高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖北省荊州市八縣2024-2025學年高一上學期期末聯考數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，解得，故，∴．故選：B.2.已知某扇形的弧長和面積都為1，則該扇形圓心角的弧度數為（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】設扇形的半徑為r，圓心角為，根據扇形面積公式，得，，又扇形弧長公式，故選：B.3.已知函數在區間上單調遞減，則a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意得，二次函數對稱軸為直線，冪函數在為增函數，∵函數區間上單調遞減，∴，解得，∴a的取值范圍是.故選：D.4.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，解得：或，，則，故選：A.5.下列區間內存在方程根的是（）A. B. C. D.2,3【答案】C【解析】令，顯然函數Fx在R上連續，因，故Fx在區間上存在零點，即方程在區間上有實數根．如圖，作出函數和的圖象，由圖可知和有兩個交點，因，，即，所以Fx在區間上存在零點，即方程在區間上有實數根，由選項可知只有C項符合題意.故選：C.6.某人擁有一輛價值20萬元的轎車，已知轎車以每年8%的幅度貶值，則這個人至多幾年后賣出這輛轎車，才不會以低于15萬元的價格成交（參考數據：，）（）A.3年 B.4年 C.5年 D.6年【答案】A【解析】由題意知，轎車價格與年份之間的函數關系式為，∴，故，∴，故這個人至多3年后賣出這輛轎車，才不會以低于15萬的價格成交．故選：A.7.已知函數與（）交于和兩點，則的取值范圍是（）A.2,+∞ B. C. D.【答案】C【解析】由題意知：，不妨設，則，，且，所以，所以的取值范圍是，故C正確.故選：C.8.設函數的定義域為R，且，當時，，若對于，都有恒成立，則t的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】當時，，；因，即x每增大4，對應的縱坐標都變原來的2倍.當時，，故，則，；當時，，故，則，；當時，，故，則，.如圖，依題意令，解得或，由圖知當時，恒成立，即須使，故得：．故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.如圖，全集為U，集合A，B是U的兩個子集，則陰影部分可表示為（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】根據圖中陰影可知，符合題意，又，∴也符合題意．故選：AC.10.設表示不超過的最大整數，如，已知函數，下列結論正確的是（）A.函數是偶函數B.當k=1時，函數的值域是C.若方程只有一個實數根，則D.若方程有兩個不相等的實數根，則【答案】BC【解析】作出函數的圖像如圖，函數的圖象不關于y軸對稱，故A錯誤；當k=1時，函數，故，即函數的值域是，故B正確；由圖可知，與的圖象必有一個交點，若方程只有一個實數根，則，故C正確；若方程有兩個不相等的實數根，即與的圖象有兩個交點，結合圖象可得，故D錯誤.故選：BC.11.設，，下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.【答案】ACD【解析】對于A，，當且僅當時取等號，A正確；對于B，，當且僅當時取等號，B錯誤；對于C，，當且僅當時取等號，C正確；對于D，，當且僅當時取等號，D正確．故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若為第二象限角，且，則______.【答案】【解析】由為第二象限角，則，故.13.若函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是______.【答案】【解析】由題意可知，函數在上為減函數，則，函數在上為減函數，且有，則有，解得，所以實數a的取值范圍是.14.已知函數（）有三個不同的零點，，，其中，則____________．