1、 無錫市江南中學(xué)無錫市江南中學(xué) 高峰官高峰官 “勾股圓方圖勾股圓方圖”，代代表了我國古代的數(shù)學(xué)成就，表了我國古代的數(shù)學(xué)成就，因而，它被選做因而，它被選做2002年在年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)。會的會標(biāo)。勾股定理是數(shù)學(xué)上擁有證明方法勾股定理是數(shù)學(xué)上擁有證明方法最多的定理，多達(dá)最多的定理，多達(dá)500多種。多種。大多數(shù)大多數(shù)證明方法是作出相應(yīng)精巧的圖形。證明方法是作出相應(yīng)精巧的圖形。 勾股定理的發(fā)現(xiàn)是人類文明的一個勾股定理的發(fā)現(xiàn)是人類文明的一個重要標(biāo)志。重要標(biāo)志。abcaaabbbccc大正方形的面積可大正方形的面積可以表示為以表示為 ，又，又可以表示為可以表示為.(a

2、+b)2 2ab+c2(a+b)2 =2ab+c2a2+2ab+b2=2ab+c2a2+b2=c2作圖巧證勾股定理作圖巧證勾股定理abc大正方形的面積可大正方形的面積可以表示為以表示為，又可以，又可以表示為表示為 .C2 2ab+(a-b)2a-b2ab+(a-b)2= C22ab+a2-2ab+b2=c2a2+b2=c2一、畫圖與數(shù)形結(jié)合一、畫圖與數(shù)形結(jié)合作圖與數(shù)形結(jié)合作圖與數(shù)形結(jié)合1、請你在數(shù)軸上畫出請你在數(shù)軸上畫出5畫圖與數(shù)形結(jié)合畫圖與數(shù)形結(jié)合的幾何意義為的幾何意義為 _ 1x 當(dāng)當(dāng)x的取值范圍為的取值范圍為_時，時，最小值為取得最小值，xx132、_ 畫圖與數(shù)形結(jié)合畫圖與數(shù)形結(jié)合3、如

3、圖，拋物線、如圖，拋物線yx21與雙曲線與雙曲線的交點的交點A的橫坐標(biāo)是的橫坐標(biāo)是1，根據(jù)圖象，求根據(jù)圖象，求關(guān)于關(guān)于x的不等式的不等式- x2-10的解集的解集。xky xk二、畫圖與轉(zhuǎn)化二、畫圖與轉(zhuǎn)化畫圖與轉(zhuǎn)化畫圖與轉(zhuǎn)化 1、如圖、如圖,一小螞蟻從一小螞蟻從A點沿一圓錐的外側(cè)面一周又回到點沿一圓錐的外側(cè)面一周又回到A點點,已知底面的半徑為已知底面的半徑為1厘米厘米,母線長為母線長為4厘米厘米. 求求:一小螞蟻運動路線的最短長度一小螞蟻運動路線的最短長度?畫圖與轉(zhuǎn)化畫圖與轉(zhuǎn)化、一個半徑為厘米半圓與一水平直線相切，、一個半徑為厘米半圓與一水平直線相切，沿直線向右先無滑動滾動至直徑與直線垂直，再

4、繞沿直線向右先無滑動滾動至直徑與直線垂直，再繞切點旋轉(zhuǎn)切點旋轉(zhuǎn)900,然后平移然后平移8厘米。厘米。（）請作出圓心運動的路線圖（）請作出圓心運動的路線圖（）請出此運動路線的長度。（）請出此運動路線的長度。畫圖與轉(zhuǎn)化畫圖與轉(zhuǎn)化、一個半徑為厘米半圓與一水平直線相切，、一個半徑為厘米半圓與一水平直線相切，沿直線向右先無滑動滾動至直徑與直線垂直，沿直線向右先無滑動滾動至直徑與直線垂直， 再再繞切點順時針旋轉(zhuǎn)繞切點順時針旋轉(zhuǎn)900 ,然后向右平移然后向右平移8厘米。厘米。（）請作出圓心運動的路線圖（）請作出圓心運動的路線圖（）請出此運動路線的長度。（）請出此運動路線的長度。畫圖與轉(zhuǎn)化畫圖與轉(zhuǎn)化、一個半徑

