1、高中數學課件(必修一)全冊第一章：集合與函數第二章：基本初等函數第三章：函數的應用第一節：集合第一章：集合與函數二、集合的定義與表示1、通常，我們把研究的對象稱為元素元素，而某些擁有共同特征的元素所組成的總體叫做集合集合。并用花括號括起來，用大寫字母帶表一個集合，其中的元素用逗號分割。2、集合有三個特征：確定性確定性、互異性互異性和無序性無序性。就是根據這三個特征來判斷是否為一個集合。一、請關注我們的生活，會發現1、高一（9）班的全體學生：A=高一（9）班的學生2、中國的直轄市：B=中國的直轄市3、2，4，6，8，10，12，14：C= 2，4，6，8，10，12，144、我國古代的四大發明：

2、D=火藥，印刷術，指南針，造紙術5、2004年雅典奧運會的比賽項目：E=2008年奧運會的球類項目如何用數學的語言描述這些對象？集合的含義與表示討論1：下列對象能構成集合嗎？為什么？1、著名的科學家2、1,2,2,3這四個數字3、我們班上的高個子男生討論2：集合a,b,c,d與b,c,d,a是同一個集合嗎？三、數集的介紹和集合與元素的關系表示1、常見數集的表示N：自然數集（含0）即非負整數集N+或N*：正整數集（不含0)Z: 整數集Q： 有理數集R： 實數集 若一個元素m在集合A中，則說 mA，讀作“元素m屬于集合A”否則，稱為mA,讀作“元素m不屬于集合A。例如：1 N， -5 Z, Q 2

3、、集合與元素的關系（屬于或不屬于 ） 1.5 N四、集合的表示方法1、列舉法就是將集合中的元素一一列舉出來并放在大括號內表示集合的方法注意：1、元素間要用逗號隔開； 2、不管次序放在大括號內。例如：book中的字母組成的集合表示為： ，o，一次函數y=x+3與y=-2x+6的圖像的交點組成的集合。 1,4（1,4）2、描述法就是用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。其一般形式為：注意：1、中間的“|”不能缺失； 2、不要忘記標明xR或者kZ，除非上下文明確表示 。 x | p(x) 例如：book中的字母的集合表示為：A=x|x是 book中的字母所有奇數組成的集合：A=xR|x=2

4、k+1, kZ所有偶數組成的集合：A=xR|x=2k, kZ思考：1、比較這三個集合： A=x Z|x10，B=x R|x10 ， C=x |x03x-6 0例題、不等式組的解集為例題、不等式組的解集為A A，U UR R，試求試求A A及及C CU UA A，并把它們并把它們分別表示在數軸上。分別表示在數軸上。 1、CUA在U中的補集是什么？2、UZ，A=x|x=2k,kZ, B=x|x=2k+1,KZ,則CUA， CUB。思考:練習題個3.D 個2.C 個1.B 個0.A) (其中正確的有.A，則A若(4)集；空集是任何集合的真子(3)集；任何集合至少有兩個子(2)空集沒有子集；(1)、下

5、列命題：1_.的關系是B，A則1,2-x3-y|y)(x,B2,-x3-y|y)(x,A，R,設.2yx.的取值范圍求實數A,B,121|B,52|A已知.3aaxaxxx重點考察對空集的理解！4、設集合A=x|1x3，B=x|x-a0，若A是B的真子集，求實數a的取值范圍。5、設A=1，2，B=x|xA，問A與B有什么關系？并用列舉法寫出B？.的值a，求實數AB若R,a0,1-a1)x2(ax|xB0,4xx|xA、設集合62227、判斷下列表示是否正確:(1)a a; (2) a a,b;(3)a,b b,a; (4)-1,1 -1,0,1(5)0; (6) -1,1. 4、補集與全集集合

6、與集合的運算一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素構成的集合，稱為A與B的交集，記作AB，即 AB=x|xA，且xBAB可用右圖中的陰影部分來表示。UABAB1 1、交集、交集其實，交集用通俗的語言來說，就是找兩個集中中共同存在的元素。例題：1、A=-1,1,2,3,B=-1,-2,1,C=-1,1;2,32,3-2 -2-1,1-1,1A AB BC CABABABBAABAABBAAAAA (5)(4)(3)(2) (1)則,交集的運算性質：交集的運算性質：.的位置關系,的運算表示試用集合,上點的集合為直線,L上的點的集合為設平面內直線 212121llLll. 重合可表示為：,直線(

7、3) ;平行可表示為：,直線(2) ;點可表示為：相交于一點,直線)1(:解2221221221LLLLllLLllPLLPll1111思考題：如何用集合語言描述？思考題：如何用集合語言描述？2 2、并集、并集一般地，由所有屬于集合A或者屬于集合B的所構成的集合，稱為A與B的并集，記作AB，即AB = x|xA，或xBAB可用右圖中的陰影部分來表示UAB其實，并集用通俗的語言來說，就是把兩個集合的元素合并到一起。所以交集是“求同”，并集是存異。例題： 設集合A=x|-1x2,集合B=x|1x3 求AB.解: AB=x|-1x2 x|1x3 =x|-1x3-1123并集的運算性質：并集的運算性質

