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文檔簡介
1、第八章第八章 z變換、變換、z域分析域分析nz變換變換 n逆逆z變換變換nz變換基本性質變換基本性質nz變換與拉氏變換關系及變換與拉氏變換關系及z變換的應用變換的應用nDTFT、頻響特性、頻響特性 8.1 z變換變換 0nnX zx nT z 0sTnxtx ttx nTtnT 000ststssnXsxt edtx nTtnTedt000stsnTnnx nTtnT edtx nT e一、一、z變換的定義變換的定義1.抽樣信號的拉氏變換抽樣信號的拉氏變換 z變換變換( )0 (0)x tt設設 10 nnsTX zx nezzsTze令令引入新引入新復變量復變量8.1 z變換變換 20120
2、nnxxX zZ x nxx n zzz nnnX zZ x nx n z2.單邊單邊z變換變換3.雙邊雙邊z變換變換表現為表現為z-1的冪級數的冪級數(洛朗級數洛朗級數),系數為序列,系數為序列 x(n) 樣值;樣值;z變換演變為級數求和問題;變換演變為級數求和問題;注意注意 z 取值范圍取值范圍(收斂域收斂域),保證級數和有限,即收斂,保證級數和有限,即收斂8.1 z變換變換 0001nnn 01nnnZnnz二、典型序列的二、典型序列的z變換(單邊)變換(單邊)( 可取任意點值,收斂域為整個可取任意點值,收斂域為整個z平面平面 ) z1.單位樣值序列單位樣值序列8.1 z變換變換 000
3、1nnnu 01111 ()111nnzzZ u nzzzz2.單位階躍序列單位階躍序列1z 收斂域為:收斂域為:8.1 z變換變換0( ) 11nnzzZ u nzz0()1nnzdzzdz12011nnn zz 201nnznzz3.斜變序列斜變序列( )( )x nn u n dX zx nX zn x nzdz 歸納:歸納:性質之一性質之一20( ) 1)1 (nnzzZ nu nnzz8.1 z變換變換 323414111z zdz zzzZn u nzdzz 223111zdzz zZ n u nzdzz 8.1 z變換變換 1101011azazzazanuaZnnnnnn111
4、11zazzaaazz4.指數序列指數序列 bnbbzZ e u nzeze bea 若若 ,則,則 2nnzddazzaZ na u nzZ a u nzdzdzza 23nnaz zadZ n a u nzZ na u ndzza nuanxn8.1 z變換變換 0020020cos1cos22 cos1jjzzzzZn u nzezezz 000020sin1sin22 cos1jjzzzZn u njzezezz5.正弦、余弦序列正弦、余弦序列令令 ,則,則 000 1jnjjzZ eu nzeze 0jb 根據根據 ,可以得出:,可以得出:0001cos2jnjnnee bnbbzZ
5、 e u nzeze 001 jnjzzZ eu nze 0jb令令 ,則,則 8.1 z變換變換 200220coscos 2cosnzzZn u nzzz 00220sinsin 2cosnzZnnzzzu 0000jnnjjnnjzZeu nzezZeu nze 根據根據 可以得出:可以得出:8.1 z變換變換例例1:求下列各序列的:求下列各序列的z變換(單邊)變換(單邊) 0nmm解:解: 0 0 nmnZnmnm zzz nuann1解:解: 21nnnazzZna u nZ na u nZ a u nzaza2222 azzazzzazaza8.1 z變換變換 nun0sin解:解
6、: 000sinsincoscossinZnu nZnu nZnu n1cos2sincos1cos2cossin0202020zzzzzzz1cos2sincoscossinsin02002zzzzz2020sinsin 2cos11zzzzz8.1 z變換變換解:解: nun0cos nunZnunZnunZsinsincoscoscos00020020coscossinsin2 cos1zzzzz2020coscos 2 cos11zzzzz 8.1 z變換變換解:解: 00cosh,sinhnu nnu n 000001cosh22nneezzZnu nZu nzeze02020cos
7、h 2 cosh1zzzzze 000001sinh22nneezzZnu nZu nzeze0020sinh 2 cosh1zzzez8.1 z變換變換 !nau nn 解:解: 123111111 !2!3!nazaZu nazazzaazen 12!u nn解:解: 2241112220111112!2!2!4!nnZu nzzznn 1 21 21201cosh2zzeezz 8.1 z變換變換 nunan!ln解:解: 1-1211(ln )ln11 (ln )(lnln) !2!na zzaZu na zzaa zean 11nun解:解: 1231111111ln 1 231nn
