . 32 . 721DCOCOD. 4 . 2 R在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,222ODADOA.)4 . 2(6 . 3222RR即解得解得 R3.9（m）. 在在RtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,22HNONOH. 6 . 35 . 19 . 322OH即. 21 . 25 . 16 . 3DH此貨船能順利通過這座拱橋此貨船能順利通過這座拱橋.垂徑定理的應用垂徑定理的應用 在直徑為在直徑為650mm的圓柱形油槽內裝入一些油后，的圓柱形油槽內裝入一些