1、第第6 6章章 無限長單位脈沖響應（無限長單位脈沖響應（IIRIIR） 數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法 6.1 6.1 基本概念基本概念 6.2 6.2 常用模擬低通濾波器的設計方法常用模擬低通濾波器的設計方法6.3 6.3 模擬濾波器的頻率變換模擬濾波器的頻率變換6.4 6.4 用脈沖響應不變法設計用脈沖響應不變法設計IIRIIR數字濾波器數字濾波器6.5 6.5 用雙線性變換法設計用雙線性變換法設計IIRIIR數字濾波器數字濾波器 學習目標學習目標v理解數字濾波器的基本概念理解數字濾波器的基本概念v掌握掌握ButterworthButterworth低通濾波器的特點低通濾波器的特

2、點v了解利用模擬濾波器設計數字濾波器的過程了解利用模擬濾波器設計數字濾波器的過程v了解利用頻帶變換法設計各種類型濾波器的了解利用頻帶變換法設計各種類型濾波器的方法方法v掌握脈沖響應不變法掌握脈沖響應不變法v掌握雙線性變換法掌握雙線性變換法)(jeX0)(jeYc0)()()(nhnxny)()()(jjjeHeXeY0)(jeHc16.1 基本概念基本概念 數字濾波器：數字濾波器： 是指輸入、輸出均為數字信號，通過一定運算關是指輸入、輸出均為數字信號，通過一定運算關系改變輸入信號所含系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例頻率成分的相對比例或者或者濾除某濾除某些頻率成分些頻率成分的器件。的器件。優

3、點：優點： 高精度、高穩定性、體積小、重量輕、靈活；高精度、高穩定性、體積小、重量輕、靈活；不要求阻抗匹配；不要求阻抗匹配；可實現特殊濾波功能；可實現特殊濾波功能；通過通過A/DCA/DC和和D/ACD/AC，使用數字濾波器對模擬信號處理，使用數字濾波器對模擬信號處理 一、一、 數字濾波器的分類數字濾波器的分類1 1、一般分類、一般分類經典濾波器：輸入信號中的有用頻率成分和希望濾除經典濾波器：輸入信號中的有用頻率成分和希望濾除 的頻率成分占用不同頻帶的頻率成分占用不同頻帶 通過選頻濾波器達到濾波目的通過選頻濾波器達到濾波目的現代濾波器：信號和干擾的頻帶相互重疊，要利用信現代濾波器：信號和干擾的

4、頻帶相互重疊，要利用信 號的統計分布規律，從干擾中最佳提取號的統計分布規律，從干擾中最佳提取 信號，如：信號，如： 維納濾波器、維納濾波器、 卡爾曼濾波器、卡爾曼濾波器、 自適應濾波器等自適應濾波器等w0-|H(ejw)|低通(LF)頻率響應2-2w0-|H(ejw)|高通(HF)頻率響應2-2w0-|H(ejw)|帶通BF頻率響應2-2w0-|H(ejw)|帶阻BS頻率響應2-2特點：特點：(1)(1)單位脈沖響應是非因果且無限長，不可能實現，只能盡可單位脈沖響應是非因果且無限長，不可能實現，只能盡可 能逼近；能逼近；(2)DF(2)DF的傳輸函數是以的傳輸函數是以2 2 為周期，為周期，低

5、通的中心頻帶低通的中心頻帶處于處于2 2 的整的整 數倍處數倍處，高通的中心頻帶高通的中心頻帶處于處于 的奇數倍附近。的奇數倍附近。 2、按功能分：按功能分：LP、HP、BP、BS、全通濾波器、全通濾波器 0)(jeHc10)(jeHc1如何用實際如何用實際特性逼近理特性逼近理想特性？想特性？3、按實現的網絡結構或單位抽樣響應分：、按實現的網絡結構或單位抽樣響應分：IIR濾波器濾波器（N階階） NkkkMkkkzazbzH101FIR濾波器濾波器（N-1階階） 10NnnznhzH全極點系統或零、極點系統全極點系統或零、極點系統全零點系統全零點系統 二、二、 數字濾波器的設計過程數字濾波器的設

6、計過程 1）按設計任務，確定濾波器性能要求，制定技術按設計任務，確定濾波器性能要求，制定技術指標；指標； 2）用一個因果穩定的用一個因果穩定的LTI系統的系統函數系統的系統函數H(z)逼近逼近此性能指標，根據不同要求可以用此性能指標，根據不同要求可以用IIR系統函數，也可系統函數，也可以用以用 FIR系統函數去逼近；系統函數去逼近； 3）利用有限精度算法實現此系統函數：如運算結利用有限精度算法實現此系統函數：如運算結構、字長的選擇等。構、字長的選擇等。 三、三、 數字濾波器的技術指標數字濾波器的技術指標jwejjwjweeHeH|H(ejw)|系統的幅頻特性：系統的幅頻特性：表示信號通過該表示

7、信號通過該濾波器濾波器后各頻率成分衰減情況。后各頻率成分衰減情況。(ejw)系統的相頻特性：系統的相頻特性：反映各頻率成分通過濾波反映各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況。器后在時間上的延時情況。u兩個濾波器幅頻特性相同，相頻特性可能不一樣，兩個濾波器幅頻特性相同，相頻特性可能不一樣，對相同的輸入，濾波器輸出的信號波形也是不一樣對相同的輸入，濾波器輸出的信號波形也是不一樣的。的。u選頻濾波器的技術指標由幅頻特性給出，對相頻特選頻濾波器的技術指標由幅頻特性給出，對相頻特性一般不作要求，但如果對輸出波形有要求，則需性一般不作要求，但如果對輸出波形有要求，則需要考慮相頻特性的技術指標，例如，語音

