1、4 4、矩陣的轉置、矩陣的轉置5 5、方陣的行列式、方陣的行列式1 1、矩陣的加法、矩陣的加法, ,減法減法2 2、矩陣的數乘、矩陣的數乘矩陣的運算矩陣的運算3 3、矩陣與矩陣相乘、矩陣與矩陣相乘6 6、方陣的伴隨矩陣、方陣的伴隨矩陣7 7、方陣的逆矩陣、方陣的逆矩陣1A*AAAT Ams Bsn=CmnAk10( )mmf Aa Aa Aa E8 8、解矩陣方程、解矩陣方程9 9、化矩陣為行階梯形，行最簡形矩陣、化矩陣為行階梯形，行最簡形矩陣方陣的逆方陣的逆：1A實數的倒數實數的倒數：11aaBA不能記作 ! axbxabbxaAXBXAB11XA BXBA11a bba1A不能記作 !方陣

2、多項式方陣多項式：實數多項式實數多項式：26AAE26aaA A的幾個多項式可像數的幾個多項式可像數x x的多項式一樣相乘或分解因式的多項式一樣相乘或分解因式 (A 3E)(A 2E)(a 3)(a 2)解矩陣方程解矩陣方程解實數方程解實數方程 第七講第七講 矩陣的初等變換矩陣的初等變換一一 、初等變換初等變換 矩陣的初等變換初等變換是矩陣的一種十分重要的運算 它在解線性方程組解線性方程組、求逆陣求逆陣、向量組的線性向量組的線性相關相關、求秩求秩中都起重要的作用二、二、 利用初等變換利用初等變換化化矩陣為矩陣為行階梯形行階梯形、 行最簡形行最簡形三、三、 利用初等變換利用初等變換求逆求逆矩陣、

3、矩陣、解矩陣方解矩陣方程程對調兩行，記作對調兩行，記作 ；ijrr以非零常數以非零常數 k 乘某一行的所有元素，記作乘某一行的所有元素，記作 ； irk 某一行某一行 的的k 倍加到上另一行對應元上去：倍加到上另一行對應元上去： . .ijrkr 初等變換初等變換初等初等列列變換變換:初等初等行行變換變換:ijrrirk ijrkr ijccick ijckc P58AB有限次初等行變換有限次初等行變換有限次初等列變換有限次初等列變換rAB行等價行等價，記作，記作 cAB列等價列等價，記作，記作 矩陣之間的等價關系矩陣之間的等價關系P58P58有限次初等變換有限次初等變換等價等價，記作，記作

4、AB123412cc例：例：214312341202 213rr 1201212r 1234126822r 123411rr等價性質：等價性質：P58123412341202 213rr 1201212r (1) AA(2) 若AB 則 BA1234126822r 212r 則 AC(3) 若AB,BC,510104011030001300000B 411214011100003600000B 行最簡形矩陣：行最簡形矩陣：4.4.非零行的第一非零行的第一個非零元個非零元( (主元主元) )為為1;1;5.5.主元所在的列主元所在的列（主列主列）的其它元素都為零）的其它元素都為零. .12rr

5、23rr 二、二、 行階梯形、行最簡形矩陣行階梯形、行最簡形矩陣行階梯形矩陣行階梯形矩陣：1.1.非零行的第一個非零元素左邊畫非零行的第一個非零元素左邊畫一條豎線，用橫線連接成一條豎線，用橫線連接成階梯線階梯線；2.2.每個臺階的每個臺階的高度高度為一行；為一行；3.3.階梯線的階梯線的下方下方全為零全為零. .主元00000100002002001211B例例: 判斷下列矩陣是否為判斷下列矩陣是否為階梯形階梯形,行最簡形行最簡形012030001200000A2 5 1 3 8 4 7 20 0 2 5 6 8 7 50 0 3 4 5 2 6 90 0 0 0 0 4 2 80 0 0 0

6、 0 0 0 0 C=161400030120D任何矩陣任何矩陣行最簡形行最簡形矩陣矩陣行階梯形行階梯形矩陣矩陣有限次初等有限次初等行行變換變換 有限次初等有限次初等行行變換變換 有限次初等有限次初等行行變換變換 .rrmnA 有限次初等有限次初等行行變換變換行階梯形行階梯形 .rr行最簡形行最簡形 .rrmnA 有限次初等有限次初等行行變換變換行階梯形行階梯形 .rr行最簡形行最簡形三、三、 化行階梯形，行最簡形化行階梯形，行最簡形解方程組，求逆、秩、解方程組，求逆、秩、向量組相關性向量組相關性ijrrirk ijrkr 4 4、矩陣的轉置、矩陣的轉置5 5、方陣的行列式、方陣的行列式1 1