5、為厘米半圓與一水平直線相切，、一個半徑為厘米半圓與一水平直線相切，沿直線向右先無滑動滾動至直徑與直線垂直，沿直線向右先無滑動滾動至直徑與直線垂直， 再再繞切點順時針旋轉(zhuǎn)繞切點順時針旋轉(zhuǎn)900 ,然后向右平移然后向右平移8厘米。厘米。（）請作出圓心運動的路線圖（）請作出圓心運動的路線圖（）請出此運動路線的長度。（）請出此運動路線的長度。畫圖與轉(zhuǎn)化畫圖與轉(zhuǎn)化 3、如圖，、是直線同旁的兩定點如圖，、是直線同旁的兩定點，問題：，問題：在直線上取一點，使的值最小。在直線上取一點，使的值最小。AA1BP將軍飲馬問題將軍飲馬問題畫圖與轉(zhuǎn)化畫圖與轉(zhuǎn)化變式變式1： 如圖正方形如圖正方形ABCD的邊長為的邊長為2

6、，E為為AB的中點，的中點，P為為AC上一動點，連接上一動點，連接BP，則則PB+PE的最小值是的最小值是_ABCDPEABCDPE畫圖與轉(zhuǎn)化畫圖與轉(zhuǎn)化變式變式2：如圖，拋物線如圖，拋物線 經(jīng)過經(jīng)過A（-2，-4），），O（0，0），），B（2，0）三點，）三點，（1）求拋物線）求拋物線 的解析式的解析式（2）若）若P為拋物線對稱軸上一點，求為拋物線對稱軸上一點，求AP+OP的最小值。的最小值。cbxaxy2AOB畫圖與轉(zhuǎn)化畫圖與轉(zhuǎn)化變式變式2：如圖，拋物線如圖，拋物線 經(jīng)過經(jīng)過A（-2，-4），），O（0，0），），B（2，0）三點，）三點，（1）求拋物線）求拋物線 的解析式的解析式（2）若

7、）若P為拋物線對稱軸上一點，求為拋物線對稱軸上一點，求AP+OP的最小值。的最小值。cbxaxy2cbxaxy2AOBAMBO畫圖與轉(zhuǎn)化畫圖與轉(zhuǎn)化變式變式3：周長的最小值求上的動點分別是內(nèi)的一點為如圖PMN，OBOANMPOAOBPAOB:,10,45,0POABP1P2MNPOBNMA畫圖與轉(zhuǎn)化畫圖與轉(zhuǎn)化變式變式3：周長的最小值求上的動點分別是內(nèi)的一點為如圖PMN，OBOANMPOAOBPAOB:,10,45,0POBNMAPOABP1P2MN三、畫圖與分類討論三、畫圖與分類討論畫圖與分類討論畫圖與分類討論1、一布袋中有形狀大小相同的、一布袋中有形狀大小相同的2個紅球，個紅球，1個白球，現(xiàn)無

8、放回地從中每次摸一球，個白球，現(xiàn)無放回地從中每次摸一球，則求摸了兩次都是紅球的概率。則求摸了兩次都是紅球的概率。畫圖與分類討論畫圖與分類討論 2、 如圖，線段如圖，線段OA的一端點的一端點O在直線在直線a上，上，OA與與a不垂直，以不垂直，以O(shè)A為一邊畫等腰三角形，為一邊畫等腰三角形，并且另一點并且另一點P也在也在a上，上， 則這樣的則這樣的P點有（點有（ ）個）個A、1 B、2 C、 3 D、 4aoA畫圖與分類討論畫圖與分類討論3、已知一三角形的兩條邊長分別是、已知一三角形的兩條邊長分別是3cm和和4cm，一個內(nèi)角為，一個內(nèi)角為40 （1）請借助圖）請借助圖1，用，用“尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖”畫

