1、第三章第三章 流體運動學流體運動學 3.13.1流動描述流動描述 3.23.2描述描述 流體運動的基本概念流體運動的基本概念 3.33.3流體運動的連續性方程流體運動的連續性方程 3.43.4流體微團運動分析流體微團運動分析本章要點本章要點: : 熟練掌握熟練掌握恒定流與非恒定流、均勻與非均勻流、恒定流與非恒定流、均勻與非均勻流、過流斷面和流量等基本概念；過流斷面和流量等基本概念；掌握掌握連續性微分方程、連續性微分方程、一維連續性方程、流體微團的運動分析；一維連續性方程、流體微團的運動分析；理解理解流管、流管、元流、總流、流線、跡線、一維流和二維流及三維流、元流、總流、流線、跡線、一維流和二維

2、流及三維流、有壓流動和無壓流動等基本概念；有壓流動和無壓流動等基本概念；了解了解描述流體運動描述流體運動的拉格朗日法、歐拉法。的拉格朗日法、歐拉法。3.13.1流動描述流動描述 流體運動學研究流體的運動規律，包括描述流流體運動學研究流體的運動規律，包括描述流體運動的方法、質點速度、加速度的變化和所遵循體運動的方法、質點速度、加速度的變化和所遵循的規律。本章不涉及流體的動力學性質，所研究的的規律。本章不涉及流體的動力學性質，所研究的內容及其結論，對無粘性流體和粘性流體均適用。內容及其結論，對無粘性流體和粘性流體均適用。 描述流體運動有兩種方法，有描述流體運動有兩種方法，有歐拉歐拉（Leonhar

3、d Leonhard EulerEuler，瑞士數學家及自然科學家，公元，瑞士數學家及自然科學家，公元1707170717831783年）法和年）法和拉格朗日拉格朗日(Lagrange(Lagrange，J.J.法國數學家、法國數學家、天文學家，公元天文學家，公元173617361813)1813)法。法。流體和固體不同，流體運動是由無數質點流體和固體不同，流體運動是由無數質點構成的連續介質的流動。怎樣用數學物理構成的連續介質的流動。怎樣用數學物理的方法來描述流體的運動？這是從理論上的方法來描述流體的運動？這是從理論上研究流體運動規律首先要解決的問題。研究流體運動規律首先要解決的問題。一、拉格

4、朗日法一、拉格朗日法 拉格朗日法是把流體運動看作拉格朗日法是把流體運動看作無數個質點運動的總和，以部分質無數個質點運動的總和，以部分質點作為觀察對象加以描述，將這些點作為觀察對象加以描述，將這些質點運動匯總起來，就得到整個流質點運動匯總起來，就得到整個流動。拉格朗日法也稱為質點系法。動。拉格朗日法也稱為質點系法。 拉格朗日法為識別所指定的質拉格朗日法為識別所指定的質點，用起始時刻（點，用起始時刻（tt0）的坐標）的坐標( (a，b，c) )作為該質點的標志。其位移就作為該質點的標志。其位移就是起始坐標和時間變量的連續函數是起始坐標和時間變量的連續函數（圖（圖31）。）。 zxyacbr0yxz

5、rt圖圖3 31 1質點的運動軌跡質點的運動軌跡 式中式中a、b、c、t稱為拉格朗日變數。確定稱為拉格朗日變數。確定a、b、c就可以就可以確定該質點的軌跡方程。確定該質點的軌跡方程。( , , , )( , , , )( , , , )xx a b c tyy a b c tzz a b c t31 當研究某一指定流體質點時起始坐標當研究某一指定流體質點時起始坐標a a，b b，c c是常數，是常數，式式( (31) )所表達的是質點的運動軌跡。速度和加速度都是針對所表達的是質點的運動軌跡。速度和加速度都是針對某一流體質點而言的，所以，將式某一流體質點而言的，所以，將式( (31) )對時間進

6、行一階和二對時間進行一階和二階偏導數，在求導過程中階偏導數，在求導過程中a，b，c視為常數，便得該質點的速視為常數，便得該質點的速度和加速度。度和加速度。加速度加速度 222222zztuatytuatxtuazzyyxx33 速度速度 ttcbaztzuttcbaytyuttcbaxtxuzyx),(),(),(32 速度速度 ttcbaztzuttcbaytyuttcbaxtxuzyx),(),(),( 拉格朗日法是質點動力學方法的擴展，其基本特點是追蹤拉格朗日法是質點動力學方法的擴展，其基本特點是追蹤單個質點的運動，物理概念清晰明了，與研究固體質點的方法單個質點的運動，物理概念清晰明了，