7、、矩陣的加法、矩陣的加法, ,減法減法2 2、矩陣的數乘、矩陣的數乘矩陣的運算矩陣的運算3 3、矩陣與矩陣相乘、矩陣與矩陣相乘6 6、方陣的伴隨矩陣、方陣的伴隨矩陣7 7、方陣的逆矩陣、方陣的逆矩陣1A*AAAT Ams Bsn=CmnAk10( )mmf Aa Aa Aa E8 8、解矩陣方程、解矩陣方程9 9、化矩陣為行階梯形，行最簡形矩陣、化矩陣為行階梯形，行最簡形矩陣0 3 -8 6 4 3 -9 8 -5 81 -3 4 -3 2A=1、從、從最左最左的的非非0列列開始，取該列開始，取該列頂端頂端的元，非的元，非0則則為主元為主元；若頂端的元為若頂端的元為0，交換兩行使其非，交換兩行

8、使其非0。13rr1 -3 4 -3 23 -9 8 -5 80 3 -8 6 42、將、將主元下主元下面的元素面的元素變變成成0.3、暫、暫不管主元不管主元所在的所在的行行及它及它上上面的各面的各行行，對剩下的子矩陣重，對剩下的子矩陣重復上述兩個步驟，直到處理完所有的非復上述兩個步驟，直到處理完所有的非0行。行。23rr ( 3) 1 -3 4 -3 2 0 0 -4 4 2 0 3 -8 6 4313rr 1 -3 4 -3 2 0 3 -8 6 4 0 0 -4 4 2 1 -3 4 -3 2 0 3 -6 6 4 0 0 -4 4 2行階梯形行階梯形不唯一不唯一 1 -3 4 -3 2

9、 0 3 -6 6 4 0 0 2 -2 -1 1 -3 4 -3 2 0 3 -8 6 4 0 0 -4 4 24、從、從最右最右邊的主元開始，將每個主元邊的主元開始，將每個主元上上方各元方各元變變成成0。 將每個主元將每個主元變變成成1. 1 ( 2) 1 -3 0 -1 4 0 3 0 -2 0 0 0 -4 4 2 1 1 0 0 -3 4 0 3 0 -2 0 0 0 -4 4 222rr13rr232 ()rr 1 0 0 -3 4 0 1 0 -2/3 0 0 0 1 -1 -1/21、從、從最左最左的的非非0列列開始，取該列開始，取該列頂端頂端的元，非的元，非0則則為主元為主元

10、；若頂端的元為若頂端的元為0，交換兩行使其非，交換兩行使其非0。2、將、將主元下主元下面的元素面的元素變變成成0.3、暫、暫不管主元不管主元所在的所在的行行及它及它上上面的各面的各行行，對剩下的子矩，對剩下的子矩陣重復上述兩個步驟，直到處理完所有的非陣重復上述兩個步驟，直到處理完所有的非0行行 4、從、從最右最右邊的主元開始，將每個主元邊的主元開始，將每個主元上上方各元方各元變變成成0。將每個主元將每個主元變變成成1.1 -1 3 -1 12 -1 -1 4 23 -2 2 3 4 A= 例例1 用初等行變換化為用初等行變換化為行階梯形行階梯形、行最簡形行最簡形1 -1 3 -1 10 1 -

11、7 6 00 1 -7 6 10 1 -7 6 01 -1 3 -1 10 0 0 0 10 1 -7 6 00 0 0 0 11 0 -4 5 0行階梯形行階梯形不唯一，不唯一，行最簡形矩陣行最簡形矩陣唯一唯一確定；確定；1 2 3 4 52 4 6 8 100 0 0 0 2A=0 0 0 0 01 2 3 4 50 0 0 0 00 0 0 0 21 2 3 4 00 0 0 0 00 0 0 0 1練習：用初等行變換化為練習：用初等行變換化為行階梯形行階梯形、行最簡形行最簡形212rr23rr22r 125rr ( 2) 1 2 3 4 50 0 0 0 21 1 1 1 1 13 2

