1、數值計算（3）Lagrange形式的多項式插值 njijjijixxxxxl0)()()( niiinyxlxL0)()(n = 1，線性插值n = 2，拋物線插值Lagrange形式的多項式插值 計算sqrt(7) 令f(x) = sqrt(x); f(4) = 2; f(9) = 3; f(6.25)=2.5; L2(x)=2.64849多項式插值的誤差 記插值誤差為： niixnnxxnfxR0)1()(! ) 1()()( )()()(xLxfxRnn ,max,min1010 xxxxxxxxnn其中可證：（證明略）對誤差的事后估計方法為節點的插值多項式以為記nnxxxxfxL,.,

2、)()(10另取一個節點xn+1為節點的插值多項式以為記11)1(,.,)()(nnnxxxxfxL由上述誤差公式有：112) 1() 1 (01) 1()(! ) 1()()()()(! ) 1()()()(niinniinnxxnfxLxfxxnfxLxfn)()()()()()()()()()()()()1(010)1(01010110)1()1(xLxLxxxxxLxfxLxxxxxLxxxxxfxxxxxLxfxLxfxfnnnnnnnnnnnnn所以：有：，有：在插值區間上變化不大一般對誤差的事后估計方法例:用事后估計法計算sqrt(7)的計算誤差)(,kixxxxfxxfxxxf

3、kikjjikji 又稱又稱為為f (x)在點在點xi, xj, xk處的處的二階差商二階差商 稱稱 nnnnxxxxxfxxxfxxxf 02111010,為為f (x)在點在點x0, x1, xn處的處的n階差商階差商。差商定義定義1：設有函數設有函數f (x)以及自變量的一系列互不相等以及自變量的一系列互不相等的的x0, x1, xn （即在即在i j時時，x i xj）的值的值 f(xi) , 稱稱),()()(,jijijijixxjixxxfxfxxf 為為f (x)在點在點xi , xj處的處的一階差商一階差商，并記作并記作f xi , xj， 差商有以下性質kiikikxxfx

4、xf010)()(,.,1、其中其中 kijjjiikxxx01)()( 10011100101010)()()()()()(,ijijiixxxfxxxfxxxfxxxfxfxxf2002122210112010002122021010221120100021010022121021021210)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(,ijijiixxxfxxxxxfxxxxxfxxxxxfxxxxxfxxxxxfxxxxxfxxxxxfxxxxxfxfxxxxxfxfxxxxfxxfxxxf差商有以下性質2、差商關于節點對稱，即任意改變節點次

5、序，、差商關于節點對稱，即任意改變節點次序， f x0, , xk的值不變。的值不變。3、若、若 f x0, , xk的是的是x的的m次多項式，則次多項式，則f x0, , xk1是是x的的m-1次多項式。次多項式。4、f的的n階差商與階差商與n階導數有如下關系：階導數有如下關系： f x0, , xn=f (n)( )/n!f (x0)f (x1)f (x2)f (xn 1)f (xn)f x0, x1f x1, x2 f xn 1, xnf x0, x1 , x2 f xn 2, xn 1, xnf x0, , xn xn+1 f (xn+1) f xn, xn+1 f xn 1, xn,

6、 xn+1 f x1, , xn+1 f x0, , xn+1差商可列表計算：差商可列表計算： xi yi 一階差商一階差商 二階差商二階差商 n 階差商階差商 由差商定義可知：高階差商是兩個低一階差商的差商。由差商定義可知：高階差商是兩個低一階差商的差商。x0 x1x2xn-1xn例：求差商。例：求差商。)3 , 2 , 1 , 0(2 , 1 , 0 , 2, 1)(4ixxxfi3 多項式插值的Newton形式希望每加一個節點時，希望每加一個節點時， 只附加一項只附加一項上去即可。上去即可。Lagrange 插值雖然易算，但若要增加一個節點時，插值雖然易算，但若要增加一個節點時，全部基函

7、數全部基函數 li(x) 都需重新算過。都需重新算過。3 多項式插值的Newton形式)()()(11xqxNxNnnn在節點在節點x0,x1,xn處：處：)()()(1iininxfxNxN)()()(1011nnnxxxxxxaxq)()()()(110010nnnxxxxxxaxxaaxN基函數：基函數：)()( ,),( , 11100nxxxxxxxx系數：系數：naaa,10所以所以qn+1(x)在節點在節點x0,x1,xn處為零：處為零：3 多項式插值的Newton形式)()(xLxNnnniiinxfxlxL0)()()(比較系數：比較系數：nijijiinxxxfa0)()(

8、,10nxxxf)()(,)(,)(,)()(11010102100100nnnxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxN如何求系數？如何求系數？差商性質差商性質1三種差分方式向前差分向前差分 /* forward difference */iiifff 1ikikikikffff1111)( 向后差分向后差分 /* backward difference */111 ikikikfffi 1iifff 中心差分中心差分 /* centered difference */212111 ikikikfff 其中其中)(221hiixff )()()(xfhxfxf2,222,2,),

9、2,()()()()2()()(2)2()()()(22hxhxxfhhhhxxfhxhxfhhxxfhxhxfhhhxfhxfhhhxfhxfxfhxfhxfxfhxfxf取等距節點取等距節點x0,x1,xn，記，記h為間距為間距 ：,!)(khxhxxfhkxfkk4等距Newton插值).(,.,.)(,)()(1000100 nnnxxxxxxfxxxxfxfxN牛頓公式牛頓公式引入變量引入變量t t，設，設x=x0+th，則代入插值多項式為：，則代入插值多項式為：nnnhntttxxfhttxxxfthxxfxfxN) 1).(1(,.,.) 1(,)()(02210100由差分的定

10、義：由差分的定義：) 1).(1(!)().1(! 2)()()()(00200ntttnxfttxftxfxfxNnnnkkktxfC00)(等距節點公式 牛頓后差公式：牛頓后差公式： （將節點順序倒置）（將節點順序倒置）).(,.,.)(,)()(101xxxxxxfxxxxfxfxNnnnnnnn 注：注：一般當一般當 x 靠近靠近 x0 時用前差，靠近時用前差，靠近 xn 時用后差，故兩時用后差，故兩種公式亦稱為種公式亦稱為表初公式表初公式和和表末公式表末公式。可用二項式表達：可用二項式表達：),(,).(1()!1()()(01)1(nnnnxxhntttnfxR 牛頓前差公式牛頓前差公式nkkktnxfCthxN000)()(設設htxxn，則，則nkkktknxfCthxN000)() 1()(課堂練習：設x0=1.0, h = 0.05,給出f(x)=x1/2在xj=x0+