8、：BBABABABABABBAAABBAAAAAA則 ) 5 (,) 4() 3 () 2() 1 (注意：計算并集和交集的時候盡可能的轉化為圖像，減少犯錯的幾率，常用的圖像有Venn圖，數軸表示法，坐標表示法。尤其是涉及到不等式和坐標點的時候。練習題1、判斷正誤 （1）若U=四邊形，A=梯形， 則CUA=平行四邊形 （2）若U是全集，且AB，則CUACUB （3）若U=1，2，3，A=U，則CUA=2. 設集合A=|2a-1|，2，B=2，3，a2+2a-3，且CBA=5，求實數a的值。3. 已知全集U=1，2，3，4，5，非空集A=xU|x2-5x+q=0，求CUA及q的值。.的值,求,2

9、,5 ,1 ,2且0|,02|、已知422rqpBABArqxxxBpxxxA.并求出,的值求,9已知,9 ,1 ,5,12 ,4、設52BAaBAaaBaaA)10, 3, 1:(rqp解得.的值求實數,若01|,023|、已知622aABAaaxxxBxxxA.的值,求,31|,2|若|,1|12|、設集合7baxxBAxxBAbxaxBxxxxA)3, 1(ba解得第二節：函數第一章：集合與函數函數及其表示一、函數的概念小明從出生開始，每年過生日的時候都會測量一下自己的身高，其測量數據如下：1234567891030405060708090100110120年齡（歲）身高（cm）從以上兩

10、個例子，我們可以把年齡當做一個集合A，身高當做一個集合B；把時間當做一個集合C，把下降高度當做一個集D。那么對于集合A、C中的每一個元素，集合B、D中都有唯一的一個元素與其相對應。比如，對于A的每一個元素“乘以10再加20”，就得到了集合B中的元素。對于集合C中的元素“平方后乘以4.9”就得到集合D中的元素。因此，函數就是表達了兩個變量之間變化關系的一個表達式。其準確定義如下：設A、B是非空的數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：AB為集合A到集合B的一個函數（function），記作y=f(x)，xA

11、。 其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值（因變量），函數值的集合f(x)|x A叫做函數的值域。而對應的關系f則成為對應法則，則上面兩個例子中，對應法則分別是“乘以10再加20”和“平方后乘以4.9”1234567830405060708090100乘以10再加2011.52356784.9？平方后乘以4.9二、映射 通過上面的兩個例子，我們說明了什么是函數，上面的兩個例子都是研究的數值的情況，那么進一步擴展，如果集合A和集合B不是數值，而是其他類型的集合，則這種對應關系就稱為映射。具體定義如下： 設A、B是兩個非空的集合，如果按照某一個確定的對應

12、關系f，使對于集合A中的任何一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素唯一確定的元素y與之相對應，那么就稱對應f：AB為集合A到集合B的一個映射。國家首都中國美國韓國日本北京華盛頓首爾東京因此，函數是映射的一種特殊形式三、函數的三種表示方法解析法，圖像法，列表法。詳見課本P19頁。四、開區間、閉區間和半開半閉區間實數R的區間可以表示為（- ,+ ）深入理解函數表示方法的解析法五、著重強調的幾個問題及考試陷阱1、函數是高中數學乃至大學數學中最為重要的組成部分，大部分的章節都會與函數進行穿插出題。2、不管是映射還是函數，都是唯一確定的對應，即對于A中的元素有且僅有一個B中的元素與其相對應。深入的理解

13、這句話就可以得到：可以多對一，而不能一對多。1-12-214平方49-23開方2-3 3、分母不能等于零，二次根號下不能為負數，分子分母的未知數不能隨便約，根號不能隨便去掉，都是求定義域的典型考點。詳見課本例題。4、判定兩個函數相同的條件：一是對應法則相同，二是定義域和值域相同。 .,這里,2;,0,21:函數、判斷下列對應是否為12RyNxxyyxRxxxx2、下列幾種說法中，不正確的有：_A、在函數值域中的每一個數，在定義域中都至少有一個數與之對應；B、函數的定義域和值域一定是無限集合；C、定義域和對應關系確定后，函數的值域也就確定；D、若函數的定義域只含有一個元素，則值域也只含有一個元素

14、。E、若函數的值域只含有一個元素，則定義域也只含有一個元素。練習題 .112;11:、求下列函數的定義域3xxgxxf .112;3 ,2,1 ,0,1,11122xxfxxxf4、求下列函數的值域5、判斷下列各組函數是否表示同一函數？11)2(111)1(22xyxyxyxxy與、與、2032211()322( 2 )()43(1 )( 3 )()9fxxfxxxxfxxxx、 求 下 列 函 數 的 定 義 域（）64)2(21)1(、求下列函數的值域：22xxyxy函數的基本性質單調性 那么就說在f(x)這個區間上是單調減函數，I稱為f(x)的單調 減 區間.xOyx1x2f(x1)f(

15、x2)設函數y=f(x)的定義域為A,區間I A. 如果對于屬于定義域A內某個區間I上的任意兩個自變量的值x1,x2，設函數y=f(x)的定義域為A,區間I A. 如果對于屬于定義域A內某個區間I上的任意兩個自變量的值x1,x2， 那么就說在f(x)這個區間上是單調增 函數，I稱為f(x)的單調增區間.當x1x2時，都有f(x1 ) f(x2 )，當x1單調區間Oxyx1x2f(x1)f(x2)二、函數單調性考察的主要問題3、證明一個函數具有單調性的證明方法：從定義出發，設定任意的兩個x1和x2，且x2x1，通過計算f(x2)f(x1)0或者0恒成立。里面通常都是用因式分解的辦法，把f(x2)

