1、1第三部分第三部分 代數結構代數結構主要內容主要內容l 代數系統代數系統-二元運算及其性質、代數系統和子代數二元運算及其性質、代數系統和子代數l 半群與群半群與群-半群、獨異點、群半群、獨異點、群l 環與域環與域-環、整環、域環、整環、域l 格與布爾代數格與布爾代數-格、布爾代數格、布爾代數2第九章第九章 代數系統代數系統主要內容主要內容二元運算及其性質二元運算及其性質l 一元和二元運算定義及其實例一元和二元運算定義及其實例l 二元運算的性質二元運算的性質代數系統代數系統l 代數系統定義及其實例代數系統定義及其實例l 子代數子代數l 積代數積代數代數系統的同態與同構代數系統的同態與同構39.1

2、 二元運算及其性質二元運算及其性質定義定義9.1 設設S為集合，函數為集合，函數f：S SS 稱為稱為S上的上的二元運算二元運算，簡，簡稱為二元運算稱為二元運算l 驗證一個運算是否為集合驗證一個運算是否為集合S上的二元運算主要考慮兩點：上的二元運算主要考慮兩點： S中任何兩個元素都可以進行運算，且運算的結果惟一中任何兩個元素都可以進行運算，且運算的結果惟一 S中任何兩個元素的運算結果都屬于中任何兩個元素的運算結果都屬于S，即，即S對該運算封閉對該運算封閉例例9.1(1) 自然數集合自然數集合N上的加法和乘法是上的加法和乘法是N上的二元運算，但上的二元運算，但減法和除法不是減法和除法不是 (2)

3、 整數集合整數集合Z上的加法、減法和乘法都是上的加法、減法和乘法都是Z上的二元運算，上的二元運算，而除法不是而除法不是(3) 非零實數集非零實數集R*上的乘法和除法都是上的乘法和除法都是R*上的二元運算，而上的二元運算，而加法和減法不是加法和減法不是4實例實例(4) 設設Mn(R)表示所有表示所有n 階階(n2)實矩陣的集合，即實矩陣的集合，即 則矩陣加法、減法和乘法都是則矩陣加法、減法和乘法都是Mn(R)上的二元運算上的二元運算. (5) S為任意集合，則為任意集合，則、 為為P(S)上二元運算上二元運算. (6) SS為為S上的所有函數的集合，則合成運算上的所有函數的集合，則合成運算 為為

4、SS上二元運算上二元運算. njiRaaaaaaaaaaRMijnnnnnnn,.,2 , 1,)(212222111211類似于二元運算，也可以定義集合類似于二元運算，也可以定義集合S上的一元運算。上的一元運算。5一元運算的定義與實例一元運算的定義與實例定義定義9.2 設設S為集合，函數為集合，函數 f:SS 稱為稱為S上的上的一元運算一元運算，簡，簡稱一元運算稱一元運算. 例例9.3 (1) 求相反數是整數集合求相反數是整數集合Z,有理數集合有理數集合Q和實數集合和實數集合R上上的一元運算的一元運算 (2) 求倒數是非零有理數集合求倒數是非零有理數集合Q*,非零實數集合非零實數集合R*上的

5、一元運算上的一元運算 (3) 求共軛復數是復數集合求共軛復數是復數集合C上的一元運算上的一元運算 (4) 在冪集在冪集P(S)上規定全集為上規定全集為S，則求絕對補運算，則求絕對補運算是是P(S)上的一上的一元運算元運算. (5) 設設S為集合，令為集合，令A為為S上所有雙射函數的集合，上所有雙射函數的集合，A SS，求一個，求一個雙射函數的反函數為雙射函數的反函數為A上的一元運算上的一元運算. (6) 在在n(n2)階實矩陣的集合階實矩陣的集合Mn(R)上，求轉置矩陣是上，求轉置矩陣是Mn(R)上的上的一元運算一元運算.6二元與一元運算的表示二元與一元運算的表示1算符算符可以用可以用 , ,

