1、第二節第二節 留留 數數一、留數的引入二、利用留數求積分三、在無窮遠點的留數四、典型例題五、小結與思考2一、留數的引入一、留數的引入01010)()()(czzczzczfnn C0z)(zf設設為為的一個孤立奇點的一個孤立奇點;內的洛朗級數內的洛朗級數:)(zfRzz 00在在 nnzzczzc)()(0010z.的某去心鄰域的某去心鄰域0zRzz 00C:鄰域內包含鄰域內包含0z的任一條正向簡單閉曲線的任一條正向簡單閉曲線312 ic zzzczzzczcnCnCCd)(d )(d0010 CCnnzzzczzzcd)(d)(1010 Czzfd)(積積分分0(高階導數公式高階導數公式)0

2、 (柯西柯西-古薩基本定理古薩基本定理)i 2的系數的系數洛朗級數中負冪項洛朗級數中負冪項101)( zzc4zzficCd )(211 即即),(Res0zzf 的留數的留數在在0)(zzf定義定義 記作記作.),(Res0zzf域域內內的的洛洛朗朗級級數數中中負負.)(101的的系系數數冪冪項項 zzc為中心的圓環為中心的圓環在在即即0)(zzf)(0zfz 為函數為函數的一個孤立奇點的一個孤立奇點, 則沿則沿Rzzz 000的的某某個個去去心心鄰鄰域域在在內包含內包含0z的的任意一條簡單閉曲線任意一條簡單閉曲線 C 的積分的積分 Czzfd)(的值除的值除i 2后所得的數稱為后所得的數稱

3、為.)(0的留數的留數在在zzf以以如果如果5二、利用留數求積分二、利用留數求積分說明說明:內內部部處處處處解解析析；上上及及在在CCzf)(. 12. 留數定理將沿封閉曲線留數定理將沿封閉曲線C積分轉化為求積分轉化為求被積函數在被積函數在C內各孤立奇點處的留數內各孤立奇點處的留數.1.留數定理留數定理)(zf在區域在區域 D內除有限個孤內除有限個孤nzzz,21外處處解析外處處解析, C 是是 D內包圍諸奇內包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線點的一條正向簡單閉曲線, 那末那末. ),(Res2d )(1 nkkCzzfizzf立奇點立奇點函數函數6證證 nCCCzzfzzfzzfd)(d)(d)

4、(21 zzfCd )(zzfizzfizzfinCCCd )(21d)(21d )(2121 ),(Res),(Res),(Res21nzzfzzfzzf .),(Res1即即可可得得 nkkzzf證畢證畢兩邊同時除以兩邊同時除以 且且i 21z2znzDC.如圖如圖72.留數的計算方法留數的計算方法(1) 如果如果0z為為)(zf的可去奇點的可去奇點, . 0),(Res0 zzf則則).()(lim),(Res000zfzzzzfzz如果如果 為為 的一級極點的一級極點, 那末那末0z)(zf規則規則1 1成洛朗級數求成洛朗級數求.1 c(2) 如果如果0z為為的本性奇點的本性奇點, )

5、(zf(3) 如果如果0z為為的極點的極點, 則有如下計算規則則有如下計算規則)(zf)(zf展開展開則需將則需將8如果如果 為為 的的 級極點級極點, 0z)(zfm).()(ddlim)!1(1),(Res01100zfzzzmzzfmmmzz 規則規則2 2證證 2020)()()(zzczzczfmm )()(010101zzcczzc101010)()()()( mmmmzzczzcczfzz 10100)()(mmzzczzc那末那末9,)!1()()(ddlim10110 cmzfzzzmmmzz10),(Res czzf所所以以+(含有含有 正冪的項正冪的項)0zz 1)!1(

6、 cm).()(ddlim)!1(10110zfzzzmmmmzz )()(dd011zfzzzmmm 兩邊求兩邊求1 m階導數階導數, 證畢證畢得得10規則規則3 3 如果如果,0)(,0)(,0)(000 zQzQzP設設,)()()(zQzPzf )(zP及及)(zQ在在0z都解析，都解析，證證0)(,0)(00 zQzQ因為因為0z所以所以的一級零點的一級零點,為為)(zQ)(1zQ0z的一級極點的一級極點.為為那末那末0z為為的一級極點的一級極點,)(zf.)()(),(Res000zQzPzzf 且有且有11解析且解析且0z. 0)()(00 zzP 在在因此因此),(1)(10z

7、zzzQ 其中其中 在在 解析且解析且)(z 0z, 0)(0 z 0z所所以以為為 的一級極點的一級極點,)(zf)()(lim),(Res000zfzzzzfzz 00)()()(lim0zzzQzQzPzz .)()(00zQzP . )()(1)(0zzPzzzf 12三、在無窮遠點的留數三、在無窮遠點的留數注意積分路線取順時針方向注意積分路線取順時針方向1 c1),(Res czf說明說明 Czzfid)(21記作記作 Czzfizfd)(21),(Res1.1.定義定義 設函數設函數)(zf在圓環域在圓環域 zR內解析，內解析，C為圓環域內繞原點的任何一條正向簡單閉曲線，為圓環域內