7、與研究固體質點的方法一致。但是，由于流體質點的運動軌跡極其復雜，應用這種方一致。但是，由于流體質點的運動軌跡極其復雜，應用這種方法描述流體的運動在數學上存在困難，在實用上也不需要了解法描述流體的運動在數學上存在困難，在實用上也不需要了解質點運動的全過程。所以，除個別的流動，都應用歐拉法描述，質點運動的全過程。所以，除個別的流動，都應用歐拉法描述，本書后敘內容均屬歐拉法。本書后敘內容均屬歐拉法。二、歐拉法二、歐拉法 歐拉法是以流動的空間作為觀察對象，觀察不同時刻各歐拉法是以流動的空間作為觀察對象，觀察不同時刻各空間點上流體質點的運動參數，將各個時刻的情況匯總起來，空間點上流體質點的運動參數，將各

8、個時刻的情況匯總起來，就描述了整個流動。歐拉法也稱為流場法。就描述了整個流動。歐拉法也稱為流場法。 由于歐拉法以流動空間作為觀察對象，每時刻各空間點由于歐拉法以流動空間作為觀察對象，每時刻各空間點都有確定的運動參數，這樣的空間稱為流場，包括速度場、都有確定的運動參數，這樣的空間稱為流場，包括速度場、壓強場、密度場等壓強場、密度場等. . 采用歐拉法，流場中任意一個運動要素可以表示為空間采用歐拉法，流場中任意一個運動要素可以表示為空間坐標和時間的函數，比如在直角坐標系中流速是隨空間坐標坐標和時間的函數，比如在直角坐標系中流速是隨空間坐標（x x，y y，z z）和時間）和時間t t而變化的。因此

9、流體質點的速度可以表而變化的。因此流體質點的速度可以表示為示為式中，空間坐標式中，空間坐標x x，y y，z z和時間變量和時間變量t t稱為歐拉變數。稱為歐拉變數。( , )uu x y z t （35）),(tzyxpp(,)xyzt(, )(, )(, )xxyyzzuuxyz tuuxyz tuuxyz t37 36 35 34 流體質點的速度在各坐標軸上的投影可表示流體質點的速度在各坐標軸上的投影可表示為為當當t t為常數，為常數，x，y，z為變數時，我們可以求得在同一時刻流場為變數時，我們可以求得在同一時刻流場中不同空間點上流體質點的速度分布情況（中不同空間點上流體質點的速度分布情

10、況（流速場流速場）。當）。當x，y，z 為常數，為常數，t為變數時，我們可以求得在某一坐標點上，不同時為變數時，我們可以求得在某一坐標點上，不同時刻通過的流體的速度變化情況。刻通過的流體的速度變化情況。 流場中，不同坐標點上的流速分布在同一時刻是不同的，流場中，不同坐標點上的流速分布在同一時刻是不同的，另一方面，同一坐標點上，不同時刻通過的流體質點流速也是另一方面，同一坐標點上，不同時刻通過的流體質點流速也是不同的。不同的。 例如氣象預報就是由設在各地的氣象臺例如氣象預報就是由設在各地的氣象臺( (站站) )在規定的同一在規定的同一時間進行觀測，并把觀測到的氣象資料匯總，繪制成該時刻的時間進行

11、觀測，并把觀測到的氣象資料匯總，繪制成該時刻的天氣因子，據此發布預報，這樣的方法就是歐拉法。天氣因子，據此發布預報，這樣的方法就是歐拉法。三、流體質點的加速度，質點導數三、流體質點的加速度，質點導數拉格朗日法以個別質點為對象，式拉格朗日法以個別質點為對象，式( (33) )即為指定質點即為指定質點（起始坐標（起始坐標a，b，c）的加速度表達式。下面討論歐拉法質點加）的加速度表達式。下面討論歐拉法質點加速度的表達式，求質點的加速度，就要跟蹤觀察這個質點沿程速度的表達式，求質點的加速度，就要跟蹤觀察這個質點沿程速度的變化，這樣一來，速度表達式中的坐標速度的變化，這樣一來，速度表達式中的坐標x，y，

12、z是質點運是質點運動軌跡上的空間點坐標，不能視為常數，而是時間動軌跡上的空間點坐標，不能視為常數，而是時間t t的函數，即的函數，即xx(t)、yy(t)、z=z(t）。因此，加速度需按復合函數求導法則。因此，加速度需按復合函數求導法則導出：導出： duu dxu dyu dzadtx dty dtuztdtxyzuuuuuzuuxyt （38） 式式(38)、(39) 是歐拉法描述流體運動中質點加速度的是歐拉法描述流體運動中質點加速度的表達式，式中包括因表達式，式中包括因速度場隨時間變化引起的加速度速度場隨時間變化引起的加速度，稱，稱為為當地加速度當地加速度或或時變加速度時變加速度；速度場隨

