1、“勻速圓周運動”的典型例題例1如圖所示的傳動裝置中，A、B兩輪同軸轉動.A、B、C三輪的半徑大小的關系是RA=RC=2RB.當皮帶不打滑時，三輪的角速度之比、三輪邊緣的線速度大小之比、三輪邊緣的向心加速度大小之比分別為多少？【分析】皮帶不打滑，表示輪子邊緣在某段時間內轉過的弧長總是跟皮帶移動的距離相等，也就是說，用皮帶直接相連的兩輪邊緣各處的線速度大小相等.根據這個特點，結合線速度、角速度、向心加速度的公式即可得解.【解】由于皮帶不打滑，因此，B、C兩輪邊緣線速度大小相等，設vB=vC=v.由v=3R得兩輪角速度大小的關系BBCC=RC:RB=2：1.因A、B兩輪同軸轉動，角速度相等，即3A=

2、3B,所以A、B、C三輪角速度之比3A：3B：3C=2：2：1.因A輪邊緣的線速度vA=3ARA=23BRB=2vB,所以A、B、C三輪邊緣線速度之比vA：vB：vC=2：1：1.根據向心加速度公式a=co2R,所以A、B、C三輪邊緣向心加速度之比=8：4：2=4：2：1.例2一圓盤可繞一通過圓盤中心O且垂直于盤面的豎直軸轉動.在圓盤上放置一木塊,當圓盤勻速轉動時，木塊隨圓盤一起運動（見圖），那么A.木塊受到圓盤對它的摩擦力，方向背離圓盤中心B,木塊受到圓盤對它的摩擦力，方向指向圓盤中心C.因為木塊隨圓盤一起運動，所以木塊受到圓盤對它的摩擦力，方向與木塊的運動方向相同D.因為摩擦力總是阻礙物體

3、運動，所以木塊所受圓盤對它的摩擦力的方向與木塊的運動方向相反E.因為二者是相對靜止的，圓盤與木塊之間無摩擦力【分析】由于木塊隨圓盤一起作勻速圓周運動，時刻存在著一個沿半徑指向圓心的向心加速度，因此，它必然會受到一個沿半徑指向中心、產生向心加速度的力一一向心力.以木塊為研究對象進行受力分析：在豎直方向受到重力和盤面的支持力，它處于力平衡狀態.在盤面方向，可能受到的力只有來自盤面的摩擦力（靜摩擦力），木塊正是依靠盤面的摩擦力作為向心力使它隨圓盤一起勻速轉動.所以，這個摩擦力的方向必沿半徑指向中心【答】B.【說明】常有些同學認為，靜摩擦力的方向與物體間相對滑動的趨勢方向相反，木塊隨圓盤一起勻速轉動時

4、，時時有沿切線方向飛出的趨勢，因此靜摩擦力的方向應與木塊的這種運動趨勢方向相反，似乎應該選D.這是一種極普遍的錯誤認識，其原因是忘記了研究運動時所相對的參照系.通常說做圓運動的物體有沿線速度方向飛出的趨勢，是指以地球為參照系而言的.而靜摩擦力的方向總是跟相對運動趨勢的方向相反，應該是指相互接觸的兩個相關物體來說的，即是對盤面參照系.也就是說，對站在盤上跟盤一起轉動的觀察者，木塊時刻有沿半徑向外滑出的趨勢，所以，木塊受到盤面的摩擦力方向應該沿半徑指向中心例3在一個水平轉臺上放有A、B、C三個物體，它們跟臺面間的摩擦因數相同.A的質量為2m,B、C各為m.A、B離轉軸均為r,C為2r.則A.若A、

5、B、C三物體隨轉臺一起轉動未發生滑動，A、C的向心加速度比B大B.若A、B、C三物體隨轉臺一起轉動未發生滑動，B所受的靜摩擦力最小C.當轉臺轉速增加時，C最先發生滑動D.當轉臺轉速繼續增加時，A比B先滑動【分析】A、B、C三物體隨轉臺一起轉動時，它們的角速度都等于轉臺的角速度，設為.根據向心加速度的公式an=w2r,已知rA=rBvrC,所以三物體向心加速度的大小關系為aA=aBrA=rB,所以當轉臺的轉速逐漸增加時，物體C最先發生滑動.轉速繼續增加時，物體A、B將同時發生滑動.C正確，D錯.【答】B、C.例4如圖，光滑的水平桌面上釘有兩枚鐵釘A、B,相距L0=0.1m.長L=1m的柔軟細線一

