1、壓強壓強總壓力總壓力流體靜壓強及特性流體靜壓強及特性3.1歐拉平衡微分方程歐拉平衡微分方程3.2重力場中流體的平衡帕斯卡原理重力場中流體的平衡帕斯卡原理3.3液柱式測壓計液柱式測壓計3.4液體的相對平衡液體的相對平衡3.53.7靜止液體作用在曲面上的總壓力靜止液體作用在曲面上的總壓力靜止液體作用在平面上的總壓力靜止液體作用在平面上的總壓力3.6第三章 流體靜力學液體作用在浮體和潛體上的總壓力液體作用在浮體和潛體上的總壓力3.8引引 言言v 流體靜力學流體靜力學是研究流體在靜止狀態下的平衡規律及應用。是研究流體在靜止狀態下的平衡規律及應用。 v 靜止靜止是指流體質點相對于參考坐標系沒有運動的情況

2、，是一個相對概是指流體質點相對于參考坐標系沒有運動的情況，是一個相對概念，包括：念，包括： 絕對靜止絕對靜止流體對地球無相對運動流體對地球無相對運動 相對靜止相對靜止流體對地球有相對運動，但流層之間無相對運動流體對地球有相對運動，但流層之間無相對運動 v 流體靜力學理論的流體靜力學理論的適用范圍適用范圍：理想流體、實際流體：理想流體、實際流體 無論理想流體或實際流體，在靜止狀態下，流體層與層之間都沒有相無論理想流體或實際流體，在靜止狀態下，流體層與層之間都沒有相對運動。實際流體的粘性特征未能顯現。實際流體在靜止狀態下的物對運動。實際流體的粘性特征未能顯現。實際流體在靜止狀態下的物理特性類同于理

3、想流體。因此，理特性類同于理想流體。因此，流體靜力學理論同時適用于理想流體流體靜力學理論同時適用于理想流體和實際流體和實際流體。3.1流體靜壓強及特性流體靜壓強及特性 流體靜壓強的特性流體靜壓強的特性掌握掌握流體靜壓強的概念流體靜壓強的概念一、靜壓強 (pressure) p v 定義：靜止流體中，作用在單位面積上的力稱為靜壓強。定義：靜止流體中，作用在單位面積上的力稱為靜壓強。設微小面積設微小面積A上的總壓力為上的總壓力為P ，則：，則： 平均靜壓強：平均靜壓強： 點靜壓強：點靜壓強： 單位：帕斯卡（單位：帕斯卡（Pa）、牛頓）、牛頓/米米2（N/m2） v 總壓力（總壓力（P）：作用于某一

4、面積上的總靜壓強。）：作用于某一面積上的總靜壓強。 單位：牛頓（單位：牛頓（N） APp0limAPpA 當流體處于平衡或相對平衡狀態時當流體處于平衡或相對平衡狀態時, ,作用在流體上的應力只作用在流體上的應力只有有法向應力法向應力而沒有切向應力而沒有切向應力, ,流體作用面上流體作用面上負的法向應力負的法向應力就就是是靜壓強。靜壓強。nnnpdAFdp流體靜壓強及其特性流體靜壓強恒垂直于器壁流體靜壓強恒垂直于器壁二、靜壓強的兩個特性1靜壓強方向永遠沿著作用面內法線方向靜壓強方向永遠沿著作用面內法線方向（“內內”指向作用面；指向作用面；“法法線線”垂直作用面）。垂直作用面）。 v 證明：（反證

5、法）如圖，取靜止流體中任意隔離體。設切割面上任一證明：（反證法）如圖，取靜止流體中任意隔離體。設切割面上任一點點 m 處靜壓強處靜壓強 p 為任意方向。則為任意方向。則 p 一定可分解為垂直于作用面的法一定可分解為垂直于作用面的法向分力向分力 pn 和平行于作用面的切向分力和平行于作用面的切向分力。p pn 若存在平行于作用面的切向作若存在平行于作用面的切向作用力用力：流體在切向力作用下必：流體在切向力作用下必然發生流動，這與流體靜止的然發生流動，這與流體靜止的前提條件相悖。前提條件相悖。靜止流體不能承受剪切作用力 1綜上，靜壓強的方向必垂直且指向作用綜上，靜壓強的方向必垂直且指向作用 面，即

6、永遠沿著作用面的內法線方向。面，即永遠沿著作用面的內法線方向。二、靜壓強的兩個特性1靜壓強方向永遠沿著作用面內法線方向靜壓強方向永遠沿著作用面內法線方向（“內內”指向作用面；指向作用面；“法法線線”垂直作用面）。垂直作用面）。 p pn 若存在垂直于作用面的若存在垂直于作用面的法向作用力法向作用力pn ，由流體，由流體不能承受拉力的性質可不能承受拉力的性質可知：垂向作用力知：垂向作用力pn只能只能為壓力。為壓力。垂向作用力pn指向作用面。 2v特性二：靜止流體中任何一點上各個方向的靜壓特性二：靜止流體中任何一點上各個方向的靜壓強大小相等，與作用面在空間的方位無關。即靜強大小相等，與作用面在空間

7、的方位無關。即靜壓強各向等值，只是坐標點的連續可微函數。壓強各向等值，只是坐標點的連續可微函數。在靜止流體中的點在靜止流體中的點A A取取一取取一微小四面體微小四面體, ,其中邊長其中邊長xx、yy、zz分別與坐標軸平行分別與坐標軸平行。 受力分析：作用在垂直于受力分析：作用在垂直于x x、y y 、 z z 軸 的 坐 標 面 和 斜 面軸 的 坐 標 面 和 斜 面 ABC ABC 上的靜壓強，靜壓強上的靜壓強，靜壓強分別為分別為: Px: Px、PyPy、PzPz和和PnPn 密度密度 作用在四面體上單位質量力作用在四面體上單位質量力的分量的分量: :fx fx 、fyfy、 fzfz流

