1、精選文檔一、問題的提出在不等精度直接測量時，由各測量值xi及其標準差i計算加權算術平均值的標準差時，有兩個計算公式式中:pi各測量值的權；i各測量值的標準差；單位權標準差；加權算術平均值的標準差。但這兩個公式的計算結果有時會相差很大。那么，在這種狀況下，接受哪個公式更為合理呢？本文對此從公式的推導到公式的選用進行探討，并給出了一般性的原則。二、公式的數學推導在不等精度測量時，各測量值的權的定義式為:測量結果的最佳估量值為:則測量結果的不確定度評定為:對式(5)求方差有設各測量值xi的方差都存在，且已知分別為，即D(xi)=由(4)式有=2/pi從公式(1)的推導，我們可以看出，此時各測量值的方

2、差(或標準差)必需是已知的。而在實際測量中，經常各測量值的方差(或標準差)是未知的，無法直接應用公式(1)進行不確定度評定。但是，從分析來看，假如能由各測量值的殘差(其權等于測量值的權)求出單位權標準差的估量值，并將其代入公式(1)中，就可計算出加權算術平均值標準差的估量值。為此，作如下推導:由殘差i=xi-i=1，2，n對i單位權化由于vi的權都相等，因而可設為1，故用vi代替貝塞爾公式中的i可得單位權標準差的估量值將此式代入公式(1)，即得到加權算術平均值標準差的估量值從上面的推導我們可以看出，公式(1)是在各測量值的標準差已知時計算出的不等精度測量結果的不確定度的精確值；而公式(2)是在

3、各測量值的標準差未知時計算出的不等精度測量結果的不確定度的估量值。從概率論與數理統計學問可知，只有在n時，其單位權標準差的估量值才能等于單位權的標準差，而由于測量次數的有限性和隨機抽樣取值的分散性，這兩者是不相等的，所以由公式(1)和公式(2)確定的不確定度的值是也不相同的。三、公式選用的一般原則筆者用了較大的篇幅來進行公式的數學推導，主要是為了說明這兩個公式推導的前提是不一樣的，其應用當然也就不同。我們分兩種狀況來進行爭辯。1.各測量值的標準差未知時明顯，在這種狀況下，由于其測量值的權是由其他方法得到的，而各測量值的標準差未知，無法應用公式(1)來進行不確定度評定，而只能用公式(2)。2.各

4、測量值的標準差已知時當已知測量值xi和其標準差i時，有兩種方法計算的標準差:第一種方法是用公式(1)進行計算，其次種方法是用公式(2)進行計算。前面已述這兩種方法在理論上是不相等的。兩種方法的區分是:第一種方法是依據已知的i計算，沒有用到測量數據xi。而其次種方法既用到了i(確定權)，也用到了測量數據xi(計算殘差)。公式(2)是一個統計學公式，與觀測次數n有關，只有n足夠大，即觀測數據足夠多時，該公式才具有實際意義。所以，依據前面的推導分析，當測量次數較少時，考慮到隨機抽樣取值的分散性，建議接受公式(1)進行不確定度評定，當測量次數較多時，接受公式(2)評定不確定度更能真實地反映出這一組數據

5、的不確定度值，它包含了由隨機效應引起的不確定度，也包含了由系統效應引起的不確定度，因而更具有試驗性質。現在的問題是，測量次數到底為多少時才是較少或較多呢？依據概率論與數理統計學問，單次測量的標準差與平均值的標準差的關系為:，當肯定時，n10以后，已削減得格外緩慢。所以常把n=10作為一個臨界值。綜上所述，當測量次數n10時，用公式(1)進行計算效果較好；當測量次數n10時，接受公式(2)來評定不確定度會更客觀一些。另外，還有一個問題值得留意:不等精度測量原來就是轉變了測量條件的復現性測量，這些轉變了的測量條件有可能帶來系統誤差。當n足夠大時且本次測量條件與以前的測量條件變化不大時，兩個公式計算

6、的結果應近似相等。否則本次測量數據可能存在系統誤差。四、實例實例1用國家基準器在相同的條件下連續3天檢定某一基準米尺，檢定的結果為999.9425mm(3次測量取平均值)，999.9416mm(2次測量取平均值.雪，999.9419mm(5次測量取平均值)，試求最終的檢定結果。解由于測量條件相同，3天里的10次測量是等精度的。3個檢定結果所以精度不等，是由于每天測量的次數不同，所以其權為:p1:p2:p3=2/n1:2/n2:2/n3=3:2:5所以，加權算術平均值為:因各測量值的標準差未知，故x應按公式(2)估算，所以實例2對某物理量進行9次直接測量，數據見下表，評定測量結果的不確定度。解(1)計算各測量值的權:由式(4)知pi=2/令單位權標準差=50，則各測量值的權為:p1:p2:p3:p4:p5:p6:p7:p8:p9=1:1:1:1.93:12.8:2.97:4.34:2.78:4.73(2)計算最佳估量值:(3)計算的標準差:第一種方法；用公式(1)計算其次種方法:用公式(2)計算從本例看，兩種方法計算的結果相差較大。依據第三節的原則，該例接受第一種方法計算的結果為好。從對觀測列的分析來看，xmax-xmin=132，取值很分散，似有系統誤差存在。當系統誤差大于隨