1、第 21 練 關于平面向量數量積運算的三類經典題型題型分析 髙考展望平面向量數量積的運算是平面向量的一種重要運算，應用十分廣泛， 對向量本身，通過數量積運算可以解決位置關系的判定、夾角、模等問題，另外還可以解決平面幾何、立體幾何中許多有關問題，因此是高考必考內容，題型有選擇題、填空題，也在 解答題中出現，常與其他知識結合，進行綜合考查體驗咼考1.（2015 山東）已知菱形 ABCD 的邊長為 a,/ ABC = 60 ，則 BD CD 等于（A. - 2a2B. - 4a2Ca2244答案 D解析如圖所示,由題意，得 BC = a, CD = a, / BCD = 1201BD2=BC2+CD

2、2-2BC CD cos 120=a2+a2-2a ax - =3a2,BD = y/3a.二 BD CD= |BD|CD|COS30=3a2x3=|a2.2運2.(2015 重慶)若非零向量 a,b 滿足|a|=b|,且(a-b)丄(3a+ 2b)，則 a 與 b 的夾角為()n n3nA.4 BQ C.4 D.n答案A解析T2由(a b)丄(3a + 2b)得(a- b) (3a + 2b)= 0,即 3a2- a b 2b2= 0.又/ |a|= 3- |b|,設a,3b = 0,即 3|a|2- |a| |b| cos 0 2|bp= 0,.3|b|2-學切2cos02|b|2=0,D

3、.3 3a又 0 0 n, 0=4.3. (2015 陜西)對任意向量 a, b,下列關系式中不恒成立的是()A.|ab|w|a|b|B.|ab|w|a|b|C.(a+ b)2= |a + b|2D.(a+ b)(a b)= a2 b2答案 B解析 對于 A，由|a b|= |a|b|cos | |a|b 恒成立；對于 B，當 a, b 均為非零向量且 方向相反時不成立；對于C、D 容易判斷恒成立.故選 B.4. (2016 課標全國乙)設向量 a= (m,1), b= (1, 2)，且 |a+ b|2= |a|2+ |b|2，則 m =_.答案 2解析由 |a + b|2= |a|2+ |b

4、|2,得 a 丄 b，所以 mx1+ 1x2 = 0,得 m = 2.5. (2016 上海)在平面直角坐標系中，已知 A(1, 0), B(0, 1), P 是曲線 y = ,1 x2上一個動點，貝 yBPBA的取值范圍是 _.答案0, 1+ 2解析 由題意知 y= 1 x2表示以原點為圓心，半徑為 1 的上半圓.設 P(cos a, sina,a0,nBA=(1,1),BP=(cosa,sina+1),所以 BP BA = cosa+sina+1=2sin(a+ 1 0 , 1 + 2EBPBA的范圍為0 , 1 + ,2.高考必會題型題型一平面向量數量積的基本運算例 1 (1)(2015

5、 四川)設四邊形 ABCD 為平行四邊形，|AB|= 6, |AD|= 4，若點 M , N 滿足 BM=3MC,DN=2NC，則AM NM等于()A.20 B. 15 C.9D.6(2)(2015 福建)已知 AB 丄 AC, |AB|= -, |AC|= t,若點 P 是厶 ABC 所在平面內的一點，且 AP =產+B4AC則 PB PC 的最大值等于()|AB|AC|A.13B.15C.19D.21答案(1)C(2)A.cos0=解析B B 3 B BB B1B1BBB1BB1B(1)AM = AB+ AD,NM = CM CN = 4AD + AB，二 AM NM = ?4AB+ 3A

6、D) SAB3AD)= 48(16/B2 9AD2) = (16X62- 9X42) = 9,故選 C.(2)建立如圖所示坐標系，則B 1, 0 , C(0, t), AB = 1, 0 , AC = (0, t),f AB 4AC 14f f1AP = + = = t -, 0 + -(0, t)= (1, 4), P(1 , 4), PB PC = - 1, 4 1 , t 4) AB| |AC|=17 1 + 4t W 17 2 ：* 4t= 13,故選 A.點評(1)平面向量數量積的運算有兩種形式：一是依據長度和夾角，二是利用坐標運算，具體應用哪種形式由已知條件的特征來選擇注意兩向量

7、a, b 的數量積 a b 與代數中 a, b的乘積寫法不同，不應該漏掉其中的“”.向量的數量積運算需要注意的問題：ab= 0 時得不到 a= 0 或 b = 0,根據平面向量數量積的性質有 |a|2= a2,但 |a b| |a| |b|.變式訓練 1 在厶 ABC 中，AD 丄 AB, BC = 2 3 BD , |AD|= 1，則 AC AD 等于()A.2 ,3 B. . 3 C23 3D.答案 A解析在厶 ABC 中，BC= 2 3 BD ,所以AC AD=(AB+BC)AD=(AB+2 .3 BD)AD,又因為 BD = AD AB,所以 ACAD= (1 23)AB+2 .3 A