8、合成、波要考慮相頻特性的技術指標，例如，語音合成、波形傳輸、圖像信號處理等。本章主要研究由幅頻特形傳輸、圖像信號處理等。本章主要研究由幅頻特性提出指標的選頻濾波器的設計。性提出指標的選頻濾波器的設計。011 通帶截止頻率通帶截止頻率阻帶截止頻率阻帶截止頻率111PSSP2過渡帶過渡帶通帶通帶阻帶阻帶jweH 通帶容限通帶容限1 阻帶容限阻帶容限2在在通帶通帶內，幅度響應以最大誤差內，幅度響應以最大誤差1 1逼近于逼近于1 1，即，即 在在阻帶阻帶內，幅度響應以誤差小于內，幅度響應以誤差小于2 2而逼近于零，即而逼近于零，即 2| )(|jeHs|1| )(|11jeH|p 在在過渡帶過渡帶，從

9、通帶平滑地下降到阻帶，從通帶平滑地下降到阻帶在具體技術指標中往往使用在具體技術指標中往往使用通帶允許的最大衰減通帶允許的最大衰減（波紋）和（波紋）和阻阻帶應達到的最小衰減帶應達到的最小衰減描述，定義分別為：描述，定義分別為： 2010lg20| )(|lg20| )(| )(|lg20)1lg(20| )(|lg20| )(| )(|lg20ssppjjjsjjjpeHeHeHeHeHeH 假定假定|H(ej0)|=1(已被歸一化已被歸一化)|H(ejc)|=0.707，則，則 =3 dB；wc為為3db通帶截止頻率通帶截止頻率|H(ejs)|=0.001，則，則 =60 dB。psNkkMk

10、kNkkkMkkkzdzcAzazbzH111110)1 ()1 (1)(IIRIIR濾波器的系統函數的設計就是確定各系數濾波器的系統函數的設計就是確定各系數a ak k, , b bk k或零極點或零極點c ck k，d dk k和和A A，以使濾波器滿足給定的性能要，以使濾波器滿足給定的性能要求。求。四、四、 IIRIIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法設計方法通常有以下兩種：設計方法通常有以下兩種： 1. 1. 先設計模擬濾波器，再轉換為數字濾波器先設計模擬濾波器，再轉換為數字濾波器wp , wsp, sH(s)H(z)巴特沃思設計巴特沃思設計切比雪夫設計切比雪夫設計脈沖響應不變

11、脈沖響應不變雙線性變換法雙線性變換法2. 2. 直接設計法直接設計法 零極點位置累試法零極點位置累試法 計算機輔助設計法計算機輔助設計法6.2 常用模擬低通濾波器的設計方法常用模擬低通濾波器的設計方法 常用的模擬濾波器原型有常用的模擬濾波器原型有: :u 巴特沃思（巴特沃思（ButterworthButterworth）濾波器）濾波器 具有單調下降的幅頻特性具有單調下降的幅頻特性u 切比雪夫（切比雪夫（ChebyshevChebyshev）濾波器）濾波器 幅頻特性在通帶或阻帶有波動幅頻特性在通帶或阻帶有波動u 橢圓（橢圓（EllipseEllipse）濾波器）濾波器 通帶和阻帶均為等波紋特性通

12、帶和阻帶均為等波紋特性u 貝塞爾（貝塞爾（BesselBessel）濾波器）濾波器 通帶內有較好的線性相位特性通帶內有較好的線性相位特性以這些數學函以這些數學函數命名的濾波數命名的濾波器是低通濾波器是低通濾波器的原型器的原型圖圖 各種理想模擬濾波器的幅頻特性各種理想模擬濾波器的幅頻特性 )(jaH低通帶通帶阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c|Ha(j )|0.707 p s通帶通帶阻帶阻帶過過渡渡帶帶10 C p s通帶通帶過過渡渡帶帶阻帶阻帶 (dB) 衰減衰減 p S 0一、模擬低通濾波器的設計指標及逼近方法一、模擬低通濾波器的設計指標及逼近方法1 1、模擬低通濾波器的設計指標有

13、：、模擬低通濾波器的設計指標有：pp、ss、pp、sspp和和ss分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率; ;p p是通帶中的最大衰減系數，是通帶中的最大衰減系數，s s是阻帶的最小衰減系數，是阻帶的最小衰減系數，p和和s一般用一般用dB數表示。對于單調下降的幅度特性，數表示。對于單調下降的幅度特性，可表示成：可表示成：22220lg100lg10saaspaapjHjHjHjH圖中c稱為3dB截止頻率，因 ( )1 /2 ,2 0 lg ( ) 3a ca cHjHjd B ( ) 1 / 2 , 2 0 lg ( ) 3acacHjHjd B22lg10lg1

14、01010saspapajHjHjH，即處幅度已歸一化到如果2、 逼近方法逼近方法用頻率響應的幅度平方函數逼近用頻率響應的幅度平方函數逼近)()(| )(|*2jHjHjHaaa由于濾波器沖激響應由于濾波器沖激響應ha(t)是實函數，因而是實函數，因而Ha(j)滿足滿足 )()(*jHjHaajsaaaaasHsHjHjHjH| )()()()(| )(|2u 如何由如何由|Ha(j)|2求求Ha(s)？jsaaaaasHsHjHjHjH| )()()()(| )(|2穩定的濾波器要求左半平面的極點一穩定的濾波器要求左半平面的極點一定屬于定屬于Ha(s)，則右半平面的極點必屬，則右半平面的極點

