1、結構地震反應分析與抗震計算 2.1 場地劃分與場地區劃場地劃分與場地區劃2.2 地基抗震驗算地基抗震驗算2.3 地基土液化及其防治地基土液化及其防治回顧回顧常常 用用 希希 納納 字字 母母第三章 結構地震反應分析 與抗震計算 o 3.1 概述概述o 3.2 單自由度體系的彈性地震反應分析單自由度體系的彈性地震反應分析o 3.3 單自由度體系的水平地震作用與反應譜單自由度體系的水平地震作用與反應譜o 3.4 多自由度彈性體系的地震反應分析多自由度彈性體系的地震反應分析o 3.5 多自由度彈性體系最大地震反應與水平地震作用多自由度彈性體系最大地震反應與水平地震作用o 3.6 豎向地震作用豎向地震

2、作用o 3.7 結構平扭耦合地震反應與雙向水平地震影響結構平扭耦合地震反應與雙向水平地震影響o 3.8 結構非彈性地震反應分析結構非彈性地震反應分析o 3.9 結構抗震驗算結構抗震驗算主要內容2022-4-8結構抗震設計6第三章重點、難點和基本要求第三章重點、難點和基本要求o 重點和難點重點和難點：o 1、重要術語、概念、定義重要術語、概念、定義o 2、單（多）自由度體系地震反應和地、單（多）自由度體系地震反應和地震作用計算震作用計算o 3、底部剪力法、底部剪力法o 4、結構抗震驗算、結構抗震驗算o 基本要求：基本要求：o 掌握結構抗震驗算基本方法掌握結構抗震驗算基本方法3.1 3.1 概述概

3、述由地震動引起的結構內力、變形、由地震動引起的結構內力、變形、位移及結構運動速度與加速度等位移及結構運動速度與加速度等一、結構地震反應一、結構地震反應 ：由地震動引起的結構位移由地震動引起的結構位移地面運動地面運動結構動力特性：自振周期，振型和阻尼結構動力特性：自振周期，振型和阻尼1.1.結構地震反應結構地震反應2.2.結構地震位移反應結構地震位移反應：結構地震反應結構地震反應 影響因素影響因素 3.1 3.1 概述概述：能引起結構內力、變形等反應的各種因素能引起結構內力、變形等反應的各種因素二、地震作用二、地震作用 作用分作用分類類各種荷載：如重力、風載、土壓力等各種荷載：如重力、風載、土壓

4、力等各種非荷載作用：如溫度、基礎沉降、地震等各種非荷載作用：如溫度、基礎沉降、地震等 等效地震荷載等效地震荷載：工程上，可將地震作用等效為某種形式的荷載作用：工程上，可將地震作用等效為某種形式的荷載作用作用作用直接作用直接作用間接作用間接作用3.1 3.1 概述概述1. 1. 連續化描述（連續化描述（分布質量分布質量）三、三、結構動力計算簡圖及體系自由度結構動力計算簡圖及體系自由度描述結構質量的兩種方法描述結構質量的兩種方法采用集中質量方法確定結構計算簡圖采用集中質量方法確定結構計算簡圖 （步驟步驟）：）：2. 2. 集中化描述（集中化描述（集中集中質量）質量）工程上常用工程上常用 定出定出結

5、構質量結構質量集中集中 位置（質心）位置（質心）將區域主要質量將區域主要質量集中集中在質心；在質心；將次要質量將次要質量合并合并到相鄰主要質量的質點上去到相鄰主要質量的質點上去 集中化描述舉例集中化描述舉例a a、水塔建筑、水塔建筑(a) 水塔hh(b) 廠房(c) 多、高層建筑(d) 煙囪主要質量：水箱部分主要質量：水箱部分次要質量：塔柱部分次要質量：塔柱部分水箱全部質量水箱全部質量部分塔柱質量部分塔柱質量集中到水箱質心集中到水箱質心單質點體系單質點體系b b、廠房（大型鋼筋混凝土屋面板）、廠房（大型鋼筋混凝土屋面板）(a) 水 塔hh(b) 廠 房(c) 多 、 高 層 建 筑(d) 煙

6、囪主要質量：屋面部分主要質量：屋面部分廠房各跨質量廠房各跨質量集中到各跨屋蓋標高處集中到各跨屋蓋標高處 集中化描述舉例集中化描述舉例c c、多、高層建筑、多、高層建筑主要質量：樓蓋部分主要質量：樓蓋部分多質點體系多質點體系d d、煙囪、煙囪結構無主要質量部分結構無主要質量部分結構分成若干區域結構分成若干區域集中到各區域質心集中到各區域質心 (a) 水 塔hh(b) 廠 房(c) 多 、 高 層 建 筑(d) 煙 囪( a ) 水 塔hh( b ) 廠 房( c ) 多 、 高 層 建 筑( d ) 煙 囪多質點體系多質點體系返回目錄返回目錄關于體系自由度關于體系自由度定義；結構各質點運動的定義

7、；結構各質點運動的獨立參量數獨立參量數即為結構運動的即為結構運動的體系自由度體系自由度數。數。空間中一個空間中一個自由質點自由質點：1.不加限制可以有不加限制可以有3個自由度；個自由度；2.若限制于平面內運動，則只有若限制于平面內運動，則只有2個自由度。個自由度。工程結構體系中的質點；工程結構體系中的質點；1.受實際結構約束，其自由度可能小于受實際結構約束，其自由度可能小于自由自由質點質點的自由度數。的自由度數。當考慮到結構豎向約束作用，忽略質點豎向位移時，則質點在豎直平當考慮到結構豎向約束作用，忽略質點豎向位移時，則質點在豎直平面內有一個自由度，而在空間中有兩個自由度。面內有一個自由度，而在