6、 , , , 等符號表示二元或一元運算，稱為算等符號表示二元或一元運算，稱為算符符. 對二元運算對二元運算 ，如果，如果 x 與與 y 運算得到運算得到 z，記做，記做 x y = z對一元運算對一元運算 , x的運算結果記作的運算結果記作 x. 2表示二元或一元運算的方法表示二元或一元運算的方法: 解析公式和運算表解析公式和運算表公式表示公式表示 例例 設設R為實數集合，如下定義為實數集合，如下定義R上的二元運算上的二元運算 ： x, yR, x y = x. 那么那么 3 4 = 3， 0.5 ( 3) = 0.5， 0 (1/2) = 07運算表：表示有窮集運算表：表示有窮集S上的二元運

7、算和一元運算上的二元運算和一元運算 運算表運算表 二元運算的運算表二元運算的運算表 一元運算的運算表一元運算的運算表8 例例9.4 設設S=1,2,給出給出P(S)上的運算上的運算和和 的運算表的運算表,其中全集為其中全集為S. 運算表的實例運算表的實例 1 2 1,2 121,2 1 2 1,21 1,2 22 1,2 11,2 2 1 9 例例9.5 設設S=1,2,3,4,定義定義S上的二元運算上的二元運算 如下如下: x y=(xy)mod5,任意任意x,y S求運算求運算 的運算表的運算表 運算表的實例運算表的實例 1 2 3 4 12341 2 3 42 4 1 33 1 4 24

8、 3 2 1 10二元運算的性質二元運算的性質定義定義9.3 設設 為為S上的二元運算上的二元運算,(1) 若對任意若對任意x,yS 有有 x y=y x, 則稱運算在則稱運算在S上滿足上滿足交換律交換律.(2) 若對任意若對任意x,y,zS有有 (x y) z=x (y z), 則稱運算在則稱運算在S上滿上滿足足結結 合律合律.(3) 若對任意若對任意xS 有有 x x=x, 則稱運算在則稱運算在S上滿足上滿足冪等律冪等律.定義定義9.4 設設 和和 為為S上兩個不同的二元運算上兩個不同的二元運算, (1) 若對任意若對任意x,y,zS有有 (x y) z=(x z) (y z)， z (x

9、 y)=(z x) (z y), 則稱則稱 運算對運算對 運算滿足運算滿足分配律分配律. (2) 若若 和和 都可交換都可交換,且對任意且對任意x,yS有有 x (x y)=x，x (x y)=x, 則稱則稱 和和 運算滿足運算滿足吸收律吸收律. 11實例實例Z, Q, R分別為整數集、有理數集、實數集；分別為整數集、有理數集、實數集；Mn(R)為為n階實階實矩陣集合矩陣集合, n 2；P(B)為冪集；為冪集；AA為從為從A到到A的函數集，的函數集，|A| 2集合集合運算運算交換律交換律結合律結合律冪等律冪等律Z,Q,R普通加法普通加法+普通乘法普通乘法 有有有有有有有有無無無無Mn(R)矩陣

10、加法矩陣加法+矩陣乘法矩陣乘法 有有無無有有有有無無無無P(B)并并 交交 相對補相對補 對稱差對稱差 有有有有無無有有有有有有無無有有有有有有無無無無AA函數復合函數復合 無無有有無無12 集合集合 運算運算分配律分配律吸收律吸收律Z,Q,R普通加法普通加法+與乘法與乘法 對對+可分配可分配+對對 不分配不分配無無Mn(R)矩陣加法矩陣加法+與乘法與乘法 對對+可分配可分配+對對 不分配不分配無無P(B)并并 與交與交 對對 可分配可分配 對對 可分配可分配有有交交 與對稱差與對稱差 對對 可分配可分配無無實例實例Z, Q, R分別為整數集、有理數集、實數集；分別為整數集、有理數集、實數集；

11、Mn(R)為為n階實階實矩陣集合矩陣集合, n 2；P(B)為冪集；為冪集；AA為從為從A到到A的函數集，的函數集，|A| 213特異元素：單位元、零元特異元素：單位元、零元定義定義9.8 設設 為為S上的二元運算上的二元運算,(1) 如果存在如果存在el (或或er) S，使得對任意，使得對任意 xS 都有都有 el x = x (或或 x er = x)，則稱則稱el (或或er)是是S中關于中關于 運算的運算的左左(或或右右)單位元單位元. 若若eS關于關于 運算既是左單位元又是右單位元，則稱運算既是左單位元又是右單位元，則稱e為為S上上關于關于 運算的運算的單位元單位元. 單位元也叫做