9、出一個滿足題設(shè)條件的三角形；畫出一個滿足題設(shè)條件的三角形； 圖140 （2）問問滿足條件的互不全等的三角形共有多少個？滿足條件的互不全等的三角形共有多少個？ （友情提醒：標(biāo)出已知角的度數(shù)和已知邊的長度，友情提醒：標(biāo)出已知角的度數(shù)和已知邊的長度，“尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖” 不不要求寫作法，但要保留作圖痕跡要求寫作法，但要保留作圖痕跡）畫圖與分類討論畫圖與分類討論 4、如圖，半圓如圖，半圓O的的直徑直徑 DE=12cm ，ABC中，中，ACB = 900 ，ABC=300，BC=12cm ，半圓，半圓O以以2cm/s速度沿直線從左向右運動速度沿直線從左向右運動，設(shè)運動時間為設(shè)運動時間為 t（s），當(dāng)當(dāng)t

10、=0時，半圓時，半圓 O在在ABC左側(cè)，左側(cè)，OC=8cm 。 （1）當(dāng)）當(dāng)t為何值時，為何值時，ABC的一邊所在的直線與的一邊所在的直線與半圓半圓O所在的圓相切？所在的圓相切？畫圖與分類討論畫圖與分類討論（2）當(dāng)）當(dāng)ABC的一邊所在的直線與半圓的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切時，如果半圓所在的圓相切時，如果半圓與直徑與直徑DE圍成的區(qū)域與圍成的區(qū)域與ABC三邊圍成的區(qū)域有重疊部分，三邊圍成的區(qū)域有重疊部分，求重疊部分的面積求重疊部分的面積。 . 作圖是一種有效的觖決問題的方法，作圖是一種有效的觖決問題的方法，也是一種有效的學(xué)習(xí)策略也是一種有效的學(xué)習(xí)策略.在作圖解決數(shù)學(xué)問題過程中，讓我們感

11、在作圖解決數(shù)學(xué)問題過程中，讓我們感悟和體驗到數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、分類討論等悟和體驗到數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、分類討論等主要數(shù)學(xué)思想與方法主要數(shù)學(xué)思想與方法.謝謝 謝謝 ！ 解決該問題的常規(guī)方法是對x分x1，1x2，x2三種情況討論，解題過程繁瑣，若借助數(shù)軸將絕對值求和轉(zhuǎn)化為求線段的和，解法直觀簡潔。若數(shù)軸上點A表示的數(shù)是x1，點B表示的數(shù)是x2，則AB兩點的距離ABx1-x2，求y=x-1+x-2的最小值就可轉(zhuǎn)化為在數(shù)軸上找一點x，使之與數(shù)1、2所表示的點的距離和最小。如圖所示，當(dāng)1x2時，y=x-1+x-2的最小值是1。. 作圖是一種有效的觖決問題的方法，作圖是一種有效的觖決問題的方法，也是一種有效的學(xué)

12、習(xí)策略也是一種有效的學(xué)習(xí)策略.作圖解決數(shù)學(xué)問題的過程中，讓我們體作圖解決數(shù)學(xué)問題的過程中，讓我們體驗到數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、分類討論等主要數(shù)驗到數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、分類討論等主要數(shù)學(xué)思想與方法學(xué)思想與方法.數(shù)軸是聯(lián)系數(shù)與形的橋梁，運用數(shù)軸可以直觀地表示實數(shù)、形象地理解相反數(shù)、準(zhǔn)確地比較數(shù)的大小關(guān)系、恰當(dāng)?shù)亟鉀Q與絕對值有關(guān)的問題等。對于絕對值問題，關(guān)鍵是把絕對值的化簡通過兩點之間的距離呈現(xiàn)出來，即把“數(shù)”通過“形”呈現(xiàn)出來，從而巧妙地將求函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為求到兩定點距離之和最小的問題。函數(shù)與方程或不等式之間可以互相轉(zhuǎn)化，從形式到內(nèi)容它們有統(tǒng)一函數(shù)與方程或不等式之間可以互相轉(zhuǎn)化，從形式到內(nèi)容它們有統(tǒng)一之處

