1、1第 4 章均勻反應堆的臨界理論均勻反應堆的臨界理論在反應堆臨界理論中，主要研究兩方面的問題：l 各種形狀的反應堆達到臨界狀態的條件（臨界條件），臨界時系統的各種形狀的反應堆達到臨界狀態的條件（臨界條件），臨界時系統的體積大小和燃料成分及其裝載量體積大小和燃料成分及其裝載量。l 臨界狀態下系統內中子通量密度（或功率）的空間分布臨界狀態下系統內中子通量密度（或功率）的空間分布。實際的反應堆系統l 幾何與材料的復雜性 “均勻化均勻化”處理l 物理過程與中子能量的復雜依賴關系 “分群理論分群理論”2afaftrtrk),(),(),(),(),(),(),(102trStrktrtrDttraa4.

2、1 均勻裸堆的單群理論均勻裸堆的單群理論 對于由燃料與慢化劑燃料與慢化劑組成的均勻增殖介質反應堆系統均勻增殖介質反應堆系統，單位時間、單位體積內的裂變中子源強裂變中子源強為：),(),(trtrSfF 根據無限介質增殖因子定義),(),(trktrSaF在單群近似下有代入單群中子擴散方程單群中子擴散方程可得l D及 a是對中子能譜平均后的數值；l 在反應堆運行初期，須考慮外源中子，大多數情況下忽略外中子，認為裂變中子是反應堆內中子的唯一來源?30),2(),2(tata221)()(1)()(LkdttdTtTDxx)()(),(tTxtx)()0 ,(0 xxa/2a/20 x無限平板反應堆

3、),(),(),(),(12txktxtxDttxaa(4-3)無外源無限平板反應堆單群擴散方程無外源無限平板反應堆單群擴散方程初始條件為初始條件為(4-4)邊界條件為邊界條件為(4-5),(1),(),(122txLktxttxD(4-6)由式(4-3)得利用分離變量法求解分離變量法求解，方程具有如下形式的解：(4-7)將(4-7)式代入(4-6)式(4-8)4, 5 , 3 , 1nanBn, 3 , 2 , 1) 12(nanBnBxCBxAxsincos)(02cosBaA22)()(Bxx上式兩端必須等于某一常數，設為-B2，有0)()(22xBx或(4-9)波動方程(4-9)式的通

4、解為由于初始通量密度分布0(x)關于x=0平面對稱，因此只能選擇滿足對稱條件的解，即BxAxcos)(由邊界條件(4-5)式可導出(x)滿足如下的邊界條件：(a/2)=0因此要求或(4-10)xanAxBAxnnnn) 12(coscos)(波動方程(4-9)只對某些特定的特征值特征值Bn才有解，相應的解 n(x) 稱為此問題的特征函數稱為此問題的特征函數。5222221)1 (nnnBLlBLDLlnnltknCeT/) 1(nnnnlkdttdTtT1)()(1221)()(1nnnBLkdttdTtTDnnltknnexanAtx/)1(1) 12(cos),( 由于特征函數的正交性，對

5、于每一個n值的項都是線形獨立，因此對應于每一個Bn2值和n(x)，都有一個Tn(t)與之對應該式可轉換為式中221nnBLkk(4-12)(4-13)(4-14)l為無限介質的熱中子壽命，a是熱中子的平均吸收自由程。方程(4-12)解為其中C為待定常數。對于一維平板反應堆，其中子通量密度的完全解中子通量密度的完全解就是對n=1到n=所有項的總和，即(4-15)60)()(22rBrg112121BLkk第一種情況第一種情況：對于一定幾何形狀和體積的反應堆芯部，若B12對應的k11，則(k1-1)為正值，中子通量密度(x,t)將隨時間不斷增加，系統處于超臨界狀態超臨界狀態。第三種情況第三種情況：

6、若調整堆芯尺寸或改變材料成分，使k1 =1，則其余(kn-1)都將為負值。中子通量密度(x,t)第一項將與時間無關，而其它各項將隨時間而衰減。當時間足夠長時，n1各項將衰減到零，系統處于穩態，中子通量密度按基波形式(B=B1)分布，系統處于臨界狀態臨界狀態。重要結論：重要結論：(1) 裸堆單群近似的臨界條件為：(4-17)B12為波動方程的最小特征值，記為Bg2，稱為特征曲率，稱為特征曲率；k1為有效增殖因子。(2) 反應堆處于臨界狀態時，中子通量密度按最小特征值中子通量密度按最小特征值Bg2對應的基波函數分布對應的基波函數分布，也就是說，穩態反應堆的中子通量密度空間分布滿足波動方程(4-18