13、位置變化引起的加速度；速度場隨位置變化引起的加速度 稱為稱為遷移加速度遷移加速度或或位變加速度位變加速度，舉例說明如下：，舉例說明如下：xxxxxxyzyyyyyxyzzzzzzxyxyzzduuuuauuudtxyzduuuuauuututuudtxyzduuuuauuudtxyzt（39） 分量形式分量形式ut,yyyxxxzzzxyzxyzxyzuuuuuuuuuuuuuuuuuuxyzxyzxyz 水箱中的水經收縮管流出水箱中的水經收縮管流出( (圖圖32) )，若水箱無來水補充，若水箱無來水補充, , 水位逐漸降低，管軸線上質點的速度隨時間減小，當地加速水位逐漸降低，管軸線上質點的速

14、度隨時間減小，當地加速度度 為負值。同時管道收縮，質點的速度隨遷移而增大為負值。同時管道收縮，質點的速度隨遷移而增大, ,有遷移加速度有遷移加速度 為正值，所以該質點的加速度為：為正值，所以該質點的加速度為：xutxxuuxxuutuaxxxx 若水箱有水補充，水位保持不變，若水箱有水補充，水位保持不變，質點的速度不隨時間變化，當地加速質點的速度不隨時間變化，當地加速度度 為零為零, ,但仍有遷移加速但仍有遷移加速 度，該質點的加速度為度，該質點的加速度為 。xxxuaux圖圖32xut若出水管是等直徑的直管，且水位若出水管是等直徑的直管，且水位H保持不變保持不變( (圖圖3333) )，則管

15、內流動的液體質點，既無當地加速度，也無遷移加速度，則管內流動的液體質點，既無當地加速度，也無遷移加速度， 。0 xa （312） 圖圖3333等直徑直管出流等直徑直管出流 例例3 31 1 已知速度場已知速度場 ， ， ，試求試求 時，位于時，位于 處質點的加速度。處質點的加速度。 解解 將將 代入速度場方程，代入速度場方程，得：得： 222xutxyzxtuzzytuyst3(0.8,0.8,0.4)3 ,0.8 ,0.8 ,0.4ts xm ym zmsmux/2 . 98 . 028 . 0232smuy/6.24.08.03smuz/4 . 34 . 08 . 03zuuyuuxuut

16、uaxzxyxxxx6 .2526 . 222 . 922/ sm2/8.1smay2/8 . 6smaz2222/55.26smaaaazyx由式（由式（3939）得：）得： 3.23.2歐拉法的基本概念歐拉法的基本概念一、流線一、流線1 1流線的概念流線的概念 為了將流動的數學描述轉換成流動圖像，特引入流線為了將流動的數學描述轉換成流動圖像，特引入流線的概念。的概念。所謂流線是某一瞬時無窮多流體質點運動趨勢的所謂流線是某一瞬時無窮多流體質點運動趨勢的連線，線上每一點處質點在該時刻的速度矢量，都與曲線連線，線上每一點處質點在該時刻的速度矢量，都與曲線相切相切（圖（圖34）。在運動流體的流場整

17、個空間可以繪制出）。在運動流體的流場整個空間可以繪制出一系列流線，稱為流線族，流線族構成的流線圖稱為流譜。一系列流線，稱為流線族，流線族構成的流線圖稱為流譜。圖圖34某時刻的流線圖某時刻的流線圖u1u2u3u4u51 2 3 4 5 圖37圖38圖352. 2. 流線的性質流線的性質 流線是一條光滑連續的曲線（含直線）；除了駐點流線是一條光滑連續的曲線（含直線）；除了駐點( (圖圖35中中A點流速為點流速為0）流線不能中斷；流線不能相交和轉折（否則）流線不能中斷；流線不能相交和轉折（否則位于交點的流體質點，在同一時刻就有與兩條流線相切的兩個位于交點的流體質點，在同一時刻就有與兩條流線相切的兩個

18、速度矢量速度矢量, ,這是不可能的這是不可能的););流線的疏密表示流動的快慢程度，流線的疏密表示流動的快慢程度，也就是表達了流速的大小；流線之間夾角的大小，表明流動變也就是表達了流速的大小；流線之間夾角的大小，表明流動變化快慢程度，也就是流線的彎曲程度表示流動變化快慢程度。化快慢程度，也就是流線的彎曲程度表示流動變化快慢程度。 歸納起來流線的性質主要有歸納起來流線的性質主要有: : . .同一時刻的不同流線，不能相交；同一時刻的不同流線，不能相交； 根據流線定義，在交點處的液體質點的流速應同時與這兩根據流線定義，在交點處的液體質點的流速應同時與這兩條流線相切，即一個質點不可能同時有兩個速度向