12、單位元也叫做幺元幺元.(2) 如果存在如果存在 l (或或 r)S，使得對任意，使得對任意 xS 都有都有 l x = l (或或 x r = r )，則稱則稱 l (或或 r)是是S 中關于中關于 運算的運算的左左(或或右右)零元零元. 若若 S 關于關于 運算既是左零元又是右零元，則稱運算既是左零元又是右零元，則稱 為為S上關上關于運算于運算 的的零元零元.14可逆元素和逆元可逆元素和逆元(3) 設設 為為S上的二元運算上的二元運算, 令令e為為S中關于運算中關于運算 的單位元的單位元. 對于對于xS，如果存在，如果存在yl (或或yr)S使得使得 yl x=e（或（或x yr=e）則稱則

13、稱yl (或或 yr)是是x的的左逆元左逆元（或（或右逆元右逆元）. 關于關于 運算，若運算，若yS 既是既是 x 的左逆元又是的左逆元又是 x 的右逆元，則稱的右逆元，則稱 y為為x的的逆元逆元. 如果如果 x 的逆元存在，就稱的逆元存在，就稱 x 是是可逆的可逆的.15實例實例集合集合運算運算單位元單位元零元零元逆元逆元Z,Q,R普通加法普通加法+普通乘法普通乘法 01無無0 x逆元逆元 xx逆元逆元x 1(x 1 給定集合給定集合)Mn(R)矩陣加法矩陣加法+矩陣乘法矩陣乘法 n階全階全0矩陣矩陣n階單位矩陣階單位矩陣無無n階全階全0矩陣矩陣X逆元逆元 XX的逆元的逆元X 1（X可逆）可

14、逆）P(B)并并 交交 對稱差對稱差 BB無無的逆元為的逆元為B的逆元為的逆元為BX的逆元為的逆元為X16惟一性定理惟一性定理定理定理9.1 設設 為為S上的二元運算，上的二元運算，el和和er分別為分別為S中關于運算的中關于運算的左和右單位元，則左和右單位元，則el = er = e為為S上關于上關于 運算的惟一的單位運算的惟一的單位元元.證：證： el = el er (er為右單位元為右單位元) el er = er (el為左單位元為左單位元)所以所以el = er , 將這個單位元記作將這個單位元記作e. 假設假設e 也是也是 S 中的單位元，則有中的單位元，則有 e =e e =

15、e. 惟一性得證惟一性得證.類似地可以證明關于零元的惟一性定理（定理類似地可以證明關于零元的惟一性定理（定理9.4）.注意：注意：l 當當 |S| 2，單位元與零元是不同的；，單位元與零元是不同的；l 當當 |S| = 1時，這個元素既是單位元也是零元時，這個元素既是單位元也是零元. 17定理定理9.2 設設 為為S上可結合的二元運算上可結合的二元運算, e為該運算的單位元為該運算的單位元, 對于對于xS 如果存在左逆元如果存在左逆元 yl 和右逆元和右逆元 yr, 則有則有 yl = yr= y, 且且 y是是 x 的惟一的逆元的惟一的逆元.證：由證：由 yl x = e 和和 x yr =

16、 e 得得 yl = yl e = yl (x yr) = (yl x) yr = e yr = yr令令yl = yr = y, 則則 y 是是 x 的逆元的逆元. 假若假若 yS 也是也是 x 的逆元的逆元, 則則 y = y e = y (x y) = (y x) y = e y = y所以所以 y 是是 x 惟一的逆元惟一的逆元.l 說明：對于可結合的二元運算，可逆元素說明：對于可結合的二元運算，可逆元素 x 只有惟一的逆只有惟一的逆 元，記作元，記作 x 1 惟一性定理惟一性定理18練習練習11設設 運算為運算為Q上的二元運算，上的二元運算， x, y Q, x y = x+y+2x