8、體靜壓強及其特性pypxpzyxzoABCdydxdzm圖圖2 2- -2 2 靜止流體中四面體微元靜止流體中四面體微元pnpypxpzyxzoABCdydxdzm圖圖2 2- -2 2 靜止流體中四面體微元靜止流體中四面體微元pypxpzyxzoABCdydxdzmpypxpzyxzoABCdydxdzpypxpzyxzoABCpypxpzyxzoABCdydxdzm靜止流體中四面體微元靜止流體中四面體微元pn以以x方向為例，有：方向為例，有： x方向上的質量力：方向上的質量力： x方向上的表面力：方向上的表面力： 根據靜止流體受力平衡原理根據靜止流體受力平衡原理 ， 11cos( , )0

9、62xxnf dxdydzpdydzpABCn x質量力質量力 x 面壓力面壓力ABC 面壓力面壓力1110622xxnf dxdydzpdydzpdydz0F16xf dxdydz1cos( , )2xnpdydzpABCn xpypxpzyxzoABCdydxdzm圖圖2 2- -2 2 靜止流體中四面體微元靜止流體中四面體微元pnpypxpzyxzoABCdydxdzm圖圖2 2- -2 2 靜止流體中四面體微元靜止流體中四面體微元pypxpzyxzoABCdydxdzmpypxpzyxzoABCdydxdzpypxpzyxzoABCpypxpzyxzoABCdydxdzm靜止流體中四面

10、體微元靜止流體中四面體微元pn力在力在x x方向的平衡方程為方向的平衡方程為 061,cos21zyxfxpApzypxnBCDnxzyxpAnBCD21,cos由于 031xfppxnxnxpp nyppnzpp nzyxpppp流體靜壓強及其特性證明在靜止流體內部證明在靜止流體內部, , 流體的任一流體的任一點上來自任何方向的靜壓強大小相等，點上來自任何方向的靜壓強大小相等，壓強只是點的坐標的連續函數壓強只是點的坐標的連續函數靜壓強可表示為靜壓強可表示為zyxpp,當四面體當四面體ABC 縮小到縮小到o點時，式中的質量力與其它兩項相比為高階小量，點時，式中的質量力與其它兩項相比為高階小量，

11、可忽略不計。取可忽略不計。取x、y、z0時的極限，忽略無窮小量時的極限，忽略無窮小量 pypxpzyxzoABCdydxdzm圖圖2 2- -2 2 靜止流體中四面體微元靜止流體中四面體微元pnpypxpzyxzoABCdydxdzm圖圖2 2- -2 2 靜止流體中四面體微元靜止流體中四面體微元pypxpzyxzoABCdydxdzmpypxpzyxzoABCdydxdzpypxpzyxzoABCpypxpzyxzoABCdydxdzm靜止流體中四面體微元靜止流體中四面體微元pn同理，可得：同理，可得：取微元體（研究對象）取微元體（研究對象）受力分析受力分析導出關系導出關系 (平衡關系平衡關

12、系)得出結論得出結論第二節歐拉平衡微分方程第二節歐拉平衡微分方程一、流體平衡微分方程式的建立一、流體平衡微分方程式的建立在靜止流體中取一微元平行六面體在靜止流體中取一微元平行六面體邊長邊長 xx、yy、zz 中心點坐標中心點坐標 a a( (x,y,zx,y,z) )中心點壓強中心點壓強 p p作用在作用在x x軸垂直的兩個面中心點軸垂直的兩個面中心點b b、c c上上的流體靜壓強，可將的流體靜壓強，可將a a點的靜壓強按泰點的靜壓強按泰勒級數展開，略去二階以上的無窮小項勒級數展開，略去二階以上的無窮小項求得求得圖圖2-3 靜止流體中六面體微元靜止流體中六面體微元 靜止流體中六面體微元靜止流體

13、中六面體微元 質量力質量力表面力表面力重力重力慣性力慣性力正應力正應力剪應力剪應力絕對靜止絕對靜止相對靜止相對靜止質量力質量力表面力表面力正應力正應力剪應力剪應力質量力質量力表面力表面力正應力正應力剪應力剪應力p A x z dx dy dz A1 A2 y 一、平衡方程式一、平衡方程式質量力質量力重力、慣性力，單重力、慣性力，單位質量力位質量力分量用分量用fx 、fy、 fz 表示。表示。 表面力表面力僅有靜壓強僅有靜壓強 p 作用。作用。 A點的壓力為點的壓力為p，則，則A1、A2點的壓力可通過泰勒級數展開得出：點的壓力可通過泰勒級數展開得出： 略去二階以上高階小量后，得：略去二階以上高階

14、小量后，得： 2212111111(, , )( , , )()()()222!2!2nnnppppp xdx y zp x y zdxdxdxxxnx2222111111(, , )( , , )()()()222!2!2nnnppppp xdx y zp x y zdxdxdxxxnx112pppdxx212pppdxx圖圖2-3 靜止流體中六面體微元靜止流體中六面體微元 p A x z dx dy dz A1 A2 y 靜止流體中六面體微元靜止流體中六面體微元 p A x z dx dy dz A1 A2 y x x方向的平衡方程式方向的平衡方程式 022zyxxppzyxxppzyxf

15、x0zyxxpzyxfxzyxm化簡得同除以 01xpfx同理得01ypfy01zpfz（1）（2）（3）歐拉平衡微分方程 等壓面 力函數流體的平衡微分方程式根據流體平衡的充要條件，靜止流體所受的所有外力在各個坐標軸方根據流體平衡的充要條件，靜止流體所受的所有外力在各個坐標軸方向上的投影之和為零，即向上的投影之和為零，即 。以。以x方向為例：方向為例： 0iF 得出結論：得出結論：v流體平衡微分方程式流體平衡微分方程式，由，由17751775年歐拉提出，年歐拉提出，又稱為又稱為歐拉平衡方程式歐拉平衡方程式。 v流體平衡微分方程式的流體平衡微分方程式的物理意義物理意義：對于單：對于單位質量的流體