19、量；條流線相切，即一個質點不可能同時有兩個速度向量； . .流線不能是折線，而是一條光滑的曲線；流線不能是折線，而是一條光滑的曲線； 流體是連續介質，各運動要素是空間的連續函數；流體是連續介質，各運動要素是空間的連續函數； . .流線簇的疏密反映了速度的大小；流線密的地方流速流線簇的疏密反映了速度的大小；流線密的地方流速大，流線疏的地方流速小；大，流線疏的地方流速小； . .流線彎曲程度越大，流速變化越快流線彎曲程度越大，流速變化越快, ,流線保持平行，流流線保持平行，流速不發生變化。速不發生變化。 3 3流線方程流線方程 根據流線的定義，可得出流線的微分方程。如圖所示，在根據流線的定義，可得

20、出流線的微分方程。如圖所示，在流線流線AB上取一微分段上取一微分段ds，將其看作是直線，此時流速矢量，將其看作是直線，此時流速矢量u與與微分段微分段ds重合。速度重合。速度u在各坐標軸上的投影為在各坐標軸上的投影為ux、uy、uz，ds在在坐標軸上的投影為坐標軸上的投影為dx、dy、dz。,xyzdxds dyds dzdsuuuuuu,yxzuuudxdydzdsudsudsuxyzdxdydzdsuuuu流線的微分方程流線的微分方程zxyds udydxdzuyuxuzAB圖圖36 式中式中ux、uy、uz 是空間坐標是空間坐標x，y，z和時間和時間t 的函的函數。所以流線是針對某一時刻而

21、言的，時間數。所以流線是針對某一時刻而言的，時間t的變化會引的變化會引起速度的變化，流線的位置形狀也會隨之變化。只有當起速度的變化，流線的位置形狀也會隨之變化。只有當流速流速不隨時間變化時流線才能不隨時間變化。不隨時間變化時流線才能不隨時間變化。4 4跡線方程跡線方程 跡線是指某一質點在某一時段內的運動軌跡線。流跡線是指某一質點在某一時段內的運動軌跡線。流體質點在某一時段的運動軌跡稱為跡線。由運動方程：體質點在某一時段的運動軌跡稱為跡線。由運動方程：便可得到跡線的微分方程：便可得到跡線的微分方程：dtudzdtudydtudxzyxdtudzudyudxzyx 流線和跡線是兩個不同的概念，但在

22、恒定流中，流線不隨流線和跡線是兩個不同的概念，但在恒定流中，流線不隨時間變化，流線上的質點繼續沿流線運動，此時流線和跡線在時間變化，流線上的質點繼續沿流線運動，此時流線和跡線在幾何上是一致的，兩者重合。幾何上是一致的，兩者重合。 例例32 32 已知速度場已知速度場 。試。試求：流線方程及求：流線方程及 時的流線圖。時的流線圖。 （319） 0,zyxubtuau2, 1, 0ttt 解解 : :由流線的微分方程式由流線的微分方程式xyzdxdydzdsuuuubtdyadx可得：可得： 其中其中t是參變量，積分得：是參變量，積分得： 或或 所得流線方程是直線方程，不同時刻所得流線方程是直線方

23、程，不同時刻 的的流線圖是三組不同斜率的直線如流線圖是三組不同斜率的直線如( (圖圖37)37)。cbtxaybtyxca(0,1,2)ttt時流線圖時流線圖t=1t=1時流線圖時流線圖 t =2t =2時流線圖時流線圖圖圖37二、流管、過流斷面、元流和總流二、流管、過流斷面、元流和總流圖圖3 38 8流束流束1. 1. 流管、流束流管、流束 在流場中任取不與流線重合的封閉曲線，過曲線上各點在流場中任取不與流線重合的封閉曲線，過曲線上各點作流線，所構成的管狀表面稱為流束作流線，所構成的管狀表面稱為流束( (圖圖3 38 8) )。 因為流線不能相交，所以流體不能由流管壁出入。因為流線不能相交，

24、所以流體不能由流管壁出入。2. 2. 過流斷面過流斷面 在流束上作出的與流線正交的橫斷面就是過流斷面。當在流束上作出的與流線正交的橫斷面就是過流斷面。當流流線相互平行時，過流斷面才是平面線相互平行時，過流斷面才是平面，否則為曲面，否則為曲面( (圖圖3 3- -9 9) ) 。3 3元流和總流元流和總流 元流是過流斷面無限小的流束，元流是過流斷面無限小的流束，幾何特征與流線相同。由于元流的幾何特征與流線相同。由于元流的過流斷面無限小，斷面上各點的運過流斷面無限小，斷面上各點的運動參數如動參數如z( (位置高度位置高度) )、u( (流速流速) )、p( (壓強壓強) )均相同。均相同。 總流是