【答案】64【解析】令，則，由可化為，∵，∴，即必有兩個不同的根，，且，故，異號，設為負，為正，結合題意，可畫出大致示意圖如下：由圖可知，即有唯一解，即有兩個解，，且，故.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.對下列兩個式子進行化簡求值.（1）；（2）已知為角終邊上一點，求的值.解：（1）原式（2）因為為角終邊上一點，則由三角函數概念可得，所以16.已知集合，，若是的真子集，求實數m的取值范圍．解：∵集合，∴，又為的真子集，當時，，解得或．當時，（等號不同時成立），解得．綜上所述，實數m的取值范圍是．17.荊州魚糕是湖北特色美食的代表之一，被譽為“荊州一絕”，深受廣大消費者喜愛.某廠家欲生產荊州魚糕，經過市場調研發現，生產荊州魚糕需投入年固定成本3萬元，每生產x噸另需投入流動成本萬元，且，若荊州魚糕的售價為40元/千克，且該廠家2025年生產的噸荊州魚糕均能售完.（1）求該廠家2025年的利潤（單位：萬元）的函數解析式；（2）求該廠家2025年的產量為多少噸時，該廠家所獲年利潤最大?最大年利潤是多少?解：（1）由題意知，魚糕的售價為40元/千克，則1噸荊州魚糕售價為萬元，當時，，當時，，故2025年的利潤的函數解析式為.（2）當時，，當時，取得最大值；當時，，當且僅當，即時取等號，即當時，取得最大值，因為，所以當2025年的產量為15噸時，該廠家所獲年利潤最大，最大年利潤是55萬元.18.已知定義域為的函數對于，，都滿足，且當時，．（1）求f1，并用定義法判斷在區間上的單調性；（2）是否存在實數k，使得關于x的不等式，恒成立？若存在，求k的取值范圍；若不存在，請說明理由．解：（1）令，則，即，令，，且，則，，又當x∈0,1時，，∴，∴，故在區間0,+∞上單調遞增．（2）不存在，理由如下：∵在區間0,+∞上單調遞增，且關于x的不等式恒成立，∴，即在區間0,+∞上恒成立．當時，二次函數的圖象的對稱軸，∴當時，，又，即，解得：，∴，故當時，無滿足題意的實數k．當時，∵二次函數的圖象的對稱軸，∴只需，解得，無解.故當時，無滿足題意的實數k．綜上所述，不存在實數k，使得關于x的不等式恒成立．19.定義一種新運算“”，（1）計算；（2）判斷與的大小關系，并給出證明；（3）已知關于x的不等式恰有4個整數解，求m的取值范圍.解：（1）由題意可得.（2）證明：由題意可得，，.（3），，化簡得，，即，要想滿足題意只有四個整數解，則必有，則或，①令，，的一個零點必在內，不等式恰有4個整數解，個整數解是0，，故，另一個零點在區間內，，即由①②解得或，的取值范圍是或湖北省荊州市八縣2024-2025學年高一上學期期末聯考數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，解得，故，∴．故選：B.2.已知某扇形的弧長和面積都為1，則該扇形圓心角的弧度數為（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】設扇形的半徑為r，圓心角為，根據扇形面積公式，得，，又扇形弧長公式，故選：B.3.已知函數在區間上單調遞減，則a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意得，二次函數對稱軸為直線，冪函數在為增函數，∵函數區間上單調遞減，∴，解得，∴a的取值范圍是.故選：D.4.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，解得：或，，則，故選：A.5.下列區間內存在方程根的是（）A. B. C. D.2,3【答案】C【解析】令，顯然函數Fx在R上連續，因，故Fx在區間上存在零點，即方程在區間上有實數根．如圖，作出函數和的圖象，由圖可知和有兩個交點，因，，即，所以Fx在區間上存在零點，即方程在區間上有實數根，由選項可知只有C項符合題意.故選：C.6.某人擁有一輛價值20萬元的轎車，已知轎車以每年8%的幅度貶值，則這個人至多幾年后賣出這輛轎車，才不會以低于15萬元的價格成交（參考數據：，）（）A.3年 B.4年 C.5年 D.6年【答案】A【解析】由題意知，轎車價格與年份之間的函數關系式為，∴，故，∴，故這個人至多3年后賣出這輛轎車，才不會以低于15萬的價格成交．故選：A.7.已知函數與（）交于和兩點，則的取值范圍是（）A.2,+∞ B. C. D.