8、Zu nzzzzznnz 8.1 z變換變換 12n nu n解解: 23111 22211n nzZu nZ n uZu nznnz8.1 z變換變換三、三、z變換的收斂域變換的收斂域1.收斂域的定義:使收斂域的定義:使z變換定義式級數收斂的所有變換定義式級數收斂的所有z 值的集合值的集合2.單邊單邊z變換:序列與變換式唯一對應,變換:序列與變換式唯一對應, 具有唯一的收斂域具有唯一的收斂域RezImzaRezImzab 0zaa收斂域的形式為:收斂域的形式為: 0,0azbab收斂域形式為收斂域形式為:雙邊雙邊z變換:不同序列在不同收斂域條變換:不同序列在不同收斂域條 件下,可以對應同一個
9、變件下,可以對應同一個變 換式換式8.1 z變換變換11111a zazaaza zzz例例2:求下列兩式的:求下列兩式的z變換,并注明其收斂域變換,并注明其收斂域 12nuanxn解:解: 11121111nnnnnna zXza zaza za z nuanxn1 10 nnnzazXza zza8.1 z變換變換3. z變換在收斂域內的各點處處解析變換在收斂域內的各點處處解析4.收斂域的求法收斂域的求法 ,nnx n z級數收斂的充分條件為級數收斂的充分條件為 nnx n z 正項級數正項級數如何判定正項級數如何判定正項級數 是否收斂?是否收斂?nna比值判別法:比值判別法:1n1lim
10、11nnaa 收斂收斂不一定不一定發散發散根式判別法:根式判別法:n1lim11nna 收斂收斂不一定不一定發散發散8.1 z變換變換 21121111nnnznxznxznxnxZ nx2n1nn05.有限長序列有限長序列 ,只在只在 上有值上有值 nx21nnn z0收斂域:至少為收斂域:至少為zImzRe10n 0z時,序列的收斂域為:時,序列的收斂域為:20n 0z 時,序列的收斂域為:時,序列的收斂域為: 120,0nn0z 時,序列的收斂域為:時,序列的收斂域為:幾幾種種情情況況8.1 z變換變換1xRz 6.右邊序列的右邊序列的z變換收斂域至少為:變換收斂域至少為:01n1xRz
11、 時,序列的收斂域為:時,序列的收斂域為: 1lim1limnnnxnnx n zzx nR 1nn nZ x nx n z1limnnna,根據正項級數收斂的判別方法根據正項級數收斂的判別方法01n1xRz 時,序列為因果序列,其收斂域形式為:時,序列為因果序列,其收斂域形式為:定義在定義在 上上,根據根據 值不同,可分為以下兩種情況:值不同,可分為以下兩種情況: nx1nn 1n8.1 z變換變換20 xRz 7.左邊序列的左邊序列的z變換的收斂域至少為:變換的收斂域至少為:02n20 xzR 時,序列的收斂域為:時,序列的收斂域為: 22nnnnnnZ x nx n zxn z21lim
12、1limnnnxnnxn zzRxn 02n20 xzR時,序列為反因果序列,收斂域的形式為:時,序列為反因果序列,收斂域的形式為:定義在定義在 上上,根據根據 值不同,可分為以下兩種情況:值不同,可分為以下兩種情況: nx2nn2n8.1 z變換變換 011210nnnnnnnnnnZ x nx n zx n zx n zxn zx n z8.雙邊序列的雙邊序列的z變換收斂域變換收斂域211xnnnRnxzznx(1)式的收斂條件為:式的收斂條件為: 11xnnnRnxzznx(2)式的收斂條件為:式的收斂條件為:雙邊序列雙邊序列 定義在定義在 上上 nxn 若若 ,則序列的收斂域為:則序列
13、的收斂域為: ;否則無收斂域;否則無收斂域21xxRR12xxRzR8.1 z變換變換例例3:求下列各式的求下列各式的z變換,并注明其收斂域變換,并注明其收斂域 10nnx na u nb unba 解:解: bzzazzzXbza收斂域為收斂域為 nnx 3解:解: 12083331 33103nnnnnnzzzX zzzzzzz 331 z收斂域為收斂域為8.1 z變換變換 nun131解:解: 11133 (31)nnnX zzzz310 z收斂域為收斂域為 1021nunun解:解: 11090212121zzzzXnnnn z0收斂域為收斂域為注意注意0和和8.1 z變換變換 552nunun 45104553
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