1、第三節第三節 隨機變量的分布函數隨機變量的分布函數離散型隨機變量若求離散型隨機變量若求得分布律，就能全面得分布律，就能全面了解它的變化規律了解它的變化規律.有些隨機變量卻往往需要考有些隨機變量卻往往需要考慮其在一個區間內取值的概慮其在一個區間內取值的概率，例如元件的使用壽命率，例如元件的使用壽命X X、農作物的產量農作物的產量Y Y等等. .21xXxP 2P Xx )(2xF)(1xFF( x )P Xx 分布函數分布函數 ).()(12xFxF 12(,Xxx如如求求隨隨機機變變量量落落在在區區間間內內的的概概率率如果令如果令21xXxP 則則0 xx1x21P Xx ?1212,() x

2、xxxxx 1 12 2有有P P X X顯然，對于任意實數顯然，對于任意實數21()()F xF x 設設X X 是一個隨機變量是一個隨機變量, , x 是任意實數，則稱函數是任意實數，則稱函數() ,FxPx X Xx 0 xXx為隨機變量為隨機變量X X的的分布函數分布函數. .);,(, 1)(0)1( xxF12xx 由由12,P XxP Xx 從從而而得得12()().F xF x 所所以以12XxXx 可可知知11(),F xP Xx 又又22(),F xP Xx (2) F(x)是不減函數是不減函數, , 即即: :12,xx 若若12()()F xF x 則則(3)()lim

3、( )0 xFF x ()lim( ) 1xFF x (4) F(x)是右連續的是右連續的, ,即對于任意實數即對于任意實數x ，有，有(0)()F xF x ()0F x時，事件時，事件Xx 趨向于不可能事件，概率趨向于不可能事件，概率零，零，所以所以()1F x時，事件時，事件Xx 趨向于必然事件，概率趨向于必然事件，概率 1，所，所以以如果一個函數具有上述性質，如果一個函數具有上述性質，則它可以作為某個隨機變量則它可以作為某個隨機變量X X 的的分布函數。也就是說，性質分布函數。也就是說，性質(1)-(1)-(4)(4)是鑒別一個函數是否可以是是鑒別一個函數是否可以是某隨機變量的分布函數

4、的充分某隨機變量的分布函數的充分必要條件。必要條件。133,1,1.222P XPXPX0,x 若若01,x 若若求求X的分布函數的分布函數, ,并求并求X 0 1 2p 0.3 0.6 0.1例例1 1 設隨機變量設隨機變量X 的分布律為的分布律為: :解解: :( )F xP Xx 0P ( )F xP Xx 0P X0.3 x o 1 2xx12,x 若若( )F xP Xx x01P XP X 0.9 P402,x 若若( )F xP Xx 012P XP XP X 1 x o 1 2x于是于是X 的分布函數為的分布函數為: :000.301( )0.91212xxF xxx )(xX

5、Px120)(xF分布函數圖分布函數圖分布律圖分布律圖0.60.30.91OOO0.60.30.1顯然，顯然，F( x) 是分段階梯函數是分段階梯函數, , X 的可的可能取值能取值 0,1,2 是它的第一類跳躍間斷是它的第一類跳躍間斷點點, ,跳躍度為跳躍度為 pk (k=0,1,2). .12PX 312PX 3112PXPX 12F 0.3 3(1)2FF0.90.9 0 312PX00.60.6 一般一般, ,設離散型隨機變量設離散型隨機變量X X的分布律為的分布律為: :,1,2kkP Xxpk ( )F xP Xx 則對于任意實數則對于任意實數x, ,有有: :kkxxP Xx kkxxP 由上例可知由上例可知F( x) 是分段階梯函數是分段階梯函數, , 在在 X 的可能取值的可能取值 xk 處發生間斷處發生間斷, , 間間斷點為第一類跳躍間斷點斷點為第一類跳躍間斷點, ,在間斷點在間斷點處跳躍度為處跳躍度為 pk . .例例2 2 設隨機變量設隨機變量X X的分布函數為的分布函數為: :(1)確定常數確定常數A,B.(2)求概率求概率P-1X1( )arctanF xABx ()lim(arctan )xFABx ()lim(arctan )xFABx 11:,2A