1、機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換一、一、 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 （2）常用函數的拉普拉斯變換）常用函數的拉普拉斯變換（3）拉普拉斯變換的基本性質）拉普拉斯變換的基本性質 二、二、 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換 內容內容（1）定義）定義拉氏變換對拉氏變換對是求解是求解常系數線性微分方程常系數線性微分方程的的工具工具。把把線性時不變系統線性時不變系統的的時域模型時域模型簡便地進行簡便地進行變換變換，經求解再，經求解再還原還原為時為時間函數。間函數。概述概述補充：補充：變換及反變換變換及反變換機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換

2、及反變換1. 定義定義 反變換Laplace當當f(t)含有沖激函數項時，含有沖激函數項時，此項此項 0ttfsFstde)()(0正變換aplaceL拉氏變換積拉氏變換積分上限說明：分上限說明：一、拉普拉斯變換一、拉普拉斯變換 (0)t F(sF(s)=)=f(t)f(t)= -1F(s)表示為：表示為：ttfsFstde )()(00 de )(j21)(jjssFtfstttfttfststde)(de)(000機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換 f(t) ，t 0, )稱為稱為原函數原函數，屬時域。，屬時域。 原函數原函數 用小寫字母表示，如用小寫

3、字母表示，如 f(t) ，i(t)，u(t) F(s) 稱為稱為象函數象函數，屬復頻域，屬復頻域 。 象函數象函數F(s) 用大寫字母表示用大寫字母表示 ,如如F(s) ，I(s)，U(s)。 j s稱為復頻率稱為復頻率 。 f(t)F(S)LL_拉普拉斯變換對，記為：拉普拉斯變換對，記為： 機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換 0e1sts 0de0tst)()(. 1tutfs1 2.2 2.2 常用函數的拉普拉斯變換常用函數的拉普拉斯變換 （單位階躍函數）（單位階躍函數）0001)(tttutu(t)F(s)=機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變

4、換及反變換拉普拉斯變換及反變換0)(e1 tasasas 1)(e)(. 2tutfat0eeedatatstt j1ejts ( (指數函數指數函數) )）（）（000)(ftetttF(s)=機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換)()(. 3ttf 00d)(tt = 10 ( )( )edstttt （單位脈沖函數）（單位脈沖函數）)0()0(0)(ttt1)( dtt(t)t0機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換）（）（000)(ftttt（單位斜坡函數）（單位斜坡函數） f(t)t0ttf)(. 4dtesest

5、stst010F(s)=Lf(t)=dttest021s機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換0elim stnttnttf)(. 5stnst ed0nststntsstdee00 ttsnstnde01 0ednnstttt nnts 1nt （冪函數）（冪函數） 機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換nnts 1nt 1n當當 ，21 ts ； n當當 2 2，232ts ； 依依次次類類推推， 得得 機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換常常用用函函數數的的拉拉普普拉拉斯斯變變換換表表

6、ttne-atte-attne-ate-jwtu(t)(t)(n)(t)1sn1/s1/s2n!sn+1n!(s+a)n+11(s+a)21s+a1s+jw機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換1f1(t) e- t t0例題例題 求圖示兩個函數的拉氏變換式求圖示兩個函數的拉氏變換式 ssF1)(1f2(t) e- t t 0解解 由于定義的拉氏變換積分上限是由于定義的拉氏變換積分上限是0，兩個函數的拉氏，兩個函數的拉氏變換式相同變換式相同(0)t 當取上式的反變換時，只能表示出當取上式的

7、反變換時，只能表示出0 t區間的函數式區間的函數式 1ets 11機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換2.3 2.3 拉普拉斯變換的基本性質拉普拉斯變換的基本性質 一、線性性質一、線性性質 1112jjjss 22s )11( ssA1122( )( ) , ( )( )ftFsftFs 若若 12 ( )( )a ftb ft 則則)()(21sbFsaF (1e)tA 例例1 sin t 例例2 jj1 (ee)2jtt 機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換二、微分定理二、微分定理 sin1022 tss 22 ss(

8、 )( )f tF s 設設 d ( ) ( )(0 )df tsF sft 則則 1 dcos (sin)dttt 例例1 )0()0()()(d222fsfsFsdttf ）（）（）（0.00)()(d) 1(21nnnnnnffsfssFsdttf機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換初態為r(0-)及r/(0-)，原始值為e(0-)=0，求r(t)的象函數。解：解：設r(t)，e(t)均可進行拉氏變換即有E(S)=Le(t) , R(S)=Lr(t) 對方程兩端進行拉氏變換，應用線性組合線性組合與微分定理微分定理可得S2R(s)-Sr(0-)-r/(0

9、-)+a1SR(s)-r(0-)+a0R(s)=b1SE(s)-e(0-)+b0E(s) 整理合并得（S2+a1S+a0）R(S)-(S+a1)r(0-)-r/(0-)=(Sb1+b0)E(s)-b10)()()()()(010122tebtetddbtratrtddatrtdd例例3 某動態電路的輸入某動態電路的輸入輸出方程為輸出方程為012101)0()0()()()()(asasrrassEbbssR機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換三、積分定理三、積分定理 例例 ( )( )f tF s 設設 01 ( )d ( )tfF ss 則則 機械工程控制

