1、第第2 2章章 化學中常用的計算方法化學中常用的計算方法矩陣及其基本運算矩陣及其基本運算線性方程組線性方程組和和回歸分析回歸分析 高次方程的求解高次方程的求解插值和擬合插值和擬合u矩陣的基本概念矩陣的基本概念 Amnamn 元元 素素u n階方陣階方陣(m=n)u I-單位矩陣單位矩陣(對角元素為對角元素為1,其余為其余為0)nmmnmmnnaaaaaaaaa212222111211100010001矩陣的基本運算矩陣的基本運算 加減法加減法: Amxn=(aij), Bmxn=(bij), AB=(aij bij) mxn 數乘數乘: Amxn=(aij), -常數常數, A=( aij)

2、mxn 乘法乘法: Amxn=(aik), Bnxp=(bkj), AB= Cmxp=(Cij) nkkjikijbaC1210121A312011B8220BAC 逗號逗號或或空格空格用于分隔某一行的元素，用于分隔某一行的元素，分號分號用于區分不用于區分不同的行同的行. 除了分號，在輸入矩陣時，按除了分號，在輸入矩陣時，按Enter鍵也表示開始鍵也表示開始一新行一新行. 輸入矩陣時，嚴格要求所有行有相同的列輸入矩陣時，嚴格要求所有行有相同的列. 例例 m=1 2 3 4 ；5 6 7 8；9 10 11 12 p=1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 31、矩陣的建立、矩陣的建立特殊矩

3、陣特殊矩陣的建立：. MATLAB(matrix1)d=eye(m，n) 產生一個產生一個m行、行、n列的單位矩陣列的單位矩陣c=ones(m，n) 產生一個產生一個m行、行、n列的元素列的元素 全為全為1的矩陣的矩陣b=zeros(m，n) 產生一個產生一個m行、行、n列的零矩陣列的零矩陣a= 產生一個空矩陣，當對一項操作無結產生一個空矩陣，當對一項操作無結 果時，返回空矩陣，空矩陣的大小為零果時，返回空矩陣，空矩陣的大小為零. MATLAB 程序： 矩陣的建立m=1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12p=1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3a=b=zeros(2,3

4、)c=ones(2,3)d=eye(2,3)e=eye(3,3)2、矩陣中元素的操作、矩陣中元素的操作（1）矩陣）矩陣A的第的第r行：行：A（r，：），：）（2）矩陣）矩陣A的第的第r列：列：A（：，（：，r）（4）取矩陣）取矩陣A的第的第i1i2行、第行、第j1j2列構成新矩陣列構成新矩陣:A(i1:i2, j1:j2)（5）以逆序提取矩陣）以逆序提取矩陣A的第的第i1i2行，構成新矩陣行，構成新矩陣:A(i2:-1：i1，：），：）（6）以逆序提取矩陣）以逆序提取矩陣A的第的第j1j2列，構成新矩陣列，構成新矩陣:A(:, j2:-1：j1 ）（7）刪除）刪除A的第的第i1i2行，構成新矩

5、陣行，構成新矩陣:A(i1:i2，：，：)= （8）刪除）刪除A的第的第j1j2列，構成新矩陣列，構成新矩陣:A(：，：， j1:j2)= （9）將矩陣）將矩陣A和和B拼接成新矩陣：拼接成新矩陣：A B；A；B（3）依次提取矩陣）依次提取矩陣A的每一列，將的每一列，將A拉伸為一個列向量：拉伸為一個列向量：A（：）（：）MATLAB 程序：程序： 矩陣元素的操作矩陣元素的操作a=1 2 3;4 5 6;7 8 9a1=a(2,:)a2=a(:,2)a3=a(:)a4=a(1:2,2:3)a5=a(2:-1:1,:)a6=a(:,3:-1:2)a7=a;a7(1:2,:)=a8=a;a8(:,1)

6、=a9=a a2a10=a;a1 （2）矩陣）矩陣-矩陣運算矩陣運算 1 元素對元素元素對元素的運算，同數組的運算，同數組-數組運算。數組運算。 3、矩陣的運算、矩陣的運算（1）標量）標量-矩陣運算矩陣運算 同標量同標量-數組運算。數組運算。 2矩陣運算：矩陣運算：矩陣加法：矩陣加法：A+B矩陣乘法：矩陣乘法：A*B方陣的行列式：方陣的行列式：det（A）方陣的逆：方陣的逆：inv（A）方陣的特征值與特征向量：方陣的特征值與特征向量：V，D=eigAMATLAB 程序：程序： 矩陣元素的操作矩陣元素的操作a=1 2 3 4 5 6b=1 2 1 2 1 2c1=a+ac2=a*bc=2 7 3

7、;3 9 4;1 5 3c3=det(c)c4=inv(c)矩陣的基本運算矩陣的基本運算 轉置轉置: AT或或A (矩陣的行與列互換矩陣的行與列互換)011131A013111A對稱矩陣（對稱矩陣（A=AT） 求逆求逆: A，B均為方陣，如均為方陣，如AB=BA，則，則A是可是可逆的，記為逆的，記為B=A-1 BASIC: MAT B=INV(A) MAT B=TRN(A) MAT C=A*B二、二、 線性方程組和線性方程組和回歸分析回歸分析32761131625321321321xxxxxxxxx克萊姆公式克萊姆公式高斯消去法高斯消去法矩陣解法矩陣解法 矩陣解法矩陣解法系數矩陣系數矩陣-A未