25、過流斷面為有限大小的流束，是由無數元流構成總流是過流斷面為有限大小的流束，是由無數元流構成的，斷面上各點的運動參數一般情況下是不同的。的，斷面上各點的運動參數一般情況下是不同的。圖圖3-93-9 單位時間通過某一過流斷面的流體體積稱為該斷面的體積單位時間通過某一過流斷面的流體體積稱為該斷面的體積流量，簡稱流量，液體一般用體積流量；單位時間通過某一過流量，簡稱流量，液體一般用體積流量；單位時間通過某一過流斷面的流體質量稱為質量流量，氣體一般用質量流量。以流斷面的流體質量稱為質量流量，氣體一般用質量流量。以dA表示過流斷面的微元面積，表示過流斷面的微元面積， 表示該點的速度，則：表示該點的速度，則

26、： 體積流量：體積流量： 質量流量：質量流量： 對于均質不可壓縮液體，密度對于均質不可壓縮液體，密度 為常數，則：為常數，則：uAudAQ)(3smmAQudA)(skgQQm三、流量、斷面平均流速三、流量、斷面平均流速1 1流量流量2 2斷面平均流速斷面平均流速 總流過流斷面上各點的流速一般是不相等的，以管流總流過流斷面上各點的流速一般是不相等的，以管流為例，管壁附近流速較小，軸線上流速最大為例，管壁附近流速較小，軸線上流速最大( (圖圖3- -10) )。為。為了便于計算，設想過流斷面上流速均勻分布，通過的流量了便于計算，設想過流斷面上流速均勻分布，通過的流量與實際流量相同，流速定義與實際

27、流量相同，流速定義v為該斷面的平均流速，即為該斷面的平均流速，即AvAudAQAQv 或或uv圖圖3- -10 圓管流速分布圖圓管流速分布圖 例例33 33 已知半徑為已知半徑為r0的圓管中，過流斷面上的流速分的圓管中，過流斷面上的流速分布為布為 ，式中，式中 umax是軸線上斷面最大流速，是軸線上斷面最大流速，y為距管壁的距離為距管壁的距離( (圖圖312) )。試求通過的流量和斷面平均流速。試求通過的流量和斷面平均流速v。 解解 在過流斷面半徑在過流斷面半徑 處，取環形微元面處，取環形微元面積積 , ,面上各點流速面上各點流速u相等流量：相等流量： （324） （323） 710max)(

28、ryuuyrr0rdrdA2m ax4960QvuA圖311000710max0)()(2rAyrdyrryudAQ012max700max1070249()60rury ydyr ur四、四、 流動的分類流動的分類 歐拉法描述運動，各運動要素是空間坐標和時間變量的歐拉法描述運動，各運動要素是空間坐標和時間變量的函數，如函數，如 。在歐拉法的范疇內，按不同的。在歐拉法的范疇內，按不同的時空標準對流動進行分類。時空標準對流動進行分類。1. 1. 恒定流和非恒定流恒定流和非恒定流 以時間為標推，若各空間點上的運動要素以時間為標推，若各空間點上的運動要素( (速度、壓強、速度、壓強、密度等密度等)

29、)皆不隨時間變化，這樣的流動是恒定流，反之是非恒皆不隨時間變化，這樣的流動是恒定流，反之是非恒定流，對于恒定流，流場方程為：定流，對于恒定流，流場方程為：(, )uuxyz t( , , )( , , )( , , )uu x y zpp x y zx y z（314） 比較恒定流與非恒定流，前者歐拉變數中減去了時間變量，比較恒定流與非恒定流，前者歐拉變數中減去了時間變量，從而使問題的求解大為簡化。實際工程中，多數系統正常運行從而使問題的求解大為簡化。實際工程中，多數系統正常運行時是恒定流，或雖然是非恒定流，但運動參數隨時間的變化緩時是恒定流，或雖然是非恒定流，但運動參數隨時間的變化緩慢，仍可

30、近似按恒定流處理。在上一節列舉的水箱出流的例子慢，仍可近似按恒定流處理。在上一節列舉的水箱出流的例子中，水位保持不變的是恒定流，水位隨時間變化的是非恒定流。中，水位保持不變的是恒定流，水位隨時間變化的是非恒定流。 2 2一維流、二維流和三維流一維流、二維流和三維流 以空間為標準，若各空間點上的運動參數以空間為標準，若各空間點上的運動參數( (主要是速度主要是速度) )是三個空間坐標和時間變量的函數，是三個空間坐標和時間變量的函數， ，流動是，流動是三維流動。三維流動。（315）( , , , )uu x y z t 若運動參數只是一個空間坐標和時間變化的函數，這樣的若運動參數只是一個空間坐標和