16、，其質量力與表面力在任何方位質量的流體，其質量力與表面力在任何方向上都應保持平衡，即質量力與該方向上表向上都應保持平衡，即質量力與該方向上表面力的合力應大小相等、方向相反。面力的合力應大小相等、方向相反。 v流體平衡微分方程的流體平衡微分方程的適用范圍適用范圍： n理想流體或實際流體理想流體或實際流體 n絕對靜止或相對靜止流體絕對靜止或相對靜止流體 n不可壓縮或可壓縮流體不可壓縮或可壓縮流體流體平衡 微分方程101010 xyzpfxpfypfz質質量量力力表表面面力力I01pfv 為尋求靜止流體內靜壓強為尋求靜止流體內靜壓強 p 的分布規律，取各方向歐拉平衡方程分的分布規律，取各方向歐拉平衡

17、方程分別乘以別乘以dx，dy，dz，并相加，得：，并相加，得： v v v v 靜止流體中，靜壓強靜止流體中，靜壓強 p 只是坐標的函數：只是坐標的函數： ，壓強，壓強 p 的的全微分全微分dp 可寫為：可寫為： v 因此有：因此有：流體平衡微分方程 壓力全微分形式 111()()()0 xyzpppfdxfdyfdzxyz()xyzpppdxdydzf dxf dyf dzxyzpppdpdxdydzxyz),(zyxfp ()xyzdpf dxf dyf dz二、壓強差公式二、壓強差公式dzfdyfdxfdzzpdyypdxxpdpzyx0dp0dzfdyfdxfzyx歐拉平衡微分方程 等

18、壓面 力函數等壓面在流體中壓強相等的點組成的面性質性質：在靜止流體中，作用于任意點的質量力垂直于在靜止流體中，作用于任意點的質量力垂直于經過該點的等壓面經過該點的等壓面微分形式的等壓面方程微分形式的等壓面方程寫成矢量形式寫成矢量形式0 xyzf drf dxf dyf dz由矢量代數和可知由矢量代數和可知, ,這兩個矢量必然垂直這兩個矢量必然垂直三、等壓面v 等壓面的特性等壓面的特性： （1）等壓面即等勢面等壓面即等勢面，有：有： 。 （2）等壓面方程用矢量形式可表示為：）等壓面方程用矢量形式可表示為： ，其，其中：中： 為沿等壓面的無窮小距為沿等壓面的無窮小距離離 。因此：。因此：等壓面與質

19、量力相等壓面與質量力相正交。正交。 （3）等壓面不能相交。）等壓面不能相交。 （4）兩種互不相溶的流體平衡時的分界面為等壓面。）兩種互不相溶的流體平衡時的分界面為等壓面。 （5）同種相連通的絕對靜止流體的水平面為等壓面。同種相連通的絕對靜止流體的水平面為等壓面。0 xyzdpf dxf dyf dz0f drdrdxidy jdzkdr歐拉平衡微分方程 等壓面 力函數流體平衡的條件，對于不可壓縮流體流體平衡的條件，對于不可壓縮流體 左邊是壓強的全微分，則從數學的角度而言，其右邊亦應是左邊是壓強的全微分，則從數學的角度而言，其右邊亦應是某一坐標函數全微分，方程才有意義。因此，某一坐標函數全微分，

20、方程才有意義。因此，單位質量力分單位質量力分量之間有下述關系量之間有下述關系: : yfxfxyyzffyzxzxfzf0frotf它的矢量形式它的矢量形式四、力的勢函數四、力的勢函數xyzd pf dxf dyf dz歐拉平衡微分方程 等壓面 力函數設用設用-(x,y,z)x,y,z)表示這一函數，則有：表示這一函數，則有：xfxyfyzfzzyx,gradf寫成矢量寫成矢量力的勢函數上式表明上式表明, ,對于不可壓縮流體對于不可壓縮流體, ,質量力存在勢函數質量力存在勢函數, ,此時此時, ,質質量力為有勢的力量力為有勢的力勢函數相等的點組成的面稱為等勢面。勢函數相等的點組成的面稱為等勢面

21、。 各種壓強表示方法各種壓強表示方法 重點重點掌握掌握靜力學基本方程及其應用靜力學基本方程及其應用 第三節重力場中流體的平衡帕斯卡原理第三節重力場中流體的平衡帕斯卡原理重力場中流體的平衡一、流體靜力學基本方程式一、流體靜力學基本方程式 0yxffgfzgdzdppzcggpzgpz2211 適用于不可壓縮重力流體的平衡狀態對于不可壓縮對于不可壓縮流體流體, ,積分得積分得對對1,21,2兩點列方程兩點列方程重力場中重力場中, ,取取xoyxoy為水平面為水平面,z ,z軸垂直向上軸垂直向上, ,在該坐標系中單位在該坐標系中單位質量力的分量為質量力的分量為第三節力場中流體的平衡第三節力場中流體的

22、平衡 帕斯卡原理帕斯卡原理靜力學基本方程形式之一靜力學基本方程形式之一 重力場中流體的平衡物理意義物理意義 當連續不可壓縮的重力流體處于平衡狀態時當連續不可壓縮的重力流體處于平衡狀態時, ,在在流體中的任意點上流體中的任意點上, ,單位重量流體的總勢能為常數單位重量流體的總勢能為常數zgp單位重量流體的位勢能單位重量流體的位勢能單位重量流體的壓強勢能，單位重量流體的壓強勢能，代表壓強做的功代表壓強做的功之和為總勢能之和為總勢能流體靜力學基本方程pzcg重力場中流體的平衡phzgpzgphp對圖中對圖中a a點和點和b b點列靜力學方程點列靜力學方程或或流體靜力學基本方程把已抽成真空的閉口測壓管

