1、最優線性二次型現代理論基本概念l 函數的正定、半正定、負定性l 平衡態、穩定、漸近穩定、不穩定l 李雅普諾夫穩定性判據l 能控性、能觀性、結構分解l 狀態反饋、輸出反饋l 分離定理、帶狀態觀測器的狀態反饋系統2能源與動力學院系統與研究室最優線性二次型現代理論基本概念l 函數的正定、半正定、負定性l 平衡態、穩定、漸近穩定、不穩定l 李雅普諾夫穩定性判據l 能控性、能觀性、結構分解l 狀態反饋、輸出反饋l 分離定理、帶狀態觀測器的狀態反饋系統3能源與動力學院系統與研究室最優線性二次型現代理論基本概念實函數正定性問題 亦稱為函數定號性問題。 主要討論該函數的值在什么條件下恒l為正,什么條件下恒為負

2、的。正定函數V(x)l 除零點外恒為正值的標量函數。x = 0 Þ V (x) = 0x ¹ 0 Þ V (x) > 04能源與動力學院系統與研究室最優線性二次型現代理論基本概念x = 0 Þ V (x) = 0x ¹ 0 Þ V (x) < 0l 負定函數x = 0 Þ V (x) = 0x ¹ 0 Þ V (x) ³ 0l 非負定函數（半正定）x = 0 Þ V (x) = 0x ¹ 0 Þ V (x) £ 0l 非正定函數（半負定）l 不

3、定函數 V(x)可為正值也可為負值5能源與動力學院系統與研究室在包含原點的一個區域內最優現代例：a)正定函數線性二次型理論基本概念x )2 + x222-+ 2x )2 - 5x2b)負定函數121x )22c)半正定函數2+ 2x )2d)半負定函數12-x )2e)不定函數22014-04-166最優線性二次型現代理論基本概念l 函數的正定、半正定、負定性l 平衡態、穩定、漸近穩定、不穩定l 李雅普諾夫穩定性判據l 能控性、能觀性、結構分解l 狀態反饋、輸出反饋l 分離定理、帶狀態觀測器的狀態反饋系統7能源與動力學院系統與研究室最優現代線性二次型理論基本概念l 動態系統 x& =f

4、 (x, t)的平衡態是使f (x, t) º 0的狀態,并用xe 來表示。其中：x 為n維狀態變量,f(x,t)為n維的關于狀態變量向量x和時間t的非線性向量函數。8能源與動力學院系統與研究室最優現代線性二次型理論基本概念可知 平衡態即指狀態空間中狀態變量的導數向量為零向量的點(狀態)。 由于導數表示的狀態的運動變化方向,因此平衡態即指能夠保持平衡、維持現狀l不運動的狀態,如下圖所示。平衡態平衡態9能源與動力學院系統與研究室平衡態最優現代線性二次型理論基本概念x& = Axl 線性定常系統 其平衡態xe是滿足方程Axe=0的解 當矩陣A為非奇異時,線性系統只有一個孤立的平衡

5、態xe=0 當A為奇異時,則存在無限多個平衡態，且這些平衡態不為孤立平衡態,而態空間中的一個子空間。狀10能源與動力學院系統與研究室最優現代線性二次型理論基本概念非線性系統 通常可有一個或幾個平衡態 它們分別為對應于 f (x, t) º 0 的常值解l由于非線性系統的李雅普諾夫穩定性具有局部性特點,因此在討論穩定性時,通l常還要確定平衡態的穩定鄰域(區域)。11能源與動力學院系統與研究室最優現代例：線性二次型理論基本概念= -xìx&11í對于非線性系統3x2î-x = 0ì其平衡態為代數方程組1í32= 0î的解