8、繞原點的任何一條正向簡單閉曲線，11( )d2Cf zzCi那末積分的值與 無關，則稱此定值則稱此定值點的留數，點的留數，在在為為 )(zf13.1z.2z.kz .證證 nkkzzfzf1),(Res),(Res CCzzfizzfid)(21d)(211. 0 由留數定理有由留數定理有:(繞原點的并將繞原點的并將kz內部的正向簡單閉曲線內部的正向簡單閉曲線)C包含在包含在 2.定理二定理二如果函數如果函數)(zf在擴充復平面內只有有限個在擴充復平面內只有有限個孤立奇點孤立奇點, 那末那末在所有各奇點在所有各奇點 (包括包括 點點) 的留數的總和必等于零的留數的總和必等于零.)(zf證畢證畢

9、14說明說明: 由定理得由定理得,),(Res),(Res1 zfzzfnkk nkkCzzfizzf1),(Res2d )(留數定理留數定理).),(Res2 zfi計算積分計算積分計算無窮遠點的留數計算無窮遠點的留數.zzfCd )( 優點優點: 使計算積分進一步得到簡化使計算積分進一步得到簡化. (避免了計算諸有限點處的留數避免了計算諸有限點處的留數)153.在無窮遠點處留數的計算在無窮遠點處留數的計算規則規則4 4 0 ,11Res),(Res2zzfzf說明說明: 定理二和規則定理二和規則4提供了提供了計算函數沿閉曲線計算函數沿閉曲線 0 ,11Res2d)(2zzfizzfC積分的

10、又一種方法積分的又一種方法: 此法在很多情況下此法更為簡單此法在很多情況下此法更為簡單.16現取正向簡單閉曲線現取正向簡單閉曲線C為半徑足夠大的為半徑足夠大的正向圓周正向圓周 :. z,1 z令令, iireez 并并設設,1 r那末那末于是有于是有 Czzfizfd)(21),(Res 20d)(21 iiieefi證證.d12120 iireirefi17 202d)(121 iiirereirefi 12d1121fi. )1(為為正正向向 內除內除在在 1 0 外無其他奇點外無其他奇點 .0 ,11Res2 zzf證畢證畢18四、典型例題四、典型例題例例1 求求nzzezf )(在在0

11、 z的留數的留數.解解階極點，階極點，的的是是因為因為nzfz)(0 0 ,Resnzze所以所以.)!1(1 n nznnnzzezzn110ddlim)!1(119例例2 求求6sin)()()(zzzzQzPzf 在在0 z的留數的留數.分析分析,0)0()0()0( PPP.0)0( P0 z是是zzsin 的三級零點的三級零點由規則由規則3得得.sinddlim)!13(10),(Res63220 zzzzzzfz的的三三級級極極點點，是是所所以以)(0zfz 計算較麻煩計算較麻煩.20如果利用洛朗展開式求如果利用洛朗展開式求1 c較方便較方便: ! 5! 31sin5366zzzz

12、zzzz.! 510 ,sinRes16 czzz,!5!353 zz解解21說明說明: 0z如如 為為 m 級極點，當級極點，當 m 較大而導數又難以計算時較大而導數又難以計算時, 可直接展開洛朗級數求可直接展開洛朗級數求1 c來計算留數來計算留數 . 66550sinddlim)!16(10),(Reszzzzzzfz.! 51 2. 在應用規則在應用規則2時時, 取得比實際的級數高取得比實際的級數高.級數高反而使計算方便級數高反而使計算方便. :6 m 1. 在實際計算中應靈活運用計算規則在實際計算中應靈活運用計算規則. 為了計算方便一般不要將為了計算方便一般不要將m但有時把但有時把m取

13、得比實際的取得比實際的如上例取如上例取22例例4 計算積分計算積分,d)1(2zzzeCz C為正向圓周為正向圓周:. 2 z解解zzzezzfzzd)1(lim0),(Res20 ,)1(lim20 zezz 221)1()1(ddlim)!12(11),(Reszzezzzfzz0 z為一級極點為一級極點,1 z為二級極點為二級極點,23 zezzzddlim121)1(limzzezz , 0 zzzeCzd)1(2 所以所以)01(2 i 1),(Res0),(Res2zfzfi .2 i 24例例5 計算積分計算積分 Czzz,d14C為正向圓周為正向圓周:.2 z函數函數14 zz

14、在在2 z的外部的外部, 除除 點外沒有點外沒有其他奇點其他奇點. Czzzd14 0 ,11Res22zzfi ),(Res2zfi 0 ,1Res24zzi. 0 解解 根據定理根據定理 2與規則與規則4: 25與以下解法作比較與以下解法作比較 :被積函數被積函數14 zz有四個一級極點有四個一級極點i ,1都都在圓周在圓周2 z的內部的內部 , 所以所以 Czzzd14 1),(Res1),(Res2 zfzfi ),(Res),(Resizfizf 由規則由規則3 ,414)()(23zzzzQzP 26 Czzzd14.0414141412 i可見可見, 利用無窮遠點的留數更簡單利用無窮遠點的留數更簡單.例例6 計算積分計算積分 Czzizz,)3)(1()(d10C為正向圓周為正向圓周 :.2 z解解 除除 )3)(1()(1)(10 zzizzf被積函數被積函數點外點外, 其他奇點為其他奇點為.3,1, i 27由于由于i 與與 1在在C的內部的內部, Czzizz)3)(1()(d101),(Res),(Res2zfizfi ),(Res3),(Res2 zfzfi 0)3(21210ii則則),(Resizf ),(Res zf所以所以1),(Reszf 3),(Reszf .0 .)3