1、.wd立體幾何綜合大題理科40道及答案1、四棱錐中,底面,.()求證:平面；()假設側棱上的點滿足,求三棱錐的體積。【答案】()證明:因為BC=CD，即為等腰三角形，又,故.因為底面，所以,從而與平面內兩條相交直線都垂直，故平面。()解：.由底面知. 由得三棱錐的高為,故：2、如圖，四棱錐中，四邊形為矩形，為等腰三角形，平面 平面，且，分別為和的中點證明：平面；證明：平面平面；求四棱錐的體積O【答案】證明：如圖，連結四邊形為矩形且是的中點也是的中點又是的中點，平面，平面，所以平面； 證明：平面 平面，平面 平面，所以平面 平面，又平面，所以又，是相交直線，所以面又平面，平面平面； 取中點為連結

2、,為等腰直角三角形，所以，因為面面且面面，所以，面，即為四棱錐的高 由得又四棱錐的體積考點：空間中線面的位置關系、空間幾何體的體積.3、如圖，在四棱錐中， ，.證明：；假設求四棱錐的體積【答案】設，連接EF，平分為中點，為中點，為的中位線.，.()底面四邊形的面積記為; 考點：1.線面平行的證明；2.空間幾何體的體積計算.4、如圖，在四棱錐中，底面為菱形，其中，為的中點(1) 求證：；(2) 假設平面平面,且為的中點，求四棱錐的體積【答案】 1，為中點，連，在中，為等邊三角形，為的中點，, ,平面,平面 , 平面. 2連接,作于. ,平面,平面平面ABCD,平面平面ABCD， , ,. , 又

3、,. 在菱形中，, . 5、如圖，是矩形中邊上的點，為邊的中點，現將沿邊折至位置，且平面平面. 求證：平面平面； 求四棱錐的體積. 【答案】(1) 證明：由題可知，(2) ，那么.6、四棱錐中，是正方形，E是的中點，EDCBAP(1)假設，求 PC與面AC所成的角(2) 求證：平面(3) 求證：平面PBC平面PCD【答案】平面，是直線在平面上的射影，是直線和平面所成的角。又，四邊形是正方形，；直線和平面所成的角為2連接AC交BD與O,連接EO, E、O分別為PA、AC的中點EOPC PC平面EBD,EO平面EBD PC平面EBD3PD平面ABCD, BC平面ABCD，PDBC，ABCD為正方形

4、 BCCD，PDCD=D, PD，CD平面PCDBC平面PCD又 BC平面PBC平面PBC平面PCD7、在邊長為的正方形中，分別為的中點，分別為的中點，現沿折疊，使三點重合，重合后的點記為，構成一個三棱錐1請判斷與平面的位置關系，并給出證明；2證明平面；3求四棱錐的體積【答案】1平行平面證明：由題意可知點在折疊前后都分別是的中點折疊后兩點重合所以平行因為，所以平行平面.2證明：由題意可知的關系在折疊前后都沒有改變.因為在折疊前，由于折疊后，點，所以因為，所以平面.3 .8、在如以下列圖的幾何體中，四邊形是正方形，平面，、分別為、的中點，且.(1)求證：平面平面；(2)求三棱錐與四棱錐的體積之比

5、【答案】(1)證明：平面，平面，又平面，為正方形，DC.，平面.在中，因為分別為、的中點，平面.又平面，平面平面.(2)不妨設，為正方形，又平面，所以.由于平面，且，所以即為點到平面的距離，三棱錐××2.所以.9、如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，SCADB(1)求四棱錐S-ABCD的體積;(2)求證：(3)求SC與底面ABCD所成角的正切值。【答案】1解：2證明：又3解：連結AC,那么就是SC與底面ABCD所成的角。在三角形SCA中，SA=1,AC=,10.如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，點在側棱上，。 I證明：是側棱的中點；求二面角的大小。 【答案】分別以

6、DA、DC、DS為x、y、z軸如圖建設空間直角坐標系Dxyz，那么。SABCDMzxy設，那么又故，即，解得，所以是側棱的中點。由得，又，設分別是平面、的法向量，那么且，即且分別令得，即，二面角的大小。11、如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABAC,D、E分別為AA1、B1C的中點，DE平面BCC1證明：AB=AC設二面角A-BACBA1B1C1DED-C為60°,求B1C與平面BCD所成的角的大小【答案】以A為坐標原點，射線AB為x軸的正半軸，建設如以下列圖的直角坐標系Axyz。設B1，0，0，C0，b，0，D0，0，c，那么1，0，2c,E，c.于是=，0，=-1，b,0.

7、由DE平面知DEBC， =0，求得b=1，所以 AB=AC。設平面BCD的法向量那么又=-1，1， 0，=-1，0，c,故令x=1, 那么y=1, z=,=(1,1, )。又平面的法向量=0，1，0由二面角為60°知，=60°，故 °，求得于是 ， ，°所以與平面所成的角為30°12、如圖，平面，分別為的中點I證明：平面；II求與平面所成角的正弦值【答案】證明：連接， 在中，分別是的中點，所以， 又，所以，又平面ACD ，DC平面ACD， 所以平面ACD在中，所以 而DC平面ABC，所以平面ABC 而平面ABE， 所以平面ABE平面ABC， 所