8、D AD=(1 2.3)AB AD+ 2 .3 AD AD=(1 2,3)AB AD+ 2 ,3 AD2,因為 AD 丄 AB,所以 AD 丄 AB,所以 ADAB=0,所以 ACAD= (1 2 3)X0+ 2 ,3X1 = 2 3,故選 A.題型二 利用平面向量數量積求兩向量夾角例 2(1)設 a, b 為非零向量，|b|= 2|a|,兩組向量X1, X2, X3, X4和 y1,y2, y3, y4均由 2個 a 和 2 個 b 排列而成若 X1y1+ x2y2+ x3y3+ x4y4的所有可能取值中的最小值為4|a|2，則a 與 b 的夾角為()2nnnA. B. C. D.O336已

9、知向量 a, b 滿足|a|= 2|b|z0，且關于 x 的函數 f(x) = - 2x3+ 3|a|x2+ 6a bx+ 5 在 R 上單 調遞減，則向量 a，b 的夾角的取值范圍是()nnn2nA. 0, 6B. 0, 3C. 0, 6D. ,n答案(1)B(2)D解析 設 a 與 b 的夾角為0,由于 Xi, yi(i = 1, 2, 3, 4)均由 2 個 a 和 2 個 b 排列而成，4記 S=(Xiyi),則 S 有以下三種情況：i=1S= 2a2+ 2b2;S= 4a b;S= |a|2+ 2a b+ |b|2.|b|= 2|a|, 中 S= 10|a|2,中 S= 8|a|2c

10、os0中 S= 5|a|2+ 4|a|2cos01易知最小，即 8|a|2cos0=4|af, cos0=,_n又 OW 0 n, 0=3,故選 B.3設向量a, b 的夾角為0,因為f(x)=2x3+ 3|a|x2+ 6abx+ 5，所以 f (x) = -6x2+ 6|a|x+ 6a b,又函數 f(x)在 R 上單調遞減，所以 f (x) 0 在 R 上恒成立，所以= 36|a|2- 4x(-1 16)x(6a b) 0，解得 a bw-|a|2,因為 a b= |a|b| cos0,且 |a|= 2|b|z0，所以 |a|b|cos0=?|a|2cos0W-|a|2,解得 cos0W-

11、2,因為00,n,所以向量 a, b 的夾角0的取值范圍是 生n, 故選 D.點評 求向量的夾角時要注意：(1)向量的數量積不滿足結合律.(2)數量積大于 0 說明不共線 的兩向量的夾角為銳角， 數量積等于 0 說明兩向量的夾角為直角， 數量積小于 0 且兩向量不 能共線時，兩向量的夾角為鈍角變式訓練 2 若非零向量 a, b 滿足|a|= |b|, (2a + b) b = 0,貝Ua 與 b 的夾角為()A.30 B.60 C.120 D.150 答案 C解析設 a 與 b 的夾角為0,由題意得 |a|= |b|, (2a + b) b = 0，可得 2a b+ b2= 2|a| |b|c

12、os0+ b2= 2|a| |a|cos0+ |a|2= 0,解1得 cos0=-2，因為 0 25 , |PA|PA+ 3PB|的最小值為 5. 方法二 設DP= xDC(0vxv1),PC=(1x)DC, PA=DADP=DAxDC,PB = PC+ CB = (1 x)DC + ?DA , PA + 3PB = |DA + (3 4x)DC ,|FA+3PB|2=DA2+2X|x(34x)DA DC+(34x)2DC2=25+(34x)2DC225,|pA|pA+3p3pB|的最小值為 5.點評(1)把幾何圖形放在適當的坐標系中，給有關向量賦以具體的坐標求向量的模，如向量 a= (x,

13、y),求向量 a 的模只需利用公式|a|= ,x2+ y2即可求解.(2)向量不放在坐標系中研究，求解此類問題的方法是利用向量的運算法則及其幾何意義或應用向量的數量積公式，關鍵是會把向量a 的模進行如下轉化：|a|=.a2.變式訓練 3 已知向量 a, b, c 滿足|a|=4, |b| = 2 2, a 與 b 的夾角為n(c a) ( c a)= 1, 則|ca|的最大值為()A. ,2 + J B.寧 + 1C.今 D. ,2 + 1答案 DDA、DC 所在直線為 x、y 軸，建立如圖所示的平面直角 D(0, 0), A(2, 0), C(0, a),B(1, a), P(0, x),P