17、y, (1) 判斷判斷 運算是否滿足交換律和結合律，并說明理由運算是否滿足交換律和結合律，并說明理由.(2) 求出求出 運算的單位元、零元和所有可逆元素的逆元運算的單位元、零元和所有可逆元素的逆元.(1) 運算可交換，可結合運算可交換，可結合. 任取任取 x, y Q, x y = x+y+2xy = y+x+2yx = y x,任取任取 x, y, z Q, (x y) z = (x+y+2xy)+z+2(x+y+2xy)z = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz x (y z) = x+(y+z+2yz)+2x(y+z+2yz) = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz1

18、9(2) 設設 運算的單位元和零元分別為運算的單位元和零元分別為 e 和和 ，則，則對于任對于任意意 x 有有 x e = x 成立，即成立，即 x+e+2xe = x e = 0 由于由于 運算可交換，所以運算可交換，所以 0 是幺元是幺元.對于任意對于任意 x 有有x = 成立，即成立，即 x+ +2x = x+2x = 0 = 1/2 給定給定 x，設，設 x 的逆元為的逆元為 y, 則有則有 x y = 0 成立，即成立，即 x+y+2xy = 0 (x 1/2 )因此當因此當x 1/2時時， 是是x的逆元的逆元. xxy21 xx21 解答解答1設設 運算為運算為Q上的二元運算，上的

19、二元運算， x, y Q, x y = x+y+2xy, (1) 判斷判斷 運算是否滿足交換律和結合律，并說明理由運算是否滿足交換律和結合律，并說明理由.(2) 求出求出 運算的單位元、零元和所有可逆元素的逆元運算的單位元、零元和所有可逆元素的逆元.202下面是三個運算表下面是三個運算表(1) 說明哪些運算是可交換的、可結合的、冪等的說明哪些運算是可交換的、可結合的、冪等的. (2) 求出每個運算的單位元、零元、所有可逆元素的逆元求出每個運算的單位元、零元、所有可逆元素的逆元練習練習221解解答解答(1) * 滿足交換律，滿足結合律，不滿足冪等律滿足交換律，滿足結合律，不滿足冪等律. 不滿足交

20、換律，滿足結合律，滿足冪等律不滿足交換律，滿足結合律，滿足冪等律. 滿足交換律，滿足結合律，不滿足冪等律滿足交換律，滿足結合律，不滿足冪等律.2下面是三個運算表下面是三個運算表(1) 說明哪些運算是可交換的、可結合的、冪等的說明哪些運算是可交換的、可結合的、冪等的. (2) 求出每個運算的單位元、零元、所有可逆元素的逆元求出每個運算的單位元、零元、所有可逆元素的逆元22解解答解答(2) * 的單位元為的單位元為b，沒有零元，沒有零元， a 1=c, b 1=b,c 1=a 的單位元和零元都不存在，沒有可逆元素的單位元和零元都不存在，沒有可逆元素. 的單位元為的單位元為 a，零元為，零元為c，a

21、 1=a，b, c不是可逆元素不是可逆元素. 說明：關于結合律的判斷說明：關于結合律的判斷需要針對運算元素的每種選擇進行驗證，若需要針對運算元素的每種選擇進行驗證，若|A|=n，一般需要，一般需要驗證驗證n3個等式個等式.單位元和零元不必參與驗證單位元和零元不必參與驗證.通過對具體運算性質的分析也可能簡化驗證的復雜性通過對具體運算性質的分析也可能簡化驗證的復雜性.2下面是三個運算表下面是三個運算表(1) 說明哪些運算是可交換的、可結合的、冪等的說明哪些運算是可交換的、可結合的、冪等的. (2) 求出每個運算的單位元、零元、所有可逆元素的逆元求出每個運算的單位元、零元、所有可逆元素的逆元23作作

22、業業書本第書本第178頁頁第第1題題第第2題題書本第書本第179頁頁第第7題題第第8題題249.2 代數系統代數系統定義定義9.12 非空集合非空集合S和和S上上k個一元或二元運算個一元或二元運算f1,f2, fk組成組成的系統稱為的系統稱為代數系統代數系統, 簡稱代數，記做簡稱代數，記做.實例：實例：(1) ,是代數系統，是代數系統，+和和分別表示普通分別表示普通加法和乘法加法和乘法. (2) 是代數系統，和是代數系統，和分別表示分別表示 n 階階(n2)實矩實矩陣的加法和乘法陣的加法和乘法. (3) 是代數系統，是代數系統，Zn0,1,n-1， 和和 分別表示分別表示模模n的加法和乘法，對