8、空間中有兩個自由度。慣性力慣性力 、阻尼力、阻尼力 、彈性恢復力、彈性恢復力3.2 3.2 單自由度體系的彈性地震反應分析單自由度體系的彈性地震反應分析一、運動方程一、運動方程作用在質點上的三種力：作用在質點上的三種力：Ifcfrf慣性力慣性力)(xxmfgI 阻尼力阻尼力 xcfc由結構內摩擦及結構周圍介質（如空氣由結構內摩擦及結構周圍介質（如空氣水等）對結構運動的阻礙造成水等）對結構運動的阻礙造成 彈性恢復力彈性恢復力 由結構彈性變形產生由結構彈性變形產生 C C 阻尼系數阻尼系數 k k 體系剛度體系剛度 f f=-kx=-kx地面發生位移地面發生位移建筑發生的相對地面位移建筑發生的相對

9、地面位移力的平衡條件：力的平衡條件：0rcIfffgxmkxxcxm 令令kmmc2gxxxx 22二、運動方程的解二、運動方程的解1. 1.方程的齊次解方程的齊次解自由振動自由振動 齊次方程齊次方程：022xxx 自由振動：在沒有外界激勵的自由振動：在沒有外界激勵的情況下結構體系的運動情況下結構體系的運動無震時地面運動加速度無震時地面運動加速度-XgXg=0km無阻自振頻率無阻自振頻率阻尼比阻尼比01為共軛復數為共軛復數，（2 2）若）若方程的解：方程的解：特征方程特征方程0222rr特征根特征根121r122r（4 4）若）若 ， 、 為負實數為負實數11r2rtrtrecectx2121

10、)(121rrtetcctx)()(21（3 3）若）若，1r2r、)sincos()(21tctcetxDDt體系不振動體系不振動過阻尼狀態過阻尼狀態體系不振動體系不振動臨界阻尼狀態臨界阻尼狀態體系產生振動體系產生振動欠阻尼狀態欠阻尼狀態21D其中其中圖圖 各種阻尼下單自由度體系的自由振動各種阻尼下單自由度體系的自由振動當當1臨界阻尼系數：臨界阻尼系數：mcr2臨界阻尼比（簡稱阻尼比）臨界阻尼比（簡稱阻尼比）rcc（1 1）若）若tx(t)x(t)0=10112( )cossinx tctct10體系自由振動體系自由振動無阻尼狀態無阻尼狀態初始條件初始條件: :)0(0 xx )0(0 xx

11、 , 初始速度初始速度01xc Dxxc002則則體系自由振動位移時程體系自由振動位移時程 sincos)(000txxtxetxDDDt初始位移初始位移當當 （無阻尼）（無阻尼）000( )cossinxx txttkm固有頻率固有頻率kmT22固有周期固有周期無阻尼單自由度體系無阻尼單自由度體系自由振動為簡諧振動自由振動為簡諧振動自振的振幅將不斷衰減，直至消失自振的振幅將不斷衰減，直至消失 有阻尼體系有阻尼體系例題例題3-13-1kg10000mkN/cm1k已知一水塔結構，可簡化為單自由度體系（見圖）。已知一水塔結構，可簡化為單自由度體系（見圖）。，求該結構的自振周期。求該結構的自振周期

12、。 解解：直接由式：直接由式(a) 水塔hh(b) 廠房(c) 多、高層建筑(d) 煙囪kmT22并采用國際單位可得并采用國際單位可得: : skmT99. 110/1011000022232.2.方程的特解方程的特解I I簡諧強迫振動簡諧強迫振動 地面簡諧運動地面簡諧運動 使體系產生簡諧強迫振動使體系產生簡諧強迫振動 tAtxggsin)(設設，代入運動方程，代入運動方程222singgxxxAt 方程的特解方程的特解（零初始條件（零初始條件22222)(2)(1cos2sin)(1)()(gggggggttAtx)sin()(tBtxg化簡為化簡為振幅放大系數振幅放大系數 2222)(2)

13、(1)/(gggABA A 地面運動振幅地面運動振幅 B B 體系質點的振幅體系質點的振幅 0)0(x0)0(x ）：）：0.20.5125/g12圖圖 單自由度體系簡諧地面強迫振動振幅放大系數單自由度體系簡諧地面強迫振動振幅放大系數1/g達到最大值達到最大值 共振共振2.2.方程的特解方程的特解II II沖擊強迫振動沖擊強迫振動 圖圖 地面沖擊運動地面沖擊運動地面沖擊運動：地面沖擊運動：dtdtxxgg00)( 對質點沖擊力：對質點沖擊力：dtdtxmPg00 質點加速度（質點加速度（0 0dtdt）：）：gxmPa dtdt時刻的速度：時刻的速度：dtxdtmPVg dtdt時刻的位移：時

14、刻的位移：0)(212dtmPd地面沖擊作用后，體系不再受外界任何作用，將做自由振動地面沖擊作用后，體系不再受外界任何作用，將做自由振動 dtxVg 根據自由振動位移方程，可得根據自由振動位移方程，可得tdtextxDDtgsin)( 自由振動初速度為自由振動初速度為圖圖 體系自由振動體系自由振動D有阻尼單自由度體系自振頻率有阻尼單自由度體系自振頻率地震地面運動一般為不規則往復運動地震地面運動一般為不規則往復運動 求解方法：求解方法：將地面運動分解為很多個脈沖運動將地面運動分解為很多個脈沖運動tdxg)( 時刻的地面運動脈沖時刻的地面運動脈沖 4.4.方程的特解方程的特解III III 一般強