8、知數矩陣未知數矩陣-X常數矩陣常數矩陣-B3376113125113321xxx13321116 矩陣形式：矩陣形式：AX=B正規方程組正規方程組 （m=n，方陣），方陣）AX=BA-1AX=A-1B （ A-1A=In ）InX=A-1B （ InX=X）X=A-1B例例 解：解：31532111676113125111BAX32761131625321321321xxxxxxxxx超定方程組超定方程組 （ ）AX=B(ATA) X=ATB(ATA)-1 (ATA) X= (ATA)-1 ATB InX =(ATA)-1 ATB X= (ATA)-1 ATB nm93276113162532

9、1321321321xxxxxxxxxxxx應用示例應用示例：（：（光譜分析中的多組分測定光譜分析中的多組分測定 ）A=ECLA=A1+A2+An 應努力建立條件數小的方程組，避免因解病態方程組造成的誤差。由于方程組的條件數取決于系數矩陣，根據研究體系的特征，選擇適當的實驗點，是避免產生病態方程組的關鍵。如計算分光光度法中當各組分光譜完全相同，將得到無解的奇異矩陣；但假如雖然有差別，可差別很小，則條件數必然很大，則將得到病態方程組。分光光度法中波長的選擇十分重要。一元線性回歸及有關計算一元線性回歸 - 二變量間二變量間x x和和y y的線性關系的線性關系min,12*2211*niiinnyy

10、Qyxyxyxbxay殘差平方和222xxnyxxynbnxbyaxyxaxbynaxbyx* 2*2*2*2*2*22yyyySyyyyyyyyyySyyyyyyyySiiiiiiiiiiiiiii總總變變差差平平方方和和0S=Q(殘差平方和殘差平方和)+U(回歸差平方和回歸差平方和)SUyyxxyyxxriiii22)()()()(三、高次方程的求解迭代法迭代法 對方程f(x) = 0 求近似解,使f(x*)0 設初值x0, 按一定規則生成新值x1, 依次計算生成數列: x0,x1,x2,x3xn lim xn =x* x-xn 弦截法弦截法基本原理基本原理11101011121010,n

11、nnnnnnyyxxyxxyyxxyxxbxaxxxx迭代通式迭代通式收斂指標收斂指標1nnxx)(nxfor牛頓牛頓- -雷扶生法雷扶生法切線逼近法切線逼近法)111)1112( )( )(nnnnxfxfxxxfxfxx)0000010101( )()(xfxfxtgxfxxxxxx特點：特點： 一個初始值一個初始值; ;收斂速度快收斂速度快, ,求根方便求根方便基本原理：基本原理： f(x)=x3-2x-5x0 =1 f(x) =3x2-2)111( )(nnnnxfxfxxx0=1, x1 = 1- (1-2-5)/(3*1-2) =7x2=4.7655 x3 3.3487 x4=2.

12、5316 x5=2.1739 x6=2.09788 x7 =2.094552 x8=2.094552 （程序l21.m） 注意點：1、 收斂標準：2、 初始值： 3、 可能有多個解 1nnxx)(nxfor四、插值和擬合四、插值和擬合u對表2-2 的數據，如僅用末兩列數據，則只能用線性插值得到正確的結果， u 上式中x應為滴定劑體積V, y為對應的電位二次微商值(2E/V2),這里要求結果為0, 計算滴定終點的matlab 命令為 uVe=interp1(x,y,0,method,) 0 可為數組， method為linear（缺省），nearest(最近鄰點插值), cubic (三次插值)

13、假設有某個二次多項式函數 ，已知它在三個點上的取值為： 要求 的值。首先寫出每個拉格朗日基本多項式： 然后應用拉格朗日插值法，就可以得到 的表達式（ 為函數 的插值函數）： 此時代入數值 就可以求出所需之值： 。polyfit 可廣泛用于各種擬合可廣泛用于各種擬合uhelp polyfit POLYFIT Polynomial curve fitting. POLYFIT(x,y,n) finds the coefficients of a polynomial p(x) of degree n that fits the data, p(x(i) = y(i), in a least-squ

14、ares sense. p,S = POLYFIT(x,y,n) returns the polynomial coefficients p and a matrix S for use with POLYVAL to produce error estimates on predictions. If the errors in the data, y, are independent normal with constant variance, POLYVAL will produce error bounds which contain at least 50% of the predi

15、ctions. See also POLY, POLYVAL, ROOTS.u設初始劑量為D0,每次注射劑量為D,注射間隔時間為, 給藥方案為D0,D,。u血藥濃度 應保持在1025 ug/mL之間, 則 D0 =vc2 = 375 mg, D=v(c2-c1)=225 mg u可制定給藥方案首次注射375mg，其余每次注射225mg，注射的間隔時間為4小時。上機習題上機習題 第一部分第一部分 MATLAB 基本操作基本操作 熟習菜單各部分功能熟習菜單各部分功能 基本命令練習基本命令練習 demo intro help who whos mkdir dir cd save load clear clf u第二部分： 教材28頁 習題1（ 解線性方程組） 習題3 （牛頓迭代法）