1、極化恒等式引例：平行四邊形是表 你能用向量方法證明：示向量加法和減法的幾 何模型。 平行四邊形的對角線的 平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍.證明：不妨設AB a, AD b,則 AC a b,DB a b,|Ac|2 AC2 2_.2DB DB-2a b- 一 2a bH2付2_ r 22a b bT ff 22a b b(1)(2)(1) (2)兩式相加得:屈2闡2 2|F2 AB2 AD2.下載可編輯結論：平行四邊形對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍思考1:如果將上面(1) (2)兩式相減，能得到什么結論呢？2 一 - 2a b= - a b a b 極化恒等式4對于上述恒等式，用向量運

2、算顯然容易證明。 那么基于上面的引例， 你覺得極化恒等式 的幾何意義是什么？ 幾何意義：向量的數量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與1“差對角線”平方差的 1.4即:a b 1 AC 2 |DB 24(平行四邊形模式)思考：在圖1的三角形ABD ( M為BD的中點)，此恒等式如何表示呢?. _ _ _ , 2 12因為AC 2AM，所以a b AM | 1DB (三角形模式)uuu uuur例1.(2012年浙江文15)在 ABC中，M是BC的中點，AM 3, BC 10,則AB AC 目標檢測（2012北京文 13改編）已知正方形 ABCD 的邊長為 1, 點E是AB邊

3、上的動點，則 DE- DA的值為 .例2.（自編）已知正三角形 ABC內接于半徑為2勺圓O,點P是圓O上的一個動點, 則PA PB的取值范圍是.目標檢測22（2010福建文11）若點O和點F分別為橢圓y % 1的中心和左焦點，點P 為橢圓上的任意一點，則OP FP的最大值為（）A2B.3C.6D.81 例3. （2013浙江理7）在 ABC中，P0是邊AB上一定點，滿足P0B AB ,且對于邊AB 4uuu uur上任一點P，恒有PB PCuuur uuurRB PC。則（）A. ABC 90o B.BAC 90o C. AB AC D.AC BC例4. （2017全國2理科12）已知 ABC

4、是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點, uurr uuu uuir則PA （PB PC）的最小是（）c34,A. 2 B. C. D.123課后檢測1 .在 ABC中， BAC 60o若AB 2, BC J3 , D在線段AC上運動，DB DA的最小值為2 .已知AB是圓O的直徑,AB長為2, C是圓O上異于A, B的一點,P是圓。所在平面上uur uuu uuir任意一點，則 PA PB PC的最小值為 3 .在 ABC中，AB 3, AC 4, BAC 60o,若P是 ABC所在平面內一點，且 uuu uuurAP 2,則PB PC的最大值為2X 24 .若點。和點F( 2,0)分

5、別是雙曲線-y y 1(a 0)的中心和左焦點，點P為雙曲線 auuu uuu右支上任意一點則 OP FP的取值范圍是5.在 Rt ABC , ACBC 2,已知點P是 ABC內一點，則PC (PA PB)的最小6.已知A、B是單位圓上的兩點,。為圓心，且 AOB 120o,MN是圓O的一條直徑,點C在圓內，且滿足OC OA (1)OB(01),則CM CN的取值范圍是()1_一 3A.1 1 B .1,1C .- 024,D.1,07 .正 ABC邊長等于"3,點P在其外接圓上運動，則 AP PB的取值范圍是（A.3 32,2B.3 12, 2C.2, 2D.1 12,28 .在銳

6、角 ABC中，已知Buur uuurAB AC 3uur uur2 ,則AB AC的取值范圍是（2008折江理9）已知a,b是平面內2個互相垂直的單位向量,若向量c滿足9. （a c） （b c） 0,則c的最大值是（）.<-,2A.1B.2C. 2 D.2平面向量基本定理系數的等和線【適用題型】平面向量基本定理的表達式中，研究兩系數的和差及線性表達式的范圍與最值。【基本定理】(一) 平面向量共線定理uuuuuiruuur已知OA OB OC ,若 1 ,則A,B,C三點共線；反之亦然(二)等和線uuu uuiruuru uuu平面內一組基底 OA, OB及任一向量OP, OPuuuOA