15、必屬于于Ha(-s)；將以虛軸為對稱軸的對稱零點的任一將以虛軸為對稱軸的對稱零點的任一半作為半作為Ha(s)的零點，虛軸上的零點一的零點，虛軸上的零點一半歸半歸Ha(s)。由由|Ha(j)|2確定確定Ha(s)的方法：的方法：由幅度平方函數得象限對稱的由幅度平方函數得象限對稱的s s平面函數；平面函數；將將H Ha a(s)Ha(-s)(s)Ha(-s)因式分解，得到各零極點；因式分解，得到各零極點；對比對比H Ha a(j)(j)和和H Ha a(s)(s)，確定增益常數；，確定增益常數；1.1. 由零極點及增益常數，得由零極點及增益常數，得H Ha a(s)(s)。222223649251

16、6jHa 222223649251622sssjHsHsHsaaa 67252sssksHa 672544200ssssHkjHsHaasa二、二、 巴特沃思低通逼近巴特沃思低通逼近NcajH22)/(11|)(|u N為正整數，代表濾波器的階數。為正整數，代表濾波器的階數。u 當當=0時，時，|Ha(j0)|=1； u 當當=c時，時，|Ha(jc)|=0.707，20lg|Ha(j0)/Ha(jc)|=3 dB， c為為3 dB截止頻率。（截止頻率。（3分貝帶寬）分貝帶寬） 1) 在通帶內有最大平坦的幅度特性，單調減小；在通帶內有最大平坦的幅度特性，單調減小； 2) 過渡帶及阻帶內快速單調

17、減小；過渡帶及阻帶內快速單調減小； 3) N越大，通帶內特性越平坦，過渡帶越窄；越大，通帶內特性越平坦，過渡帶越窄； 4) 3dB不變性不變性;1. 1. 幅度函數的特點幅度函數的特點NcjsNcaaajssHsHjH2221111)()(Ha(s)Ha(-s)的極點為的極點為 NkjccNkejs2122121)() 1(k=0,1, 2, , 2N-1 Ha(s)Ha(-s)的的2N個極點等間隔分布在個極點等間隔分布在半徑為半徑為c的圓上。的圓上。 2. 2. 幅度平方特性的極點分布幅度平方特性的極點分布全極點系統全極點系統ooc / 3jjc / 4(a) N3(b) N4 極點在極點在

18、s平面呈象限對稱，分布在巴特沃思圓上，平面呈象限對稱，分布在巴特沃思圓上，共共2N個；個； 極點間的角度間隔為極點間的角度間隔為/N rad； 極點不會落在虛軸上（起點極點不會落在虛軸上（起點(/2)+ (/2N)）；）； N=奇數奇數 實軸上有極點，實軸上有極點，N=偶數偶數 實軸上無極點。實軸上無極點。 為形成穩定的濾波器，為形成穩定的濾波器，Ha(s)Ha(-s)的的2N個極點中只取個極點中只取S左半左半平面的平面的N個極點為個極點為Ha(s)的極點，而右半平面的的極點，而右半平面的N個極點構成個極點構成Ha(-s)的極點。的極點。10)()(NkkNcasssHNkjckes21221

19、k=0,1, 2, , 2N-1 3. 濾波器系統函數濾波器系統函數Ha(s)230121 33231345 jccjjccjccsessesesse 設設N=3N=3，極點有，極點有6 6個，它們分別為個，它們分別為 32323jccjccaessessH cspaapHsHu由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設計統一，由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設計統一，將所有的頻率歸一化。這里采用對將所有的頻率歸一化。這里采用對3dB3dB截止頻截止頻率率c c歸一化歸一化 s/c=j/c =/c，稱為歸一化頻率稱為歸一化頻率； p=j，p稱為歸一化復變量稱為歸一化復變量，歸一化巴特沃斯歸一化巴特沃斯

20、的傳輸函數為的傳輸函數為101( )()aNkkccHsss101()()aNkkHppp4 4、歸一化系統函數、歸一化系統函數pk為歸一化極點，用下式表示：為歸一化極點，用下式表示：將極點展開可得到的將極點展開可得到的H Ha a(p)(p)的分母的分母p p的的N N階多項式，用階多項式，用下式表示：下式表示： 1 21()22,0,1,1kjNkpekN2101211( )aNNNH pbb p b pbpp （1）確定模擬濾波器的技術指標）確定模擬濾波器的技術指標p, s，p p s s ； （2） 根據技術指標求出濾波器階數根據技術指標求出濾波器階數N：5. 5. 濾波器的設計步驟濾

21、波器的設計步驟NcppapapjHjH2211lg201101 . 02pNcp通帶截止頻率關于通帶截止頻率關于c歸一化歸一化NcssasasjHjH2211lg201101 . 02sNcs阻帶截止頻率關于阻帶截止頻率關于c歸一化歸一化1101 . 02pNcp1101 . 02sNcs1101101 . 01 . 0spNsp,pssp 令令：110110k1 . 01 . 0spspspspkN lglg 取大于等于取大于等于N N的最小整數的最小整數3）求出歸一化系統函數）求出歸一化系統函數Ha (p) NkkapppH11Nkjkep21221k=0,1, 2, , N-1 巴特沃思

22、圓巴特沃思圓巴特沃斯歸一化低通濾波器分母多項式的因式分解巴特沃斯歸一化低通濾波器分母多項式的因式分解巴特沃斯歸一化低通濾波器分母多項式系數巴特沃斯歸一化低通濾波器分母多項式系數 4）去歸一化）去歸一化 caspaacsHpHsHspc)(通帶指標剛好，阻帶指標有富裕通帶指標剛好，阻帶指標有富裕阻帶指標剛好，通帶指標有富裕阻帶指標剛好，通帶指標有富裕pNcp1 . 02101sNcs1 . 02101Npcp211 . 0) 110(Nscs211 . 0) 110(例例6-1 6-1 已知通帶截止頻率已知通帶截止頻率f fp p=5kHz=5kHz，通帶最，通帶最大衰減大衰減p p=2dB=2