6、端拴在A上，另一端拴住一個質量為500g的小球.小球的初始位置在AB連線上A的一側.把細線拉直，給小球以2m/s的垂直細線方向的水平速度，使它做圓周運動.由于釘子B的存在，使細線逐步纏在A、B上.ABLI若細線能承受的最大張力Tm=7N,則從開始運動到細線斷裂歷時多長?【分析】小球轉動時，由于細線逐步繞在A、B兩釘上，小球的轉動半徑會逐漸變小，但小球轉動的線速度大小保持不變.【解】小球交替地繞A、B作勻速圓周運動，因線速度不變，隨著轉動半徑的減小，線中張力T不斷增大，每轉半圈的時間t不斷減小.在第一個半圓內T1結果的通式（一般表達式）有很重要的意義.對本題，還應該熟練掌握數列求和方法.如果題中

7、的細線始終不會斷裂，有興趣的同學還可計算一下，從小球開始運動到細線完全繞在A、B兩釘子上，共需多少時間？例5如圖（a）所示，在光滑的圓錐頂用長為L的細線懸掛一質量為m的小球，圓錐頂角為2。，當圓錐和球一起以角速度 3 勻速轉動時，球壓緊錐面.此時繩的張力是多少？若在第二個半圓內T,在第三個半圓內心tn(口廣v3兀（L-LJ以（L-2L。）在第口個半圓內或illKL-(n-l)L0令Tn=Tm=7N,得n=8,所以經歷的時間為t=G+g+47T=nL-口+2+3+(n-1)L0)fvJTnL-n(n-1)V3.14,F*82.XSX1-【說明】圓周運動的顯著特點是它的周期性.通過對運動規律的研究

8、，用遞推法則寫出解答要小球離開錐面，則小球的角速度至少為多少？圖【分析】小球在水平面內做勻速圓周運動，由繩子的張力和錐面的支持力兩者的合力提供向心力，在豎直方向則合外力為零。由此根據牛頓第二定律列方程，即可求得解答?！窘狻繉π∏蜻M行受力分析如圖（b）所示，根據牛頓第二定律，向心方向上有T-sin0-N-cos0=mw2ry方向上應有N-sin0+T-cos0-G=0r=Lsin0由、式可得T=mgcos0+mw2Lsin0當小球剛好離開錐面時N=0（臨界條件）則有Tsin0=m32rT-cose-G=0由（4）、（5）式可得=J1后Leosw即小球的角速度至少為Jk【說明】本題是屬于二維的牛頓

9、第二定律問題，解題時，一般可以物體為坐標原點，建立xoy直角坐標，然后沿x軸和y軸兩個方向，列出牛頓第二定律的方程，其中一個方程是向心力和向心加速度的關系，最后解聯立方程即可?！纠?雜技節目中的“水流星”表演，用一根繩子兩端各拴一個盛水的杯子，演員掄起杯子在豎直面上做圓周運動，在最高點杯口朝下，但水不會流下，如下圖所示，這是為什么？【分析】水和杯子一起在豎直面內做圓周運動，需要提供一個向心力。當水杯在最低點時，水做圓周運動的向心力由杯底的支持力提供，當水杯在最高點時，水做圓周運動的向心力由重力和杯底的壓力共同提供。只要做圓周運動的速度足夠快，所需向心力足夠大，水杯在最高點時，水就不會流下來。【

10、解】以杯中之水為研究對象，進行受力分析，根據牛頓第二定律可知：F向心二此時重力G與N的合力充當了向心力，即F商心=G+N+由上式可知寸1，N1,當N=0時，v有最小值為曬.即若使水不掉下來，則水杯在最高點的速度燈必須大于【例7】如下圖所示，自行車和人的總質量為M,在一水平地面運動.若自行車以速度v轉過半徑為R的彎道.（1）求自行車的傾角應多大？（2）自行車所受的地面的摩擦力多大？【分析】騎車拐彎時不摔倒必須將身體向內側傾斜.從圖中可知，當騎車人拐彎而使身體偏離豎直方向a角時，從而使靜摩擦力f與地面支持力N的合力Q通過共同的質心O,合力Q與重力的合力F是維持自行車作勻速圓周運動所需要的向心力.【