23、把已抽成真空的閉口測壓管bc連接到容器上具有壓強連接到容器上具有壓強P的的a點，容點，容器內的液體將在壓強器內的液體將在壓強p和完全真空之間的壓差作用下在測壓管中和完全真空之間的壓差作用下在測壓管中上升一定的高度。上升一定的高度。重力場中流體的平衡幾何意義幾何意義不可壓縮的重力流體不可壓縮的重力流體處于平衡狀態時處于平衡狀態時,靜水頭靜水頭線或者計示靜水頭線為線或者計示靜水頭線為平行于基準面的水平線平行于基準面的水平線zgp位置水頭位置水頭壓強水頭壓強水頭之和為靜水頭之和為靜水頭A-A A-A 靜水頭線靜水頭線A A A A 計示靜水頭線計示靜水頭線不可壓縮流體中壓強的變化單位重量流體所具有的

24、能量可以用液柱高度來表示，單位重量流體所具有的能量可以用液柱高度來表示，稱為水頭。稱為水頭。重力場中流體的平衡gphzgpz0ghpp0h帕斯卡原理帕斯卡原理 1 1自由表面的壓強自由表面的壓強2 2 淹深為淹深為 、密度為、密度為 的流體柱產生的壓強的流體柱產生的壓強對淹深為對淹深為h h的的a a點和壓強為點和壓強為p p0 0的自的自由液面上的點，列靜力學基本方程由液面上的點，列靜力學基本方程gh上式表明上式表明: :不可壓縮的重力流體處于平衡狀態時不可壓縮的重力流體處于平衡狀態時, ,流體內部的靜壓強流體內部的靜壓強由兩部分構成由兩部分構成均質不可壓縮的重力流體處于平衡狀態時均質不可壓

25、縮的重力流體處于平衡狀態時, ,自由液面上的壓強對內部自由液面上的壓強對內部任意點上的影響是相同的任意點上的影響是相同的, ,即施加于自由液面上的壓強即施加于自由液面上的壓強, ,將以同樣的大將以同樣的大小傳遞到液體內部任意點上小傳遞到液體內部任意點上帕斯卡原理帕斯卡原理重力場中流體的平衡可壓縮流體中壓強的變化可壓縮流體中壓強的變化等溫過程等溫過程, ,氣體的密度氣體的密度RTpgfffzyx, 0gdzRTpdp1重力場中單位質量力分量重力場中單位質量力分量為為代入壓差公式代入壓差公式, ,得得01 gdzpdpRTCgzpRTln1積分當當1zz 時1pp 得,積分常數111lngzpRT

26、C代入上式得代入上式得111lnRTzzgppppgRTzz111ln去掉對數符號去掉對數符號111RTzzgepp或者重力場中流體的平衡從海平面到從海平面到11000m11000m的空間的空間, ,為標準大氣的為標準大氣的對流層對流層, ,該層內溫度隨高度的變化規律為該層內溫度隨高度的變化規律為 在大氣層中在大氣層中, ,從高從高11000m11000m到到20100m20100m的空間為大氣恒溫層的空間為大氣恒溫層, ,層內層內KT7 .2161Papmz22638110001163441100022638zep代入得大氣恒溫層的壓代入得大氣恒溫層的壓強計算公式強計算公式00.0065/T

27、Tz, K m 將重力場中單位質量力分量及溫度表達式將重力場中單位質量力分量及溫度表達式, ,代入壓強差公式代入壓強差公式, ,得得對流層中壓強和高度的關系對流層中壓強和高度的關系zTRgdzpdp0001lnlnTzRgpp積分得去掉對數得RgTzpp001PapKT10132515.28800255. 5443311101325zp海平面上代入得二、標準大氣的壓強分布二、標準大氣的壓強分布重力場中流體的平衡ghppaghpppaeppppaev絕對壓強絕對壓強：以完全真空為基準計量的壓強以完全真空為基準計量的壓強計示壓強計示壓強(相對壓強，表壓）相對壓強，表壓）：以當地大氣壓強為基準計量的

28、以當地大氣壓強為基準計量的壓強壓強真空壓強真空壓強 ：當被測流體的絕對壓強低于大氣壓強時，測得的計示當被測流體的絕對壓強低于大氣壓強時，測得的計示壓強為負值，此時，流體處于真空狀態壓強為負值，此時，流體處于真空狀態用液柱高度表示用液柱高度表示gppgphaVV三、絕對壓強計示壓強真空三、絕對壓強計示壓強真空絕對壓強絕對壓強ppapa絕對壓強絕對壓強相對壓強（表壓）相對壓強（表壓） 真空壓強真空壓強0p壓強表示關系壓強表示關系 根據帕斯卡定律，大氣壓根據帕斯卡定律，大氣壓 pa 將在液將在液體內部等值傳遞，體內部等值傳遞，因此：除特別聲因此：除特別聲明，通常在計算時直接以表壓計。明，通常在計算時

29、直接以表壓計。v 壓強的度量單位：壓強的度量單位： 應力表示形式：應力表示形式：N/m2、Pa 大氣壓表示形式：大氣壓表示形式：atm（標準大氣壓）、（標準大氣壓）、at（工程大氣壓）（工程大氣壓） 液柱高度表示形式：液柱高度表示形式：mH2o、mHg v 換算公式：換算公式： v omHmmHgPaatm25336.1076010013. 11omHmmHgPaat2410735108 . 91靜力學基本方程應用靜力學基本方程應用流體靜壓強分布圖的繪制流體靜壓強分布圖的繪制 v 壓強的大小壓強的大小：由靜力學基本方程確定。：由靜力學基本方程確定。 v 壓強的方向壓強的方向：由靜壓強基本特性確

30、定，即沿作用面內法線方向。：由靜壓強基本特性確定，即沿作用面內法線方向。 i i 例：繪制平面或曲面例：繪制平面或曲面ABC上的流體靜壓強分布圖。上的流體靜壓強分布圖。Cp0Rh p0p0+h p0+hp0+ (h+R) ABCp0Rhp0p0+h p0+hp0+ (h+R) AB三、靜力學基本方程式的意義三、靜力學基本方程式的意義 1幾何意義幾何意義 v z 位置水頭：靜止流體中某點至基準面的高度，與基準面的位置水頭：靜止流體中某點至基準面的高度，與基準面的選取有關。選取有關。 v 壓力水頭：靜止流體中某點上方的液柱高度或等效液柱高壓力水頭：靜止流體中某點上方的液柱高度或等效液柱高度。壓力水