23、dB，阻帶截止頻率，阻帶截止頻率f fs s=12kHz=12kHz，阻帶最小衰減阻帶最小衰減s s=30dB=30dB，按照以上技術指，按照以上技術指標設計巴特沃斯低通濾波器。標設計巴特沃斯低通濾波器。解解 (1) (1) 確定階數確定階數N N。 0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspassppkffNN (2) (2) 其極點為其極點為歸一化傳輸函數為歸一化傳輸函數為401()()akkHppppk=ej (+(2k+1)/2N) k=0,1,2,N-15745632541530jjjjjepepepepep由由N=5N=5，直接查

24、表得到：，直接查表得到： 極點：極點：-0.3090-0.3090j0.9511,-0.8090j0.9511,-0.8090j0.5878; j0.5878; -1.0000-1.00005432432101( )aHppb pb pb pb pb b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361 11618. 11618. 0122ppppppHa(3) (3) 為將為將Ha(p)Ha(p)去歸一化，先求去歸一化，先求3dB3dB截止頻率截止頻率c c。得到：得到：將將p=s/p=s/c c代入代入H Ha a(p)(p)中得到：中得到：5

25、54233245432( )10cacccccHssbsbsbsbsb10.1210.12(101)25.2755/(101)210.525/psaNcpaNsckradskrads 此時算出的截止頻率比題目中給出的小，或者說在截止此時算出的截止頻率比題目中給出的小，或者說在截止頻率處的衰減大于頻率處的衰減大于30dB30dB，所以說阻帶指標有富裕量。，所以說阻帶指標有富裕量。b0=1.0000、b1=3.2361、b2=5.2361、b3=5.2361、b4=3.2361第5章 無限長單位脈沖響應（IIR）數字濾波器的設計方法 4 Chebyshev低通濾波器的設計方法比同階的比同階的But

26、terworth濾波器具有更陡峭的濾波器具有更陡峭的過渡帶和更優的阻帶衰減特性過渡帶和更優的阻帶衰減特性.振幅具有等振幅具有等波紋波紋.(1) Chebyshev低通濾波器特點低通濾波器特點第5章 無限長單位脈沖響應（IIR）數字濾波器的設計方法 第5章 無限長單位脈沖響應（IIR）數字濾波器的設計方法 ，表示通帶波紋大小，表示通帶波紋大小， 越大，波紋越大越大，波紋越大01N：濾波器的階數：濾波器的階數幅度平方函數：幅度平方函數：)(11)()(2222pNaCjHA ：N階階Chebyshev多項式多項式( )NCx通帶截止頻率:p第5章 無限長單位脈沖響應（IIR）數字濾波器的設計方法

27、1),(1),arccoscos()(xNArchxchxxNxCN第5章 無限長單位脈沖響應（IIR）數字濾波器的設計方法 )1ln(,22xxArchxeechxxx第5章 無限長單位脈沖響應（IIR）數字濾波器的設計方法 幅度函數特點：幅度函數特點：N為偶數為偶數2( 0)1/ 1aHjN為奇數為奇數( 0)1aHj0 v )(11)(22pNaCjH211)(,jHap時之間等波紋起伏和在通帶內2111:p增大迅速下降隨通帶外:p第5章 無限長單位脈沖響應（IIR）數字濾波器的設計方法 (2) 設計原理設計原理)(11)()(222pNaCjHA)(11)()(22pNaajsCsHs

28、H)(,sHa確定求極點第5章 無限長單位脈沖響應（IIR）數字濾波器的設計方法 (3) 濾波器的設計步驟濾波器的設計步驟:;,和參數確定階數和由技術指標Nsspp)()(11psArchkArchN其中其中1101101 . 01 . 011psk1101 . 0p第5章 無限長單位脈沖響應（IIR）數字濾波器的設計方法 )()2(sHa求)1(1, 2 , 1,)212cos()212sin()(ArshNNiNichNichjssHpipiiiia其中的極點確定)(sHa用左半平面的極點構成6.3 6.3 模擬濾波器的頻率變換模擬濾波器的頻率變換 AF濾波器LP其他AF濾波器HP, BP

29、, BS設：傳輸函數歸一化截止頻率歸一化拉氏變量p=jq=j歸一化傳輸函數G(p)H(q) sG各類模擬濾波器的設計過程圖 HPBPBS指標LP指標G(j)傳輸函數傳輸函數頻率變換頻率變換設計jHjHjHBSBPHP sH0jGjH0sccscssc低通到高通低通到高通sccs00:00:sccs0csccssscjjjcccc2ssccjs ccc11qpsscc1 qppGqH1 csqqHsH spcpGsH例例6-2 設計高通濾波器設計高通濾波器,f,fp p=200Hz,f=200Hz,fs s=100Hz=100Hz，幅度特，幅度特性單調下降，性單調下降，f fp p處最大衰減為處

30、最大衰減為3dB3dB，阻帶最小衰減，阻帶最小衰減s s=15dB=15dB。解解:高通技術高通技術要求要求： fp=200Hz,p=3dB; fs=100Hz,s=15dB歸一化頻率歸一化頻率低通技術要求：低通技術要求：11,23,15psspsdBdB5 . 01cscsscpcppffff 設計歸一化低通設計歸一化低通G(p)G(p)。采用巴特沃斯濾波器，故。采用巴特沃斯濾波器，故0.10.1321010.181012lg2.47,3lg1( )221psspssppspspkkNNG pppp 求模擬高通求模擬高通H(s)H(s)： pccccspfsssspGsHc22232233設