6、,即下述狀態空間中的三個狀態為其孤立平衡態。= é 0 ù0xê-1úe,3ëû12能源與動力學院系統與研究室最優現代線性二次型理論基本概念l 對于孤立平衡態,總是可以通過坐標變換將其移到狀態空間的原點。üx&eï x = xeïÞ x% = 0- AxeýA( x - x )ýe þïïþe= Ax%l 因此,不失一般性,為了便于分析,我們常把平衡態取為狀態空間的原點。13能源與動力學院系統與研究室最優現代線性二次型理論基本概

7、念l 李雅普諾夫穩定性研究的是平衡態附近(鄰域)的運動變化問題。若平衡態附近某充分小鄰域內所有狀態的運動最后都趨于該平衡態,則稱該平衡態是漸近穩定的;若發散掉則稱為不穩lx2xexelx1定的；若能維持在平衡態附近某個鄰域內運動變化則稱為穩定的不穩定平衡態漸近穩定平衡態lxe穩定平衡態14能源與動力學院系統與研究室最優現代線性二次型理論基本概念l 對于n維狀態空間中的所有狀態,如果由這些狀態出發的狀態軌線都具有漸近穩定性,那么平衡態xe稱為李雅普諾夫意義下大范圍（全局）漸近穩定的。x2x2ddeex1xx1x(0)x(0)x(0)穩定漸近穩定能源與動力學院系統不穩定15與研究室x2dex(0)

8、最優線性二次型現代理論基本概念l 函數的正定、半正定、負定性l 平衡態、穩定、漸近穩定、不穩定l 李雅普諾夫穩定性判據l 能控性、能觀性、結構分解l 狀態反饋、輸出反饋l 分離定理、帶狀態觀測器的狀態反饋系統16能源與動力學院系統與研究室最優現代線性二次型理論基本概念l 李雅普諾夫第一方法的基本結論x& =x0，t ³ 0線性定常系統穩定性的特征值判據：l 李氏穩定的充要條件：Re(li ) £ 0，(i = 1, 2,L n)l 漸進穩定的充要條件：Re(li ) < 0，(i = 1, 2,Ln)l 不穩定的充要條件：Re(li ) > 0，(i =

9、 1, 2,Ln)172014-04-16最優現代線性二次型理論基本概念李雅普諾夫第二方法18能源與動力學院系統與研究室V ( x, t )V& ( x , t )平衡態正定(>0)負定(<0)漸近穩定半負定(£0)且不恒為0(對任意非零初始狀態的解)半負定(£0)且恒為0(對某一非零初始狀態的解)穩定 (非漸近穩定)半正定(³0)且恒為0(對某一非零初始狀態的解)正定(>0)不穩定半正定(³0)且不恒為0(對任意非零初始狀態的解)最優現代線性二次型理論基本概念李雅普諾夫第二方法的基本思想就是 通過定義和分析一個在平衡態鄰域的關

10、于運動狀態的廣義能量函數來分析平衡態的穩定性。l 通過該能量函數隨時間變化是否衰減來判定平衡態是漸近穩定,還是不穩定。19能源與動力學院系統與研究室最優線性二次型現代理論基本概念例試用李雅普諾夫第二方法判定下列系統2 )= x -x&的穩定性1222 )= -x -x&解：212= é0ù令ê0úeë û則xV&22+ 2 x2 x&2&1負定2VV&2) <02® ¥，V (x) =® ¥xxxe大范圍漸近穩定2014-04-1620最優線

11、性二次型現代理論基本概念例 試用李雅普諾夫第二方法判定下列系統x ) - x2的穩定性22x2 ) + x1 x2xe = 0解:系統具有唯一的平衡點取 V&則> 0,22&2 ùû +) + x x112212= -2(除原點處外，V& (x)= -2(x 2 + x£ 0222 )212恒等于零。當x ® ¥ 時，V ( x) ® ¥所以,系統在其原點處大范圍漸近穩定2014-04-1621最優線性二次型現代理論基本概念例試用李雅普諾夫第二方法判定下列系統的穩定性x22系統具有唯一的平衡點