14、A=(2, x), PB=(1,a x),解析在平面直角坐標系中，取 B(2 2, 0), A(2 2, 2 2)，則 OA = a, OB= b,設 c= OC =(x, y),則(c a) (c b) = (x- 2 2, y 2 2) (x- 2 2, y) = (x- 2 2)2+ y(y 2 2) = - 1 ,即(x 2 2)2+ (y 2)2= 1，所以點 C(x, y)在以 D(2 2 ,2)為圓心，1 為半徑的圓上，|c a| =x 2 .22+ y 2 22,最大值為|AD|+ 1= 2+ 1.故選 D.高考題型精練1已知空間四邊形 ABCD 的每條邊和對角線的長都為 1,

15、點 E、F 分別是 AB、AD 的中點,則 EFDC 等于（）A14BF C.乎 D. 1 1444答案D解析由題四邊形 ABCD 的邊和對角線的長都為 1,點 E、F 分別是 AB、AD 的中點，則 EF平行于 BD，則 EF DC =1BDDC = $ 1X1Xcos 120 = 2.（2016 課標全國丙）已知向量 BA = 2 中,BC =A.30 B.45 C.60 D.120答案 A解析 |BA|= 1, |BC|= 1,|BA| |BC|又 0ZABCw180,/ ABC = 30.3.（2015 湖南）已知點 A, B, C 在圓 x2+ y2= 1 上運動，且 AB 丄 BC

16、 若點 P 的坐標為（2, 0）,則|PA +PB+ PC|的最大值為()A.6B.7C.8D.9答案 B解析由 A, B, C 在圓 x2+ y2= 1 上，且 AB 丄 BC, AC 為圓的直徑，故 PA + PC= 2PO = ( 4, 0),設 B(x, y),則 x2+ y2= 1 且 x 1, 1, PB = (x 2, y),子，1，則/ ABC 等于（cos/ ABC =BA BC所以RA+ PB+PC=(x 6, y).故 |PA+ PB+PC|= 12X+37,10 且 1X(2)1X入工 0,.入( (m,2)U( (2 2,丁)，故選 D.7._ 已知向A.D.2 ,1

17、313解析 BC = ( 2 , 3), BA = ( 4 , 2)，向量 BC 在向量 BA 方向上的投影為BC BA|BA|,故選 A.量 a, b,其中|a|=Q3, |b|= 2,且(a+ b)丄 a,則向量 a 和 b 的夾角是_ . 答案5 5n6解析 / (a + b)丄 a, (a+ b) a= a2+ a b= 3 +；3 x 2cosa, b= 0, a 和 b 的夾角為茫68. (2016 浙江)已知向量 a, b, |a|= 1, |b|= 2若對任意單位向量 e,均有|a e|+ |b e|w.6,則a b 的最大值是_ .1答案1 1解析由已知可得，6 |a e|+

18、 |b e| |a e+ b e|= |(a + b) e|,由于上式對任意單位向量e 都成立.6|a + b|成立. 6 (a+ b)2= a2+ b2+ 2a b= 12+ 22+ 2a b.1即 6 5 + 2a b, a bw-29. 如圖，在 ABC 中，點 O 為 BC 的中點，若 AB = 1, AC= 3, = 60 則 |OA|解析因為=60所以ABAC=|AB| |AC|cos 60=x3x舟=|,_ 1 又 AO = -(AB+ AC),所以 AO2= 4(AB+Ac)21 =4(AB2+ 2AB AC+ AC2),即AO2=4(1 + 3+ 9)=普，所以 |OA|=W

19、.10.已知點 O 是銳角 ABC 的外心，AB= 8, AC = 12, A = 7.若 AO= xAB+ yAC，貝 V 6x+ 9y答案 5cosa, bf,又 Ow a,b w n,解析 如圖，設點 0 在 AB, AC 上的射影分別是點 D , E,它們分別為 AB, AC 的中點，連接 OD , OE.由數量積的幾何意義，可得 AB AO = |AB| |AD|= 32, AC AO = |AC| |AE|= 72,依題意有 AB AO = xAB2+ yACAB=64x+ 48y= 32,即 4x+ 3y= 2, AC AO= xAB AC+ yAC2= 48x求 c 在 a 方向上的投影;求力和蘢，使 c= ?1a+尼 b. 解/ b / d, 6x 24= 0,/4a + d= (4, 10), (4a + d)丄 c, 5x 4 + 10y= 0, y= 2, b = (4, 3), c= (5, 2).a c 5 52 258cOScOSa a,c c=麗=.2 - 2