31、計技術成設計技術成熟有相當簡熟有相當簡便的公式和便的公式和圖表圖表模擬濾波器模擬濾波器)(sHaAF由此設計由此設計數字濾波器數字濾波器)(zHDF要求要求DFDF特性特性模仿模仿AFAF的特性的特性實際上是個映射問題實際上是個映射問題MappingMapping離散時間域離散時間域(Z(Z平面平面) )轉換關系轉換關系連續時間域連續時間域(S (S平面平面) )（1 1） H(z)的頻率響應要能的頻率響應要能模仿模仿Ha(s)的頻率響應的頻率響應 也即也即S平面虛軸平面虛軸j必須映射到必須映射到Z平面的單位圓平面的單位圓ej上上（2 2） 因果穩定的因果穩定的Ha(s)應能映射成因果穩定的應

32、能映射成因果穩定的H(z) 也即也即S平面的左半平面平面的左半平面Res0必須映射到必須映射到Z平面單位平面單位 圓的內部圓的內部|z|1 對轉換關系提出兩點要求對轉換關系提出兩點要求:滿足上述轉換關系的映射方法有：滿足上述轉換關系的映射方法有： 脈沖響應不變法脈沖響應不變法和和雙線性變換法雙線性變換法一、一、 變換原理變換原理數字濾波器的單位脈沖響應序列數字濾波器的單位脈沖響應序列h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應模仿模擬濾波器的沖激響應ha(t)，即將，即將ha(t)進行等間隔采樣，使進行等間隔采樣，使h(n)正好等于正好等于ha(t)的采樣值，的采樣值，滿足：滿足： 6.4 用脈沖響應不變

33、法設計用脈沖響應不變法設計IIRIIR數字濾波器數字濾波器 nTtathnhHa(s)H(z) sHzHaezsT)(Ha(s)LT-1Ha(s)ha(t)時域采樣時域采樣h(n)ZTh(n)H(z)所以說脈沖響應不變法是一種時域上的變換方法所以說脈沖響應不變法是一種時域上的變換方法sTez S S平面到平面到Z Z平面的映射關系為：平面的映射關系為：kTjsHTjksHTkaska21)(1)(,)(,)(,)()(zHzsHezsHssHthAFasTaaas得得到到平平面面上上映映射射到到將將關關系系的的映映射射然然后后再再經經過過得得到到周周期期延延拓拓平平面面上上沿沿虛虛軸軸在在的的

34、拉拉氏氏變變換換的的 j S/2- S/23 S/2ImZReZjwsTrezezTerTjs二、混疊失真二、混疊失真數字濾波器的頻率響應和模擬濾波器的頻率響應間的關系為數字濾波器的頻率響應和模擬濾波器的頻率響應間的關系為 TkjHTeHkaj21)(數字濾波器的頻率響應是模擬濾波器頻率響應的周期延拓。正如數字濾波器的頻率響應是模擬濾波器頻率響應的周期延拓。正如采樣定理所討論的，只有當模擬濾波器的頻率響應是采樣定理所討論的，只有當模擬濾波器的頻率響應是限帶限帶的，且的，且帶限于折疊頻率以內時，數字濾波器的頻響在折疊頻率內重現模帶限于折疊頻率以內時，數字濾波器的頻響在折疊頻率內重現模擬濾波器的頻

35、響而不產生混疊失真。擬濾波器的頻響而不產生混疊失真。 0)(jHa2|sTTjHTeHaj1)(| 任何一個實際的模擬濾波器頻率響應都不是嚴格限帶的，任何一個實際的模擬濾波器頻率響應都不是嚴格限帶的， 變換后就會產生周期延拓分量的頻譜交疊，即產生頻率響應的變換后就會產生周期延拓分量的頻譜交疊，即產生頻率響應的混疊失真。這時數字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻混疊失真。這時數字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響，而帶有一定的失真。響，而帶有一定的失真。 當模擬濾波器的頻率響應在折疊頻率以上處衰減越大、越當模擬濾波器的頻率響應在折疊頻率以上處衰減越大、越快時，變換后頻率響應混疊失真就越小。

36、這時，采用脈沖響應快時，變換后頻率響應混疊失真就越小。這時，采用脈沖響應不變法設計的數字濾波器才能得到良好的效果。不變法設計的數字濾波器才能得到良好的效果。 脈沖響應不變法只適合于設計脈沖響應不變法只適合于設計LPLP和和BPBP濾波器濾波器圖圖 脈沖響應不變法中的頻響混疊現象脈沖響應不變法中的頻響混疊現象 3 2)j(aHoo23 T)(ejHT2TTT2解決混疊的方法：解決混疊的方法：濾波器指標以模擬域形式給出，此時濾波器指標以模擬域形式給出，此時H Ha a(j)(j)、H Ha a(s)(s)、h ha a(t)(t)已確定，采樣頻率已確定，采樣頻率T T增加，混疊減小；增加，混疊減小

37、；濾波器指標以數字域形式給出，此時濾波器指標以數字域形式給出，此時H Ha a(j)(j)、H Ha a(s)(s)、h ha a(t)(t)未確定，但未確定，但p p s s已定，采樣頻率增已定，采樣頻率增加，為保證加，為保證s s不變，必有不變，必有s s增加，增加濾波器的增加，增加濾波器的階數階數N N，混疊減小。，混疊減小。 三、模擬濾波器的數字化方法三、模擬濾波器的數字化方法 設模擬濾波器的系統函數設模擬濾波器的系統函數Ha(s)只有只有單階極點單階極點，且假定分母，且假定分母的階數高于分子的階數的階數高于分子的階數 NkkkassAsH1)(NktskaatueAsHLthk11)

38、()()(NknTskNknTskanueAnueAnThnhkk11)()()()()( NkTskNknTsnknNknTsknnzeAzeAzeAznhzHkkk111100111)()()()(（1 1）極點：）極點：S平面平面s=sk Z Z平面上平面上z=eskT（2 2）系數相同：）系數相同：A Ak k （3 3）穩定性不變：）穩定性不變：S S平面平面ReRes sk k00 Z Z平面平面|e|es sk kT T|1|1（4 4）零點位置沒有這種代數對應關系）零點位置沒有這種代數對應關系 NkTskNkkkazeAzHssAsHk1111Ha(s)Ha(s)有共軛復數對極