12、xe= 0,解:> 022取WgWg1g+ x 2 ) > 0則212所以，系統在原點處不穩定。2014-04-1622最優線性二次型現代理論基本概念l 函數的正定、半正定、負定性l 平衡態、穩定、漸近穩定、不穩定l 李雅普諾夫穩定性判據l 能控性、能觀性、結構分解l 狀態反饋、輸出反饋l 分離定理、帶狀態觀測器的狀態反饋系統23能源與動力學院系統與研究室最優現代線性二次型理論基本概念l 如果狀態變量x(t)由任意初始時刻的任意初始狀態引起的運動都能由輸入(項)來影響,并能在有限時間內點,那么稱系統是能控的。到空間原 或者更確切地說,是狀態能控的。 否則,就稱系統為全能控的。狀態能

13、控性反映輸入u(t)對狀態x(t)的能力24能源與動力學院系統與研究室最優現代線性二次型理論基本概念l 如果系統的任何內部運動狀態變化都可由系統的外部輸出和輸入唯一地確定,那么稱系統是能觀的, 或者更確切地說,是狀態能觀的。 否則,就稱系統為狀態全能觀的。狀態能觀性反映系統外部可直接或間接測量的輸出y(t)和輸入u(t)來確定或識別系統狀態的能力25能源與動力學院系統與研究室最優現代線性二次型理論基本概念l 線性定常連續系統能控性秩判據 線性定常連續系統å(A,B)狀態完全能控的充要條件為能控性矩陣：Qc=BABAn-1B滿秩rankQc=n即：26能源與動力學院系統與研究室最優現代

14、線性二次型理論基本概念l 線性定常連續系統能觀性秩判據 線性定常連續系統å(A,B)狀態完全能觀測的充要條件為éêùúúCCA能觀性矩陣:= êQêúo.滿秩,即：rank Qo=n ên-1 úëCAû2014-04-1627最優線性二次型現代理論基本概念l 線性定常連續系統å(A,B,C,D)輸出完全能控的充要條件為：輸出能控性矩陣：這里有個D哦！CB CAB滿秩,即： CAn-1B Drank CBCABCAn-1BD=m其中m為輸出變量向量的維數。

15、2014-04-1628最優線性二次型現代理論基本概念能控能觀分解過程能控又能觀子系統能觀能控子系統分解能控但不能觀子系統系能控統分解能觀不能控但能觀子系統不能控子系統分解不能控又不能觀子系統也可先作能觀分解,再作能控分解。分解結果與先能控分解后能觀分解的結果完全等價2014-04-1629最優線性二次型現代理論基本概念能控部分不能控部分 系統能控性分解結構圖2014-04-1630最優線性二次型現代理論基本概念系統能觀性分解結構圖2014-04-1631能觀部分不能觀部分最優線性二次型現代理論基本概念若線性定常連續系統ìx& = Ax + Buí y = Cx&#

16、238;狀態全能控又全能觀,則一定存在一個線性變換,使得變換后的狀態空間模型為:é x%&%ùúê x&%ú uú +ê &%úê%ú ê x%ê 0 úx300A33A3êúx&%ê34úêú0ú ê x% úA%êëúûêë4 úûê000C3244 &

17、#251; ë4 ûëC%y = 0x%Tx%T T02342014-04-16最優線性二次型現代理論基本概念l 即系統可分解成如下四個子系統: 1. 能控但不能觀子系統x&%= A%+ A%+ A%+ A%+ B% uS% c,nox%x%x%x%:11111221331441 2.能控又能觀子系統ìïx&%= A%+ A%+ B% ux%x%S%22222442:íïy = C%c,o x%î 222 3. 4.不能控又不能觀子系統x&%= A%+ A%S% nc,nox%x%:3333