10、基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換四、時域平移四、時域平移f(t)f(t-t0)平移平移 ( )( )f tF s 設設 機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換22)( ss2)(1 s例例1 例例2 ett ecostt 五、五、 S域平移域平移 ( )( )f tF s 設設 e( )()tf tF s 則則 22)( s例例3 esintt 機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換六、初值定理和終值定理六、初值定理和終值定理 )(lim)(lim)0(0ssFtffst 初值定理初值定理 若若 f

11、(t)=F(s)，且，且 f(t)在在t = 0處無沖激處無沖激， 則則存存在在時時)(limtft )(lim)(lim)(0ssFtffst終值定理終值定理 f(t)及其導數及其導數f (t)可進行拉氏變換，且可進行拉氏變換，且 機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換例例1 11lim)(0sstust例例2 2215)( sssI3)/212/115(lim)2215(lim)0( sssssiss例例3 1)111(lim)(0 ssstist11( ) 1e 1-tI sss 機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換a

12、s 111)()0(limlimassssFfss01)()(limlim00assssFfss例例4 4：已知：已知F(sF(s)=)= 解：由解：由初值定理初值定理得得，求求f(0)和和f()由由終值定理得終值定理得機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換 112212128( )( ),( )( )( )( )( )( )f tF sftFsf tftF sFs ：若卷則時域積性LL例例 右圖所示電路中，電壓源為 ，試用時域卷積定理時域卷積定理求零狀態響應電流i(t)。)()(tuetutai七、時域卷積性七、時域卷積性i(t)RL)(tui) s ()(

13、)(iUsLsIRsI解（1）寫出系統動力學方程系統動力學方程（2）作作Laplace變換變換得)()()(tudttdiLRtii系統方框圖系統方框圖h(t)Ui(s)H(s)I(s)機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換零狀態響應電流零狀態響應電流I(s)=Ui(s)H(s)= ui(t) H(s) )( teta)()()(1teeaLRLtLRtaLsRUsIi1) s ()(H(s)LRsLas111= -1I(s)i(t)=（4）應用應用時域卷積定理時域卷積定理（3）求系統傳遞函數求系統傳遞函數h(t)Ui(s)H(s)I(s)（5）作作Lapla

14、ce反變換反變換得得LsR1機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換 112212129( )( ),( )( )( )( )( )1( )2f tF sftjFsf tftF sFss ：若域卷 則積性LLL八、八、S域卷積性域卷積性九、尺度變換性九、尺度變換性機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換拉拉普普拉拉斯斯變變換換的的基基本本性性質質表表機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換拉拉普普拉拉斯斯變變換換的的基基本本性性質質表表機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換

15、及反變換拉普拉斯變換的基本性質表拉普拉斯變換的基本性質表機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換本講小結：本講小結：拉普拉斯變換定義拉普拉斯變換定義常用函數的拉普拉斯變換常用函數的拉普拉斯變換拉普拉斯變換的基本性質拉普拉斯變換的基本性質機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換(1) 利用利用機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換機械工程控制基礎機械工程控制

16、基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換 作業作業1、寫出拉普拉斯變換定義式寫出拉普拉斯變換定義式2、機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換1(s-1)2_機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及

17、反變換拉普拉斯變換及反變換機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換二、拉普拉斯反變換二、拉普拉斯反變換 1、由象函數求原函數、由象函數求原函數 （2）經數學處理后查拉普拉斯變換表）經數學處理后查拉普拉斯變換表 )()()()(21sFsFsFsFn )()()()(21tftftftfn f(t)=L-1F(s)（1）利用公式）利用公式 jj1( )( )e d02jstf tFsst 較麻煩較麻煩 機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換象函數的一般形式：象函數的一般形式： )( )()()(11011021mnbsbsbasa

18、sasFsFsFnnnmmm 2、將、將F(s)進行部分分式展開進行部分分式展開機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換nsssF，有單實根）（120)(1nnssksskssksF 2211)(s)(1FLtf1)()(11sssFssk 2)()(22sssFssk nssnnsFssk )()()(1ss )(1ss )(1ss )(1ss 等式兩邊同乘等式兩邊同乘(s-s1) =0nitsiik1e22111nnsskssksskL (t0)機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換21321 sksksk5 . 2)(01

19、 SssFk2( )2.55e1.5e(0)ttf tt )2)(1(52 sssss例例1 )23(5)(22 ssssssF5)1)(12 SssFk5 . 1)2)(23 SssFk解：解： F(S) (s)(1FLtf2( )2.55e1.5e(0)ttf tt 機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換21122 ss2( )2 ( )2ee(0)ttf ttt )2)(1(32 sss例例2 23772)(22 sssssF（m = n，用長除法），用長除法）解：解： F(S) (s)(1FLtf機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普