39、點：有共軛復數對極點：Ha(s)Ha(s)的極點的極點s si i一般是一個復數，以共軛成對的形式出現，將一般是一個復數，以共軛成對的形式出現，將一對復數共軛極點放在一起，形成一個二階基本節。一對復數共軛極點放在一起，形成一個二階基本節。AFAF二階基本節形式一：二階基本節形式一：21211)()(:sssHa形式一極點極點- - 1 1 j j 1 1+= 0 nnnT1 jnT1 jnT1nnz )ee (21 ez ) n ( h) z ( H1111121211cos12cosTTTzeTzeTzeAFAF二階基本節形式二二階基本節形式二：21211)()(:ssHa形式二極點極點-

40、- 1 1 j j 1+= 0 nnnT1 jnT1 jnT1nnz )ee (21 ez ) n ( h) z ( H1111112211112121,()s i n12c o sTTTjszeTzeTzeTjHTeHaj1)(| 如果采樣頻率很高，即如果采樣頻率很高，即T很小，數字濾波器可能具有太高的很小，數字濾波器可能具有太高的增益，容易溢出，這是不希望的。為了使數字濾波器增益不隨采增益，容易溢出，這是不希望的。為了使數字濾波器增益不隨采樣頻率而變化，可以作以下簡單的樣頻率而變化，可以作以下簡單的修正修正，令，令 h(n)=Tha(nT) NkTskzeTAzHk111)(TjHkTjT

41、jHTTeHakaj21)(| 例例 6-3 6-3 設模擬濾波器的系統函數為設模擬濾波器的系統函數為 3111342)(2sssssHa試利用脈沖響應不變法將試利用脈沖響應不變法將H Ha a( (s s) )轉換成轉換成IIRIIR數字濾波器的系統函數數字濾波器的系統函數H H( (z z) ) 解：解： 數字濾波器的系統函數為數字濾波器的系統函數為 TTTTTTTezeezeeTzezTezTzH423131311)(1)(11)(設設T T=1=1，則有，則有 21101831. 04177. 013181. 0)(zzzzH 模擬濾波器的頻率響應模擬濾波器的頻率響應Ha(j)以及數字

42、濾波器的頻率響應以及數字濾波器的頻率響應H(ej)分別為分別為: : 2201831. 04177. 013181. 0)(432)(jjjjaeeeeHjjH）（把把| |H Ha a(j(j)|)|和和| |H H(e(ej j)|)|畫在圖上。由該圖可看出，由于畫在圖上。由該圖可看出，由于H Ha a(j(j) )不是充分限帶的，所以不是充分限帶的，所以H H(e(ej j) )產生了嚴重的頻譜混疊失真。產生了嚴重的頻譜混疊失真。 圖圖 例例6-36-3的幅頻特性的幅頻特性 / T2/ T2)j(aH)(ejHoo四、優缺點四、優缺點 1 1、優點：優點： 脈沖響應不變法使得數字濾波器的

43、單位脈沖響應完全模仿脈沖響應不變法使得數字濾波器的單位脈沖響應完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應，也就是模擬濾波器的單位沖激響應，也就是時域逼近良好時域逼近良好； 模擬頻率模擬頻率和數字頻率和數字頻率之間呈之間呈線性關系線性關系= =TT。 因而，因而，一個線性相位的模擬濾波器（例如貝塞爾濾波器）通過脈沖響一個線性相位的模擬濾波器（例如貝塞爾濾波器）通過脈沖響應不變法得到的仍然是一個線性相位的數字濾波器。應不變法得到的仍然是一個線性相位的數字濾波器。 2 2、缺點、缺點是有頻率響應的混疊效應是有頻率響應的混疊效應 脈沖響應不變法脈沖響應不變法只適用于限帶的模擬濾波器只適用于限帶的模擬濾波器( (

44、例如，例如， 衰減衰減特性很好的特性很好的低通低通或或帶通帶通濾波器濾波器) )，而且高頻衰減越快，混疊效應，而且高頻衰減越快，混疊效應越小。越小。 不適于高通和帶阻濾波器的設計，由于它們在高頻部分不衰不適于高通和帶阻濾波器的設計，由于它們在高頻部分不衰減，減， 因此將完全混淆在低頻響應中。因此將完全混淆在低頻響應中。 如果要對高通和帶阻濾波器采用脈沖響應不變法，如果要對高通和帶阻濾波器采用脈沖響應不變法， 就必須就必須先對高通和帶阻濾波器加一保護濾波器，濾掉高于折疊頻率先對高通和帶阻濾波器加一保護濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻率，然后再使用脈沖響應不變法轉換為數字濾波器。以上的頻率，然后再

45、使用脈沖響應不變法轉換為數字濾波器。 當然這樣會進一步增加設計復雜性和濾波器的階數。當然這樣會進一步增加設計復雜性和濾波器的階數。6.5 6.5 用雙線性變換法設計用雙線性變換法設計IIRIIR數字濾波器數字濾波器 一、變換原理一、變換原理從從S S平面到平面是多值的映射關系造成頻率響應的混疊失真平面到平面是多值的映射關系造成頻率響應的混疊失真克服：克服：第一步先將整個第一步先將整個S S平面壓縮映射到平面壓縮映射到S S1 1平面的平面的-/-/T T/T T一條橫一條橫帶里；帶里；第二步再通過標準變換關系第二步再通過標準變換關系z=es1T將此橫帶變換到整個將此橫帶變換到整個Z Z平面上平