16、f(x1)轉化成（x2-x1）的表達式。最后判斷f(x2)f(x1)是大于0還是小于0。2、x 1, x 2 取值的任意性.xx1x2Iyf(x1)f(x2)OMN例1、下圖為函數y=f(x), x-4,7 的圖像，指出它的單調區間。-1.5，3，5，6-4，-1.5，3，5，6，7解：單調增區間為單調減區間為123-2-3-2-11234567 xo-4-1y-1.5例2.畫出下列函數圖像，并寫出單調區間：1(1)(0);yxxx1yxy1yx的單調減區間是_ (,0)(0,),討論1：根據函數單調性的定義，1(0)(,0)(0,)yxx能不能說在定義域上是單調減函數?討論2：在(-，0）和

17、（0，+)上 的單調性？( )(0)kf xkx例3.判斷函數 在定義域1，+）上的單調性，并給出證明：1yxx1. 任取x1，x2D，且x1x2；2. 作差f(x1)f(x2)；3. 變形（通常是因式分解和配方）；4. 定號（即判斷差f(x1)f(x2)的正負）；5. 下結論主要步驟證明：在區間1，+）上任取兩個值x1和x2，且x10ab=0ab0=00 x=-b2axy0a0 xy0a0=00四、平移問題對一個已知函數進行平移，如函數的表達式可以統一表示為y=f(x)，則平移后的方程遵循右上減，左下加的原則，具體如下：向右平移k個單位，則平移后的表達式為y=f(x-k)；向左平移k個單位，

18、則平移后的表達式為y=f(x+k)；向上平移h個單位，則平移后的表達式為y-h=f(x)；想下平移h個單位，則平移后的表達式為y+h=f(x);如果在橫向和縱向上都有移動，則同時根據上述原則變化y和f(x)，各變各的，再進行整理。如：向左平移k個單位，向上平移h個單位，則平移后的表達式為y-h=f(x+k)注意：1、在替換的時候要替換所有的，尤其是x，替換時候最好帶上括號，避免出錯。2、平移的先后次序不影響平移結果，即無所謂先向左右，還是先向上下。只要是向坐標軸的正向移動，就用負號，只要是向坐標軸的負向移動就用正號。(3)連線畫對稱軸確定頂點確定與坐標軸的交點及對稱點0 xyx=-1M(-1,

19、-2)A(-3,0)B(1,0)D(5)當x-1時，y隨x的增大而減小;當x=-1時，y有最小值為y最小值=-2由圖象可知(6)當x1時，y0當-3x1時，y01.拋物線 的頂點坐標是( ).(A)(-1,-3) (B)(1,3) (C)(-1,8) (D)(1,-8)312xxy2.在同一直角坐標系中，拋物線 與坐標軸的交點個數是( )(A)0個 (B)1個 (C)2個 (D)3個 542xxy3.已知二次函數的圖象如圖所示，則有（） () a0,b0,c0 () a0,b0,c0 (C) a0,b0,c0 (D) a0,b0,c0四、鞏固練習4、二次函數y=x2-x-6的圖象頂點坐標是_對

20、稱軸是_。5、拋物線y=-2x2+4x與x軸的交點坐標是_6、已知函數y=x2-x-4，當函數值y隨x的增大而減小時，x的取值范圍是_7、二次函數y=mx2-3x+2m-m2的圖象經過原點，則m= _。8、二次函數的圖象如圖所示，則在下列各不等式中成立的個數是_1-10 xyabc0 a+b+c b2a+b=0 =b-4ac 09、二次函數f(x)滿足f(3+x)=f(3-x)且f(x)=0有兩個實根x1,x2，則x1+x2等于_.10、數f(x)=2x2-mx+3，當x(-,-1時是減函數，當x(-1,+)時是增函數，則f(2)= _. 11、關于x的方程x2+(a2-1)x+(a-2)=0

21、的一根比1大，另一根比1小，則有( ) (A)-1a1 (B)a-2或a1(C)-2a1 (D)a-1或a212、設x,y是關于m的方程m2-2am+a+6=0的兩個實根，則(x-1)2+(y-1)2的最小值是( C ) (A)-12 (B)18 (C)8 (D)34 13、設函數f(x)=|x|x+bx+c，給出下列命題： b=0,c0時，f(x)=0只有一個實數根； c=0時，y=f(x)是奇函數； y=f(x)的圖象關于點(0，c)對稱； 方程f(x)=0至多有2個實數根. 上述命題中的所有正確命題序號是_函數的基本性質奇偶性1、已知函數f(x)=x2,求f(-2),f(2), f(-1

22、),f(1),及f(-x) ,并畫出它的圖象。解:f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1f(-x)=(-x)2=x2xyo( x,y)(-x,y)f(-x)f(x)-xxf(-2)=f(2)f(-1)=f(1)f(-x)=f(x)說明:當自變量任取定義域中的兩個相反數時,對應的函數值相等即f(-x)=f(x)如果對于f(x)定義域內的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么函數f(x)就叫偶函數. 偶函數定義偶函數定義:2.已知f(x)=x3,畫出它的圖象,并求出f(-2)，f(2)，f(-1)，f(1)及f(-x)解解:f(-2)=(-2)3=-8