15、迫振動一般強迫振動 地面運動加速度時程曲線地面運動加速度時程曲線引起的體系反應為：引起的體系反應為： ttdxettdxDDgt)(sin)(0)()( 疊加：體系在疊加：體系在t t時刻的地震反應為：時刻的地震反應為：方程通解（單自由度體系）：方程通解（單自由度體系）：體系地震反應（通解）體系地震反應（通解）=自由振動（齊次解）自由振動（齊次解）+強迫振動（特解）強迫振動（特解）初位移、初速度引起初位移、初速度引起迅速衰減，可不考慮迅速衰減，可不考慮地面運動地面運動引起引起返回目錄返回目錄()001( )( )( )sin()tttgDDx tdx txetd地面運動脈沖引起的單自由度體系反

16、應地面運動脈沖引起的單自由度體系反應杜哈密積分杜哈密積分3.33.3單自由度體系的水平地震作用與反應譜單自由度體系的水平地震作用與反應譜一、水平地震作用的定義一、水平地震作用的定義單自由度體系的地震作用單自由度體系的地震作用maxmax)(xxmxxmFgg 單自由度體系運動方程單自由度體系運動方程 ()()gm xxcxkx 加速度最大加速度最大0 x maxmax)(xkxxmg F =地震作用地震作用求得地震作用后，即可按求得地震作用后，即可按靜力分析方法靜力分析方法計算結構的最大位移反應計算結構的最大位移反應 質點所受最大慣性力，即質點所受最大慣性力，即maxmax()gm xxcxk

17、x單自由度體系的地震最大絕對加速度反應與其自振周期單自由度體系的地震最大絕對加速度反應與其自振周期T 的關系，記為的關系，記為 二、地震反應譜二、地震反應譜地震加速度反應譜（地震反應譜）：地震加速度反應譜（地震反應譜）：)(TSa()001( )( )( )sin()tttgDDx tdx txetd 杜哈密積分杜哈密積分tDDtgDtextx02)()(sin)(1)()( 求導求導)()(cos2txdtgDD D2T一般結構阻尼比較小一般結構阻尼比較小；得到地震反應譜得到地震反應譜（實質是包含了地動及結構的加速度與周期（實質是包含了地動及結構的加速度與周期的變化關系曲線）的變化關系曲線）

18、max0)(2)(2sin)(2ttTgdtTexT max)()()(txtxTSga max0)()(sin)(ttgdtex 地震加速度反應譜的意義地震加速度反應譜的意義 地震（加速度）反應譜可理解為一個確定的地面運動，通過一組地震（加速度）反應譜可理解為一個確定的地面運動，通過一組阻尼比阻尼比相同但相同但自振周期自振周期各不相同的單自由度體系，所引起的各體系各不相同的單自由度體系，所引起的各體系最大加速度最大加速度反應反應與相應體系自振周期間的關系曲線與相應體系自振周期間的關系曲線 T1T1sa(T)TT2T2T3T3T4T4T5T5=0( )gx t影響地震反應譜的因素：影響地震反應

19、譜的因素：兩個影響因素：兩個影響因素：1.1.體系阻尼比體系阻尼比 2.2.地震動地震動1.1.體系阻尼比體系阻尼比體系阻尼比越大體系阻尼比越大體系地震加速度反應越小體系地震加速度反應越小地震反應譜值越小地震反應譜值越小 圖圖 阻尼比對地震反應譜的影響阻尼比對地震反應譜的影響Sa/xg maxT(s)4.02.01.01.03.04.02.03.0=0.010.030.050.1001rcc2.2.地震動地震動不同的地震動將有不同的地震反應譜不同的地震動將有不同的地震反應譜 地震動特性三要素地震動特性三要素 : : 振幅振幅 、頻譜頻譜 、持時持時 地震動振幅地震動振幅 僅對僅對 地震反應譜值

20、地震反應譜值 大小大小 有影響有影響振幅振幅振幅越大振幅越大地震反應譜值越大地震反應譜值越大呈線性比例關系呈線性比例關系頻譜：地面運動各種頻率（周期）成分的加速度幅值的對應關系頻譜：地面運動各種頻率（周期）成分的加速度幅值的對應關系不同場地條件下的平均反應譜不同場地條件下的平均反應譜 不同震中距條件下的平均反應譜不同震中距條件下的平均反應譜 地震反應譜峰值地震反應譜峰值對應的周期也越長對應的周期也越長 場地越軟場地越軟震中距越大震中距越大地震動主要頻率成份越小地震動主要頻率成份越小（或主要周期成份越長）（或主要周期成份越長）地震動頻譜對地震反應譜的地震動頻譜對地震反應譜的 形狀形狀 有影響有影

21、響 持時持時對最大反應或地震反應譜影響不大對最大反應或地震反應譜影響不大 G G 體系的重量；體系的重量； 地震系數；地震系數； 動力系數動力系數二、地震反應譜二、地震反應譜設計反應譜：設計反應譜：地震反應譜直接用于結構的抗震設計有一定的困難，地震反應譜直接用于結構的抗震設計有一定的困難，而需專門研究可供結構抗震設計用的反應譜，稱之為設計反應譜而需專門研究可供結構抗震設計用的反應譜，稱之為設計反應譜 maxmax( )G( )gagxS TFmgkTgxk)(T)(TmSFa地震系數地震系數定義：定義：gxkgmax 可將地震動振幅對地震反應譜的影響分離出來可將地震動振幅對地震反應譜的影響分離