8、以平面ABE由知四邊形DCQP是平行四邊形，所以 所以平面ABE， 所以直線AD在平面ABE內的射影是AP， 所以直線AD與平面ABE所成角是 在中， ，所以13、如圖，四棱錐的底面是正方形，點E在棱PB上.求證：平面；當且E為PB的中點時，求AE與平面PDB所成的角的大小.【答案】四邊形ABCD是正方形，ACBD，PDAC，AC平面PDB，平面.設ACBD=O，連接OE， 由知AC平面PDB于O，AEO為AE與平面PDB所的角，O，E分別為DB、PB的中點，OE/PD，又，OE底面ABCD，OEAO， 在RtAOE中，即AE與平面PDB所成的角的大小為.14、如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平

9、面，以的中點為球心、為直徑的球面交于點1求證：平面平面；2求直線與平面所成的角；3求點到平面的距離【答案】1證：依題設，在以為直徑的球面上，那么.因為平面，那么，又，所以平面，那么，因此有平面，所以平面平面.設平面與交于點，因為，所以平面，那么，由1知，平面，那么MN是PN在平面ABM上的射影，所以 就是與平面所成的角，且所求角為3因為O是BD的中點，那么O點到平面ABM的距離等于D點到平面ABM距離的一半，由1知，平面于M，那么|DM|就是D點到平面ABM距離.因為在RtPAD中，所以為中點，那么O點到平面ABM的距離等于。15、如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，是等腰直角三

10、角形，I求證：；II設線段、的中點分別為、，求證： III求二面角的大小。【答案】I因為平面ABEF平面ABCD，BC平面ABCD，BCAB，平面ABEF平面ABCD=AB，所以BC平面ABEF.所以BCEF.因為ABE為等腰直角三角形，AB=AE，所以AEB=45°，又因為AEF=45,所以FEB=90°，即EFBE.因為BC平面ABCD, BE平面BCE,BCBE=B所以II取BE的中點N,連結CN,MN,那么MNPCPMNC為平行四邊形,所以PMCN.CN在平面BCE內,PM不在平面BCE內,PM平面BCE. III由EAAB,平面ABEF平面ABCD,易知EA平面A

11、BCD.作FGAB,交BA的延長線于G,那么FGEA.從而FG平面ABCD,作GHBD于H,連結FH,那么由三垂線定理知BDFH.FHG為二面角F-BD-A的平面角.FA=FE,AEF=45°,AEF=90°, FAG=45°.設AB=1,那么AE=1,AF=,那么在RtBGH中, GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,在RtFGH中, , 二面角的大小為16、如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD,SDADa,點E是SD上的點，且DEa(0<1). ()求證：對任意的0、1，都有ACBE:()假設二面角C-AE-D的大小為6

12、00C，求的值。【答案】證發1：連接BD，由底面是正方形可得ACBD。SD平面，BD是BE在平面ABCD上的射影，由三垂線定理得ACBE.(II)SD平面ABCD，平面，SDCD. 又底面是正方形， DD，又AD=D，CD平面SAD。過點D在平面SAD內做DFAE于F，連接CF，那么CFAE， 故CFD是二面角C-AE-D 的平面角，即CFD=60°在RtADE中，AD=, DE= ， AE=。于是，DF=在RtCDF中，由cot60°=得， 即=3， 解得=17、如圖3，在正三棱柱中，AB=4, ,點D是BC的中點，點E在AC上，且DEE.證明：平面平面; 求直線AD和平

13、面所成角的正弦值。【答案】如以下列圖，由正三棱柱的性質知平面.又DE平面ABC，所以DE.而DEE，,所以DE平面.又DE平面，故平面平面. 過點A作AF垂直于點,連接DF.由知，平面平面，所以AF平面,故是直線AD和平面所成的角。 因為DE，所以DEAC.而ABC是邊長為4的正三角形，于是AD=，AE=4-CE=4-=3.又因為，所以E= = 4, , .即直線AD和平面所成角的正弦值為 .18、如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，I求證：；II設線段、的中點分別為、，求證： III求二面角的大小。【答案】I因為平面ABEF平面ABCD，BC平面ABCD，BC

14、AB，平面ABEF平面ABCD=AB，所以BC平面ABEF.所以BCEF.因為ABE為等腰直角三角形，AB=AE，所以AEB=45°，又因為AEF=45,所以FEB=90°，即EFBE.因為BC平面ABCD, BE平面BCE,BCBE=B所以II取BE的中點N,連結CN,MN,那么MNPCPMNC為平行四邊形,所以PMCN.CN在平面BCE內,PM不在平面BCE內,PM平面BCE. III由EAAB,平面ABEF平面ABCD,易知EA平面ABCD.作FGAB,交BA的延長線于G,那么FGEA.從而FG平面ABCD,作GHBD于H,連結FH,那么由三垂線定理知BDFH.FHG

15、為二面角F-BD-A的平面角.FA=FE,AEF=45°,AEF=90°, FAG=45°.設AB=1,那么AE=1,AF=,那么在RtBGH中, GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,在RtFGH中, , 二面角的大小為19、如題18圖，在五面體中，四邊形為平行四邊形，平面，求：直線到平面的距離；二面角的平面角的正切值【答案】平面, AB到面的距離等于點A到面的距離，過點A作于G，因，故；又平面，由三垂線定理可知，故，知，所以AG為所求直線AB到面的距離。在中，由平面，得AD，從而在中，。即直線到平面的距離為。由己知，平面，得AD，又由，知，故平面ABFE，所以，為二面角的平面角，記為.在中, ,由得,從而在中, ,故所以二面角的平面角的正切值為.20、如圖，四棱錐P­ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB60°，AB2AD，PD底面ABCD(1)證明：PABD；(2) 設PDAD，求二面角APBC的余弦值【答案】(1)因為DAB60°，