11、解】(1)由圖可知，向心力F=Mgtga,由牛頓第二定律有:Q在水平方向的分力，而Q又是水平方向的靜摩擦力f在數值上就等于向心力F,即f=Mgtga例8用長L1=4m和長為L2=3m的兩根細線， 拴一質量m=2kg的小球A,L1和L2的另兩端點分別系在一豎直桿的O1,O2處，已知O1O2=5m如下圖(g=10ms-2)(1)當豎直桿以的角速度 3 勻速轉動時，02A線剛好伸直且不受拉力.求此時角速度co1.(2)當O1A線所受力為100N時，求此時的角速度2.【分析】小球做圓周運動所需的向心力由兩條細線的拉力提供，當小球的運動速度不同時,所受拉力就不同。(2)由圖可知，向心力F可看做合力f和支

12、持力N的合力，所以靜摩擦力w【解】(1)當02A線剛伸直而不受力時，受力如圖所示。則F1cos0=mg由幾何知識知RRR=2.4m0=37代入式1=1.77(rad/s)(2)當O1A受力為100N時，由(1)式F1cos9=100X0.8=80(N)mg由此知02A受拉力F2。則對A受力分析得F1cos0-F2sin0-mg=0F1sin0+F2cos0=mR22由式(4)(5)得FjcosB-mgcosS+耳sin日mR1。0乂0,64-20XQ841R0XQ62,24474(rad/s)【說明】向心力是一種效果力，在本題中02A受力與否決定于物體A做圓周運動時角速度的臨界值.在這種題目中

13、找好臨界值是關鍵.例9一輛實驗小車可沿水平地面(圖中紙面)上的長直軌道勻速向右運動，有一臺發出細由式Q)(2)解得F1sin0=mR12光束的激光器裝在小轉臺M上，到軌道的距離MN為d=10m,如圖所示。轉臺勻速轉動，使激光束在水平面內掃描，掃描一周的時間為T=60s,光束轉動方向如圖箭頭所示。當光束與MN的夾角為45時，光束正好射到小車上，如果再經過t=2.5s光束又射到小車上，則小車的速度為多少？(結果保留二位數字)分析激光器掃描一周的時間T=60s,那么光束在t=2.5s時間內轉過的角度激光束在豎直平面內的勻速轉動，但在水平方向上光點的掃描速度是變化的，這個速度是沿經向方向速度與沿切向方

14、向速度的合速度。當小車正向N點接近時，在t內光束與MN的夾角由45變為30_d口dsu打=/cosy=wZcos=-y-T-u印COSycosf隨著0減小，v掃在減小若45。時，光照在小車上，此時v掃v車時，此后光點將照到車前但v掃Jv車不變，當丫車丫掃時，它們的距離在縮小。解在at內，光束轉過角度AAt仲=亍乂360*=15。如圖，有兩種可能(1)光束照射小車時，小車正在接近N點，At內光束與MN的夾角從45變為30,小車走過L1,速度應為Li由圖可知L1=d(tg45-tg30)八At.伊-X36015由、兩式并代入數值，得v1=1.7m/s（2）光束照到小車時，小車正在遠離N點，t內光束

15、與MN的夾角從45為60,小車走過L2速度為V急由圖可知L2=d(tg60-tg45)由、兩代并代入數值，得v2=2.9m/s說明光點在水平方向的掃描速度是變化的，它是沿經向速度和切向速度的合速度。很多人把它理解為切向速度的分速度，即出=18COS6=3*C03日=d3期cos8則掃描速度不變化，就談不上與小車的“追趕”了，將不可能發生經過一段時間，再照射小車的問題。這一點速度的合成與分解應理解正確。另外光束與MN的夾角為45。時，光束正好射到小車上有兩種情況（見分析）要考慮周全,不要丟解。例10圖所示為測量子彈速度的裝置，一根水平轉軸的端部焊接一個半徑為R的薄壁圓筒（圖為其橫截面），轉軸的轉速是每分鐘n轉，一顆子彈沿圓筒的水平直徑由A點射入圓筒，在圓筒轉過不到半圓時從B點穿出，假設子彈穿壁時速度大小不變，并在飛行中保持水平方向，測量出A、B兩點間的孤長為L,寫出子彈速度的表達式。分析子彈穿過筒壁，子彈與筒壁發生相互作用，既影響筒的轉速，又影響子彈飛行速度，因為這種影響忽略不講，所以測出的子彈速度是近似值，子彈穿過圓筒的時間，可從圓筒的轉