18、344不能控但能觀子系統ìx%&= A%x%S%: í4%444= C4 x%4nc,oîy42014-04-1633最優線性二次型現代理論基本概念l 由于線性變換不改變系統的傳遞函數陣, 所以由變換后的系統狀態空間模型可得如下傳遞函數陣G(s) = G% (s) = C% (sI -A%)-1 B%ù ö-1 é B% ùæé A%A%A%A%ç11121314 ú÷1 úêêA%2200A%24 ú÷ú&

19、#247;êB%2 úç sI - ê 00C%C%= 00çê 0A%A%ê 0 ú24ê3334%ú÷êúçêë 0 úûêë 00A44 úû øè34能源與動力學院系統與研究室最優線性二次型現代理論基本概念é(sI -A%ù éB% ù)-1*111 úêú ê%

20、0; êB%2 ú-10(sI -A22 )êC%0 C%G(s) = 0ê(sI -A%ú ê 0 ú24)-10000*ê33-1 ú êú%úû êë 0 úûêë0(sI -A44 )= C% (sI-A%)-1 B%2222l 狀態全能控又全能觀系統的傳遞函數陣等于其能控能觀分解后能控又能觀子系統的傳遞函數陣。35能源與動力學院系統與研究室最優線性二次型現代理論基本概念如下系統的狀態能控性例試&#

21、233;ùé0ù010該系統x& = ê1 ú x + ê0ú u00êúê ú狀態完全能控。êë-a3-a1 úûêë1 úû-a2解：由狀態能控性的秩判據，有éùúúé0ùéùú011êêb = ê0úAb = ê2A b =- aê ú

22、ëê1 úûêú1êúêë- a1 úû2- a+ aë1 û2é0êù011ú = 3 = nrankQ = rank éëbù= rank 0-a2AbA bûêúc1ê1ú-a-a + a2ë1 û122014-04-1636最優線性二次型現代理論基本概念如下系統的狀態能控性例試é12ù

23、33; 21 ù321x& = ê00ú x + ê 11 ú uêêë0ú3úûêêë-1ú-1úû解：由狀態能控性的秩判據，有Q= BA2B顯然秩為2， 而系統的狀態變量維數n=3,AB32Cé 24 ù112254= ê 14 úêêë-1ú-4úû所以狀態全能控。2014-04-16-1-2-2-437最優線性二

24、次型現代理論基本概念x& = é00ù x + é1ù u例試ê00úê1úëy =ûë û系統的輸出能控性1x +0u1解：由輸出能控性的秩判據，有：rankCBCABD=rank200=1=m故系統輸出完全能控。輸出能控性與狀態能控性是不等價的兩個不同概念,它們之間亦沒有必然的2014-04-1638由狀態能控性的秩判據，有：rankBAB = rank é10ù = 1 < 2ê10úëû故系統是

25、狀態全能控的。最優線性二次型現代理論基本概念l 函數的正定、半正定、負定性l 平衡態、穩定、漸近穩定、不穩定l 李雅普諾夫穩定性判據l 能控性、能觀性、結構分解l 狀態反饋、輸出反饋l 分離定理、帶狀態觀測器的狀態反饋系統39能源與動力學院系統與研究室最優線性二次型現代理論基本概念理論最基本的任務l 對給定的被控系統設計能滿足所期望的性能指標的閉環系統,即尋找反饋律。狀態反饋和輸出反饋是系統設計中l兩種主要的反饋策略40能源與動力學院系統與研究室最優線性二次型現代理論基本概念狀態反饋 將觀測到的狀態取作反饋量輸出反饋ll 將觀測到的輸出取作反饋量反饋律,實現對系統的閉環到期望的對系統的性能指標