23、 f (2)=8f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1 f(-x)=(-x)3=-x3xyo-xxf(-x)f(x)(-x,-y)(x,y)f(-2)= - f(2)f(-1)= - f(1)f(-x)= - f(x)說明:當自變量任取定義域中的兩個相反數時,對應的函數值也互為相反數,即f(-x)=-f(x)奇函數定義:如果對于f(x)定義域內的任意一個x,都有f(-x)=-f(x),那么函數f(x)就叫奇函數.對奇函數、偶函數定義的說明:（1）定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件。如， f(x)=x2 (x0)是偶函數嗎Ox-b,-aa,b（2）奇、偶函數定義的逆命題也成立，即：

24、 若f(x)為偶函數, 則f(-x)= f(x) 成立。 若f(x)為奇函數, 則f(-x)=f(x)成立。（3） 如果一個函數f(x)是奇函數或偶函數,那么我們就說函 數f(x) 具有奇偶性。例1.判斷下列函數的奇偶性解:定義域為Rf(-x)=(-x)3+2(-x)= -x3-2x= -(x3+2x)即 f(-x)= - f(x)f(x)為奇函數解:定義域為R f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2即 f(-x)= f(x)f(x)為偶函數(1)f(x)=x3+2x(2)f(x)=2x4+3x2（2）奇函數的圖象關于原點對稱. 反過來,如果一個函數的圖象關于原點對稱, 那么這

25、個函數為奇函數.（1）偶函數的圖象關于y軸對稱. 反過來,如果一個函數的圖象關于y軸對稱, 那么這個函數為偶函數.注：奇偶函數圖象的性質可用于： .簡化函數圖象的畫法。 .判斷函數的奇偶性。奇偶函數圖象的性質:兩個定義: 對于f(x)定義域內的任意一個x , 如果都有f(-x)=-f(x) f(x)為奇函數。 如果都有f(-x)= f(x) f(x)為偶函數。兩個性質:一個函數為奇函數 它的圖象關于原點對稱。一個函數為偶函數 它的圖象關于y 軸對稱。(2) f(x)= - x2 +1(3). f(x)=5 (4) f(x)=0練習題 (5). f(x)=x+1 (6). f(x)=x2 x-

26、1 , 3第二章：基本初等函數第一節：指數函數指數與指數冪的運算根式探究a，a0a，a0分數指數冪指數運算法則結合具體的理解進行記憶引例1：某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，. 1個這樣的細胞分裂 x 次后，得到的細胞個數 y 與 x 的函數關系是什么？分裂次數：1，2，3，4，x細胞個數：2，4，8，16，y由上面的對應關系可知，函數關系是xy2引例2：某種商品的價格從今年起每年降低15%，設原來的價格為1，x年后的價格為y，則y與x的函數關系式為 xy85. 0我們把這種自變量在指數位置上而底數是一個大于0且不等于1的常量的函數叫做指數函數.即：，其中x是自變量，函數定義域

27、是R) 10(aaayx且定義指數函數及其性質探究1：為什么要規定a0,且a1呢？若a=0，則當x0時，=0；當x0時，無意義.若a0且a1在規定以后，對于任何xR，都有意義，且0.因此指數函數的定義域是R，值域是(0,+).xaxaxax)2(4121xaxa引例：x-3-2-1-0.500.51230.130.250.50.7111.42488421.410.710.50.250.13x-1.5-1-0.5-0.2500.250.511.50.030.10.320.5611.783.161031.6231.62103.161.7810.560.320.10.03 14 12 10 8 6

28、4 2 -2 -10 -5 5 10?a=?1?10?a=10?a=?1?2?a=2例題講解：課本P56、57中的例6、例7和例8課堂練習：課本P58的練習1、2進一步拓展進一步拓展復合函數求單調區間綜合練習課本P59頁習題2.1第二章：基本初等函數第二節：對數函數對數及其運算前節內容回顧：引導：定義：?底數?對數?真數?冪?指數?底數?log?a?Nb?a?b?=NXxXx兩種特殊的底：10和e探究：結論： 負數和零沒有對數。練習：課本P64頁對數運算法則探究：換底公式的證明與應用例題講解：課堂練習：1、課本P65頁，例2例6：1、課本P68頁對數函數及其性質我們研究指數函數時，曾討論過細胞

29、分裂問題，某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個1個這樣的細胞分裂成x次后，得到細胞個數y是分裂次數x的函數，這個函數可以用指數函數_表示。反過來，1個細胞經過多少次分裂，大約可以等于1萬個、10萬個細胞？已知細胞個數y，如何求分裂次數x？得到怎樣一個新的函數？124y=2xyx=?22loglogxyyx 復習引入復習引入y=2x,xN1、對數函數的定義：2、指數函數與對數函數兩者圖像之間的關系x-3-2-1-0.500.51230.130.250.50.7111.4248x0.130.250.50.7111.4248-3-2-1-0.500.5123-1XYO1122334455

30、67Y=log2xY=xY=2x-1 圖 象 性 質a a 1 1 0 0 a a 1 1定義域定義域 : : 值值 域域 : :過定點：過定點：在在 ( 0 ,+)( 0 ,+)上上 是是 函數函數 在在 ( 0 ,+)( 0 ,+)上上是是 函數函數y yx x0 0 x1y=logy=loga ax x(a (a1) 1)y yx x0 0y=logy=loga ax x(0 (0a a1) 1)(1,0)(1,0)(1,0)(1,0)( 0 ,+)( 0 ,+)R R( 1 , 0 )( 1 , 0 )增增減減 例1：求下列函數的定義域：（1） ； （2） ； （3） 2log xya