22、出來 基本烈度基本烈度6789地震系數地震系數k0.050.10（0.15）0.20（0.30）0.40烈度每增加一度地震烈度每增加一度地震系數大致增加一倍系數大致增加一倍 動力系數動力系數定義定義意義：意義：體系最大加速度的放大系數體系最大加速度的放大系數max)()(gaxTST 體系最大加速度體系最大加速度地面最大加速度地面最大加速度是規則化的地震反應譜是規則化的地震反應譜為使動力系數能用于結構抗震設計，采取以下措施：為使動力系數能用于結構抗震設計，采取以下措施： 05. 01.1.取確定的阻尼比取確定的阻尼比，因大多數實際建筑結構的阻尼比在，因大多數實際建筑結構的阻尼比在0.050.0

23、5左右左右考慮阻尼比對地震反應譜的影響考慮阻尼比對地震反應譜的影響 nTTnii105. 0)()(2.2.按場地、震中距將地震動記錄分類按場地、震中距將地震動記錄分類3.3.計算每一類地震動記錄動力系數的平均值計算每一類地震動記錄動力系數的平均值考慮地震動頻譜的影響因素考慮地震動頻譜的影響因素 考慮類別相同的考慮類別相同的 不同地震動記錄不同地震動記錄 地震反應譜的變異性地震反應譜的變異性工程設計采用的動力系數譜曲線工程設計采用的動力系數譜曲線25. 2max2max0/45. 01gT 特征周期，特征周期， 與場地條件和設計地震分組有關與場地條件和設計地震分組有關 結構自振周期結構自振周期

24、衰減指數，取衰減指數，取0.91直線下降段斜率調整系數，直線下降段斜率調整系數， 取取0.020.022阻尼調整系數，取阻尼調整系數，取1.0T值：值：地震影響系數地震影響系數定義定義)()(TkT圖圖 地震影響系數譜曲線地震影響系數譜曲線 maxmaxk圖中圖中我國建筑抗震采用兩階段設計，各設計階段的我國建筑抗震采用兩階段設計，各設計階段的max地震影響地震影響設防烈度設防烈度6789多遇地震多遇地震0.040.08（0.12）0.16（0.24）0.32罕遇地震罕遇地震-0.50（0.72）0.90（1.20）1.40g15. 0g30. 0注：括號中數值分別用于設計基本地震加速度取注：括

25、號中數值分別用于設計基本地震加速度取和和的地區的地區 場地類別場地類別阻尼對地震影響系數的影響阻尼對地震影響系數的影響當結構阻尼比不等于當結構阻尼比不等于0.050.05時，其時，其形狀參數作如下調整形狀參數作如下調整 ：1.1.曲線下降段衰減指數的調整曲線下降段衰減指數的調整 55 . 005. 09 . 02.2.直線下降段斜率的調整直線下降段斜率的調整 8/ )05. 0 (02. 01max的調整：的調整： 3.3.max表中值應乘以阻尼調整系數表中值應乘以阻尼調整系數7 . 106. 005. 01255. 0255. 02當當取取地震作用計算地震作用計算由由GF)(TmSFa( )

26、( )aS TTg例題例題3-23-2kg10000mkN/cm1k水塔結構，同例水塔結構，同例3-13-1。，(a) 水 塔hh(b) 廠 房(c) 多 、 高 層 建 筑(d) 煙 囪 位于位于IIII類場地第二組，基本烈度為類場地第二組，基本烈度為7 7度度（地震加速度為（地震加速度為0.10g),0.10g),阻尼比阻尼比03. 0求該結構多遇地震下的水平地震作用求該結構多遇地震下的水平地震作用 08. 0maxsTg4 . 0解；查表解；查表3-3，查表查表3-2，18. 103. 07 . 106. 003. 005. 017 . 106. 005. 012931. 003. 05

27、5 . 003. 005. 09 . 055 . 005. 09 . 00.931max0.4()()(0.08 1.18)1.99gTT由圖由圖3-123-12（地震影響系數譜曲線）（地震影響系數譜曲線） N207981. 9100000212. 0GF0.0212此時應考慮阻尼比對地震影響系數形狀的調整。此時應考慮阻尼比對地震影響系數形狀的調整。返回目錄返回目錄3.4 3.4 多自由度彈性體系的地震反應分析多自由度彈性體系的地震反應分析一、多自由度彈性體系的運動方程圖圖 多自由度體系的變形多自由度體系的變形在單向水平地面運動作用下，多自由度體系在單向水平地面運動作用下，多自由度體系的變形如

28、圖所示。的變形如圖所示。設該體系各質點的相對水平位移為設該體系各質點的相對水平位移為x xi i(i=1,2,n), (i=1,2,n), 其中其中n n為體系自由度數，為體系自由度數，則各質點所受的水平慣性力為則各質點所受的水平慣性力為)(111xxmfgI )(222xxmfgI )(ngnInxxmf 體系水平慣性力體系水平慣性力 )1(gxxMF 其中其中 TInIIfffF,21 Tnxxxx ,21T1 , 1 , 11nmmmM21剛度方程：剛度方程： FxK多自由度體系多自由度體系無阻尼無阻尼運動方程運動方程 gxMxKxM 1多自由度多自由度有阻尼有阻尼體系運動方程體系運動方

29、程 gxMxKxCxM 1圖圖 多自由度體系的變形多自由度體系的變形 12,Tnxx xx Tnxxxx,21( ( 各質點振幅）各質點振幅）二、多自由度體系的自由振動自由振動方程自由振動方程不考慮阻尼的影響，體系不受外界作用，令不考慮阻尼的影響，體系不受外界作用，令多自由度自由振動方程多自由度自由振動方程 0gx 0 xKxM 動力特征方程動力特征方程 0)(2MK設方程的解為設方程的解為 )sin(tx Tn,21 )sin(2tx 關于時間關于時間t t微分兩次得微分兩次得 0)sin()(2tMK代入振動方程得：代入振動方程得：0)sin(t由于由于則須有：則須有：自振頻率自振頻率體系