31、頭的大小與基準面的選取無關。度。壓力水頭的大小與基準面的選取無關。 v 測壓管水頭測壓管水頭 v 靜止流體中任意點處的測壓管水頭為常數。靜止流體中任意點處的測壓管水頭為常數。 ppzpzC2 2 關于壓力水頭及等效液柱高度的關于壓力水頭及等效液柱高度的說明：說明： 由靜力學基本方程，有：由靜力學基本方程，有： 。若以表壓計算：。若以表壓計算： 若液面敞口，若液面敞口， ， 壓力水頭的幾何意義為：壓力水頭的幾何意義為：靜止流靜止流體中某點上方的液柱高度體中某點上方的液柱高度h； 若液面封若液面封 ， 。h為等效液柱高度，由實際為等效液柱高度，由實際液柱高度液柱高度 h 及液面壓力等效高度及液面壓

32、力等效高度 組成組成壓力水頭的幾何意壓力水頭的幾何意義為：靜止流體中某點上方的等效液柱高度義為：靜止流體中某點上方的等效液柱高度 若液面上方有其他液層覆蓋，此時若液面上方有其他液層覆蓋，此時h為非真實的為非真實的 液體的液柱高度，液體的液柱高度，應以該點所在位置的環境液體為依據轉化等效液柱高度。應以該點所在位置的環境液體為依據轉化等效液柱高度。00pppphh00p ph00p 0pph h 0ppa 0 0 1 2 z2 z1 基準面基準面位置位置 水頭水頭壓力壓力 水頭水頭測壓管測壓管 h1 h2 位置位置 水頭水頭 壓力壓力 水頭水頭1p2p測壓管水頭測壓管水頭 1212ppzz液面敞口

33、時:00p 例題：例題：v 根據適用范圍、適用條件的不同，測壓計通常根據適用范圍、適用條件的不同，測壓計通常有：液柱式測壓計，有：液柱式測壓計，金屬壓強計和電測式儀表等。金屬壓強計和電測式儀表等。v 金屬測壓計金屬測壓計 原理：彈性元件在壓力作用下彈性變形。原理：彈性元件在壓力作用下彈性變形。 分類：彈簧管式壓力表、薄膜式壓力表。分類：彈簧管式壓力表、薄膜式壓力表。 v 液柱式測壓計液柱式測壓計 工作原理：工作原理： 靜力學基本方程：靜力學基本方程： 及及 。 等壓面：同種相連通的絕對靜止流體的水平面為等壓面。等壓面：同種相連通的絕對靜止流體的水平面為等壓面。pzC0pph金屬式測壓計第四節第

34、四節 液柱式測壓計液柱式測壓計 測壓管：測壓管：同種液體引出液柱高度以測量壓力，一端與測壓點相同種液體引出液柱高度以測量壓力，一端與測壓點相連，一端通大氣。連，一端通大氣。 i i 求求A點的壓強點的壓強 工作原理：工作原理： 1.選取等壓面選取等壓面 2.在等壓面上應用靜力學基在等壓面上應用靜力學基本方程，應滿足：本方程，應滿足： 0AApphh0 0 z A h hA p0等壓面等壓面測壓管測壓管1.測壓管測壓管測壓管測壓管 appghppaghpeappghppaghpv重力場中流體的平衡結構最簡單的液柱式測壓計，是一根直徑均勻的結構最簡單的液柱式測壓計，是一根直徑均勻的玻璃管，直接連在

35、需要測量的容器上。玻璃管，直接連在需要測量的容器上。為了減小毛細現象的影響,玻璃管直徑一般不小于10mm分被測壓強高于和低于大氣壓強兩種情況第二章第二章 流體靜力學流體靜力學 水銀測壓計、組合水銀測壓計：水銀測壓計、組合水銀測壓計：U形管中，以水銀、空氣等形管中，以水銀、空氣等作為工作液，一端接測壓點，一端通大氣。作為工作液，一端接測壓點，一端通大氣。 i i 求求A點的壓強點的壓強 U形水銀測壓計形水銀測壓計h1 h2 等壓面等壓面 A 水銀水銀 工作原理：工作原理： 1.選取等壓面選取等壓面 2.在等壓面上應用靜力學基在等壓面上應用靜力學基本方程，應滿足：本方程，應滿足： A12Hgphh

36、2. U型管測壓計型管測壓計app2211ghpghpa重力場中流體的平衡U U形管測壓計形管測壓計 1122ghghppaapp1122ghghppa1122ghghpv1122ghghpe也要考慮毛細現象的影響也要考慮毛細現象的影響, ,管徑的要求和測壓管徑的要求和測壓管相同管相同, ,壓強量程比測壓管大得多壓強量程比測壓管大得多 被測流體的密度被測流體的密度 U U形管中工作液體的密度形管中工作液體的密度21i i 求求A點的壓強點的壓強 氣體的密度、重度很小，通常可以忽略空氣柱的重量，認為整氣體的密度、重度很小，通常可以忽略空氣柱的重量，認為整個充個充氣空間壓力相等。氣空間壓力相等。組

37、合水銀測壓計組合水銀測壓計123231()AHgHgAHgphphphphhh工作原理：工作原理： 1.選取等壓面選取等壓面1、2 2.在等壓面上應用靜力學基在等壓面上應用靜力學基本方程，應滿足：本方程，應滿足： h1 h2 等壓面等壓面1 A 水銀水銀 h3 等壓面等壓面2 空氣空氣 ppghghpghpBA22111hghghhgpppBA1211212重力場中流體的平衡3.U型管壓差計型管壓差計 U U形管測壓計還可用來測量流體的壓強差形管測壓計還可用來測量流體的壓強差容器中A,B點的位置高度一樣 兩個容器中流體的密度兩個容器中流體的密度U U形管中工作液體的密度形管中工作液體的密度21