31、)4(logxya)9(log2xya反函數1、定義：2、求法：已知某個函數的表達式，y=f(x)，求其反函數的方法和步驟如下：（1）通過表達式y=f(x)，把函數表示成x=g(y)的形式（2）把求得的x=g(y)的位置對調，即y=g(x)的形式3、注意：只有是嚴格一一對應的函數才能求其反函數，即存在多對一的情況的函數是沒有反函數的。有反函數不一定有單調性，如y=1/x？練習課本P73,74頁第二章：基本初等函數第三節：冪函數冪函數定義注意：第三章：函數的應用第一節：函數與方程要點梳理要點梳理1.1.函數的零點函數的零點（1 1）函數零點的定義）函數零點的定義 對于函數對于函數y= =f( (

32、x)()(xD),),把使把使_成立的實數成立的實數x叫叫 做函數做函數y= =f( (x)()(xD) )的零點的零點. .f( (x)=0)=0基礎知識基礎知識 自主學習自主學習（2 2）幾個等價關系）幾個等價關系 方程方程f( (x)=0)=0有實數根有實數根 函數函數y= =f( (x) )的圖象與的圖象與_有有 交點交點 函數函數y= =f( (x) )有有_._.(3)(3)函數零點的判定（零點存在性定理）函數零點的判定（零點存在性定理） 如果函數如果函數y= =f( (x) )在區間在區間a，b上的圖象是連續不上的圖象是連續不 斷的一條曲線，并且有斷的一條曲線，并且有_,_,那么

33、函那么函 數數y= =f( (x) )在區間在區間_內有零點內有零點, ,即存在即存在c(a, ,b),), 使得使得_，這個，這個_也就是也就是f( (x)=0)=0的根的根. . f（a）f（b）00)0)的圖象與零點的關系的圖象與零點的關系00=0=000)0)的圖的圖象象與與x軸的交軸的交點點_無交點無交點零點個數零點個數_( (x1 1,0),0),( (x2 2,0),0)( (x1 1,0),0)無無一個一個兩個兩個3.3.二分法二分法 （1 1）二分法的定義）二分法的定義 對于在區間對于在區間a，b上連續不斷且上連續不斷且_的的 函數函數y= =f( (x) )，通過不斷地把函

34、數，通過不斷地把函數f( (x) )的零點所在的區的零點所在的區 間間_,_,使區間的兩個端點逐步逼近使區間的兩個端點逐步逼近_,_,進進 而得到零點近似值的方法叫做二分法而得到零點近似值的方法叫做二分法. .（2 2）用二分法求函數）用二分法求函數f( (x) )零點近似值的步驟零點近似值的步驟 第一步，確定區間第一步，確定區間a，b，驗證，驗證_,_, 給定精確度給定精確度 ； 第二步，求區間（第二步，求區間（a，b）的中點）的中點x1 1； f( (a)f( (b)0)0一分為二一分為二零點零點f( (a)f( (b)0)0第三步，計算第三步，計算_：若若_，則，則x1 1就是函數的零點

35、；就是函數的零點；若若_，則令，則令b= =x1 1( (此時零點此時零點x0 0(a, ,x1 1););若若_，則令，則令a= =x1 1( (此時零點此時零點x0 0(x1 1, ,b););第四步，判斷是否達到精確度第四步，判斷是否達到精確度 ：即若：即若| |a- -b| ,| ,則則得到零點近似值得到零點近似值a（或（或b）; ;否則重復第二、三、四步否則重復第二、三、四步. . f( (x1 1) )f( (a)f( (x1 1)0)0f( (x1 1)f( (b)0)0f( (x1 1)=0)=0基礎自測基礎自測1.1.若函數若函數f( (x)=)=ax+ +b有一個零點為有一

36、個零點為2,2,則則g( (x)=)=bx2 2- -ax的的 零點是零點是 （ ） A.0A.0，2 B.02 B.0， C.0C.0， D.2, D.2, 解析解析 由由f(2)=2(2)=2a+ +b=0,=0,得得b=-2=-2a, , g( (x)=-2)=-2ax2 2- -ax=-=-ax(2(2x+1).+1). 令令g( (x)=0)=0，得，得x=0,=0,x= = g（x）的零點為）的零點為0 0， 212121,21.21C2.2.函數函數f( (x)=3)=3ax-2-2a+1+1在在-1-1，1 1上存在一個零點，上存在一個零點， 則則a的取值范圍是的取值范圍是 （

37、 ） A. B.A. B.a11 C. D. C. D. 解析解析 f( (x)=3)=3ax-2-2a+1+1在在-1-1，11上存在一個零點，上存在一個零點， 則則f(-1)(-1)f(1)0,(1)0,即即51a511a151aa或. 151aa或D3.3.函數圖象與函數圖象與x軸均有公共點，但不能用二分法求公軸均有公共點，但不能用二分法求公 共點橫坐標的是共點橫坐標的是 （ ） 解析解析 圖圖B B不存在包含公共點的閉區間不存在包含公共點的閉區間a，b使函使函 數數f（a）f（b）0. 0. B 4.4.下列函數中在區間下列函數中在區間1,21,2上一定有零點的是（上一定有零點的是（

