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文檔簡介

1、精選ppt第五章二維隨機變量及其分布第五章二維隨機變量及其分布第一節二維隨機變量及其分布函數第一節二維隨機變量及其分布函數第二節二維離散型隨機變量第二節二維離散型隨機變量第三節二維連續型隨機變量第三節二維連續型隨機變量第四節邊緣分布第四節邊緣分布第五節隨機變量的獨立性第五節隨機變量的獨立性精選ppt第一節二維隨機變量及其分布函數第一節二維隨機變量及其分布函數一、二維隨機變量一、二維隨機變量如果由兩個變量所組成的有序數組如果由兩個變量所組成的有序數組(),它的取值是隨著試驗結果而),它的取值是隨著試驗結果而確定的,則稱(確定的,則稱()為二維隨機變量,)為二維隨機變量,稱(稱()的取值規律為二維

2、分布。)的取值規律為二維分布。二維隨機變量的分布函數二維隨機變量的分布函數精選ppt二、二維隨機變量的分布函數二、二維隨機變量的分布函數設設( () )是二維隨機變量,是二維隨機變量,( () ) R R2 2, , 則稱則稱F(x,y)=PF(x,y)=P x,x, yy為為( () )的的分分布函數布函數,或,或與與的的聯合分布函數聯合分布函數。分布函數的性質分布函數的性質精選ppt三、分布函數的性質三、分布函數的性質(1 1)對于任意)對于任意x,y x,y R R,有有00F(x,y)1F(x,y)1。(2 2)F(x,y)F(x,y)關于關于x x(或或y y)單調不減。單調不減。(

3、3 3)F(x,y)F(x,y)關于關于x x(或或y y)右連續。右連續。(4 4)F(-,-)F(-,-)0 0,F(+,+)F(+,+)1 1 F(-,y) F(-,y)0 0,F(x,-)F(x,-)0 0(5 5)對于任意)對于任意x x1 1xx2 2,y y1 1yy2 2有有P(xP(x1 1xx2 2,y,y1 1yy2 2) ) =F(x =F(x2 2,y,y2 2)- F(x)- F(x2 2,y,y1 1)- F(x)- F(x1 1,y,y2 2)+ F(x)+ F(x1 1,y,y1 1) )例題例題1 1精選ppt例題例題1 1設設()的聯合分布函數為的聯合分布

4、函數為F(x,y)=A(B+arctanx)(C+arctany)F(x,y)=A(B+arctanx)(C+arctany),其中其中x,yx,y R R。求常數求常數A A,B B,C C。解:解:backback)arctan)(arctan(lim),(limyCxBAyxFyxyx1)2)(2(CBA)arctan)(arctan(lim),(limyCxBAyxFxx0)arctan)(2(yCBA)arctan)(arctan(lim),(limyCxBAyxFyy0)2)(arctan(CxBA2122ACB精選ppt第二節二維離散型隨機變量第二節二維離散型隨機變量二維離散型隨

5、機變量二維離散型隨機變量如果二維隨機變量如果二維隨機變量( () )所有可能取所有可能取的數組是有限或可列的,并且以確定的概的數組是有限或可列的,并且以確定的概率取各個不同的數組,則稱率取各個不同的數組,則稱( () )為二元為二元離散型隨機變量。離散型隨機變量。( () )分布律分布律精選ppt( () )的聯合分布律的聯合分布律y1yjx1p11p1jxipi1pij精選ppt設設( () )的所有可能取值為的所有可能取值為( (x xi i,y,yj j) ),其中其中i,j=1,2,i,j=1,2,稱稱為為( ()的的聯合概率分布聯合概率分布,也簡稱,也簡稱概率分布概率分布。(1 1)

6、00P Pijij11(2 2)i ij j P Pijij=1=1, 2 , 1,),(jipyxPijji例題例題2 2精選ppt例題例題2 2一口袋中有三個球,它們依次標有數字一口袋中有三個球,它們依次標有數字1,2,21,2,2。從這袋中任取一球后,不放回袋中,再從袋中任取一從這袋中任取一球后,不放回袋中,再從袋中任取一球。設每次取球時,袋中各球被取到的可能性相同。球。設每次取球時,袋中各球被取到的可能性相同。以以,分別記第一次和第二次取得的球上標有的數分別記第一次和第二次取得的球上標有的數字。字。求(求(1 1)( (,),)的分布律的分布律(2 2)P P( ()解解: (1):

7、(1)backback1/31/321/30121P P( (=1,=1)=1,=1)=P P( (=1,=2)=1,=2)=P(=1)P(=1|=1)=0P(=1)P(=1|=1)=0P(=1)P(=2|=1)=1/3P(=1)P(=2|=1)=1/3。精選ppt例題例題2 2一口袋中有三個球,它們依次標有數字一口袋中有三個球,它們依次標有數字1,2,21,2,2。從這袋中任取一球后,不放回袋中,再從袋中任取一從這袋中任取一球后,不放回袋中,再從袋中任取一球。設每次取球時,袋中各球被取到的可能性相同。球。設每次取球時,袋中各球被取到的可能性相同。以以,分別記第一次和第二次取得的球上標有的數分