20、拉斯變換及反變換有共軛復根）（)( 22sF12( )jjkkF sss （k1 , k2也是一對共軛復數）也是一對共軛復數） )eeee()jj)jjttkk（eee)( j)( j tttk2ecos()(0)tktt 1,2js 假設只有兩個根假設只有兩個根j1ekk j2ekk 設設 解：解： (s)(1FLtf則則 歐拉公式歐拉公式 機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換52)(2 ssssF2j11 s6 .26559. 0212j12 j12j12j11jsskS6 .26559. 021j212 j1j212j12jsskS)6 .262cos

21、(e559. 02tt0)6 .262cos(e12. 1 ttt例例1 2j12 s法一：法一： 部分分式法展開，求系數。部分分式法展開，求系數。 (s)(1FLtf機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換法二：法二： 522 sss22222)1(12)1(1 sss1( )ecos2esin 2(0)2ttf tttt ( )1.12ecos(226.6 )(0)tf ttt 或或表表示示為為 222)1( ss將將F2(s)改寫為改寫為(s )2 + 2 222)1(11 ssF(S) = 機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換

22、及反變換有相等的實根（重根）（)(32sF21211211)()()()(sskssksssFsF 1)()(212SSsFssk 1)()(dd211SSsFsssk 21121)()(kssksssF 等式兩邊同乘等式兩邊同乘21)(ss 1112( )ee (0)s ts tf tkk tt (s)(1FLtf機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換221) 1() 1(sksk2)1(52)( sssF3)1()1(521222 Ssssk2)52(dd11 Sssk0e3e2tttt例例1 1)(2有相等的實根sF等式兩邊乘等式兩邊乘 2) 1( s2

23、12) 1() 1)(kskssF得得 (s)(1FLtf機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換33221)2()2()2(sksksk32)2(22)( ssssF例例2 2)2()2(2223323Sssssk等式兩邊乘等式兩邊乘 3)2( s32213)2()2()2)(kskskssF機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換2)22()2()2(22dd223322sSssssssk213)2(2)2)(ddkskssFs32213)2()2()2)(kskskssF機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉

24、普拉斯變換及反變換122dd21)2()2()22(dd2122332221sssssssssk2222( )e2 ee(0)tttf tttt32)2(2)2(2)2(1)( ssssF13222)2)(ddkssFs213)2(2)2)(ddkskssFs機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換 )()(1110nmmmssasasasF nnnnsskssksskssksF)()()()(111121211 （4）一般多重根情況）一般多重根情況 1)()(1SSnnsFssk 1)()(dd11SSnnsFsssk 1)()(dd211222SSnnsFs

25、ssk 1)()(dd)!1(11111SSnnnsFsssnk 機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換練習練習1:1:10(2)(5)( ),(1)(3)ssF ss ss已 知求 其 逆 變 換312( )13kkkF smnsss解：部分分解法（）100()1 0 (2 )(5)1 0 0(1)(3)3ssksFsssss其 中求其原函數機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換333(3)( )10(2)(5)10(1)3ssksF ssss s 1 0 02 01 0( )313(3)Fssss解 ：310010( )2

26、0( )33ttf teeu t211(1)( )1 0 (2 )(5)2 0(3)ssksFssss 解 ：s機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換32597( ),(1)(2)sssFsss已 知求 其 逆 變 換( )F s解 ：長 除 法練習練習2:2:()Fs解 ：長 除 法因為mn，故采用機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換79523232sssss2332F(s)2sssssss23237722 ss ss223ss2機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換21( )212F s

27、sss12( )212kkFssss部 分 分 式 展 開 法 11223(1)2(1)(2)311ssskssssks 其 中 2( )( )2( )2( )ttf ttteeu t同理可求G(s)2F(s) s則233G(s)2sss令11223(1)2(1)(2)311ssskssssks 其中機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換223( ),(25)(2)sF ssss已 知求 其 逆 變 換23( )(12)(12)(2)sF ssjsjs 解：01212122kkksjsjs 練習練習3:3:機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉

28、普拉斯變換及反變換2112312:(12)(2)5sjsjksjs 解 其 中2237(12)(12)5ssksjsj 12, (,)55AjBAB 1 , 2即 k23( )(12)(12)(2)sF ssjsjs 解：機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換1,212,55AB tttFLtf21e57)22cos(arctane52(s)(（t0）機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換32(),(1)sFsss已 知求 其 逆 變 換131112232( )(1)(1)(1)kkkkF sssss解 ：312( )(1)(

29、 )sFssF ss令練習練習4:4:機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換312( )(1)( )sF ssF ss令機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換2030()22(1)ssks Fsss 32( )(1)(1)()Fsssss23( )222( )2tttftteteeut機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換2.5 用拉氏變換法求解常微分方程用拉氏變換法求解常微分方程1( )( )10( )(0( )( ),0,1,( )(),0,1,iippiijpjssyytY sifmstF sj 則 ,n作作Laplace變換變換機械工程控制基礎機械工程控制基礎拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換( )y t方 程 兩 邊 取 拉 氏 變