46、面上去。去。這樣就使這樣就使S S平面與平面與Z Z平面建立了一一對應的單值關系，平面建立了一一對應的單值關系， 消除了多消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現象。值變換性，也就消除了頻譜混疊現象。 j 平面的單位圓外的右半平面平面的單位圓上平面的虛軸平面的單位圓內的左半平面映射zszszsezzHsHsTsa 11111)()( 1j 1 S/2- S/2ImZReZ 為了將為了將S S平面的整個虛軸平面的整個虛軸j j壓縮到壓縮到S S1 1平面平面j j1 1軸上的軸上的-/-/T T到到/T T段上，可以通過以下的正切變換實現段上，可以通過以下的正切變換實現 2tan22tan21TT

47、T式中式中, , T T仍是采樣間隔。仍是采樣間隔。 當當1 1由由-/T經過經過0 0變化到變化到/T時，時，由由-經過經過0 0變化到變化到+， 也即映射了整個也即映射了整個j軸。將式（軸。將式（5-425-42）寫成）寫成 2/2/2/2/11112TjTjTjTjeeeeTj 將此關系解析延拓到整個將此關系解析延拓到整個S S平面和平面和S S1 1平面，令平面，令j j= =s s，j j1 1= =s s1 1， 則得則得111111/2/21/2/2222 1tan21sTsTsTsTsTsTsTeeesT eeTTe再將再將S S1 1平面通過以下標準變換關系映射到平面通過以下

48、標準變換關系映射到Z Z平面：平面： z=es1T 從而得到從而得到S S平面和平面和Z Z平面的單值映射關系為：平面的單值映射關系為： 11112zzTssTsTsTsTz222121S S平面與平面與Z Z平面之間的單值映射關系，這種變換都是兩個線性函數平面之間的單值映射關系，這種變換都是兩個線性函數之比，因此稱為雙線性變換。之比，因此稱為雙線性變換。 二、逼近的情況二、逼近的情況 雙線性變換符合映射變換應滿足的兩點要求。雙線性變換符合映射變換應滿足的兩點要求。 （1 1）把）把z z=e=ejj代入式，可得代入式，可得 jTjeeTsjj2tan2112即即S S平面的虛軸映射到平面的虛

49、軸映射到Z Z平面的單位圓。平面的單位圓。 （2 2） 將將s s= =+j+j代入式得代入式得 jTjTz22222222|TTz 由此看出：由此看出： 當當00時，時， | |z z|1|00時，時，| |z z|1|1。 即即 S S平面的平面的左左半平面映射到半平面映射到Z Z平面的平面的單位圓內單位圓內，S S平面的平面的右右半平面映射到半平面映射到Z Z平面的平面的單位圓外單位圓外，S S平面的平面的虛軸虛軸映射到映射到Z Z平面平面的的單位圓上單位圓上。 因此，因此，穩定穩定的模擬濾波器經雙線性變換后所得的數字濾的模擬濾波器經雙線性變換后所得的數字濾波器也一定是波器也一定是穩定穩

50、定的。的。 三、優缺點三、優缺點 優點是避免了頻率響應的混疊現象。這是因為優點是避免了頻率響應的混疊現象。這是因為S S平面與平面與Z Z平平面是單值的一一對應關系。面是單值的一一對應關系。S S平面整個平面整個j j軸單值地對應于軸單值地對應于Z Z平面平面單位圓一周，單位圓一周， 即頻率軸是單值變換關系。即頻率軸是單值變換關系。2tan2TS S平面上平面上與與Z Z平面的平面的成非線性的正切關系。成非線性的正切關系。 雙線性變換法的頻率變換關系雙線性變換法的頻率變換關系 o2tan2T在零頻率附近，模擬角頻在零頻率附近，模擬角頻率率與數字頻率與數字頻率之間的之間的變換關系接近于線性關系；

51、變換關系接近于線性關系；當當進一步增加時，進一步增加時，增長得越來越慢，最后增長得越來越慢，最后當當時，時，終止在終止在折疊頻率折疊頻率=處，因而處，因而雙線性變換就不會出現雙線性變換就不會出現由于高頻部分超過折疊由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分頻率而混淆到低頻部分去的現象，去的現象， 從而消除了從而消除了頻率混疊現象。頻率混疊現象。模擬角頻率模擬角頻率和數字角頻率和數字角頻率的映射關系的映射關系22tanT Ha(j ) 2 頻率之間的非線性變換關系，就產生了新的問題。頻率之間的非線性變換關系，就產生了新的問題。 首先，一個線性相位的模擬濾波器經雙線性變換后得到非線首先，一個線性相位

52、的模擬濾波器經雙線性變換后得到非線性相位的數字濾波器，不再保持原有的線性相位了；性相位的數字濾波器，不再保持原有的線性相位了； 其次，這種非線性關系要求模擬濾波器的幅頻響應必須是其次，這種非線性關系要求模擬濾波器的幅頻響應必須是分分段常數型的段常數型的，即某一頻率段的幅頻響應近似等于某一常數（這，即某一頻率段的幅頻響應近似等于某一常數（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應特正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應特性），不然變換所產生的數字濾波器性），不然變換所產生的數字濾波器幅頻響應幅頻響應相對于原模擬濾相對于原模擬濾波器的幅頻響應會有波器的幅頻響應會有畸變畸變。

53、雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射ooo)j (aH)(ejHooo)(eargjH)j (argaH 對于分段常數的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性對于分段常數的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數的濾波器，但是各個分段邊緣的臨界頻率點產生了為分段常數的濾波器，但是各個分段邊緣的臨界頻率點產生了畸變，畸變， 這種頻率的畸變，可以通過頻率的這種頻率的畸變，可以通過頻率的預畸預畸來加以校正。也來加以校正。也就是將就是將臨界模擬頻率事先加以畸變臨界模擬頻率事先加以畸變， 然后經變換后正好映射到然后經變換后正好映射到所需要的數字頻率上。所需要的