8、別記第一次和第二次取得的球上標有的數字。字。求(求(1 1)( (,),)的分布律的分布律(2 2)P P( ()解解: (2): (2)backback1/31/321/30121P P( ()=P=P( (=1,=1)+P=1,=1)+P( (=2,=1)+ P=2,=1)+ P( (=2,=2) =2/3=2,=2) =2/3精選ppt第三節二維連續型隨機變量第三節二維連續型隨機變量一、二維連續型隨機變量一、二維連續型隨機變量設設( () )的分布函數為的分布函數為F(x ,y),F(x ,y),若存在非負可若存在非負可積函數積函數f(x,y)f(x,y),使得對于任意實數使得對于任意實

9、數 x,yx,y 有有則稱則稱( () )為為二維連續型隨機變量二維連續型隨機變量,f(x,y) f(x,y) 為為( () )的的聯合概率密度函數聯合概率密度函數(聯合密度函數聯合密度函數) ) 。 xydvduvufyxF),(),(聯合密度函數性質聯合密度函數性質精選ppt二、聯合密度函數性質二、聯合密度函數性質),(),(F),(),()4(),(),()3(1),()2(0),() 1 (2yxfyxyxyxfyxFdxdyyxfDPdxdyyxfyxfD 的邊續點處有為連續函數,且在例題例題3 3精選ppt例題例題3 31.1.設設( () )的聯合概率密度為的聯合概率密度為求(求

10、(1 1)常數)常數C C(2 2)P P( ()解:(解:(1 1)其它00, 0),()42(yxceyxfyx例題例題3 3續續 dxdyyxf),( 00)42(dxdyceyx180042cdyecedxyxC=8C=8精選ppt例題例題3 31.1.設設( () )的聯合概率密度為的聯合概率密度為求(求(1 1)常數)常數C C(2 2)P P( ()解:(解:(2 2)其它00, 0),()42(yxceyxfyx例題例題3 3續續 yxdxdyyxfP),()(00)42(8xyxdyedxdxeexyx00424183/2220602dxedxexx精選ppt例題例題3 3續

11、續2.2.設設( (,)的聯合概率密度為的聯合概率密度為求(求(1 1)常數)常數k k解解(1 1)其他, 0, 10 ,0,),(yyxkxyyxfy = x10 xy10,0),(yyxyxD1),( dxdyyxf182102100kdyyykkxydxdykxydxdyyD8k精選ppt(2) ) 1(Px+y=1y = x10 xy0.5x+y=1y = x10 xy15 . 01188yyyxxydxdyxydxdy. 6/ 5y = x10 xy0.5)5 . 0( P5 . 0015 . 088xxxydydxxydxdy.16/7精選ppt(3 3)F(x,y)=P(F(x

12、,y)=P(x,x,y)y)420142204028),(1)28),(1)8),(0)0),(0)10)2xxxydydxyxFyivxyxxydydxyxFyxiiiyxydydxyxFxyiiyxFyixxxxyxyyx若0),(, 0) 1yxFx若1),(1)8),(10)0),(0)1)340yxFyiiiyxydydxyxFyiiyxFyixyyx若精選pptF (x,y) =0, x 0 或 y 0y4 , 0 x 1, 0 y x , 或x 1, 0 y 1,2x2y2y4, 0 x 1, x y 1,2x2x4 , 0 x 0,-1P(2 2 ) )(3 3)( () )

13、在平面上的落點到在平面上的落點到y y 軸距離小于軸距離小于0.30.3的的概率。概率。解解:(:(1 1)backback其他, 010 ,0, 2),(xxyyxf精選ppt例題例題4 4( ()U(G)U(G),G=0yxG=0yx,0 x 1 0 x 1 求(求(1 1)f( x, y )f( x, y )(2 2)P(P(2 2 ) )(3 3)( () ) 在平面上的落點到在平面上的落點到y y 軸距離小于軸距離小于0.30.3的的概率。概率。解解:(:(2 2)backbacky=x10 xy1Gy = x2102222xxxydydxdxdy. 3/ 1)(2P精選ppt例題例

14、題4 4( ()U(G)U(G),G=0yxG=0yx,0 x 1 0 x 1 求(求(1 1)f( x, y )f( x, y )(2 2)P(P(2 2 ) )(3 3)( () ) 在平面上的落點到在平面上的落點到y y 軸距離小于軸距離小于0.30.3的的概率。概率。解解:(:(3 3)backback3 . 03 . 02) 3 . 03 . 0() 3 . 0|(|xdxdyPP09. 02/1)3 . 0(212y = x10 xy10.3精選ppt第四節邊緣分布第四節邊緣分布一、邊緣分布函數一、邊緣分布函數設設F(x,y)F(x,y)為為( ()的聯合分布函數,的聯合分布函數,