30、發生振動，體系發生振動， 有非零解有非零解，則必有：，則必有： 02MK多自由度體系的動力特征值方程多自由度體系的動力特征值方程 ), 2 , 1(nii其解由小到大排列為其解由小到大排列為22221,n為體系第為體系第i階自由振動圓頻率階自由振動圓頻率 一個一個n n自由度體系，有自由度體系，有n n個自振圓頻率，即有個自振圓頻率，即有n n種自由振動方式或狀態種自由振動方式或狀態動力特征方程動力特征方程 0)(2MK例題例題3-33-3計算僅有兩個自由度體系的自由振動頻率計算僅有兩個自由度體系的自由振動頻率 22211211kkkkK2100mmM解：由式解：由式 212222112112

31、00| |mmkkkkMK)()()(2112221121222112221kkkkmkmkmm 02MK0解上方程得：解上方程得：212112221122221112221112221)(21)(21mmkkkkmkmkmkmk可得：可得：多自由度體系以某一階圓頻率多自由度體系以某一階圓頻率振型振型i自由振動時，自由振動時， 將有一特定的振幅將有一特定的振幅i與之相應與之相應 它們之間應滿足動力特征方程它們之間應滿足動力特征方程 0)(2iiMK T121,ininiii設設T121 1 ,/,/,/inininiiniin 11niini與與相應，用分塊矩陣表達相應，用分塊矩陣表達 ini

32、niniiCBBAMKT1112)(則動力特征方程則動力特征方程 011T111niinininiinCBBA展開得展開得 0111nininiBA 01T1ininiCB 1111nininiBA解得解得 （*）（*）將（將（* * *）代入（）代入（* *），可用以復驗），可用以復驗求解結果的正確性求解結果的正確性 1ni由此得體系以由此得體系以i頻率自由振動的解為頻率自由振動的解為 )sin(taxiii體系在自由振動過程中的形狀保持不變體系在自由振動過程中的形狀保持不變 定義：振型定義：振型 iiiai把反映體系自由振動形狀的向量把反映體系自由振動形狀的向量稱為稱為振型振型稱為規則化的

33、振型，也可簡稱為振型稱為規則化的振型，也可簡稱為振型 把把i也稱為第也稱為第i i 階振型階振型 令令iina 11nii iiia例題例題3-43-4三層剪切型結構如圖所示，三層剪切型結構如圖所示，求該結構的自振圓頻率和振型求該結構的自振圓頻率和振型 解：該結構為解：該結構為3 3自由度體系，自由度體系， 質量矩陣和剛度矩陣分別為質量矩陣和剛度矩陣分別為kg1010005 . 100023Mm/N106 . 06 . 006 . 08 . 12 . 102 . 136K先由特征值方程求自振圓頻率，令先由特征值方程求自振圓頻率，令600B2得得0B11-01B5 . 13202-B25| |2

34、MK或或02-B5 . 7B5 . 5B23由上式可解得由上式可解得351. 0B161. 1B254. 3B3從而由從而由 B600得得 rad/s5 .141rad/s3 .312rad/s1 .463由自振周期與自振頻率的關系由自振周期與自振頻率的關系 /2T ，可得結構的各階自振，可得結構的各階自振s433. 0T1s202. 0T2s136. 0T3周期分別為周期分別為各質點振幅各質點振幅 8 .38960006006 .14841200012005 .2579)(21MK 1111nininiBA由由得得648. 0301. 060006 .1484120012005 .25791

35、1211代入代入 01T1ininiCB校核校核08 .389648. 0301. 0600, 0則第一階振型為則第一階振型為 1648. 0301. 01同樣可求得第二階和第三階振型為同樣可求得第二階和第三階振型為 1601. 0676. 02 157. 247. 23為求第一階振型，將為求第一階振型，將 rad/s5 .141代入代入 將各階振型用圖形表示將各階振型用圖形表示: : 1110.6480.301-0.601-0.676-2.57-2.47第一階振型第一階振型第二階振型第二階振型第三階振型第三階振型振型具有如下特征振型具有如下特征: : 對于串聯多質點多自由度體系，其第幾階振型

36、，在振型圖對于串聯多質點多自由度體系，其第幾階振型，在振型圖上就有幾個節點（振型曲線與體系平衡位置的交點上就有幾個節點（振型曲線與體系平衡位置的交點 ) ) 利用振型圖的這一特征，可以定性判別所得振型正確與否利用振型圖的這一特征，可以定性判別所得振型正確與否 交點交點交點交點交點交點o 模型模型o 第一振型第一振型o 第二振型第二振型o 第三振型第三振型o 第四振型第四振型o 第五振型第五振型o 第六振型第六振型o 第七振型第七振型上海環球金融中心上海環球金融中心o 第一振型第一振型o 第二振型第二振型o 第三振型第三振型o 第四振型第四振型o 第五振型第五振型振型的正交性振型的正交性體系動力

37、特征方程改寫為體系動力特征方程改寫為 MK2上式對體系任意第上式對體系任意第i i 階和第階和第j j 階頻率和振型均應成立階頻率和振型均應成立 iiiMK2 jjjMK2兩邊左乘兩邊左乘 Tj Ti jijjiMKT2T式(2)兩邊轉置兩邊左乘兩邊左乘 剛度矩陣和質量矩陣的對稱性 ijjijMKT2T ijiijMKT2T(1)(1) (2)(2) (3)(3) （1 1）、（）、（3 3）兩式相減得：兩式相減得： 0)(T22ijjiMji ji如如則則 0TijMji (4)(4) （4 4）式代入（）式代入（1 1）式）式 ，得：，得： 0TijKji (5) (5) 三、地震反應分析