38、） A.A.f( (x)=3)=3x2 2-4-4x+5+5 B. B.f( (x)=)=x3 3-5-5x-5-5 C. C.f( (x)=)=mx2 2-3-3x+6+6 D. D.f( (x)=e)=ex+3+3x-6-6 解析解析 對選項對選項D D，f（1 1）=e-30=e-300， f（1 1）f（2 2）0. 0. D5.5.設函數設函數 則函數則函數f( (x)- )- 的零點是的零點是_._. 解析解析 當當x11時，時， 當當x11時，時， ( (舍去大于舍去大于1 1的根的根).). 的零點為的零點為 ,) 1 ,(2), 1 22)(2xxxxxxf41, 04122

39、, 041)(xxf即, 0412, 041)(2xxxf即.89x252x41)(xf.252,89252,89 題型一題型一 零點的判斷零點的判斷【例例1 1】判斷下列函數在給定區間上是否存在零點判斷下列函數在給定區間上是否存在零點. . (1) (1)f（x）= =x2 2-3-3x-18-18，x1 1，8 8； (2)(2)f（x）=log=log2 2( (x+2)-+2)-x，x1 1，3 3. . 第（第（1 1）問利用零點的存在性定理或）問利用零點的存在性定理或 直接求出零點，第（直接求出零點，第（2 2）問利用零點的存在性定理）問利用零點的存在性定理 或利用兩圖象的交點來求

40、解或利用兩圖象的交點來求解. . 思維啟迪思維啟迪題型分類題型分類 深度剖析深度剖析解解 （1 1）方法一方法一f（1 1）=1=12 2-3-31-18=-2001-18=-2008-18=220，f(1) (1) f(8)0(8)log3-1log2 22-1=0,2-1=0, f(3)=log(3)=log2 25-3log5-3log2 28-3=0,8-3=0,f（1 1） f（3 3）00，故故f( (x)=log)=log2 2( (x+2)-+2)-x, ,x11，33存在零點存在零點. .方法二方法二 設設y=log=log2 2( (x+2),+2),y= =x, ,在同一

41、直角坐標系在同一直角坐標系中畫出它們的圖象，中畫出它們的圖象，從圖象中可以看出當從圖象中可以看出當11x33時，時，兩圖象有一個交點，兩圖象有一個交點，因此因此f( (x)=log)=log2 2( (x+2)-+2)-x, ,x11，33存在零點存在零點. . 函數的零點存在性問題常用的辦法函數的零點存在性問題常用的辦法有三種有三種: :一是用定理，二是解方程一是用定理，二是解方程, ,三是用圖象三是用圖象. .值得值得說明的是，零點存在性定理是充分條件，而并非是說明的是，零點存在性定理是充分條件，而并非是必要條件必要條件. . 探究提高探究提高知能遷移知能遷移1 1 判斷下列函數在給定區間

42、上是否存判斷下列函數在給定區間上是否存 在零點在零點. .（1 1）f( (x)=)=x3 3+1;+1;（2 2） x（0 0，1 1）. . 解解 （1 1）f( (x)=)=x3 3+1=(+1=(x+1)(+1)(x2 2- -x+1),+1), 令令f( (x)=0)=0，即，即( (x+1)(+1)(x2 2- -x+1)=0,+1)=0,x=-1,=-1, f( (x)=)=x3 3+1+1有零點有零點-1.-1.（2 2）方法一方法一 令令f( (x)=0)=0， x= =1, 1, 而而1 1 (0,1),(0,1), x(0,1)(0,1)不存在零點不存在零點. . ,1)

43、(xxxf, 01, 012xxxx得,1)(xxxf方法二方法二 令令 y= =x, ,在同一平面直角坐標系中，在同一平面直角坐標系中， 作出它們的圖象作出它們的圖象, ,從圖中可以看出當從圖中可以看出當00 x11),1),判斷判斷 f( (x)=0)=0的根的個數的根的個數. . 解解 設設f1 1( (x)=)=ax ( (a1),1),f2 2( (x)=)= 則則f( (x)=0)=0的解即為的解即為 f1 1( (x)=)=f2 2( (x) )的解的解, ,即為函數即為函數f1 1( (x) ) 與與f2 2( (x) )圖象交點的橫坐標圖象交點的橫坐標. . 在同一坐標系中，

44、作出函數在同一坐標系中，作出函數 f1 1( (x)=)=ax ( (a1)1)與與f2 2( (x)= )= 的圖象的圖象( (如如 圖所示）圖所示）. . 兩函數圖象有且只有一個交點，即方程兩函數圖象有且只有一個交點，即方程f( (x)=0)=0有且有且 只有一個根只有一個根. . 12)(xxaxfx,12xx11312xxx題型三題型三 零點性質的應用零點性質的應用 【例例3 3】(12(12分分) )已知函數已知函數f( (x)=-)=-x2 2+2e+2ex+ +m-1,-1,g( (x)=)=x+ + ( (x0).0). (1) (1)若若g( (x)=)=m有零點，求有零點，

45、求m的取值范圍；的取值范圍； (2)(2)確定確定m的取值范圍，使得的取值范圍，使得g( (x)-)-f( (x)=0)=0有兩個有兩個 相異實根相異實根. . （1 1）可結合圖象也可解方程求之）可結合圖象也可解方程求之. .（2 2）利用圖象求解）利用圖象求解. .思維啟迪思維啟迪x2e解解 （1 1）方法一方法一 等號成立的條件是等號成立的條件是x=e.=e.故故g( (x) )的值域是的值域是2e2e，+)+)， 4 4分分因而只需因而只需m2e2e，則，則 g( (x)=)=m就就有零點有零點. 6. 6分分方法二方法二 作出作出 的圖象如圖：的圖象如圖： 4 4分分 可知若使可知若

46、使g( (x)=)=m有零點，則只需有零點，則只需m2e. 62e. 6分分e,2e2e)(22xxxgxxxg2e)(方法三方法三 解方程由解方程由g（x）= =m，得，得x2 2- -mx+e+e2 2=0. =0. 此方程有大于零的根，此方程有大于零的根， 4 4分分等價于等價于 故故m2e. 62e. 6分分(2)(2)若若g( (x)-)-f( (x)=0)=0有兩個相異的實根，有兩個相異的實根，即即g（x）= =f（x）中函數）中函數g（x）與）與f（x）的圖象有兩個）的圖象有兩個不同的交點，不同的交點，0e40222mm故,e2e20mmm或作出作出 （x00）的圖象）的圖象.