38、水銀比壓計水銀比壓計等壓面等壓面2 h1 A B h2 p1 p2 等壓面等壓面1 h 工作原理：工作原理： 1.選取等壓面選取等壓面1、2 2.在等壓面上應用靜力學基在等壓面上應用靜力學基本方程，應滿足：本方程，應滿足： 11221212()ABHgABHgphpphppphpphhh i i 求求A A、B B兩點的壓強差兩點的壓強差重力場中流體的平衡4.傾斜式微壓計傾斜式微壓計 12pp 212AAlh sin1lh 2121sinAAlhhh2112sinpppghgA Alkl k微壓計系數 ，0.2、0.3、0.4、0.6、0.8當測量較微小的流體壓強時，為提高測量精度，采用當測量

39、較微小的流體壓強時，為提高測量精度，采用傾斜微壓計，工作液體一般采用蒸餾水或者酒精。傾斜微壓計，工作液體一般采用蒸餾水或者酒精。盛有液體的環形水匣盛有液體的環形水匣1通過軟管通過軟管5和觀測筒和觀測筒2相連，水匣在長螺桿相連，水匣在長螺桿4上的位置可以調節，觀測簡內有上的位置可以調節，觀測簡內有水準頭水準頭3c。測壓前調節水匣的位。測壓前調節水匣的位置，使水準頭與液面在同一水平置，使水準頭與液面在同一水平線上，如圖線上，如圖(a)所示。當被測壓強所示。當被測壓強P作用于觀測筒內的液面上時，作用于觀測筒內的液面上時，液面下降液面下降,為了測出壓強為了測出壓強P，向上，向上調節水匣的位置，觀測筒內

40、的液調節水匣的位置，觀測筒內的液面跟著升高，直至觀測筒內的液面跟著升高，直至觀測筒內的液面回到原來的位置。根據上升的面回到原來的位置。根據上升的高度即可求得被測壓強高度即可求得被測壓強 4補償式微壓計補償式微壓計更精確的測量微小壓強或壓強差的儀器更精確的測量微小壓強或壓強差的儀器 補償式微壓計工作原理示意補償式微壓計工作原理示意(a)測壓前；測壓前；(b)測壓時測壓時1-水匣；水匣；2-觀測筒；觀測筒；3-水準頭；水準頭；4-螺桿；螺桿；5-軟管軟管aeppg hpg h重力場中流體的平衡1010hcmacm，ABppg ahgh水油解解由等壓面的關系知由等壓面的關系知例如圖3-所示，一倒置的

41、形管，其工作液體為油，下部為水已知 ，求兩容器中的壓強3917kg m油2917100 1001001000108.3ABppahhgmmH O油水水重力場中流體的平衡Padp15590035. 041541522hgghp21解解活塞重量使其底面產生的壓強為活塞重量使其底面產生的壓強為列等壓面方程列等壓面方程由上式可解得由上式可解得cmhgph4 .167 . 013600920806. 9136001559021231323 3351592013600U0.7dmmNkg mkg mhmU例如圖，一壓強測試裝置，活塞直徑，重，油的密度，水銀的密度，若不計活塞的摩擦和泄漏，試計算活塞底面和

42、形管中水銀液面的高度差時， 形管中兩水銀液面的高度差。23250200hmmhmm，重力場中流體的平衡例例3-43-4如圖所示，已知如圖所示，已知 4=300hmm5=500hmm333123100080013598kg mkg mkg m，求A B兩點的壓強差4514433432232312111hhgppghppghppghppghppBA45143322311hhgghghghghppAB重力場中流體的平衡解解 圖中圖中1-1,2-21-1,2-2和和3-33-3均為等壓面均為等壓面, ,根據流體靜壓強計算公式根據流體靜壓強計算公式, ,可以可以逐個寫出每一點的靜壓強逐個寫出每一點的靜壓

43、強, ,分別為分別為將上式逐個代入下一個式子將上式逐個代入下一個式子整理后得整理后得A,BA,B兩點的壓強差兩點的壓強差PaghghghghhhgppBA678676 . 0980625. 01334002 . 078503 . 01334003 . 05 . 0980611233243451112234531979810304945.5e35dcmFNpPadcmFNh13600kg m例如圖所示，兩圓筒用管子連接。第一個圓筒直徑，活塞上受力，密封氣體的計示壓強；第二個圓筒，活塞上受力，上部通大氣。若不計活塞質量，求平衡狀態時兩活塞的高度差 。（已知水銀的密度）重力場中流體的平衡1FPadF

44、p2010145. 043197422111重力場中流體的平衡解解在F1,F2作用下,活塞底面產生的壓強分別為PadFp699643 . 045 .4945422222圖中a-a為等壓面,題目中給出的第一個圓筒上部是計示壓強,所以第二個圓筒上部的大氣壓強不必考慮，列等壓面方程21pghppe解上式得mgppphe3 . 0806. 9136002010198106996412液體的相對平衡afx0yf一、等加速水平直線運動容器中液體的相對平衡一、等加速水平直線運動容器中液體的相對平衡gfz坐標原點選在液面不變化的中心點o點，z軸垂直向上，x軸沿罐車的運動方向第五節第五節 液體的相平衡液體的相平

45、衡 如右圖所示，裝著液體的罐車如右圖所示，裝著液體的罐車在水平直軌道上以等加速度在水平直軌道上以等加速度a運運動，液面上的壓強為動，液面上的壓強為p。由于慣。由于慣性性,液面對水平面的傾斜角為液面對水平面的傾斜角為。應用達朗伯原理，作用在液體應用達朗伯原理，作用在液體質點上的質量力除重力外，還質點上的質量力除重力外，還有虛加在質點上的慣性力，該有虛加在質點上的慣性力，該力大小等于液體質點質量乘加力大小等于液體質點質量乘加速度，方向與加速度方向相反。速度，方向與加速度方向相反。作用在單位質量液體的質量力作用在單位質量液體的質量力沿坐標軸的投影為沿坐標軸的投影為液體的相對平衡afx0yf靜壓強的分