54、數字頻率上。 )(jeH)( jHa)2tan(2T)(jeH)2tan(2T)( jHa四、模擬濾波器的數字化方法四、模擬濾波器的數字化方法 雙線性變換法比起脈沖響應不變法來，在設計和運算上也雙線性變換法比起脈沖響應不變法來，在設計和運算上也比較直接和簡單。由于雙線性變換法中，比較直接和簡單。由于雙線性變換法中，s s到到z z之間的變換是簡之間的變換是簡單的代數關系，即單的代數關系，即 11112112)()(11zzTHsHzHazzTsa頻率響應也可用直接代換的方法得到頻率響應也可用直接代換的方法得到 2tan2)()(2tan2TjHjHeHTaj （1 1） 如果給出的是待設計的帶

55、通濾波器的數字域轉折頻率如果給出的是待設計的帶通濾波器的數字域轉折頻率（通、（通、 阻帶截止頻率）阻帶截止頻率）1 1、2 2、3 3、4 4及采樣頻率及采樣頻率(1/(1/T T) )，則直接利用式則直接利用式2tan2T計算出相應的模擬濾波器的轉折頻率計算出相應的模擬濾波器的轉折頻率1 1、2 2、3 3和和4 4。這樣。這樣得到的模擬濾波器得到的模擬濾波器H Ha a( (s s) )的轉折頻率的轉折頻率1 1、2 2、3 3和和4 4，經雙線，經雙線性變換后就映射到數字濾波器性變換后就映射到數字濾波器H H( (z z) )的原轉折頻率的原轉折頻率1 1、2 2、3 3和和4 4。 設

56、計步驟：設計步驟： 如果給出的是待設計的帶通濾波器的模擬域轉折頻率（通、如果給出的是待設計的帶通濾波器的模擬域轉折頻率（通、 阻帶截止頻率）阻帶截止頻率）f f1 1、f f2 2、f f3 3、f f4 4和采樣頻率和采樣頻率(1/(1/T T) )，則需要先計，則需要先計算數字濾波器的轉折頻率（通、阻帶截止頻率）算數字濾波器的轉折頻率（通、阻帶截止頻率）、2 2、3 3 和和4 4。 =2fT 再進行預畸變得再進行預畸變得1 1、 3 3和和4 4 2tan2TH Ha a(s) (s) 經雙線性變換后映射到數字濾波器經雙線性變換后映射到數字濾波器H(z)H(z)的轉折頻率的轉折頻率1 1

57、、2 2、 3 3、4 4，并且能保證數字域頻率，并且能保證數字域頻率1 1、2 2、3 3、4 4與與給定的模擬域轉折頻率給定的模擬域轉折頻率f f1 1、f f、f f、f f4 4成線性關系。成線性關系。 （3 3）將）將 代入代入H Ha a( (s s) )，得，得H H( (z z) )為為 11112zzTs11112112| )()(11zzTHsHzHazzTsa22| )()(2tan2TjHjHeHaTaj（2 2） 按按1 1、2 2、3 3和和4 4等指標設計模擬濾波器的系統函等指標設計模擬濾波器的系統函數數H Ha a(s)(s) 需要特別強調的是，若模擬濾波器需要

58、特別強調的是，若模擬濾波器H Ha a( (s s) )為低通濾波器，應為低通濾波器，應用用變換得到的數字濾波器變換得到的數字濾波器H H( (z z) )也是低通濾波器；也是低通濾波器； 若若H Ha a( (s s) )為高通濾波器為高通濾波器，應用應用 變換得到的數字濾波器變換得到的數字濾波器H H( (z z) )也是高通濾波器也是高通濾波器; ; 若為帶通、帶阻濾波器也是如此若為帶通、帶阻濾波器也是如此。 在在IIRIIR數字濾波器的設計中，當強調模仿濾波器的瞬態響應數字濾波器的設計中，當強調模仿濾波器的瞬態響應時，采用脈沖響應不變法較好時，采用脈沖響應不變法較好; ; 而在其余情況

59、下，大多采用雙而在其余情況下，大多采用雙線性變換法。線性變換法。 11112zzTs11112zzTs 求求H H( (z z) )時，若階數較高，可用兩種方法進行簡化設計：時，若階數較高，可用兩種方法進行簡化設計： 1. 1. 可以先將模擬系統函數分解成可以先將模擬系統函數分解成并聯并聯的子系統函數（的子系統函數（子系子系統函數相加統函數相加）或）或級聯級聯的子系統函數（的子系統函數（子系統函數相乘子系統函數相乘），使每個），使每個子系統函數都變成低階的（例如一、子系統函數都變成低階的（例如一、 二階的）；二階的）； 然后再對每個子系統函數分別采用雙線性變換。分解為然后再對每個子系統函數分別

60、采用雙線性變換。分解為低階的方法是在模擬系統函數上進行的，而模擬系統函數的分解低階的方法是在模擬系統函數上進行的，而模擬系統函數的分解已有大量的圖表可以利用，分解起來比較方便。已有大量的圖表可以利用，分解起來比較方便。 2. 2. 可用表格的方法來完成雙線性變換設計，即預先求出雙可用表格的方法來完成雙線性變換設計，即預先求出雙線性變換法中離散系統函數的系數與模擬系統函數的系數之間的線性變換法中離散系統函數的系數與模擬系統函數的系數之間的關系式，并列成表格，便可利用表格進行設計了。關系式，并列成表格，便可利用表格進行設計了。 設模擬系統函數的表達式為設模擬系統函數的表達式為 NNNNNkkkNk