13、，因此，方程或不等式問題往往可轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決。如果之處，因此，方程或不等式問題往往可轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決。如果兩個函數(shù)的圖象有交點，那么交點的坐標(biāo)就是方程組的解，或者圖兩個函數(shù)的圖象有交點，那么交點的坐標(biāo)就是方程組的解，或者圖象上某一部分的點的坐標(biāo)就是不等式的解，由此讓學(xué)生感受到函數(shù)象上某一部分的點的坐標(biāo)就是不等式的解，由此讓學(xué)生感受到函數(shù)與方程、不等式的辯證統(tǒng)一，感受數(shù)學(xué)知識與方法的內(nèi)在聯(lián)系。此與方程、不等式的辯證統(tǒng)一，感受數(shù)學(xué)知識與方法的內(nèi)在聯(lián)系。此問題主要考查二次函數(shù)與不等式的相關(guān)內(nèi)容，由拋物線問題主要考查二次函數(shù)與不等式的相關(guān)內(nèi)容，由拋物線y=x2+1與雙與雙曲線曲線y=的交點的交點

14、A的橫坐標(biāo)是的橫坐標(biāo)是1, 代入代入y=x2+1可得交點可得交點A的縱坐標(biāo)是的縱坐標(biāo)是2. 把把(1,2) 代入代入y=可得。從而則求不等式可得。從而則求不等式+ x2+10的解集等同于當(dāng)?shù)慕饧韧诋?dāng)x為為何值時函數(shù)的值小于函數(shù)的值，由二次函數(shù)圖象性質(zhì)知，函數(shù)圖象何值時函數(shù)的值小于函數(shù)的值，由二次函數(shù)圖象性質(zhì)知，函數(shù)圖象開口向下，頂點在（開口向下，頂點在（0，-1），與圖象的交點橫坐標(biāo)是），與圖象的交點橫坐標(biāo)是-1。 故當(dāng)故當(dāng)1x0時，函數(shù)圖象在函數(shù)圖象下方，即關(guān)于時，函數(shù)圖象在函數(shù)圖象下方，即關(guān)于x的不等式的不等式+ x2+10的解集是的解集是1x0，故選，故選D。在解決該問題時，重在引導(dǎo)

15、學(xué)生觀察圖象，將此不等式轉(zhuǎn)化為兩個在解決該問題時，重在引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象，將此不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)圖像上的點的坐標(biāo)特征尋找到不等式的解集，函數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)圖像上的點的坐標(biāo)特征尋找到不等式的解集，從而達(dá)到解決問題的目的，利用圖像解決問題是函數(shù)在數(shù)學(xué)內(nèi)部的從而達(dá)到解決問題的目的，利用圖像解決問題是函數(shù)在數(shù)學(xué)內(nèi)部的應(yīng)用，是數(shù)形結(jié)合策略的具體體現(xiàn)。應(yīng)用，是數(shù)形結(jié)合策略的具體體現(xiàn)。中國最早的一部數(shù)學(xué)著中國最早的一部數(shù)學(xué)著作作周髀算經(jīng)周髀算經(jīng)的開頭的開頭 就記載了這條定理，比畢達(dá)哥就記載了這條定理，比畢達(dá)哥拉斯得出結(jié)論要早五百多年。拉斯得出結(jié)論要早五百多年。我國古代把直角三角形中較短我國

16、古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，勾邊稱為股，斜邊稱為弦，勾股股弦弦，所以我們把這條，所以我們把這條定理成為定理成為勾股定理勾股定理。勾勾股股弦弦“勾股圓方圖勾股圓方圖”，最，最早是由三國時期的數(shù)學(xué)家早是由三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽為趙爽為周髀算經(jīng)周髀算經(jīng)作注作注時給出的。因為這張圖代時給出的。因為這張圖代表了我國古代的數(shù)學(xué)成就，表了我國古代的數(shù)學(xué)成就，因而，它被選做因而，它被選做2002年在年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)。會的會標(biāo)。1.在在Rt ABC中，中， C=90，(1)已知已知a=,b=,求求c;2.在