46、布規律靜壓強的分布規律 gfz代入壓強差公式代入壓強差公式 gdzadxdp坐標原點選在液面不變化的中心點o點，z軸垂直向上，x軸沿罐車的運動方向積分得 Cgzaxp第五節第五節 液體的相對平衡液體的相對平衡0zappaCp液體的相對平衡當 ,x=0 時得appaxgz靜壓強不僅與垂直坐標有關系，同時還和水平坐標有關系靜壓強不僅與垂直坐標有關系，同時還和水平坐標有關系等壓面方程 0gdzadx積分得 1Cgzax等壓面為一簇傾斜平面1tanag 可得等壓面對可得等壓面對x方向的傾斜角為：方向的傾斜角為：可見，等壓面與質量力的合力相互垂直。可見，等壓面與質量力的合力相互垂直。Cgzaxp01C0

47、sgzaxsaxgz 液體的相對平衡自由液面 得 代入 appaxgz得asappg zzpgh 形式上和絕對平衡的流體靜壓強的分布規律完形式上和絕對平衡的流體靜壓強的分布規律完全相同，即液體內任一點的壓強等于自由液面上全相同，即液體內任一點的壓強等于自由液面上的壓強加上深度為的壓強加上深度為h h，密度為，密度為的液體所產生的壓的液體所產生的壓強。強。液體與容器一起旋液體與容器一起旋轉。相對于作等轉。相對于作等角速運動的角速運動的容器容器而言，流體處于相而言，流體處于相對平衡狀態。對平衡狀態。 v 坐標固定在坐標固定在容器上，坐標容器上，坐標原點原點o在旋在旋轉軸與自由液面的交點，轉軸與自由

48、液面的交點，z軸豎直向軸豎直向上。上。其中：其中：zs 為自由液面上點的為自由液面上點的z坐坐標，標，h為液體中為液體中m點離自由液面的垂點離自由液面的垂直深度。直深度。 v v v v v v 勻角速旋轉容器勻角速旋轉容器v 如圖，容器以如圖，容器以的角速度繞軸旋轉。由于流體的粘性作用，近壁處流的角速度繞軸旋轉。由于流體的粘性作用，近壁處流體首先被帶動旋轉。平衡后，各流體質點具有相同的角速度。此時，體首先被帶動旋轉。平衡后，各流體質點具有相同的角速度。此時， y z p0 H o zs z m h 二、等角速旋轉容器中液體的相對平衡二、等角速旋轉容器中液體的相對平衡將坐標原點取在拋物面的頂點

49、上，z軸垂直向上，xoy面水平xrfx22cosyrfy22singfz單位質量力分量分別為單位質量力分量分別為代入壓強差公式 gdzydyxdxdp22積分得 22222 2222xyrpgzCgzCg流體平衡微分方程：流體平衡微分方程：作用在相對靜止流體中任一作用在相對靜止流體中任一質點質點m上的質量力包括重力上的質量力包括重力 mg及離心慣性力及離心慣性力F=mr2 。各方向。各方向上上的單位質量力的單位質量力為：為：液體的相對平衡當0z0rapp時代入上式得 aCp222arppgzg等壓面方程 022gdzydyxdx積分得 1222222Cgzyx1222Cgzr等壓面為旋轉拋物面

50、 01C的等壓面為自由液面 液體的相對平衡自由液面方程 0222sgzrgrzs222asappg zzpgh代入得 等角速度旋轉容器中液體的靜壓強公式形式等角速度旋轉容器中液體的靜壓強公式形式上和絕對平衡的流體靜壓強的公式完全相同上和絕對平衡的流體靜壓強的公式完全相同，即液體內任一點的壓強等于自由液面上的，即液體內任一點的壓強等于自由液面上的壓強加上深度為壓強加上深度為h h，密度為，密度為的液體所產生的液體所產生的壓強。的壓強。液體的相對平衡特例一 頂蓋中心開口的旋轉容器（離心式鑄造機） 222arppgzg0,0,rz0a, eppp,0rR z222222aeRppRp流體受慣性力的作

51、用向外甩流體受慣性力的作用向外甩, ,由于頂蓋的限制由于頂蓋的限制, ,自由液面雖自由液面雖然不能形成拋物面然不能形成拋物面, ,但因邊界條件同前面推導式一樣，所但因邊界條件同前面推導式一樣，所以壓強分布仍為以壓強分布仍為中心處中心處頂蓋邊緣處頂蓋邊緣處特例二： 頂蓋邊緣開口的旋轉容器（離心式水泵、離心式風機）頂蓋邊緣開口的旋轉容器（離心式水泵、離心式風機） Czgrgp2220zRr app 時得222RpCazgrRgppa2222液體的相對平衡液體借助慣性有向外甩的趨勢，但中心處隨即產生真空,在開口處的大氣壓和真空形成的壓強差的作用下,限制了液體從開口處甩出來,液面不能形成拋物面頂蓋邊緣

52、流體壓強app頂蓋中心o點流體靜壓強222aRpp20.50.536UULmam sU例汽車上裝有內充液體的 形管，如圖所示， 形管水平方向的長度，汽車在水平路面上沿直線等加速行駛，加速度為，試求 形管兩支管中液面的高度差。液體的相對平衡LhLhhgatg21mmLgah5 .255 . 0806. 95 . 0液體的相對平衡解解由題意知由題意知, ,當汽車在水平路面上作等加速直線運動時當汽車在水平路面上作等加速直線運動時, ,U U形管兩支管的液面在同一斜面上形管兩支管的液面在同一斜面上, ,設該斜面和水平方向設該斜面和水平方向的夾角為的夾角為由上式可解出兩支管液面差的高度由上式可解出兩支管