7、)722211gVgVaVaBLdVDBdVdV中子泄漏率中子吸收率中子吸收率xaAxcos)(1)(1221aLkk無限平板反應堆的臨界條件無限平板反應堆的臨界條件為(4-19) 若系統材料組成給定若系統材料組成給定，則只有一個唯一的尺寸a0能使k1=1，即為臨界大??；當aa0時，則k11，為超臨界；當aa0時，k11，系統處于次臨界。 另一方面，若反應堆尺寸若反應堆尺寸a給定給定，則必然可以找到一種燃料富集度(材料組成)，使得由其所確定的k及L2值能使(4-19)式成立，使k1=1，系統處于臨界。臨界時，反應堆內的中子通量密度分布為(4-20)反應堆內單位時間單位體積內的中子泄漏率為-D2

8、，根據(4-18)式，-D2=DBg2，單位時間單位體積內中子的吸收率為a，不泄漏概率為(4-21)則裸堆單群近似的臨界條件(4-17)可寫為11kk80)()(2)(222rBdrrdrdrrdg22RBgrrBCrgsin)(rrBErrBCrggcossin)(1. 球形反應堆普遍解為(4-22)(4-23)根據邊界條件：當r0時中子通量密度為有限值，常數E必須為零，可得 根據邊界條件(R)=0的要求，必須使BgR=n, n=1, 2, 3, 。對應于最小特征值，幾何曲率為(4-24)與此對應的臨界反應堆內的中子通量密度分布為rrRCrsin)(4-25)92. 有限高圓柱體反應堆有限高

9、圓柱體反應堆0),(),(),(1),(22222zrBzzrrzrrrzrg)()(),(zZrzr222zrgBBB222222)()(1)(1)()(1zrBdzzZdzZBdrrdrdrrdr最常見的反應堆形狀。中子通量密度只取決于r和z兩個變量(4-26)邊界條件是：(1) 中子通量密度在堆內各處均為有限值(2) 當r=R或z=H/2時，(r,z)=0。采用分離變量法求解，設22222)()(1)(1)()(1gBdzzZdzZdrrdrdrrdr令左端每一項均等于常數，有(4-27)(4-28)(4-29)10 )()(00rBEYrBAJrrr)()(0rBAJrr 求解(2-2

10、7)式，令x=Brr，將其代入(4-27)式，可得零階貝塞爾方程其普遍解為(4-30)其中J0、Y0分別為第一類及第二類零階貝塞爾函數。 如果假設(4-27)式右端等于一正數，則它將化為一個零階修改貝塞爾方程0)()()(2222xxdxxdxdxxdx0)()()(2222xxdxxdxdxxdx其普遍解為 )()(00rBKErBIArrr(4-31)其中I0、K0分別為第一類及第二類零階修正貝塞爾函數。根據邊界條件(1)和(2)看出，Y0、I0及K0均應從上述解中消去。因此方程(4-27)的解為零階貝塞爾函數曲線零階貝塞爾函數曲線11zBFzZzcos)(zHrRCJzBrBCJzrzr

11、cos405. 2)cos()(),(0022222405. 2HRBBBzrg0)()(0RBAJRr利用邊界條件(2)，有(4-32)因而22405. 2RBr(4-33)rRAJrBAJrr405. 2)()(00(4-34)求解(4-28)可得(4-35)其中22HBz(4-36)圓柱裸堆的幾何曲率為圓柱裸堆的幾何曲率為其中Br2徑向幾何曲率，徑向幾何曲率，Bz2周向幾何曲率。周向幾何曲率。(4-37)(4-38)在給定在給定Bg2值下，當直徑值下，當直徑D=1.083H時，圓柱體反應堆具有最小臨界體積。時，圓柱體反應堆具有最小臨界體積。12dVrEPVff)(l 臨界時均勻裸堆內的中

12、臨界時均勻裸堆內的中子通量密度分布只取決于子通量密度分布只取決于反應堆的幾何形狀，而與反應堆的幾何形狀，而與反應堆的功率大小無關反應堆的功率大小無關l臨界反應堆內中子通量密臨界反應堆內中子通量密度的基波函數特征分布可度的基波函數特征分布可以在任意功率水平下得到以在任意功率水平下得到穩定。穩定。反應堆功率反應堆功率可表示為將中子通量密度分布表達式代入上式，可求出常數將中子通量密度分布表達式代入上式，可求出常數C。(4-39)13221LkBm0)()(22rBrg 穩態反應堆內中子通量密度的空間分布滿足波動方程波動方程最小特征值Bg2，稱為幾何曲率幾何曲率，對于裸堆，其與反應堆的幾何形狀及尺寸大