17、在Rt ABC中，中， B=90，已知，已知AC=13,BC=,求求AB的長的長.(2)已知已知AB=10,BC=8,求求AC.c= = =522ba 2243 acbCAB解：由勾股定理得解：由勾股定理得:c2=a2+b2周董在前往物美超市的周董在前往物美超市的途中，見到一只小鳥從高為途中，見到一只小鳥從高為6米的樹上沿直線斜飛落地米的樹上沿直線斜飛落地面找食，落點與樹根相距面找食，落點與樹根相距米，那么小鳥飛過多少米？米，那么小鳥飛過多少米？（結(jié)果保留根號）（結(jié)果保留根號）ABC為了祝賀蘇寧電器在物美開設(shè)分店，為了祝賀蘇寧電器在物美開設(shè)分店，現(xiàn)要從離地面現(xiàn)要從離地面12米的處拉條幅寫標(biāo)語，

18、米的處拉條幅寫標(biāo)語，已知條幅長已知條幅長AB為為13米，那么你知道固定點米，那么你知道固定點應(yīng)離墻多遠(yuǎn)嗎？應(yīng)離墻多遠(yuǎn)嗎？ABC超市里出售某品牌底面半徑為厘米，超市里出售某品牌底面半徑為厘米，高為高為15厘米的圓柱形罐裝咖啡，現(xiàn)要在罐內(nèi)厘米的圓柱形罐裝咖啡，現(xiàn)要在罐內(nèi)放一根攪拌棒，問攪拌棒最長可以多長？放一根攪拌棒，問攪拌棒最長可以多長？. 勾股定理反映了直角三角形三邊之間勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，因此運用時必須有直角三角形的的關(guān)系，因此運用時必須有直角三角形的條件條件.勾股定理在數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，勾股定理在數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，吸引著人們對它的探究吸引著人們對它的探究

19、.bcaa2+b2=c2直角三角形兩直角邊的平方直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方和等于斜邊的平方.勾股定理：勾股定理：abcb2+c2=a2AC2+BC2=AB2ABCBAB2+BC2=AC2 勾股定理的發(fā)現(xiàn)是人類文明的一個重要標(biāo)志，勾股定理的發(fā)現(xiàn)是人類文明的一個重要標(biāo)志，她的誕辰至今已有五千年的歷史了她的誕辰至今已有五千年的歷史了, 我國也是最我國也是最早了解勾股定理的國家之一，早在三千年前的周早了解勾股定理的國家之一，早在三千年前的周朝就提出朝就提出“勾三，股四，弦五勾三，股四，弦五”，傳說大禹治水，傳說大禹治水時就已經(jīng)開始運用勾股定理了。時就已經(jīng)開始運用勾股定理了。勾股定理是數(shù)學(xué)

20、上擁有證明方法最多的定理，勾股定理是數(shù)學(xué)上擁有證明方法最多的定理，多達(dá)多達(dá)500多種。很多名人也對它很感興趣，如著名多種。很多名人也對它很感興趣，如著名畫家達(dá)芬奇、美國第畫家達(dá)芬奇、美國第20任總統(tǒng)伽菲爾德都曾用自任總統(tǒng)伽菲爾德都曾用自己獨特的方法證明過己獨特的方法證明過.2003年年2月月18日，某報披露日，某報披露了在數(shù)學(xué)專著了在數(shù)學(xué)專著陳厚耀算書陳厚耀算書中有一篇康熙口述，中有一篇康熙口述，陳厚耀筆錄的陳厚耀筆錄的積求勾股法積求勾股法. 人類第一次正式提議與外星生命聯(lián)絡(luò)是在人類第一次正式提議與外星生命聯(lián)絡(luò)是在年，德國著名數(shù)學(xué)家高斯提出，可在西伯利年，德國著名數(shù)學(xué)家高斯提出，可在西伯利亞的森林里伐出一片直角三角形的空地，然后在亞的森林里伐出一片直角三角形的空地，然后在三角形里種上麥子，沿三角形的每條邊上種一片三角形里種上麥子，沿三角形的每條邊上種一片正方形的松樹，這就組成了勾股定理最經(jīng)典、最