26、要求。,以達41能源與動力學院系統與研究室最優現代線性二次型理論基本概念l 對線性定常連續系統å(A,B,C),若取系統的狀態變量來反饋,則所得到的閉環系統稱為狀態反饋系統。狀態反饋系統結構圖42能源與動力學院系統與研究室最優現代線性二次型理論基本概念狀態反饋閉環系統的狀態空間模型 設開環系統狀態空間模型和狀態反饋律分別記為lì x& = Ax + Buí y = Cxîu = Kx + v其中K為r×n維的實矩陣,稱為狀態反饋矩陣v為r維的輸入向量,亦稱為伺服輸入。423014-04-16最優現代線性二次型理論基本概念l 將狀態反饋律

27、代入開環系統方程,則可得狀態反饋閉環系統的狀態空間模型:ì x& = ( A + BK ) x + Bví y = Cxîl 狀態反饋閉環系統可簡記為å(A+BK,B,C),其傳遞函數陣為:GK(s)=C(sI-(A+BK)-1B44能源與動力學院系統與研究室最優現代線性二次型理論基本概念l 對線性定常連續系統å(A,B,C),若取系統的輸出變量來反饋,則所得到的閉系統稱為輸出反饋 系統。 環vx'uxy+òBC+A開環系統H輸出反饋系統的結構圖45能源與動力學院系統與研究室最優線性二次型現代理論基本概念輸出反饋閉環系

28、統的狀態空間模型 設開環系統狀態空間模型和輸出反饋l律分別為= Ax + Bux&ìí y = C xîu = H y + v其中H為r×m維的實矩陣,稱為輸出反饋矩陣46能源與動力學院系統與研究室最優現代線性二次型理論基本概念l 將輸出反饋律代入開環系統方程,則可得輸出反饋閉環系統的狀態空間模型:ìx& = (A+ BHC)x + Bvíy = Cxîl 輸出反饋閉環系統可簡記為å(A+BHC,B,C),其傳遞函數陣為:GH(s)=C(sI-(A+BHC)-1B47能源與動力學院系統與研究室最優現

29、代線性二次型理論基本概念l 由狀態反饋和輸出反饋的閉環系統狀態空間模型可知, 輸出反饋可以視為當K=HC時的狀態反饋。因此,在進行系統分析時,輸出反饋可看作狀態反饋的一種特例。 狀態反饋可以達到比輸出反饋更好的品質,更佳的性能。48能源與動力學院系統與研究室最優現代線性二次型理論基本概念l 對被控系統å(A,B,C)有如下結論: 采用狀態反饋閉環系統åK(A+BK,B,C)后,狀態能控性不變。 由于輸出反饋可視為狀態反饋在K=HC時的特例，故輸出反饋亦不改變系統的狀態能控性。 采用輸出反饋閉環系統åH(A+BHC,B,C)后，狀態能觀性不變。49能源與動力學院系統

30、與研究室最優現代例5.1.1型為線性二次型理論基本概念設線性定常系統的狀態空間模x& = é12ù x + é0ù uê31úê1úëûë ûy = 12 x并設狀態反饋陣K=-3-1和輸出反饋H=-2。試分析該系統的狀態反饋閉環系統和輸出反饋閉環系統的狀態能控/能觀性。50能源與動力學院系統與研究室最優現代線性二次型理論基本概念解（1）因為開環系統的能控性矩陣和能觀性矩陣的秩分別為AB = ranké02ù = 2 = nrankBê1

31、1úëûranké C ù = ranké12ù = 2 = nêCAúê74úëûëûl 所以開環系統為狀態能控又能觀的。51能源與動力學院系統與研究室最優現代線性二次型理論基本概念（2）經狀態反饋u=Kx+v后的閉環系統為x& = ( A + BK ) x + Bv = é12ù x + é0ù vê00úê1úëûë û其能控性矩陣和能觀性矩陣的秩分別為( A + BK )B = rank é02ù = 2 = nrank Bê10úëûrank éù = rank é12ù = 1 < nCêC( A + BK )úê12úëûëûl 所以狀態反饋閉環系統為狀態能控但不能觀的,即狀態反饋可能改變系統的狀態能觀性。52能源與動力學院系統與研究室最優現代線性二次型