7、uuirOB(R),若點P在直線AB上或者在平行于 AB的直線上，則k (定值)，反之也成立，我們把直線 AB以及與直線AB平行的直線稱為等和線。(1) 當等和線恰為直線 AB時，k 1;(2) 當等和線在。點和直線AB之間時，k (0,1);(3) 當直線AB在點。和等和線之間時，k (1,);(4)當等和線過O點時，k 0；(5) 若兩等和線關于 。點對稱，則定值k互為相反數;【解題步驟及說明】1、確定等值線為1的線；2、平移(旋轉或伸縮)該線，結合動點的可行域，分析何處取得最大值和最小值；3、從長度比或者點的位置兩個角度，計算最大值和最小值；說明：平面向量共線定理的表達式中的三個向量的起

8、點務必一致，若不一致，本著少數服從多數的原則，優先平移固定的向量；若需要研究的兩系數的線性關系，則需要通過變換基底向量，使得需要研究的代數式為基底的系數和。【典型例題】例1、給定兩個長度為1的平面向量1A和OB1,它們的夾角為120°,如圖所示，點 C在以O為圓心的圓弧 Ab上變動。uuur uur uuu若OC xOA yOB ,其中x, y R ,則x y的最大值跟蹤練習：已知1 uuur。為 ABC的外心，若cos ABC - , AO 3uuuABuurAC ,則一下載可編輯最大值為例2、在平面直角坐標系中,uuuO為坐標原點，兩定點 A, B滿足| OA |uuu uuu

9、uuu|OB | OA OB 2 ,uuuuuuuur則點集P|OPOAOB,| | | | 1,R所表示的區域面積為例3、如圖，在扇形OAB中,AOB 600, C為弧AB上不與A, B重合的一個動點,.下載可編輯umruur uuuOC xOA yOB，若 u x y (0）存在最大值，則的取值范圍為跟蹤練習：在正方形uuirujur設 AE xAD【強化訓練】1、在正六邊形ABCD中，E為BC中點，P為以AB為直徑的半圓弧上任意一點, uuuy AP ,則2x y的最小值為 .uuuumrujurABCDEF中，P是三角形CDE內（包括邊界）的動點，設AP xAB yAF ,則x y的取

10、值范圍2、如圖，在平行四邊形 ABCD中，M ,N為CD邊的三等份點,S為AM,BN的交點，Puur為邊AB上的一動點，Q為 SMN內一點（含邊界），若PQuuuu uurxAM yBN，則 x y的取值范圍123、設D,E分別是 ABC的邊AB, BC上的點，AD AB, BE - BC ,若23uur uur uurDE 1AB2 AC （ i, 2為實數），則i 2的值為.4、梯形ABCD中，AD uuur uuu 括邊界），AP xABAB, AD DC 1, AB 3, P為三角形BCD內一點（包 uuuyAD ,則x y的取值范圍.uur uur _ uur uuu5、已知 |OA

11、| 1,|OB | 於,OA OB0 ,點C在 AOB內，且AOC 300 ,設uurOCuuu uur mmOA nOB,則m的值為n6、在正方形ABCD中, uuuuuur點，設AC xDEE為AB中點，P為以A為圓心，AB為半徑的圓弧上的任意 uuryAP ,貝U x y的最小值為 .uuuiruuu uuu uuur uuur7、已知|OM | |ON | 1 , OP xOM yON（x,y為實數）。若 PMN為以M為直角頂點的直角三角形，則 x y取值的集合為uuu uuir uuuruuur8、平面內有三個向量OA,OB,OC ,其中 OA,uurn uuu uuurnOB夾角為120°, OA,OC的夾角為30°,且uuu uur|OA| |OB| 1uuuuur uuu uuu|OC | 2V3 ,若 OC mOA nOB ,則 m n 的值為9、如圖，A, B,C是圓O上的三點，C