23、于的加法和乘法，對于x,yZn，x y=(xy)mod n，x y=(xy)mod n(4) 是代數系統，是代數系統， 和和 為并和交，為并和交，為絕對補為絕對補25代數系統的成分與表示代數系統的成分與表示研究代數系統時，如果把運算具有的特異元素也作為系統研究代數系統時，如果把運算具有的特異元素也作為系統的性質之一，那么這些特異元素可以作為系統的成分，叫做的性質之一，那么這些特異元素可以作為系統的成分，叫做代數常數代數常數. 構成代數系統的成分：構成代數系統的成分：l 集合（也叫載體，規定了參與運算的元素）集合（也叫載體，規定了參與運算的元素）l 運算（這里只討論有限個二元和一元運算）運算（這

24、里只討論有限個二元和一元運算）l 代數常數（通常是與運算相關的特異元素：如單位元等）代數常數（通常是與運算相關的特異元素：如單位元等）例如：代數系統例如：代數系統：集合：集合Z, 運算運算+, 代數常數代數常數0代數系統代數系統：集合：集合P(S), 運算運算和和，無代數常數，無代數常數 26代數系統的表示代數系統的表示(1) 列出所有的成分：集合、運算、代數常數（如果存在）列出所有的成分：集合、運算、代數常數（如果存在） 如如, (2) 列出集合和運算，在規定系統性質時不涉及具有單位元列出集合和運算，在規定系統性質時不涉及具有單位元 的性質（無代數常數）的性質（無代數常數） 如如, (3)

25、用集合名稱簡單標記代數系統用集合名稱簡單標記代數系統 在前面已經對代數系統作了說明的前提下使用在前面已經對代數系統作了說明的前提下使用 如代數系統如代數系統Z, P(B) 27同類型與同種代數系統同類型與同種代數系統定義定義9.7 (1) 如果兩個代數系統中運算的個數相同，對應運算的元數相如果兩個代數系統中運算的個數相同，對應運算的元數相同，且代數常數的個數也相同，則稱它們是同，且代數常數的個數也相同，則稱它們是同類型的同類型的代數代數系統系統.(2) 如果兩個同類型的代數系統規定的運算性質也相同，則稱如果兩個同類型的代數系統規定的運算性質也相同，則稱為為同種的同種的代數系統代數系統. 例如例

26、如 V1=, V2=, 為為 n 階全階全0矩陣，矩陣，E為為 n 階單位矩陣階單位矩陣, V3=l V1, V2, V3是同類型的代數系統，它們都含有是同類型的代數系統，它們都含有2個二元運算個二元運算, 2個代數常數個代數常數.l V1, V2與與V3不是同種的代數系統不是同種的代數系統28V1V2V3+ 可交換、可結合可交換、可結合 可交換、可結合可交換、可結合+ 滿足消去律滿足消去律 滿足消去律滿足消去律 對對 + 可分配可分配+ 對對 不可分配不可分配+ 與與 沒有吸收律沒有吸收律+ 可交換、可結合可交換、可結合 不可交換、可結合不可交換、可結合+ 滿足消去律滿足消去律 不滿足消去律

27、不滿足消去律 對對 + 可分配可分配+ 對對 不可分配不可分配+ 與與 沒有吸收律沒有吸收律可交換、可結合可交換、可結合可交換、可結合可交換、可結合不滿足消去律不滿足消去律 不滿足消去律不滿足消去律對對可分配可分配對對可分配可分配與與滿足吸收律滿足吸收律運算性質比較運算性質比較例如例如 V1=, V2=, 為為 n 階全階全0矩陣，矩陣，E為為 n 階單位矩陣階單位矩陣, V3=29子代數系統子代數系統定義定義9.8設設V=是代數系統，是代數系統，B是是S的非空子的非空子集，如果集，如果B對對f1, f2, , fk 都是封閉的，且都是封閉的，且B和和S含有相同的代含有相同的代數常數，則稱數常