12、 1 0 -3 60 1 2 3 6 -35 4 3 2 6 1A=練習練習3： 用初等行變換化為用初等行變換化為行階梯形、行最簡形行階梯形、行最簡形121253rrrr1 1 1 1 1 10 -1 -2 -3 -6 30 1 2 3 6 -30 -1 -2 -3 1 -43242rrrr1 1 1 1 1 10 -1 -2 -3 -6 30 0 0 0 0 00 0 0 0 7 -71 0 -1 -2 0 10 1 2 3 0 30 0 0 0 1 -10 0 0 0 0 01 1 1 1 1 10 -1 -2 -3 -6 30 0 0 0 1 -10 0 0 0 0 0若矩陣若矩陣A A

13、可逆，求可逆，求1A,11 AAA2 2、若、若 存在，則存在，則 1A3 3、若、若 存在，初等變換方法存在，初等變換方法1A 是數，是數，用于計算二階用于計算二階方陣的逆方陣的逆1AABEA 可逆可逆, ,且且1AB1、用于計算用于計算3階階及及3階以上方階以上方陣的逆陣的逆初等初等行行變換變換A， E E， A-1 不能不能做做列列變換變換化化A,E為為行最簡行最簡形形四、四、 利用初等行變換利用初等行變換求逆求逆矩陣矩陣初等初等行行變換變換A， E E， A-1 不能不能做做列列變換變換四、四、 利用初等行變換利用初等行變換求逆求逆矩陣矩陣(A-1 存在存在)化化A,E為為行最簡行最簡

14、形形P61P61定理定理1:1: 行左列右行左列右P63P63推論推論: 方陣方陣 A 可逆的充要條件是可逆的充要條件是 rAE五、利用初等行變換五、利用初等行變換解解矩陣方程矩陣方程 AX=B (A-1 存在存在)rA， B E， A-1 B初等初等行行變換變換化化A,B為為行最簡行最簡形形增廣矩陣增廣矩陣A 的逆矩陣的逆矩陣例例1 1 求矩陣求矩陣12 30 1210 512 30 1210 510 00 1000 1解解 1 0 1 1 0 0 0 1 2 2 1 0 0 2 2 3 0 1r2 2r1r3 3r1 1 0 1 1 0 0 0 1 2 2 1 0 0 0 2 7 2 1r

15、3 2r2 1 0 0 2.5 1 0.5 0 1 0 5 1 1 0 0 2 7 2 1r2 r3r1 0.5r3 1 0 0 2.5 1 0.5 0 1 0 5 1 1 0 0 1 3.5 1 0.5 2.5 5 3.5 1 1 1 0.5 1 0.5A 1 (A,E ) r3 0.5驗證：A =E A-1練習：求下列矩陣的逆練習：求下列矩陣的逆P64 P64 例例3 31 2 3A=2 2 13 4 3練習：求練習：求 的逆的逆1 2 3A=2 2 13 4 3 0 0 1解解:(A,E)=1 2 3 1 0 02 2 1 0 1 03 4 30 -2 -6 -3 0 11 2 3 1

16、0 00 -2 -5 -2 1 00 0 -1 -1 -1 11 0 -2 -1 1 00 -2 -5 -2 1 00 0 -1 -1 -1 11 0 0 1 3 -20 -2 0 3 6 -50 0 1 1 1 -11 0 0 1 3 -20 1 0 -3/2 -3 5/2111253232311A矩陣方程矩陣方程解解BAX1 BAX1 BCAX11 BAX BXA CAXB 五、解矩陣方程五、解矩陣方程，A,B E,A-1Br例例1 1.341352,343122321 , BABAXX，其中，其中使使求矩陣求矩陣解法一：解法一：( ,)rA B322313 .X1003201023001

17、13化化A,B為為行最簡行最簡形形例例1 1.341352,343122321 , BABAXX，其中，其中使使求矩陣求矩陣解法二：解法二：113235322111.A 113225353312243111XA B 322313 .X 10,.AXA B例例 2 2 解矩陣方程解矩陣方程 X-XA=B X-XA=B 其中其中1 0 12 1 0-3 2 -3 A=1 -2 1-3 4 1B=解 X- -XA = B1)(AEBX XE- -XA= B X(E- -A)= BE-A= 0 0 -1-2 0 03 -2 4所以(E-A)-1=0 -1/2 0-2 -3/4 -1/2-1 0 01)(AEBX1 -2 1-3 4 1 0 -1/2 0-2 -3/4 -1/2-1 0 00,EA1)(AEBX1 -2 1-3 4 1 =3 1 1-