31、時間變化的函數，這樣的流動是一維流動。如管道和渠道內的流動，流束方向的尺寸遠流動是一維流動。如管道和渠道內的流動，流束方向的尺寸遠大于橫向尺寸，流速取斷面的平均速度，流動可視為一維流大于橫向尺寸，流速取斷面的平均速度，流動可視為一維流動動 。3 3均勻流和非均勻流均勻流和非均勻流 若質點流動過程中運動要素不隨空間坐標的變化而變化，若質點流動過程中運動要素不隨空間坐標的變化而變化，這種流動稱為均勻流，反之則是非均勻流。比如遷移加速度為這種流動稱為均勻流，反之則是非均勻流。比如遷移加速度為零，流動就是均勻流。在上一節列舉的水箱出流的例子中，等零，流動就是均勻流。在上一節列舉的水箱出流的例子中，等直

32、徑直管內流動直徑直管內流動( (圖圖33)是均勻流，而變直徑管道內流動是均勻流，而變直徑管道內流動( (圖圖32) )是非均勻流；水位保持不變的等直徑直管內的流動是恒定是非均勻流；水位保持不變的等直徑直管內的流動是恒定均勻流。均勻流。運動參數只是兩個空間坐標運動參數只是兩個空間坐標(x(x，y)y)和時間變量的函數和時間變量的函數 ，流，流動是二維流動。如水流繞過很長的動是二維流動。如水流繞過很長的圓柱體，忽略兩端的影響，流動可圓柱體，忽略兩端的影響，流動可簡化為二維流動簡化為二維流動( (圖圖312) )。( , , )uu x y t圖圖312( , )uu x txy 均勻流具有以下特性

33、：均勻流具有以下特性： 均勻流的流線彼此是平行直線，其過流斷面為平面，且均勻流的流線彼此是平行直線，其過流斷面為平面，且過流斷面的形狀和尺寸沿程不變；過流斷面的形狀和尺寸沿程不變； 均勻流中，同一流線上流速保持恒定，各過流斷面流速均勻流中，同一流線上流速保持恒定，各過流斷面流速分布相同，平均流速相等；分布相同，平均流速相等； 均勻流過流斷面上動均勻流過流斷面上動水壓強和靜水壓強分布規律相同水壓強和靜水壓強分布規律相同。 非均勻流非均勻流 非均勻流的運動要素隨空間位置的改變而改變。其非均勻流的運動要素隨空間位置的改變而改變。其流線不流線不能成為相互平行的直線能成為相互平行的直線，按照流線的彎曲程

34、度，可分為漸變流，按照流線的彎曲程度，可分為漸變流和急變流。和急變流。 漸變流：流線漸變流：流線近似于平行直線近似于平行直線時的流動稱為漸變流（緩時的流動稱為漸變流（緩變流）。漸變流過水斷面上的動壓強可近似的看做與靜水壓強變流）。漸變流過水斷面上的動壓強可近似的看做與靜水壓強分布規律相同。是否視為漸變主要取決于流動邊界。分布規律相同。是否視為漸變主要取決于流動邊界。 急變流：流線之間夾角很大（曲率半徑很小）時稱為急急變流：流線之間夾角很大（曲率半徑很小）時稱為急變流。急變流的動水壓強與靜水壓強分布規律不同。變流。急變流的動水壓強與靜水壓強分布規律不同。 均勻流均勻流漸變流漸變流均勻流均勻流急變

35、流急變流均勻流均勻流急變流急變流均勻流均勻流均勻流和非均勻流圖示均勻流和非均勻流圖示靜水壓強分布圖靜水壓強分布圖動水壓強分布圖動水壓強分布圖靜水壓強分布圖靜水壓強分布圖動水壓強分布圖動水壓強分布圖急變流過流斷面上的動水壓強分布圖急變流過流斷面上的動水壓強分布圖 4 4有壓流與無壓流：有壓流與無壓流： 有壓流：無自由表面，表面壓強不等于零的流動。有壓流：無自由表面，表面壓強不等于零的流動。 無壓流：有自由表面；或雖然無自由表面，但是表面壓無壓流：有自由表面；或雖然無自由表面，但是表面壓強等于零的流動。強等于零的流動。 例例3 344已知速度場為已知速度場為 。試問：。試問：(1)(1)t2s2s