38、的振型分解法三、地震反應分析的振型分解法運動方程的求解運動方程的求解由振型的正交性，體系地震位移反應向量由振型的正交性，體系地震位移反應向量 jnjjqx1), 2 , 1(njqj稱為稱為 振型正則坐標振型正則坐標 jq唯一對應，是時間的函數唯一對應，是時間的函數 x與與代入多自由度體系一般有阻尼運動方程得：代入多自由度體系一般有阻尼運動方程得： gjjjjnjjjxMqKqCqM 1)(1 gijjijjinjjjixMqKqCqM 1)(TTT1T將上式兩邊左乘將上式兩邊左乘 Ti得得（1 1）（2 2）注意到振型關于質量矩陣和剛度矩陣的正交性式，并設振型關于注意到振型關于質量矩陣和剛度

39、矩陣的正交性式，并設振型關于阻尼矩陣也正交，即阻尼矩陣也正交，即 0TjiCji 則式則式（2 2）成為：成為： giiiiiiiiiixMqKqCqM 1TTTT ijiijMKT2T由由可得：可得： iiiiiMKTT2 iiiiiiMCTT2 iiiiMMTT1令令（3 3） giiiiiiixqqq 22計算可得：計算可得：分解分解n n自由度體系的自由度體系的n n 維聯立運動微分方維聯立運動微分方程程n n個獨立的關于正則坐標的單自由度體系運動微分方個獨立的關于正則坐標的單自由度體系運動微分方程程與一單自由度體系的運動方程相同與一單自由度體系的運動方程相同 gxxxx 22則將式則

40、將式（3 3）兩邊同除以兩邊同除以 iiMT由杜哈密積分，可得式由杜哈密積分，可得式（4 4）的解為的解為（4 4）tiDtgiiDidtextqii0)()(sin)(1)( )(tii其中其中21iiiD阻尼比為阻尼比為 i、自振頻率為、自振頻率為 i的的單自由度體系的地震位移反應單自由度體系的地震位移反應多自由度體系地震位移反應的解多自由度體系地震位移反應的解 njjnjjjjtxttx11)()()()(txj多自由度體系的地震反應可通過分解為各階振型地震反應求解，多自由度體系的地震反應可通過分解為各階振型地震反應求解，故稱故稱振型分解法振型分解法 體系的第體系的第j 階振型階振型 地

41、震反應地震反應 阻尼矩陣的處理阻尼矩陣的處理M KC振型關于下列矩陣正交：振型關于下列矩陣正交：剛度矩陣剛度矩陣阻尼矩陣阻尼矩陣振型分解法的前提：振型分解法的前提：質量矩陣質量矩陣無條件滿足無條件滿足采用瑞雷阻尼矩陣采用瑞雷阻尼矩陣KbMaC返回目錄返回目錄為使阻尼矩陣具有正交性為使阻尼矩陣具有正交性 iiiiiMKTT2 iiiiiiMCTT2由于由于22iiiba22jjjba得得22)(2ijijjijia22)(2ijiijjb實際計算時，實際計算時，可取對結構地震反應可取對結構地震反應影響最大的兩個振型的頻率，影響最大的兩個振型的頻率，并取并取 ji確定瑞雷阻尼矩陣中待定系數確定瑞雷

42、阻尼矩陣中待定系數a a、b b： 任取體系兩階振型任取體系兩階振型 i j、 iiiiiiKbMaCTTT jjjjjjKbMaCTTTKbMaC3.5 3.5 多自由度彈性體系的最大地震反應多自由度彈性體系的最大地震反應 與與 水平地震作用水平地震作用一、振型分解反應譜法理論基礎：地震反應分析的振型分解法理論基礎：地震反應分析的振型分解法 及地震反應譜概念及地震反應譜概念 由于各階振型由于各階振型的線性組合，即的線性組合，即,21n是相互獨立的向量，則可將單位向量是相互獨立的向量，則可將單位向量), 2 , 1(nii表示成表示成1 niiia11其中其中ia TMj為待定系數，為確定為待

43、定系數，為確定將式（將式（1 1）兩邊左乘）兩邊左乘ia得得（1 1） jjjniijijMaMaM1T1TT由上式解得由上式解得 jjjjjMMaTT1（2 2） 11niii質點質點i i任意時刻的地震慣性力任意時刻的地震慣性力 TT1jjjjMM其中其中圖圖 多質點體系多質點體系對于右圖所示的多質點體系，質點對于右圖所示的多質點體系，質點i i任意時刻的任意時刻的水平相對位移反應為水平相對位移反應為njjijjittx1)()(則質點則質點i i在任意時刻的水平相對加速度反應為在任意時刻的水平相對加速度反應為njjijjittx1)()( 將水平地面運動加速度表達成將水平地面運動加速度表

44、達成 )()()(1txtxgnjjijg 將式將式（2 2）代入式代入式（1 1）得如下以后有用的表達式得如下以后有用的表達式振型j在質點i處的位移 為質點為質點i 的第的第j 振振型水平地震慣性力型水平地震慣性力 ( )( )iigfm x tx t )()(11txtmgnjjijnjjijji njjigjnjjijiftxtm11)()( jif則可得質點則可得質點i i任意時刻的水平地震慣性力為任意時刻的水平地震慣性力為質點質點i i的第的第j j振型水平地震作用振型水平地震作用將質點將質點i i的第的第j j振型水平地震作用定義為該階振型最大慣性力，即振型水平地震作用定義為該階振