47、. f（x）=-=-x2 2+2e+2ex+ +m-1-1=-(=-(x-e)-e)2 2+ +m-1+e-1+e2 2. .其對稱軸為其對稱軸為x=e=e，開口向下，開口向下，最大值為最大值為m-1+e-1+e2 2. 10. 10分分故當故當m-1+e-1+e2 22e,2e,即即m-e-e2 2+2e+1+2e+1時，時，g( (x) )與與f( (x) )有兩個交點，有兩個交點，即即g( (x)-)-f( (x)=0)=0有兩個相異實根有兩個相異實根. .m的取值范圍是（的取值范圍是（-e-e2 2+2e+1,+). 12+2e+1,+). 12分分xxxg2e)( 此類利用零點求參數

48、的范圍的問題，可此類利用零點求參數的范圍的問題，可 利用方程，但有時不易甚至不可能解出，而轉化為構利用方程，但有時不易甚至不可能解出，而轉化為構造兩函數圖象求解造兩函數圖象求解, ,使得問題簡單明了使得問題簡單明了. .這也體現了這也體現了當不是求零點，而是利用零點的個數，或有零點時求當不是求零點，而是利用零點的個數，或有零點時求參數的范圍，一般采用數形結合法求解參數的范圍，一般采用數形結合法求解. . 探究提高探究提高知能遷移知能遷移3 3 是否存在這樣的實數是否存在這樣的實數a, ,使函數使函數f( (x)=)=x2 2+ + (3 (3a-2)-2)x+ +a-1-1在區間在區間-1,3

49、-1,3上與上與x軸恒有一個零點軸恒有一個零點, , 且只有一個零點且只有一個零點. .若存在若存在, ,求出范圍求出范圍, ,若不存在若不存在, ,說說 明理由明理由. . 解解 =(3=(3a-2)-2)2 2-4(-4(a-1)0-1)0 若實數若實數a滿足條件滿足條件, ,則只需則只需f(-1)(-1)f(3)0(3)0即可即可. . f(-1)(-1)f(3)=(1-3(3)=(1-3a+2+2+a-1)(9+9-1)(9+9a-6+-6+a-1)-1) =4(1- =4(1-a)(5)(5a+1)0.+1)0. 所以所以a 或或a1. 1. 51 檢驗檢驗:(1):(1)當當f(-

50、1)=0(-1)=0時，時，a=1.=1.所以所以f( (x)=)=x2 2+ +x. .令令f( (x)=0)=0，即，即x2 2+ +x=0=0，得，得x=0=0或或x=-1.=-1.方程在方程在-1,3-1,3上有兩根，不合題意，故上有兩根，不合題意，故a1.1.(2)(2)當當f(3)=0(3)=0時，時，a= = 解之得解之得x= = 或或x=3.=3.方程在方程在-1,3-1,3上有兩根上有兩根, ,不合題意不合題意, ,故故a綜上所述綜上所述, ,a 1. 1. ,51 ,)(.)(05651305651322 xxxfxxxf即即令令此此時時52 51 51 1.1.函數零點的

51、判定常用的方法有：零點存在性定函數零點的判定常用的方法有：零點存在性定 理；數形結合；解方程理；數形結合；解方程f（x）=0.=0.2.2.研究方程研究方程f( (x)=)=g( (x) )的解，實質就是研究的解，實質就是研究G( (x)=)= f（x）- -g（x）的零點）的零點. .3.3.二分法是求方程的根的近似值的一種計算方法二分法是求方程的根的近似值的一種計算方法. .其其 實質是通過不斷地實質是通過不斷地“取中點取中點”來逐步縮小零點所在來逐步縮小零點所在 的范圍，當達到一定的精確度要求時，所得區間的的范圍，當達到一定的精確度要求時，所得區間的 任一點就是這個函數零點的近似值任一點

52、就是這個函數零點的近似值. . 方法與技巧方法與技巧思想方法思想方法 感悟提高感悟提高1.1.對于函數對于函數y= =f( (x)()(xD),),我們把使我們把使f( (x)=0)=0的實數的實數x叫叫 做函數的零點做函數的零點, ,注意以下幾點注意以下幾點: : (1) (1)函數的零點是一個實數函數的零點是一個實數, ,當函數的自變量取這個當函數的自變量取這個 實數時實數時, ,其函數值等于零其函數值等于零. . (2) (2)函數的零點也就是函數函數的零點也就是函數y= =f( (x) )的圖象與的圖象與x軸的交點軸的交點 的橫坐標的橫坐標. . (3) (3)一般我們只討論函數的實數