13、小有關，而與反應堆的材料成分和性質沒有關系。 k、L2等參數僅僅取決于反應堆芯部材料特性，對于一定材料成分的反應堆，便有一個確定的B2值能滿足臨界方程，我們稱為材料曲率材料曲率，記作Bm2。對于單群擴散理論，有(4-44)臨界條件可寫為： Bm2= Bg2)(122球形裸堆RLk)(405. 21222圓柱體裸堆RHLk對于裸堆，可將臨界條件寫成(4-45)(4-46)(4-47)當Bg2Bm2時，系統處于次臨界狀態時，系統處于次臨界狀態14kk 1221geffBLkk反應堆臨界問題反應堆臨界問題：第一類問題第一類問題：給定反應堆材料成分，確定它的臨界尺寸。第二類問題第二類問題：給定反應堆的

14、形狀及尺寸，確定臨界時反應堆的材料成分。第三類問題第三類問題：給定反應堆材料成分、幾何尺寸，確定有效增值因子或反應性。 稱為稱為反應性。反應性。對于臨界反應堆，=0； 若0，超臨界； 0，次臨界；| |表示反應堆偏離臨界狀態的程度。PCM: 反應性單位，反應性單位，1PCM=10-5元：元：$，分：，分： ，1 1 $ =100 =100 ; 1元反應性元反應性=1 eff （反應堆動力學）（反應堆動力學）(4-48)(4-49)15 單群是一種非常近似的方法。對于熱中子反應堆，直接應用前面的臨界條件有較大誤差。用用M2=L2+ 來替換上式中的來替換上式中的L2，對其進行修正，對其進行修正。1

15、1221gBLkk221LkBm11221gBMkk221MkBm(4-50)(4-51)這就是所謂熱中子反應堆的 修正單群理論修正單群理論。164.2 有反射層反應堆的單群擴散理論有反射層反應堆的單群擴散理論減少芯部中子的泄漏，從而減小芯部的臨界體積，節省一部分核燃料；提高反應堆的平均輸出功率，這是由于反射層的原因，其芯部中子通量密度分布比裸堆的中子通量密度分布更加平坦的緣故。如何選擇反射層？如何選擇反射層？反射層材料散射截面要大反射層材料吸收截面要小良好的慢化能力常用的反射層材料有：常用的反射層材料有：H2O, D2O, 石墨，鈹等。石墨，鈹等。17221ccLkkB0)()()(2rkr

16、rDcaccaccc芯部穩態單群擴散方程芯部穩態單群擴散方程(4-52) 該方程只有對于臨界系統才成立。對于任意給定材料成分及幾何形狀與尺寸的反應堆系統，它不一定處于穩態，引入一個特征參數k來進行調整使其達到臨界。0)()()(2rkkrrDcaccaccc或者寫為0)()(22rBrccc其中Lc2為芯部的擴散長度?？梢宰C明，K即為芯部的有效增殖因子。(4-53)(4-54)(4-55)18221rrLk 0)()(22rkrrrr反射層穩態單群擴散方程反射層穩態單群擴散方程(4-56)式中(4-57)Lr為反射層的擴散長度。 邊界條件邊界條件為：(1) 在芯部或反射層的交界面上rcrrcc

17、DD(4-58)(2) 在芯部或反射層的外推邊界上中子通量密度為零191. 帶有反射層的球形堆帶有反射層的球形堆rrBArcc)sin()(4-59)芯部方程式解芯部方程式解：反射層方程式解：反射層方程式解：(4-60)rrTRkCrrr)(sinh)(202. 側面帶有反射層的圓柱形反應堆側面帶有反射層的圓柱形反應堆0)2,()2,(HrHrrc0),(zTRr;rrccrcDD0),(),(22zrBzrccc芯部反射層0),(),(22zrkzrrrr(4-63)(4-64)邊界條件為在z=H/2處在r=R+T處(1) 在r=R處(4-65)(4-66)(4-67)21222222240

18、5. 22405. 2effeffzrzrcHRHRBBBRR 0 芯部周圍有了反射層以后，由于部分泄露出芯部的中子在反射層內被散射而返回芯部，這樣就減少了中子損失，提高了中子的不泄露概率。因此在芯部材料性在芯部材料性質相同情況下，臨界體積就要比裸堆的臨界體積小質相同情況下，臨界體積就要比裸堆的臨界體積小。反射層節省反射層節省 ：反應堆加上反射層所引起的臨界尺寸的減少反應堆加上反射層所引起的臨界尺寸的減少。(4-81)對于圓柱形反應堆圓柱形反應堆，反射層節省通常分別用徑向和軸向的反射層徑向和軸向的反射層節省來表示)22(,00HHRRzr(4-82) 可以把有反射層反應堆的幾何曲率用芯部外形尺寸增大可以把有反射層反應堆的幾何曲率用芯部外形尺寸增大 或或 2 。反射層球形堆反射層球形堆22RBg圓柱形反應堆圓柱形反應堆Reff、Heff稱為等效半徑等