53、液面差的高度01.20.430.53 7dmrm hm例如圖所示，一充滿水的圓柱形容器，直徑，繞垂直軸等角速旋轉，在頂蓋上處安裝一開口測壓管，管中的水位。問此時容器的轉速為多少時，頂蓋上所受靜水總壓力為零。液體的相對平衡Czgrgp22200rrz液體的相對平衡解解等角速旋轉容器中液體相對平衡時等角速旋轉容器中液體相對平衡時,流體靜壓強的通用公式為流體靜壓強的通用公式為將頂蓋上的邊界條件將頂蓋上的邊界條件 時時 代入上式代入上式,可求得積分常數可求得積分常數 ghp2202rghC液體的相對平衡22022rrghp1624422222022220220220drdghdrdrrrghrdrpF

54、dd0Fsdrgh17 .442 . 143. 085 . 0806. 91681622220min42727 .4460260rn代入上式得代入上式得作用在頂蓋上的靜水總壓力為作用在頂蓋上的靜水總壓力為令令 ,由上式可以解出由上式可以解出靜止液體作用在固體壁面上的總壓力一、總壓力的大小一、總壓力的大小靜水奇象靜水奇象在靜止液體中，有一和液面呈夾角在靜止液體中，有一和液面呈夾角的任意形狀的平面的任意形狀的平面z z軸和平面垂直軸和平面垂直由流體靜壓強的特性知由流體靜壓強的特性知, ,各點的靜壓各點的靜壓強均垂直于平面強均垂直于平面, ,構成了一個平行力構成了一個平行力系系, ,因此因此, ,液

55、體作用在平面上的總壓液體作用在平面上的總壓力就是這一個平行力系的合力力就是這一個平行力系的合力第六節第六節 靜止液體作用在平面上的總壓力靜止液體作用在平面上的總壓力靜止液體作用在固體壁面上的總壓力總壓力的大小總壓力的大小微元面積上的總壓力 dAgyghdAdFPsinAAppydAgdFFsinAyydyAc積分得 （面積矩靜矩） sinccyh AghAgyFccpsin液體作用在平面上的總壓力等于一假想體積的液重，該體積是以平面形心的淹深為高、平面的面積為底的柱體。靜止液體作用在固體壁面上的總壓力總壓力的作用點總壓力的作用點（總壓力的作用線和平面的交點稱（總壓力的作用線和平面的交點稱壓壓力

56、中心力中心） 由合理矩定理由合理矩定理 總壓力總壓力PFydFyFApDp2sinsinsinsincDAcDxgy Aygy dAgy AygI對對ox 軸的力矩等于各微元總壓力對軸的力矩等于各微元總壓力對ox 軸的力矩的代數和軸的力矩的代數和 2xAy dAIxDcIyy A（平面A對oy軸的慣性矩）壓力中心的y坐標二、總壓力的作用點二、總壓力的作用點靜止液體作用在固體壁面上的總壓力根據慣性矩平行移軸定理根據慣性矩平行移軸定理 AyIIccxx2AyIyyccxcDcDyy 壓力中心的壓力中心的x x坐標坐標 AyIxAyIxccxyccxyD代入上式得代入上式得工程實際中的平面往往是對稱

57、圖形工程實際中的平面往往是對稱圖形, ,Icxy=0，一般不必計算一般不必計算壓力中心的壓力中心的x x坐標坐標1238bhh例如圖所示，一矩形閘門寬度為 ，兩側均受到密度為 的液體的作用，兩側液體深度分別為 、 ，試求作用在閘門上的液體總壓力和壓力中心。12,23111111bhIbhAhhcxcbghAghFc2111121解解對于閘門左側對于閘門左側根據液體作用在平面上的總壓力公式1213111111132211221hbhbhhAyIyyccxcD靜止液體作用在固體壁面上的總壓力靜止液體作用在固體壁面上的總壓力同理對于閘門的右側可得同理對于閘門的右側可得bghAghFc22222212

58、22322222232211221hbhbhhAyIyyccxcDbhhgFFF22212121兩側壓力的合力為兩側壓力的合力為112122DDDFyF yFhhy212212221221221212212113322132213221hhhhhhgbhhhbghhbghFyhhFyFyDDD顯然合力作用點顯然合力作用點x x坐標為坐標為bxD21合力合力F F的方向向右的方向向右, ,設合力設合力F F的作用點距左邊液面的的作用點距左邊液面的距離為距離為y yD D, ,根據合力矩定理根據合力矩定理, ,對對o o點取距點取距, ,則有則有第七節第七節 靜止液體作用在曲面上的總壓力靜止液體作

59、用在曲面上的總壓力靜止液體作用在固體壁面上的總壓力有一承受液體壓強的二維曲面，其面積為有一承受液體壓強的二維曲面，其面積為A A。坐標系的。坐標系的z z軸垂直向下。曲面在軸垂直向下。曲面在oxzoxz平面上的投影為平面上的投影為abab，在曲面，在曲面abab上任意點取一微元面積上任意點取一微元面積DADA，它的淹深為，它的淹深為h h。靜止液體作用在固體壁面上的總壓力靜止液體作用在固體壁面上的總壓力總壓力 ghdAdFPxppxghdAghdAdFdFcoscoszppzghdAghdAdFdFsinsin（1）水平分力 AxAxApxpxhdAgghdAdFFxcxAxAhhdA xcx

60、pxAghF曲面A在垂直于x軸的坐標平面內的投影面積 對y的面積矩 xAcxh為投影面積xA的形心的淹深 一、總壓力的大小和方向一、總壓力的大小和方向靜止液體作用在固體壁面上的總壓力（2）垂直分力AAzzApzpzhdAgghdAdFFpAzVhdA ppzgVF為曲面ab和自由液面或者其延長面所包容的體積，稱為壓力體 22pzpxpFFFpzpxFFarctg（3）總壓力的大小和作用點將上述總壓力的兩個分力合成，即得到液體作用在曲面上的總壓力將上述總壓力的兩個分力合成，即得到液體作用在曲面上的總壓力液體作用在曲面上的總壓力液體作用在曲面上的總壓力壓力體 曲面和自由液面或者自由液面的延長面包容