【答案】C【解析】由題意知：，不妨設，則，，且，所以，所以的取值范圍是，故C正確.故選：C.8.設函數的定義域為R，且，當時，，若對于，都有恒成立，則t的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】當時，，；因，即x每增大4，對應的縱坐標都變原來的2倍.當時，，故，則，；當時，，故，則，；當時，，故，則，.如圖，依題意令，解得或，由圖知當時，恒成立，即須使，故得：．故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.如圖，全集為U，集合A，B是U的兩個子集，則陰影部分可表示為（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】根據圖中陰影可知，符合題意，又，∴也符合題意．故選：AC.10.設表示不超過的最大整數，如，已知函數，下列結論正確的是（）A.函數是偶函數B.當k=1時，函數的值域是C.若方程只有一個實數根，則D.若方程有兩個不相等的實數根，則【答案】BC【解析】作出函數的圖像如圖，函數的圖象不關于y軸對稱，故A錯誤；當k=1時，函數，故，即函數的值域是，故B正確；由圖可知，與的圖象必有一個交點，若方程只有一個實數根，則，故C正確；若方程有兩個不相等的實數根，即與的圖象有兩個交點，結合圖象可得，故D錯誤.故選：BC.11.設，，下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.【答案】ACD【解析】對于A，，當且僅當時取等號，A正確；對于B，，當且僅當時取等號，B錯誤；對于C，，當且僅當時取等號，C正確；對于D，，當且僅當時取等號，D正確．故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若為第二象限角，且，則______.【答案】【解析】由為第二象限角，則，故.13.若函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是______.【答案】【解析】由題意可知，函數在上為減函數，則，函數在上為減函數，且有，則有，解得，所以實數a的取值范圍是.14.已知函數（）有三個不同的零點，，，其中，則____________．【答案】64【解析】令，則，由可化為，∵，∴，即必有兩個不同的根，，且，故，異號，設為負，為正，結合題意，可畫出大致示意圖如下：由圖可知，即有唯一解，即有兩個解，，且，故.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.對下列兩個式子進行化簡求值.（1）；（2）已知為角終邊上一點，求的值.解：（1）原式（2）因為為角終邊上一點，則由三角函數概念可得，所以16.已知集合，，若是的真子集，求實數m的取值范圍．解：∵集合，∴，又為的真子集，當時，，解得或．當時，（等號不同時成立），解得．綜上所述，實數m的取值范圍是．17.荊州魚糕是湖北特色美食的代表之一，被譽為“荊州一絕”，深受廣大消費者喜愛.某廠家欲生產荊州魚糕，經過市場調研發現，生產荊州魚糕需投入年固定成本3萬元，每生產x噸另需投入流動成本萬元，且，若荊州魚糕的售價為40元/千克，且該廠家2025年生產的噸荊州魚糕均能售完.（1）求該廠家2025年的利潤（單位：萬元）的函數解析式；（2）求該廠家2025年的產量為多少噸時，該廠家所獲年利潤最大?最大年利潤是多少?解：（1）由題意知，魚糕的售價為40元/千克，則1噸荊州魚糕售價為萬元，當時，，當時，，故2025年的利潤的函數解析式為.（2）當時，，當時，取得最大值；當時，，當且僅當，即時取等號，即當時，取得最大值，因為，所以當2025年的產量為15噸時，該廠家所獲年利潤最大，最大年利潤是55萬元.18.已知定義域為的函數對于，，都滿足，且當時，．（1）求f1，并用定義法判斷在區間上的單調性；（2）是否存在實數k，使得關于x的不等式，恒成立？若存在，求k的取值范圍；若不存在，請說明理由．解：（1）令，則，即，令，，且，則，，又當x∈0,1時，，∴，∴，故在區間0,+∞上單調遞增．（2）不存在，理由如下：∵在區間0,+∞上單調遞增，且關于x的不等式恒成立，∴，即在區間0,+∞上恒成立．當時，二次函數的圖象