45、型最大慣性力，即maxFjijifmax)()()(txtxTSga max)()(Ftxtmgjjijiji 則則根據地震反應譜的定義根據地震反應譜的定義)(FjajijijiTSmjijjijjijijiGgm)(F采用設計反應譜，則由采用設計反應譜，則由iG質點質點i i的重量；的重量；j按體系第按體系第j j 階周期計算的階周期計算的 第第j j 振型地震影響系數振型地震影響系數 可得可得( )( )aS TTg可得可得水平地震作用水平地震作用通過各振型反應通過各振型反應振型組合振型組合由振型由振型j j各質點水平地震作用各質點水平地震作用jSjSS，此稱為此稱為振型組合振型組合 由各

46、振型產生的地震作用效應，采用由各振型產生的地震作用效應，采用“平方和開方平方和開方”法確定：法確定：2jSS注：注：由于各振型最大反應不在由于各振型最大反應不在 同一時刻發生，因此直接同一時刻發生，因此直接 由各振型最大反應疊加估計由各振型最大反應疊加估計 體系最大反應，結果會偏大體系最大反應，結果會偏大 ，按靜力分析方法計算，按靜力分析方法計算，可得體系振型可得體系振型j j某特定最大地震反應某特定最大地震反應估計體系最大地震反應估計體系最大地震反應SRSS法法例題例題3-53-5三層剪切型結構同例三層剪切型結構同例3-43-4。s433. 0T1s202. 0T2s136. 0T3 164

47、8. 0301. 01 1601. 0676. 02 157. 247. 23結構處于結構處于8 8度區（地震加速度為度區（地震加速度為0.20g0.20g），），I I類場地第一組，類場地第一組，結構阻尼比為結構阻尼比為0.050.05。試采用。試采用振型分解反應譜法振型分解反應譜法，求結構在多遇地震下的最大底部剪力和最大頂點位移。求結構在多遇地震下的最大底部剪力和最大頂點位移。 已知已知解：由解：由 niinijiijjjjjimmMM121TT1得得421. 1301. 02648. 05 . 11301. 02648. 05 . 11221510. 0)676. 0(2)601. 0(

48、5 . 11)676. 0(2)601. 0(5 . 11222090. 047. 22)57. 2(5 . 1147. 22)57. 2(5 . 11223查查 表表3-2(3-2(特征周期值表特征周期值表) ) 、3-33-3（水平地震影響系數最大值表）（水平地震影響系數最大值表）得：得： s25. 0gT16. 0max設計地震分組場地類別IIIIIIIV第一組0.250.350.450.65第二組0.300.400.550.75第三組0.350.450.650.90表3-2特征周期值 Tg(s)max地震影響設防烈度6789多遇地震0.040.08（0.12）0.16（0.24）0.3

49、2罕遇地震-0.50（0.72）0.90（1.20）1.40表3-3水平地震影響系數最大值返回返回則（參見則（參見圖圖3-123-12地震影響系數譜曲線地震影響系數譜曲線）10.0976230.16jijjijiGF由由得第一振型各質點（或各樓面）水平地震作用為得第一振型各質點（或各樓面）水平地震作用為kN818. 0301. 0421. 10976. 08 . 9211FkN321. 1648. 0421. 10976. 08 . 95 . 112FkN359. 11421. 10976. 08 . 90 . 113Fs25. 0gT圖3-12 地震影響系數譜曲線 返回返回9 . 055 .

50、 005. 09 . 0s433. 0T1s202. 0T2s136. 0T30976. 016. 0433. 025. 09 . 0max9 . 011TTg16. 0max216. 0max3第二振型各質點水平地震作用為第二振型各質點水平地震作用為kN081. 1)676. 0()510. 0(16. 08 . 9221FkN721. 0)601. 0()510. 0(16. 08 . 95 . 122FkN800. 01)510. 0(16. 08 . 90 . 123F第三振型各質點水平地震作用為第三振型各質點水平地震作用為kN697. 047. 209. 016. 08 . 9231

51、FkN529. 0)57. 2(09. 016. 08 . 95 . 132FkN141. 0109. 016. 08 . 90 . 133F則由則由各振型水平地震作用產生的底部剪力為各振型水平地震作用產生的底部剪力為kN498. 3FFFV13121111kN002. 1FFFV23222121kN309. 0FFFV33323131通過振型組合求結構的最大底部剪力為通過振型組合求結構的最大底部剪力為222211VV3.4981.0020.309j3.652kN若僅取前兩階振型反應進行組若僅取前兩階振型反應進行組合合kN639. 3002. 1498. 3V221由各振型水平地震作用產生的結

52、構頂點位移為由各振型水平地震作用產生的結構頂點位移為31321312113121113FFFFFFUkkkm10442. 66001.3591200359. 1321. 11800498. 3332322322123222123FFFFFFUkkkm10799. 06000.800-1200)800. 0(721. 01800081. 1333323332133323133FFFFFFUkkkm10083. 06000.1411200141. 0)529. 0(1800309. 03通過振型組合求結構的最大頂點位移通過振型組合求結構的最大頂點位移mm492. 6083. 0)799. 0(44