28、數，則稱是是V的的子代數系統子代數系統，簡稱子代，簡稱子代數數. 有時將子代數系統簡記為有時將子代數系統簡記為B.實例實例N是是的子代數，的子代數，N也是也是的子代數的子代數N 0是是的子代數，但不是的子代數，但不是的子代數的子代數說明：說明：l 子代數和原代數是同種的代數系統子代數和原代數是同種的代數系統l 對于任何代數系統對于任何代數系統V=，其子代數一定存在，其子代數一定存在. 30關于子代數的術語關于子代數的術語(1) 最大的子代數最大的子代數：就是：就是V本身本身(2) 最小的子代數最小的子代數：如果令：如果令V中所有代數常數構成的集合是中所有代數常數構成的集合是 B，且，且B對對V

29、中所有的運算都是封閉的，則中所有的運算都是封閉的，則B就構成了就構成了V的的 最小的子代數最小的子代數(3) 最大和最小的子代數稱為最大和最小的子代數稱為V 的的平凡的子代數平凡的子代數(4) 若若B是是S的真子集，則的真子集，則B構成的子代數稱為構成的子代數稱為V的的真子代數真子代數.例例9.8 設設V=,令令 nZ=nz | z Z,n為自然數，則為自然數，則nZ是是V的子代數的子代數 當當n=1和和0時，時，nZ是是V的平凡的子代數，其他的都是的平凡的子代數，其他的都是V的非的非 平凡的真子代數平凡的真子代數. 31積代數積代數定義定義9.9 設設V1=和和V2=是同類型的代數系統，是同

30、類型的代數系統， 和和 為二元運算，在集合為二元運算，在集合A B上如下定義二元運算上如下定義二元運算 ， , A B，有，有 = 稱稱V=為為V1與與V2的的積代數積代數，記作，記作V1 V2. 這時也稱這時也稱V1和和V2為為V的的因子代數因子代數. 實例實例 Z2=0,1，V=， V1 V2= Z2 Z2=, , , = 32積代數的性質積代數的性質定理定理9.3 設設V1=和和V2=是同類型的代數系統，是同類型的代數系統， V1 V2=是它們的積代數是它們的積代數. (1) 如果如果 和和 運算是可交換（可結合、冪等）的，那么運算是可交換（可結合、冪等）的，那么 運運算也是可交換（可結

31、合、冪等）的算也是可交換（可結合、冪等）的(2) 如果如果 e1 和和 e2（ 1和和 2）分別為）分別為 和和 運算的單位元（零運算的單位元（零元），那么元），那么（）也是）也是 運算的單位元（零元）運算的單位元（零元）(3) 如果如果 x 和和 y 分別為分別為 和和 運算的可逆元素，那么運算的可逆元素，那么也是也是 運算的可逆元素，其逆元就是運算的可逆元素，其逆元就是 注意：注意：積代數的定義可以推廣到具有多個運算的同類型的代積代數的定義可以推廣到具有多個運算的同類型的代數系統數系統 ，同時積代數也保留因子代數的分配律和吸收律，同時積代數也保留因子代數的分配律和吸收律，但不一定保持消去律

32、但不一定保持消去律339.3 代數系統的同態與同構代數系統的同態與同構定義定義9.10 設設V1=和和V2=是同類型的代數系統，是同類型的代數系統，f:AB，且，且 x, y A 有有 f(x y) = f(x) f(y), 則稱則稱 f 是是V1到到V2的的同態同態映射，簡稱同態映射，簡稱同態.同態分類：同態分類：(1) f 如果是單射，則稱為如果是單射，則稱為單同態單同態(2) 如果是滿射，則稱為如果是滿射，則稱為滿同態滿同態，這時稱，這時稱V2是是V1的的同態像同態像， 記作記作V1 V2(3) 如果是雙射，則稱為同構，也稱代數系統如果是雙射，則稱為同構，也稱代數系統V1同構同構于于V2

