1、一、多元多項式的概念和運算一、多元多項式的概念和運算二、二、n元多項式的字典排列法元多項式的字典排列法三、三、 n n元多項式的有關結論元多項式的有關結論令令nxxx,21是是n個文字個文字. .形式如形式如nknkkxxax2121的表示式，其中的表示式，其中 是非負整數，叫做是非負整數，叫做數環數環R上上 的一個的一個單項式單項式. 數數 a 叫做這個單叫做這個單項式的項式的系數系數.如果某一如果某一 ，那么，那么 可以不寫，可以不寫，約定約定nkkkRa,21nxxx,210ikikixniiniiknkikikknkiikikxxxaxxxxxax1111111111011因此，因此，

2、m (m n)個文字的單項式總可以看成個文字的單項式總可以看成n個文個文字的單項式字的單項式. 特別，當特別，當 時，我們時，我們有有021nkkkRaxxaxn00201一、多元多項式的概念和運算一、多元多項式的概念和運算（1） 我們還約定，我們還約定，Rxxxnknkk 002121一些（有限個）單項式用加號聯結起來而得到的一一些（有限個）單項式用加號聯結起來而得到的一個形式表達式個形式表達式Raxxxaxxxaxxxaiknkksknkknnkksnssn,21222211211212121211 是非負整數是非負整數 ，叫做，叫做R上上n個個文字文字 的一個多項式，或簡稱的一個多項式，

3、或簡稱R上一個上一個n元元多項式多項式.在不致發生混淆的情況下，也可以簡稱為多在不致發生混淆的情況下，也可以簡稱為多項式項式.ijknjsi, 2 , 1;, 2 , 1nxxx,21我們常用符號我們常用符號 等來表示等來表示R上上n個文字個文字 的多項式的多項式. nnxxxgxxxf,2121nxxx,21在一個在一個n元多項式（元多項式（1）里，組成這個多項式的單項）里，組成這個多項式的單項式叫做這個多項式的式叫做這個多項式的項項.各項的系數也叫做這個多項各項的系數也叫做這個多項式的式的系數系數.R上兩個單項式上兩個單項式 和和 叫做同叫做同類項，如果類項，如果 . 兩個單項式說是相等，

4、兩個單項式說是相等，如果它們是同類項并且系數相等如果它們是同類項并且系數相等.nknkkxxax2121nlnllxxbx2121nilkii, 2 , 1,現在定義現在定義R上上n元多項式的運算元多項式的運算.R上兩個上兩個n元多項式元多項式 的的和和指的是把分別出現在這兩個多項式中對應的指的是把分別出現在這兩個多項式中對應的同類項的系數相加所得到的同類項的系數相加所得到的n元多項式，記作元多項式，記作f + g . nnxxxgxxxf,2121與例如例如 33232322133132133232322132213132152,23,xxxxxxxxxxgxxxxxxxxxxxxf的和是的

5、和是23232213221313313213214222,xxxxxxxxxxxxxgxxxf為了定義兩個多項式的為了定義兩個多項式的乘積乘積，先定義兩個單項式的，先定義兩個單項式的乘積乘積.R上兩個上兩個n元單項式元單項式 與與 的積指的是單項式的積指的是單項式nknkkxxax2121nlnllxxbx2121112212.nnklklklnabxxx現在設現在設f與與g都是都是R上上n個文字的個文字的 多項式多項式.把把f的每一項與的每一項與g的每一項相乘，然后把這些乘積相的每一項相乘，然后把這些乘積相加（合并同類項）而得到的一個加（合并同類項）而得到的一個n元多項式叫做元多項式叫做f與