36、時，在時，在(2(2，4)4)點的加速度是多少點的加速度是多少?(2)?(2)流動是恒定流還流動是恒定流還是非恒定流？是非恒定流？ 解解(1).(1).由歐拉法加速度公式可得由歐拉法加速度公式可得 將將 代入上式得代入上式得 : :(69(46 )yx tixuytj22()()4646.( 6 )() (4 )(46 )(166 )6.9.xxxxyxauuuutxyttttuyyxyxyxttx4, 2,2yxst2/4smaxyuuxuutuayyyxyy)6()96()9()64()96(ttxyttxyxy22/6)95 . 1)(64(smtxy222/2 . 7smaaayx (

37、2). (2).因速度場隨時間變化，此流動是非恒定流。或由時因速度場隨時間變化，此流動是非恒定流。或由時變導數變導數 此流動是非恒定流。此流動是非恒定流。 (46 )(69 )0yxuuijyx ixy jttut3.33.3流體運動的連續性方程流體運動的連續性方程 連續性方程是流體力學基本方程之一，是連續性方程是流體力學基本方程之一，是質量守質量守恒原理恒原理的流體力學表達式。的流體力學表達式。1.1.流體運動的連續性微分方程流體運動的連續性微分方程 Oxyzdxdydz 從平衡流體中選取一六面體作為隔離體，各邊長從平衡流體中選取一六面體作為隔離體，各邊長分別為分別為dx，dy，dz，形心點

38、在形心點在O（x，y，z）處，其密）處，其密度為度為。 O點的流速在各坐標軸上的投影為點的流速在各坐標軸上的投影為ux，uy，uz 。( , , )pp x y zM2dyy2dyy OxyzdxdydzN()()22yyudydyudxdzdtyy左面流入的液體質量：左面流入的液體質量：右面流出的液體質量：右面流出的液體質量：()()22yyudydyudxdzdtyy（325） () ()22() ()22()()yyyyyyyud yd yud x d z d tyyud yd yud x d z d tyyuud x d y d z d tyyud x d y d z d ty 則，在

39、則，在y方向流入流出的液體的質量差為：方向流入流出的液體的質量差為：()yyuMdxdydzdty ()xxuMd x d y d z d tx ()zzuMd x d y d z d tz （326） ()()()yxzyzuuuMxMMdxdydzdtxyz （328） )()()xyzdxduuuyddxzdttdydzdtxyz)()()0 xyzuuutxyz同理同理x和和z方向流入與流出的的液體質量差為：方向流入與流出的的液體質量差為： 根據質量守恒定律，根據質量守恒定律，dtdt時段內流入、流出六面體的時段內流入、流出六面體的流體質量之差，應等于六面體內因密度變化所引起的質流體質

40、量之差，應等于六面體內因密度變化所引起的質量增量量增量。 整理得：整理得：其物理意義是：流體在單位時間內流其物理意義是：流體在單位時間內流經單位體積的空間時，流出和流入的經單位體積的空間時，流出和流入的質量之差等于其內部流體質量變化。質量之差等于其內部流體質量變化。上式是連續性微分方程的一般形式。對于均質的不可壓縮上式是連續性微分方程的一般形式。對于均質的不可壓縮流體，密度流體，密度常數，上式可簡化為：常數，上式可簡化為：0zuyuxuzyx （332） 其物理意義是：流體在單其物理意義是：流體在單位時間內流經單位體積的位時間內流經單位體積的空間時，流出和流入的質空間時，流出和流入的質量之差等

41、于零。量之差等于零。對于不可壓縮的二元流體連續性方程可寫為對于不可壓縮的二元流體連續性方程可寫為0 xyuuxy連續性方程中沒有涉及到任何力，描述的是流體的運動規連續性方程中沒有涉及到任何力，描述的是流體的運動規律，律，它適用于一切流體和流動形態它適用于一切流體和流動形態。 例例3 355已知速度場已知速度場 ， ， ， 試問流動是否滿足連續性條件。試問流動是否滿足連續性條件。)(122xyux)2(1xyuy)2(1tzuz2t)()()0 xyzuuutxyztt2xxyxxux2)()(220)()()(zuyuxutzyx()(2)2yuxyxyy()( 2 )2zutztzz 代入得

42、：代入得： 答：流動滿足連續性條件。答：流動滿足連續性條件。 解解 ：此流動為：此流動為可壓縮流體的非恒定流動可壓縮流體的非恒定流動，由連續性微分，由連續性微分方程一般式計算。方程一般式計算。 例例3 36 6 速度場速度場 其中其中c c為常數。試求坐標為常數。試求坐標z z方程的速度分量方程的速度分量uz。222,xyucx yz uy zcx yzcxyzyzyuy22cxyzxux2yzyuxuzuyxz2)(2zuyzC 0zuyuxuzyx 解解 ：流動為：流動為不可壓縮流體空間流動不可壓縮流體空間流動，由不可壓縮，由不可壓縮流體連續性微分式方程式積分可得：流體連續性微分式方程式積