53、零點一般我們只討論函數的實數零點. . (4) (4)函數的零點不是點函數的零點不是點, ,是方程是方程f( (x)=0)=0的根的根. . 失誤與防范失誤與防范2.2.對函數零點存在的判斷中對函數零點存在的判斷中, ,必須強調必須強調: :(1)(1)f( (x) )在在a, ,b上連續上連續; ;(2)(2)f( (a)f( (b)0;)0=10， f（-1-1）f（0 0）00),0), 則則y= =f( (x) ) （ ） A.A.在區間在區間 (1,e)(1,e)內均有零點內均有零點 B.B.在區間在區間 (1,e)(1,e)內均無零點內均無零點 C.C.在區間在區間 內有零點，在區

54、間內有零點，在區間(1,e)(1,e)內無零點內無零點 D.D.在區間在區間 內無零點內無零點, ,在區間在區間(1,e)(1,e)內有零點內有零點 xxxfln31)(),1 ,e1(),1 ,e1() 1 ,e1() 1 ,e1(解析解析 因為因為因此因此f( (x) )在在 內無零點內無零點. .因此因此f( (x) )在在(1(1，e)e)內有零點內有零點. .答案答案 D D ) 1 ,e1(, 0) 1e31(31) 1ln31()e1lne131() 1 ()e1(ff. 093ee)lne31() 1ln131(e) 1 ( ff又3.3.（20092009福建文，福建文，11

55、11）若函數若函數f（x）的零點與）的零點與 g( (x)=4)=4x+2+2x-2-2的零點之差的絕對值不超過的零點之差的絕對值不超過0.250.25，則，則 f( (x) )可以是可以是 （ ） A.A.f( (x)=4)=4x-1 B.-1 B.f( (x)=()=(x-1)-1)2 2 C. C.f( (x)=e)=ex-1 D. -1 D. 解析解析 g( (x)=4)=4x+2+2x-2-2在在R R上連續且上連續且 設設g( (x)=4)=4x+2+2x-2-2的零點為的零點為x0 0, ,則則 )21ln()(xxf. 01212)21(, 02322212)41(gg,214

56、10 x又又f( (x)=4)=4x-1-1零點為零點為 f( (x)=()=(x-1)-1)2 2零點為零點為x=1;=1; f( (x)=e)=ex-1-1零點為零點為x=0;=0; 零點為零點為答案答案 A A .41|41|,4141000 xx;41x)21ln()(xxf.23x 4.4.方程方程| |x2 2-2-2x|=|=a2 2+1(+1(aR R+ +) )的解的個數是的解的個數是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4A.1 B.2 C.3 D.4 解析解析 aR R+ +，a2 2+11.+11. 而而y=|=|x2 2-2-2x| |的圖象如圖，的圖象如圖， y=|

57、=|x2 2-2-2x| |的圖象與的圖象與y= =a2 2+1+1 的圖象總有兩個交點的圖象總有兩個交點. . 方程有兩解方程有兩解. . B5.5.方程方程| |x|(|(x-1)-1)-k=0=0有三個不相等的實根，則有三個不相等的實根，則k的取的取 值范圍是值范圍是 （ ） A. B. A. B. C. D. C. D. 解析解析 本題研究方程根的個數問題本題研究方程根的個數問題, ,此類問題首選此類問題首選 的方法是圖象法即構造函數利用函數圖象解題的方法是圖象法即構造函數利用函數圖象解題, ,其其 次是直接求出所有的根次是直接求出所有的根. .本題顯然考慮第一種方法本題顯然考慮第一種

58、方法. .)0 ,41()41, 0(),41()41,(如圖，作出函數如圖，作出函數y=|=|x|(|(x-1)-1)的的圖象，由圖象知當圖象，由圖象知當k 時，時，函數函數y= =k與與y=|=|x|(|(x-1)-1)有有3 3個不同的個不同的交點，即方程有交點，即方程有3 3個實根個實根. . 答案答案 A A)0 ,41(6.6.設設f( (x)=)=x3 3+ +bx+ +c ( (b0)(-10)(-1x1),1),且且 則方程則方程f( (x)=0)=0在在-1,1-1,1內內( ) ( ) A. A.可能有可能有3 3個實數根個實數根 B.B.可能有可能有2 2個實數根個實數

59、根 C.C.有唯一的實數根有唯一的實數根 D.D.沒有實數根沒有實數根 解析解析 f（x）= =x3 3+ +bx+ +c （b00），）， f(x)=3)=3x2 2+ +b0,0,f（x）在）在-1,1-1,1上為增函數上為增函數, , 又又 f（x）在）在 內存在唯一零點內存在唯一零點. . , 0)21()21(ff, 0)21()21(ff)21,21(C二、填空題二、填空題7.7.若函數若函數f( (x)=)=x2 2- -ax- -b的兩個零點是的兩個零點是2 2和和3 3，則函數，則函數 g( (x)=)=bx2 2- -ax-1-1的零點是的零點是_._. 解析解析 g（x）=-6=-6x2 2-5-5x-1-1的零點為的零點為 .65, 033, 02222bababa得由.31,2131,218.8.若函數若函數f( (x)=)=x2 2+ +ax+ +b的兩個零點是的兩個零點是-2-2和和3,3,則不等式則不等式 af(-2(-2x)0)0的解集是的解集是_._. 解析解析 f（x）= =x2 2+ +ax+ +b的兩個零點是的兩個零點是-2-2，3. 3. -2 -2，3 3是方程是方程x2 2+