33、， 記作記作V1 V2 (4) 如果如果V1=V2，即，即f是是V到到V的則稱作的則稱作自同態自同態類似的有單自同態，滿自同態，自同構類似的有單自同態，滿自同態，自同構34注意：同態映射可保持良好的性質（消去律可能除外）注意：同態映射可保持良好的性質（消去律可能除外）上述關于同態映射的定義可以推廣到具有有限多個運算的代上述關于同態映射的定義可以推廣到具有有限多個運算的代數系統。數系統。例如：例如： 對于具有兩個二元運算的代數系統對于具有兩個二元運算的代數系統V1=和和V2=，f:AB，如果，如果 x, y A 有有 f(x 1 y) = f(x) 1 f(y)和和 f(x 2 y) = f(x

34、) 2 f(y)那么那么 f 是是V1到到V2的同態映射。的同態映射。35實例實例例例9.11(1) 設設V1=, V2=其中其中Z為整數集，為整數集，+為普通加法；為普通加法；Zn=0,1,n 1， 為模為模n加加. 令令 f : ZZn，f (x)=(x)mod n 那么那么 f 是是V1到到V2的滿同態的滿同態(3) 設設V=，其中，其中Z為整數集，為整數集，+為普通加法為普通加法. a Z，令，令 fa : ZZ，fa(x)=ax， 那么那么 fa 是是V的自同態的自同態. 當當a=0時稱時稱 f0 為零同態；當為零同態；當a= 1時，時，稱稱 fa 為自同構；除此之外其他的為自同構；

35、除此之外其他的 fa 都是單自同態都是單自同態. (2) 設設V1=, V2=，其中，其中R和和R*分別為實數集與非分別為實數集與非零實數集，零實數集，+ 和和 分別表示普通加法與乘法令分別表示普通加法與乘法令 f : RR*，f (x)= ex 則則 f 是是V1到到V2的單同態的單同態. 36第九章第九章 習題課習題課主要內容主要內容l 代數系統的構成：非空集合、封閉的二元和一元運算、代代數系統的構成：非空集合、封閉的二元和一元運算、代數常數數常數 l 二元運算性質和特異元素：交換律、結合律、冪等律、分二元運算性質和特異元素：交換律、結合律、冪等律、分配律、吸收律、單位元、零元、可逆元和逆

36、元配律、吸收律、單位元、零元、可逆元和逆元l 同類型的與同種的代數系統同類型的與同種的代數系統l 子代數的定義與實例子代數的定義與實例l 積代數的定義與性質積代數的定義與性質l 代數系統的同態與同構代數系統的同態與同構37基本要求基本要求l 判斷給定集合和運算能否構成代數系統判斷給定集合和運算能否構成代數系統l 判斷給定二元運算的性質判斷給定二元運算的性質l 求而二元運算的特異元素求而二元運算的特異元素l 了解同類型和同種代數系統的概念了解同類型和同種代數系統的概念l 了解子代數的基本概念了解子代數的基本概念l 計算積代數計算積代數l 判斷函數是否為同態映射和同構映射判斷函數是否為同態映射和同

37、構映射38練習練習11設設 運算為運算為Q上的二元運算，上的二元運算， x, y Q, x y = x+y+2xy, (1) 判斷判斷 運算是否滿足交換律和結合律，并說明理由運算是否滿足交換律和結合律，并說明理由.(2) 求出求出 運算的單位元、零元和所有可逆元素的逆元運算的單位元、零元和所有可逆元素的逆元.(1) 運算可交換，可結合運算可交換，可結合. 任取任取 x, y Q, x y = x+y+2xy = y+x+2yx = y x,任取任取 x, y, z Q, (x y) z = (x+y+2xy)+z+2(x+y+2xy)z = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz x (y z) = x+(y+z+2yz)+2x(y+z+2yz = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz39(2) 設設 運算的單位元和零元分別為運算的單位元和零元分別為 e 和和 ，則，則對于任對于任意意 x 有有 x e = x 成立，即成立，即 x+e+2xe = x e = 0 由于由于 運算可交換，所以運算可交換，所以 0 是幺元是幺元.對于任意對于任意 x 有有x = 成立，即成立，即 x+ +2x = x+2x = 0 = 1/2 給定給定 x，設，設 x 的逆元為的逆元為 y,