43、分可得：2.2.連續性微分方程對總流的積分連續性微分方程對總流的積分 設恒定總流，以過流斷面設恒定總流，以過流斷面1 1l l、2 22 2及側壁面圍成的固定空間為控制體，體及側壁面圍成的固定空間為控制體，體積為積為( (圖圖3 31717) )。將不可壓縮液體的連續。將不可壓縮液體的連續性微分方程式對控制體空間積分，根據性微分方程式對控制體空間積分，根據高斯高斯( (GaussGauss) )定理定理0)(dAudvzuyuxuAnzyVx 式中：式中：A為體積為體積V的封閉表面；為在微元面積的封閉表面；為在微元面積dAdA外法線方外法線方向的投影。因側表面上向的投影。因側表面上un0，于是

44、上式化簡為：，于是上式化簡為： 上式第一項上式第一項u1的方向與的方向與dA1外法線方向相反，取負號。由外法線方向相反，取負號。由此得到：此得到：02121dAudAuAA（334） 圖317 即即 或或 式中式中v1、v2總流的斷面總流的斷面1 11 1和和2 22 2的平均流速。的平均流速。 上式稱為液體總流的連續性方程。是控制液體總流運動的上式稱為液體總流的連續性方程。是控制液體總流運動的基本方程。基本方程。 例例3 37 7 變直徑水管如圖所示，已知粗管直徑為變直徑水管如圖所示，已知粗管直徑為200200mmmm，斷面平均流速度為斷面平均流速度為0.80.8m ms s，細管直徑為，細

45、管直徑為100100mmmm。試求細管段的。試求細管段的斷面平均流速。斷面平均流速。 解解 由液體總流連續性方程式由液體總流連續性方程式 dAudAuAA212121QQ（335） （336） 2211AvAv2112AAvvsmdd/2 . 3)(221圖318變直徑水管d1d22211AvAv 例例3 388輸水管道經三通管分流已知管徑輸水管道經三通管分流已知管徑d1d2200mm，d3100mm斷面平均流速斷面平均流速v13ms， v2 2m2ms s。試求斷面的。試求斷面的平均流速平均流速 v3 。 解解 流入和流出三通管的流量應相等，流入和流出三通管的流量應相等， 321QQQ332

46、211AvAvAv13123()()4/dvvvm sd圖319v1v2v3第四節第四節 流體微團運動的分析流體微團運動的分析 本章第二節介紹了歐拉法的基本概念，這些概念是以本章第二節介紹了歐拉法的基本概念，這些概念是以流線流線為基礎建立的總流運動基本概念。按連續介質模型，流體是由為基礎建立的總流運動基本概念。按連續介質模型，流體是由無數質點構成的，認識流場的特點，需從分析質點運動入手。無數質點構成的，認識流場的特點，需從分析質點運動入手。一、微團運動的分解一、微團運動的分解 按連續介質模型，流體是由無數質點構成的流動空間相比按連續介質模型，流體是由無數質點構成的流動空間相比無限小，又含有大量

47、分子的微元體，其無限小，又含有大量分子的微元體，其尺度效應尺度效應( (變形、旋轉、變形、旋轉、膨脹膨脹) )可以忽略。流體微團則是由大量流體質點組成的可以忽略。流體微團則是由大量流體質點組成的具有尺度具有尺度效應的微小流體團效應的微小流體團，習慣上稱為微團，微團是流體運動單元。，習慣上稱為微團，微團是流體運動單元。 剛體力學早已證明，剛體的一般運動，可以分解為剛體力學早已證明，剛體的一般運動，可以分解為移動移動和和轉動轉動兩部分。流體是有流動性且極易變形的連續介質，流體微兩部分。流體是有流動性且極易變形的連續介質，流體微團在運動過程中，除團在運動過程中，除移動移動和和轉動轉動之外，還將有之外，還將有變形運動變形運動，18581858年德國力學家亥姆霍茲提出速度分解定理，從理論上解決了這年德國力學家亥姆霍茲提出速度分解定理，從理論上解決了這個問題。個問題。 某時刻某時刻t在流場中取微團，令其在流場中取微團，令其中 一 點中 一 點 為 基 點 ， 速為 基 點 ， 速度度 ，在點的鄰域任取一，在點的鄰域任取一點點M M，該點速度用泰勒，該點速度用泰勒(TayLor.G)(TayLor.G)級級數前兩項表示：數前兩項表示：