15、關于關于的邊緣分布函數的邊緣分布函數P P( (x)=Px)=P( (x,+)=Fx,+)=F(x),(x),其中其中x xR R關于關于的邊緣分布函數的邊緣分布函數P P( (y)=Py)=P( (+,y)=F+,y)=F(y),(y),其中其中y yR R例題例題5 5),(limyxFy),(limyxFx精選ppt例題例題5 5設設( ()的聯合分布函數為的聯合分布函數為求求F F(x)(x)和和F F(y)(y)。解:解:)arctan2)(arctan2(1),(2yxyxF邊緣分布律邊緣分布律)()(xPxF),(xP),(limyxPyxxyxFy)arctan2(1),(li

16、myyyxFx)arctan2(1),(lim同理精選ppt二、(離散型)邊緣分布律二、(離散型)邊緣分布律設設( ()的聯合分布律為的聯合分布律為P P( (=x=xi i,=y,=yj j)=P)=Pijij(i,j=1,2,i,j=1,2,)關于關于的邊緣分布律的邊緣分布律P P( (=x=xi i)= P)= P( (=x=xi i,+)=,+)=j jP Pij ij =P=Pi.i.關于關于的邊緣分布律的邊緣分布律P P( (=y=yj j)= P)= P( (+,=y+,=yj j)=)=i iP Pij ij =P=P.j.j例題例題6 6精選ppt例題例題6 6箱子裝有箱子裝

17、有1010件產品,其中件產品,其中2 2件為次品。每次從中任取一件產品件為次品。每次從中任取一件產品(不放回),共取(不放回),共取2 2次。次。求(求(1 1)( ()的聯合分布律的聯合分布律(2 2)關于)關于的邊緣分布律的邊緣分布律解:解:(1 1)第二次取出次品第二次取出正品第一次取出次品第一次取出正品10101P.j10Pi.10 97108921081089810291102102108102精選ppt例題例題6 6箱子裝有箱子裝有1010件產品,其中件產品,其中2 2件為次品。每次從中任取一件件為次品。每次從中任取一件產品(不放回),共取產品(不放回),共取2 2次。次。求(求(

18、1 1)( ()的聯合分布律的聯合分布律(2 2)關于)關于的邊緣分布律的邊緣分布律解解: (2): (2)第二次取出次品第二次取出正品第一次取出次品第一次取出正品1010邊緣密度函數邊緣密度函數01P8/102/10精選ppt三、(連續型)邊緣密度函數三、(連續型)邊緣密度函數設設( () )的聯合概率密度為的聯合概率密度為f(x,y)f(x,y),關于關于的邊緣分布函數的邊緣分布函數關于關于的邊緣密度函數的邊緣密度函數)(),(),()(RxdxdyyxfxPxFx )(),()(Rxdyyxfxf例題例題7 7精選ppt例題例題7 71.(1.()U(G)U(G) ,G G0 x1,|y

19、|x,0 x1,|y|x,求(求(1 1)f(x,y)f(x,y)(2 2)f f(x)(x)(3 3)f f(y)(y)解:(解:(1 1)backback其他0|101),(xyxyxf精選ppt例題例題7 71.(1.()U(G)U(G) ,G G0 x1,|y|x,0 x1,|y|x,求(求(1 1)f(x,y)f(x,y)(2 2)f f(x)(x)(3 3)f f(y)(y)解:(解:(2 2)backbackdyyxfxf),()(其他其他01020101xxxdyxx精選ppt例題例題7 71.(1.()U(G)U(G) ,G G0 x1,|y|x,0 x1,|y|x,求(求(

20、1 1)f(x,y)f(x,y)(2 2)f f(x)(x)(3 3)f f(y)(y)解:(解:(3 3)backbackdxyxfyf),()(其他其他0011101001110111yyyyydxydxyy精選ppt例題例題7 72. 2. () N(1,2,12,22; ),則(1 1)f f(x) (x) N(1,12)(2 2)f f(y(y) N(2,22)解:略backback精選ppt一、隨機變量的獨立性(二維)一、隨機變量的獨立性(二維)r.v.r.v.,如果對于任意的如果對于任意的x x和和y y, P P( (x,y)=Px,y)=P( (xx)P P(y)y),即,即

21、, F(x,y)=FF(x,y)=F(x)F(x)F(y)(y),則稱則稱和和獨立。獨立。離散型:離散型:和和獨立獨立P Pijij=P=Pi i P Pjj(i,j=1,)(i,j=1,)連續型:連續型:和和獨立獨立f(x,y)= f(x,y)= f f(x)f(x)f(y)(y)例題例題8 8第五節隨機變量的獨立性第五節隨機變量的獨立性精選ppt例題例題8 81.1.()的聯合分布律的聯合分布律證明證明與與獨立。獨立。證明:-10202/201/202/2012/201/202/2024/202/204/20012P1/4 1/4 2/4-102P2/5 1/5 2/5因為Pij=Pi.*P.j,所以與與獨立獨立精選ppt例題例題8 8續續2.2.()的聯合分布函數為的聯合分布函數為證明證明與與獨立。獨立。證明:證明:)arctan2)(arctan2(1),(2yxyxF例題例

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