6、與g的的積積，記作，記作 fg .3223212313, 213222132213, 213,2,xxxxxxxxxgxxxxxxxxxxf的乘積是的乘積是2332232213421322313241233221232413225132262xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxfg例如，多項式例如，多項式nxxx,21這樣定義的多項式的加法和乘法就是中學代數里熟這樣定義的多項式的加法和乘法就是中學代數里熟知的多項式的運算，并且容易看出，知的多項式的運算，并且容易看出，n元多項式的元多項式的運算滿足下列條件：運算滿足下列條件：設設f, g, h都是某一數環都是某一數環R上上n個文字個文字

7、 的多項式，那么的多項式，那么nxxx,21i）hgfhgf（加法的結合律）（加法的結合律）ii)fggf（加法的交換律）（加法的交換律） iii)ghfhfg（乘法的結合律）（乘法的結合律）iv）gffg （乘法的交換律）（乘法的交換律） v）ghfhhgf（分配律）（分配律） 我們把一個數環我們把一個數環R上一切上一切n個文字的多項式個文字的多項式 所成的集合，連同如上定義的加法和乘法叫做所成的集合，連同如上定義的加法和乘法叫做R上上n個文字個文字 的的多項式環多項式環，簡稱，簡稱R上上n元多項元多項式環，記作式環，記作: .nxxx,21nxxx,21nxxxR,21二、二、n元多項式的

8、字典排列法元多項式的字典排列法設設 是數環是數環R上一個不等于零的上一個不等于零的n元多項元多項式式. 設設nxxxf,21（2） ，nknkkxxax21210a（3） nlnllxxbx21210b是是 的兩個不同的項，那么在這兩項對的兩個不同的項，那么在這兩項對應的冪指數的差應的冪指數的差 中，至少有一個不中，至少有一個不等于零等于零.如果在這些差中，第一個不等于零的數是一如果在這些差中，第一個不等于零的數是一個正數，換句話說，如果存在這樣一個個正數，換句話說，如果存在這樣一個 i ,使得使得nxxxf,21nilkii1ni 1iiiilklklk但,1111那么就說，項（那么就說，項

9、（2）大于項（）大于項（3），或者說，項（），或者說，項（3）小于項（小于項（2）.對于對于 的任意兩個不同的任意兩個不同的項，總有一個大于另一個，并且若項（的項，總有一個大于另一個，并且若項（2）大于）大于項（項（3），而項（），而項（3）又大于另外一項）又大于另外一項nxxxf,21（4）02121cxxcxnmnmm那么項（那么項（2）也大于項（）也大于項（4）.這樣，只要把兩項中較這樣，只要把兩項中較大的一項排在前面，多項式大的一項排在前面，多項式 的各項的各項就有了完全確定的次序就有了完全確定的次序.這種排列多項式的項的方法這種排列多項式的項的方法很像字典里字的排列法，所以通常把這種

10、排列法叫很像字典里字的排列法，所以通常把這種排列法叫做做多項式的字典排列法多項式的字典排列法.例如例如nxxxf,2123,42324322133221414321xxxxxxxxxxxxxf就是按字典排列法書寫的一個四元多項式就是按字典排列法書寫的一個四元多項式. 數環數環R上兩個上兩個n元多項式元多項式 與與 的乘積的首項等于這兩個多項式首項的乘積的首項等于這兩個多項式首項的乘積的乘積. 特別，兩個非零多項式的乘積也不等于零特別，兩個非零多項式的乘積也不等于零.nxxxf,21nxxxg,21定理定理 2.9.12.9.1數環數環R上兩個不等于零的上兩個不等于零的n元多項式的乘積的次數等元多項式的乘積的次數等于這兩個多項式次數的和于這兩個多項式次數的和.定理定理 2.9.22.9.2設設 是數環是數環R上一個上一個n元多項式元多項式.如果對如果對于任意于任意 都有都有 ，那，那么么 .nxxxf,21nnRccc,210,21ncccf0,21nxxxf定理定理 2.9.32.9.3三、三、 n n元多項式的有關結論元多項式的有關結論設設 與與 是數環是數環R上上n元多元多項式項式.如果對于任意如果