53、2. 610UU2223233j若僅取前兩階振型反應進行組合若僅取前兩階振型反應進行組合mm491. 6)799. 0(442. 610U2233注意注意振型分解反應譜法計算結構最大地震反應振型分解反應譜法計算結構最大地震反應易犯錯誤易犯錯誤：先將各振型地震作用組合成總地震作用，然后用總地震作用計算結構總地震反應先將各振型地震作用組合成總地震作用，然后用總地震作用計算結構總地震反應 正確的計算次序：正確的計算次序： 先由振型地震作用計算振型地震反應，再由振型地震反應組合成總地震反應先由振型地震作用計算振型地震反應，再由振型地震反應組合成總地震反應 以本例底部剪力結果加以說明：以本例底部剪力結果

54、加以說明： 若先計算總地震作用，則各樓層處的總地震作用分別為若先計算總地震作用，則各樓層處的總地震作用分別為kN524. 1697. 0081. 1818. 0FFFF2222312212111kN318. 2)529. 0(721. 0321. 1FFFF2222322222122kN609. 1141. 0)800. 0(359. 1FFFF2222332232133按上面各樓層總地震作用所計算的結構底部剪力為按上面各樓層總地震作用所計算的結構底部剪力為kN451. 5609. 1318. 2524. 1FFFV3211與前面正確計算次序的結果相比，值偏大與前面正確計算次序的結果相比，值偏

55、大 原因原因: 振型各質點地震作用有方向性，負值作用與正值作用方向相反，振型各質點地震作用有方向性，負值作用與正值作用方向相反，而按平方和開方的方法計算各質點總地震作用，沒有反映振型各質點地而按平方和開方的方法計算各質點總地震作用，沒有反映振型各質點地震作用方向性的影響。震作用方向性的影響。 振型組合時振型反應數的確定振型組合時振型反應數的確定 結構的低階振型反應大于高階振型反應結構的低階振型反應大于高階振型反應振型反應的組合數可按如下規定確定振型反應的組合數可按如下規定確定 不需要取結構全部振型反應進行組合不需要取結構全部振型反應進行組合（1 1）一般情況下，可取結構前一般情況下，可取結構前

56、2-32-3階振型反應進行組合，但不多于結構自由度數階振型反應進行組合，但不多于結構自由度數 （2 2）當結構基本周期當結構基本周期s5 . 1T1時或時或建筑高寬比大于建筑高寬比大于5 5時時可適當增加振型反應組合數可適當增加振型反應組合數結構的總地震反應以低階振型反應為主，而高階振型反結構的總地震反應以低階振型反應為主，而高階振型反應對結構總地震反應的貢獻較小應對結構總地震反應的貢獻較小振型階數越高，振型反應越小振型階數越高，振型反應越小 二、底部剪力法應用條件應用條件建筑物高度不超過建筑物高度不超過40m40m結構以剪切變形為主結構以剪切變形為主質量和剛度沿高度分布較均勻質量和剛度沿高度

57、分布較均勻結構的地震反應將以第一振型反應為主結構的地震反應將以第一振型反應為主結構的第一振型接近直線結構的第一振型接近直線假定假定 （1 1）結構的地震反應可用第一振型反應表征；）結構的地震反應可用第一振型反應表征； （2 2）結構的第一振型為線性倒三角形，）結構的第一振型為線性倒三角形， 即任意質點的第一振型位移與其高度成正比即任意質點的第一振型位移與其高度成正比1iiCH圖圖 結構簡化第一振型結構簡化第一振型底部剪力的計算底部剪力的計算任意質點任意質點i i的水平地震作用的水平地震作用 1121FiinjjnjjjiHGHGHGj結構底部剪力結構底部剪力 niiinjjnjjjniiHGH

58、GHGj111211EKFF1111221)()()(njjnjjnjjnjjjGGHGHGj iiiiiMMGG11T1T111111FinjjjnjjjiGGG11211111iiCH將將代入上式，得代入上式，得= 簡化：簡化：結構底部剪力結構底部剪力 1EKFeqG一般建筑各層重量和層高均大致相同一般建筑各層重量和層高均大致相同 GGGjijhHj) 12(2) 1( 3nn單質點體系，單質點體系，n=1n=1，則則 1多質點體系多質點體系 ，n2n2，則，則9 . 075. 0按抗震規范統一取按抗震規范統一取85. 0)()(11221njjnjjnjjjGHGHGj即即njjEeqG

59、GG1結構總重力荷載等效系數結構總重力荷載等效系數結構等效總重力荷載結構等效總重力荷載地震作用分布地震作用分布結構總水平地震作用結構總水平地震作用 1EKFeqG分配至各質點上分配至各質點上 EKnjjjiiiHGHGFF1僅考慮了第一振型地僅考慮了第一振型地震作用震作用 高階振型地震作用影響高階振型地震作用影響 各階振型地震反應各階振型地震反應總地震作用分布總地震作用分布等效地震作用分布等效地震作用分布結構基本周期較長時結構高階振型地震作用影響不能忽略結構基本周期較長時結構高階振型地震作用影響不能忽略 高階振型反應對結構上部地震作用的影響較大高階振型反應對結構上部地震作用的影響較大 我國抗震

60、規范規定：我國抗震規范規定： 結構基本周期結構基本周期 g1T4 . 1T ，則需在結構頂部附加集中水平地震作用，則需在結構頂部附加集中水平地震作用 EKFnnF結構頂部結構頂部附加地震作用系數附加地震作用系數1.1.多層鋼筋混凝土房屋和鋼結構房屋按下表采用多層鋼筋混凝土房屋和鋼結構房屋按下表采用 n不考慮不考慮0.350.55)(sTg35. 055. 0gTT4 . 1107. 008. 01T01. 008. 01T02. 008. 01TgTT4 . 112.2.多層內框架磚房多層內框架磚房 2 . 0n3.3.其它房屋可不考慮其它房屋可不考慮 表表3-4考慮高階振型的影響時考慮高階振